7.2 平行线 （5课时）教学设计 2025-2026学年数学人教版七年级下册

7.2　平行线
7.2　平行线（第1课时）
1．掌握平行线的定义以及表示方法．
2．会根据几何语言用直尺和三角板画平行线．
3．掌握关于平行线的基本事实及其推论．
掌握关于平行线的基本事实及其推论．
1．掌握平行线的定义以及表示方法．
2．会根据几何语言用直尺和三角板画平行线．
新知探究
一、探究学习
【问题】如图，将两根木条a，b分别与木条c钉在一起，并把它们想象成在同一平面内两端无限延伸的三条直线．固定木条b和c，转动木条a．
想象一下，在这个过程中，有没有直线a与直线b不相交的位置呢？
　　【师生活动】学生独立思考，然后教师选取学生代表发言．
　　【新知】在木条a转动的过程中，存在直线a与b不相交的位置．在同一平面内，当直线a，b不相交时，我们说直线a与b互相平行，记作“a∥b”．
　　【师生活动】观察下面的动图，进一步理解平行与相交．
　　【设计意图】通过动图，让学生更加直观地发现平行的现象，激发学生的学习兴趣．
【问题】在实际生活中，平行线随处可见，例如农田中平行的田垄、建筑物表面平行的栅格线（如图）．你还能举出其他例子吗？
　　【答案】
　　【设计意图】通过列举平行线在生活中的实例，让学生体会数学与生活的密切联系．
　　【思考】两条不相交的直线就是平行线吗？
【答案】不是；不在同一平面内，两条不相交的直线还有第二种可能，即异面（如图AB与CD，以及现实中的立交桥）．
【新知】在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线．
【设计意图】通过此问题让学生知道“在同一平面内”的重要性，关于“异面”的相关知识教师不要展开讲解，让学生了解即可．
【注意】（1）两条直线平行必须具备两个条件：①在同一平面内；②不相交．
（2）在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交与平行．
（3）两条线段或射线平行是指其所在的直线平行．
【新知】可以借助直尺和三角尺画平行线．如图，保持直尺不动，沿直尺推动三角尺，分别画直线a，b，则a∥b．
【问题】如图，过点B画直线a的平行线，能画出几条？
【师生活动】学生尝试动手画出平行线，教师巡视并纠错．
【答案】1条．
【新知】一般地，有如下关于平行线的基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
【追问】试着归纳出画平行线的步骤．
【归纳】画平行线的步骤：
一“落”：把三角尺一边落在已知直线上；
二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边；
三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺上与已知直线重合的边过已知点；
四“画”：沿三角尺上过已知点的边画直线．
【设计意图】通过尝试画平行线，让学生归纳出画平行线的步骤，同时引出关于平行线的基本事实．
【问题】如图，过点C画直线a的平行线，它和前面过点B画出的直线平行吗？
【师生活动】学生独立思考并给出合理的猜想，然后教师证明猜想．
【答案】猜想：如果b∥a，c∥a，那么b∥c．
证明：假设b与c不平行，
那么b与c相交，设交点为P，
那么过点P就有两条直线b和c都与直线a平行，
而根据平行线的基本事实，这是不可能的，
所以b∥c．
【新知】由关于平行线的基本事实，可以进一步得到如下结论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
也就是说：如果b∥a，c∥a，那么b∥c．
【设计意图】通过反证法对关于平行线的基本事实的推论进行证明，让学生对反证法有初步的认识．
二、典例精讲
【例1】下列说法中，正确的是（　　）．
A．若两条直线不相交，则它们平行
B．若两条线段不相交，则它们平行
C．若两条线段平行，则它们不相交
D．在同一平面内，两条直线的位置关系有三种：相交、垂直和平行
【师生活动】学生思考、回答，教师点评．
【答案】C
【解析】选项A：未说明“在同一平面内”，故错误．
选项B：两条线段平行，是指它们所在的直线平行，而两条线段不相交，它们所在的直线可能相交，故错误．
选项C：两条线段平行，即它们所在的直线不相交，所以这两条线段也不相交，故正确．
选项D：垂直是相交的一种特殊情况，故错误．
【设计意图】通过例1，考查学生对平行与相交的相关概念的掌握情况．
【例2】如图，P是AB上一点，试过点P作PM∥AC，交BC于点M，过点P作PN∥BC，交AC于点N．
【师生活动】学生独立思考，然后作答．
【答案】解：如图所示．直线PM，直线PN即为所求．
　　【归纳】关于平行线的基本事实是过直线外一点作这条直线的平行线的依据．
　　【设计意图】通过例2，让学生会根据几何语言用直尺和三角板画平行线．
　　【例3】如图，直线a∥b，b∥c，直线d与a相交于点M．
　　（1）判断直线a，c的位置关系，并说明理由；
　　（2）判断直线c，d的位置关系，并说明理由．
　　【师生活动】学生独立思考，然后回答问题．
　　【答案】解：（1）a∥c．理由如下：
　　因为a∥b，b∥c，
　　所以a∥c（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
　　（2）c与d相交．理由如下：
　　因为直线a，d都过点M，且a∥c，
　　所以c与d相交（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．
　　【归纳】1．关于平行线的基本事实表述了平行的唯一性．
　　在关于平行线的基本事实中一定要强调“直线外一点”，否则不存在直线与已知直线平行．
　　2．关于平行线的基本事实的推论表述了平行的传递性．
　　在基本事实的推论中没有强调“在同一平面内”，事实上，在立体几何中，这个推论也是成立的．
　　【设计意图】通过例3，考查学生运用关于平行线的基本事实及其推论解决相关问题的掌握情况．
课堂小结
课后任务
完成教材第12页练习．
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7.2　平行线（第2课时）
1．掌握平行线的三种判定方法，并会运用所学方法来判断两条直线是否平行．
2．根据平行线的判定方法进行简单地推理并学会用数学符号写出对应的推理过程．
3．体会数学中的转化思想．
掌握平行线的三种判定方法，并会运用所学方法来判断两条直线是否平行．
1．根据平行线的判定方法进行简单地推理并学会用数学符号写出对应的推理过程．
2．体会数学中的转化思想．
知识回顾
1．平行线：在 同一平面 内， 不相交 的两条直线叫作平行线．
2．平行线的基本事实：过直线 外 一点 有且只有 一条直线与这条直线 平行 ．
3．平行线的基本事实的推论：如果两条直线都与第三条直线 平行 ，那么这两条直线也 互相平行 ．
也就是说：如果b∥a，c∥a，那么b ∥ c．
新知探究
一、探究学习
【思考】我们上节课利用直尺和三角尺画平行线（如图）的过程中，三角尺起着什么样的作用？
　　【师生活动】学生独立思考，然后教师选取学生代表发言．
　　【答案】记紧贴三角尺的直尺的边所在直线为c（如图）．可以看出，画互相平行的直线a和b，实际上就是分别画相等的∠l和∠2的一条边，而∠l和∠2的正是直线a，b被直线c截得的同位角．这说明，如果同位角∠l=∠2，那么a∥b．
　　【新知】判定方法1
　　文字语言：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
　　简单说成：同位角相等，两直线平行．
　　符号语言：因为∠1＝∠2，所以a∥b．
　　【师生活动】观察下面的动图，进一步理解“同位角相等，两直线平行”．
　　【设计意图】通过文字推理和动图演示相结合的形式，让学生对“同位角相等，两直线平行”有更加深刻的理解，激发学生的学习兴趣．
　　【思考】两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角．由同位角相等，可以判定两条直线平行，能否利用内错角或同旁内角来判定两条直线平行呢？
　　【探究】如图，直线a，b被直线c所截．
　　（1）内错角∠1与∠2满足什么条件时，能得出a∥b？
　　【答案】如果∠1＝∠2，由判定方法1，能得到a∥b，理由如下：
　　因为∠1＝∠2，而∠2＝∠4（对顶角相等），
　　所以∠1＝∠4，即同位角相等，从而a∥b．
　　这样，就得到了利用内错角判定两条直线平行的方法．
　　【新知】判定方法2
　　文字语言：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
　　简单说成：内错角相等，两直线平行．
　　符号语言：因为∠2＝∠3，所以a∥b．
　　【师生活动】观察下面的动图，进一步理解“内错角相等，两直线平行”．
　　【设计意图】通过理论证明和动图演示相结合的形式，让学生对“内错角相等，两直线平行”有更加深刻的理解，激发学生的学习兴趣．
【探究】如图，直线a，b被直线c所截．
　　（2）同旁内角∠1与∠3满足什么条件时，能得出a∥b？
【答案】如果∠1与∠3互补，由判定方法1或判定方法2，能得到a∥b，理由如下：
　　因为∠1＋∠3＝180°，∠3＋∠4＝180°，
　　所以∠1＝∠4，即同位角相等，从而a∥b．
　　这样，由判定方法1，就得到了利用同旁内角判定两条直线平行的方法．
【新知】判定方法3
文字语言：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
符号语言：因为∠2＋∠4＝180°，所以a∥b．
【师生活动】观察下面的动图，进一步理解“同旁内角互补，两直线平行”．
【设计意图】通过理论证明和动图演示相结合的形式，让学生对“同旁内角互补，两直线平行”有更加深刻的理解，激发学生的学习兴趣．
二、典例精讲
【例1】在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
【师生活动】学生思考、回答，教师点评．
【分析】垂直总与直角联系在一起，进而可以用相应角的关系来判断两条直线是否平行．
【答案】解：这两条直线平行．理由如下：
如图．
∵b⊥a，
∴∠1＝90°．
同理∠2＝90°．
∴∠1＝∠2．
又∠1和∠2是同位角，
∴b∥c（同位角相等，两直线平行）．
【新知】此处符号“∵”表示“因为”，符号“∴”表示“所以”．
【归纳】判定方法的推论
文字语言：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
符号语言：因为a⊥b，a⊥c，
所以b∥c．
【设计意图】通过例1，让学生根据平行线的判定方法进行简单地推理并学会用数学符号写出对应的推理过程．
【例2】如图，已知∠1＝∠2，问：再添加什么条件可使AB∥CD？
【师生活动】学生独立思考，然后回答问题．
【答案】解：方法1：添加∠MBE＝∠MDF．
方法2：添加∠EBN＝∠FDN．
方法3：添加∠EBD＋∠BDF＝180°．
方法4：添加EB⊥MN，FD⊥MN．
【设计意图】通过例2，考查学生对平行线的判定方法的掌握情况．
课堂小结
课后任务
完成教材第14页练习第1～4题．
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7.2　平行线（第3课时）
1．根据不同的题目类型，选取合适的判定方法判定两条直线平行．
2．运用平行线的判定解决相关的实际问题．
3．掌握平行线判定问题中辅助线的作法．
根据不同的题目类型，选取合适的判定方法判定两条直线平行．
1．运用平行线的判定解决相关的实际问题．
2．掌握平行线判定问题中辅助线的作法．
知识回顾
平行线的判定方法有哪些？
1．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线．
2．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
3．同位角相等，两直线平行．
4．内错角相等，两直线平行．
5．同旁内角互补，两直线平行．
6．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
新知探究
类型一、平行线判定的灵活应用
1．如图，已知AC，BC分别是∠BAD，∠ABE的平分线，且∠1＋∠2＝90°．试说明：AD∥BE．
　　【师生活动】首先让学生独立完成，然后教师展示结果并讲解．
　　【答案】解：∵AC，BC分别是∠BAD，∠ABE的平分线，
　　∴∠1＝∠BAD，∠2＝∠ABE．
　　∵∠1＋∠2＝90°，
　　∴∠BAD＋∠ABE＝2(∠1＋∠2)＝180°．
　　∴AD∥BE．
　　【归纳】在判定两直线平行时，往往已知角并不是所需的同位角、内错角、同旁内角，这时要挖掘题目或图形中的其他条件，如角平分线、对顶角、邻补角等来进行转化．
2．如图，已知∠ADE＝60°，DF平分∠ADE，∠1＝30°．试说明：DF∥BE．
【答案】解：∵DF平分∠ADE，∠ADE＝60°，
∴∠EDF＝∠ADE＝30°．
∵∠1＝30°，
∴∠EDF＝∠1．
∴DF∥BE．
3．如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，∠1＝∠2，CD与EF平行吗？为什么？
【答案】解：CD∥EF．理由如下：
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°．
∴∠B＋∠D＝180°．
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
∵∠1＝∠2，
∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行）．
∴CD∥EF．
【设计意图】通过问题1，2，3，让学生掌握根据不同的题目类型，选取合适的判定方法判定两条直线平行．
类型二、平行线判定中辅助线的应用
4．如图，已知∠BED＝∠B＋∠D，试说明AB与CD的位置关系．
【师生活动】让学生尝试独立完成，教师提醒学生通过作辅助线解决问题．
【分析】本题要判断AB与CD的位置关系，由图可判断是平行关系，关键是通过作辅助线“搭桥”来严格说明．
【答案】解：如图，在∠BED内部作∠BEF＝∠B，则AB∥EF．
∵∠BED＝∠B＋∠D，∠BED＝∠BEF＋∠DEF，
∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF．
∴∠DEF＝∠D．
∴CD∥EF．
∴AB∥CD．
【归纳】添加辅助线（直线、射线或线段）是解决几何论证和计算问题的重要手段，它是连接已知与未知的“桥梁”．当题目中已有的图形不能够或不容易解决问题时，往往考虑添加辅助线，构造出一些基本的几何图形解决问题．
5．如图，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°，试判断AB与EF的位置关系，并说明理由．
【答案】解：如图，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE内部作∠NDE＝10°．
∵∠B＝25°，∠E＝10°，
∴∠B＝∠BCM，∠E＝∠NDE．
根据“内错角相等，两直线平行”知，AB∥CM，EF∥DN，
又∵∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，
∴∠DCM＝20°，∠CDN＝20°．
即∠DCM＝∠CDN．
∴DN∥CM．
又∵AB∥CM，EF∥DN，
∴AB∥EF．
【设计意图】通过问题4，5，让学生掌握平行线判定问题中辅助线的作法．
类型三、平行线判定的实际应用
6．一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的方向可能是（　　）．
A．先右转50°，后右转40°
B．先右转50°，后左转40°
C．先右转50°，后左转130°
D．先右转50°，后左转50°
【答案】D
【解析】汽车行驶的方向不变，即汽车拐弯前与两次拐弯后的行驶方向所在的直线互相平行．如图，先右转后左转的两个角是同位角，根据同位角相等，两直线平行，可知选项D正确．
【归纳】解答此类问题的关键在于先画出示意图，准确地找到拐角，将实际问题转化为数学问题，再利用平行线的几种判定方法进行判定．
7．如图，在海上有两个观测所A和B，且观测所B在A的正东方向．若在观测所A测得船M的航行方向是北偏东55°，在观测所B测得船N的航行方向也是北偏东55°，问：船M的航向AM与船N的航向BN是否平行？请说明理由．
【答案】解：航向AM与BN平行．理由如下：
∵船M的航行方向与船N的航行方向都是北偏东55°，
∴∠EAM＝∠FBN＝55°．
∴∠MAC＝∠NBC＝90°－55°＝35°．
∴AM∥BN（同位角相等，两直线平行）．
即船M的航向AM与船N的航向BN平行．
【归纳】题目中表示航行方向北偏东55°的两个角不是同位角，判定两直线平行时，必须先转化为同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，再判定．
【设计意图】通过问题6，7，让学生学会运用平行线的判定解决相关的实际问题．
课堂小结
课后任务
完成教材第19页习题7.2第6题、第7题．
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7.2　平行线（第4课时）
1．理解平行线的性质．
2．经历平行线性质的探究过程，从中体会研究几何图形的一般方法．
掌握平行线的性质．
平行线的性质的探究过程．
新课导入
利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？这就是下面要学行线的性质．
类似于研究平行线的判定，我们先来研究两条直线平行时，它们被第三条直线截得的同位角的关系．
【设计意图】复习上节课所学的平行线的三种判定方法，引入探究课题，有意识地让学生回顾上节课内容，为后面类比研究平行线判定的过程来构建平行线性质的研究过程作好铺垫．
新知探究
一、探究学习
【问题】画两条平行线a∥b，然后任意画一条截线c与这两条平行线相交，度量所形成的八个角的度数，把结果填入下表：
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4
度数
角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
【师生活动】学生独立画出图形，并对角度进行度量，完成表格．
【答案】画出图形如下：
完成表格：
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4
度数 120° 60° 120° 60°
角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数 120° 60° 120° 60°
【问题】在∠1，∠2，…，∠8中，哪些是同位角？它们的度数有什么关系？由此猜想两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系．
【师生活动】在学生探究过程中，教师关注学生对同位角的标记是否准确，能否正确对角度进行度量，并鼓励学生独立完成猜想．
【答案】同位角有：∠1和∠5，∠2和∠6，∠4和∠8，∠3和∠7．
每对同位角的度数都相等．
猜想：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
【追问】利用信息技术工具改变截线c的位置，同样度量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？
【师生活动】教师引导学生对前面的猜想进行验证．
【答案】画出图形，并标记出各角：
利用信息技术工具改变截线c的位置，得到截线d，各对同位角为：∠1′和∠5′，∠2′和∠6′，∠3′和∠7′，∠4′和∠8′．经度量，∠1′＝∠5′＝∠3′＝∠7′＝70°，∠2′＝∠6′＝∠4′＝∠8′＝110°．所以猜想成立．
【新知】用文字语言和符号语言分别概括发现的结论：
一般地，平行线具有如下性质．
性质1：两条 平行直线 被第三条直线所截， 同位角 相等．
简单说成：两直线平行， 同位角 相等．
符号语言：
∵AB∥CD，∴∠1＝∠2．
【动图】仔细观察下面的动图，巩固对平行线的性质1的掌握．
【设计意图】让学生充分经历动手操作，独立思考，合作交流，验证猜想的探究过程，并且在这一过程中，锻炼学生由图形语言转化为文字语言、文字语言转化为符号语言的归纳能力和表达能力，为后面学习平行线的其他性质打下基础．
【问题】上一节，我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”．类似地，你能由性质1，根据下图，推出两条平行直线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？
【师生活动】教师引导学生结合平行线的判定，作出猜想：∠1＝∠2．
【追问】怎样验证猜想？
【师生活动】教师给出要验证的问题：已知直线a∥b，c是截线．试说明∠1＝∠2．引导学生写出推理过程，并分析是否正确．
【答案】解：∵a∥b，
∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
又∵∠1＝∠3(对顶角相等)，
∴∠1＝∠2．
【追问】类比性质1，能用文字语言和符号语言分别对得出的结论进行表述吗？
【答案】性质2：两条 平行直线 被第三条直线所截， 内错角 相等．
简单说成：两直线平行， 内错角 相等．
符号语言：
∵AB∥CD，∴∠1＝∠2．
【动图】仔细观察下面的动图，巩固对平行线的性质2的掌握．
【设计意图】在教师的引导下逐步构建研究思路，循序渐进地引导学生思考，从“说理”向“简单推理”过渡．
【问题】由性质1或性质2，可以推出平行线关于同旁内角的什么性质？
【师生活动】教师引导学生结合图形及前面学习的性质1和性质2进行探究，并鼓励学生独立得到猜想：∠2＋∠4＝180°，并让学生把要说明的问题转化为数学语言：如图，已知直线a∥b，c是截线．试说明∠4＋∠2＝180°，然后完成解答．
【答案】解：∵a∥b，
∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
∵∠3＋∠4＝180°，
∴∠4＋∠2＝180°．
【追问】类比性质1，2，能用文字语言和符号语言分别对得出的结论进行表述吗？
【答案】性质3：两条 平行直线 被第三条直线所截， 同旁内角 互补．
简单说成：两直线平行， 同旁内角 互补．
符号语言：
∵AB∥CD，∴∠1＋∠2＝180°．
【动图】仔细观察下面的动图，巩固对平行线的性质3的掌握．
【总结】同位角相等、内错角相等、同旁内角互补都是平行线特有的性质，切不可忽略“两直线平行”这一前提条件．当两条直线不平行时，同位角、内错角就不相等，同旁内角也不互补．
【设计意图】逐步培养学生的推理能力，使学生初步养成言之有据的习惯，从而能进行简单的推理．
二、典例精讲
【例1】如图，直线l与直线a，b相交，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是多少？
【师生活动】教师引导学生用前面学过的平行线的三个性质解答本题．
【答案】解法一：
∵∠1与∠3互为邻补角，
∴∠3＝180°－∠1＝110°．
又∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝110°(两直线平行，内错角相等)．
解法二：
∵∠1与∠4互为邻补角，
∴∠4＝180°－∠1＝110°．
又∵a∥b，
∴∠2＝∠4＝110°(两直线平行，同位角相等)．
解法三：
∵∠1与∠5互为对顶角，
∴∠5＝∠1＝70°．
又∵a∥b，
∴∠2＝180°－∠5＝110°(两直线平行，同旁内角互补)．
【归纳】当题目的已知条件中出现两直线平行时，要考虑到平行线的性质，从而将直线的位置关系转化为角的数量关系．
应用平行线的性质解题时要辨析清楚“三线八角”，并将它们的关系记准确．
【设计意图】帮助学生巩固平行线的性质、及文字语言、符号语言、图形语言之间的相互转化，为今后进一步学习推理打下基础．
【例2】如图，已知∠1＝108°，∠2＝72°，∠3＝60°，试求∠4的度数．
【师生活动】学生独立解决，教师巡视纠错．
【答案】解：∵∠1＋∠2＝108°＋72°＝180°，
∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠4＝∠3＝60°(两直线平行，同位角相等)．
【归纳】几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某些“数量关系”有着内在联系．由角的相等或互补关系，得到两条直线平行的结论是判定方法；而由两条直线平行，得到角相等或互补关系的结论是平行线性质的应用．
【设计意图】考查学生是否掌握平行线的判定与性质之间的区别和联系，知道在涉及到相关角度或平行时如何入手解决．
课堂小结
课后任务
完成教材第17页练习第1题．
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7.2　平行线（第5课时）
1．能够灵活应用平行线的性质解决问题．
2．加深对平行线的三条性质的理解，提高分析问题、解决问题的能力．
掌握平行线的性质．
应用平行线的性质解决问题．
知识回顾
平行线的性质1： 两直线平行，同位角相等 ．
平行线的性质2： 两直线平行，内错角相等 ．
平行线的性质3： 两直线平行，同旁内角互补 ．
本节课，我们针对平行线的性质的应用，展开学习．
【设计意图】对上节课所学行线的性质进行复习回顾，为本节课题目的讲解提供理论依据．
新知探究
一、探究学习
【问题】1．如图，直线AB∥CD，OG是∠EOB的平分线，∠EFD＝70°，则∠BOG的度数是（　　）．
A．70° B．20° C．35° D．40°
【师生活动】学生独立分析题目，得到过程如下：
∵AB∥CD，
∴∠EOB＝∠EFD＝70°．
又∵OG平分∠EOB，
∴∠BOG＝∠EOB＝×70°＝35°．
【答案】C
【归纳】（1）在确定两角之间数量关系或求角度的问题中，如果有平行线，那么先考虑平行线的性质；
（2）利用平行线的性质求角的度数时，一定要弄清楚所求角与已知角的关系．
【问题】2．如图，CD⊥AB于点D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB于点E，∠1＝∠2，∠3＝62°，求∠BCA的度数．
【师生活动】教师引导学生对图形进行分析，找到角与角之间的对应关系，进行等量替换，通过平行线的性质与判定综合应用来解答本题．
【答案】解：∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴∠BEF＝∠BDC＝90°．
∴FE∥CD．
∴∠2＝∠BCD．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD．
∴DG∥BC．
∴∠BCA＝∠3＝62°．
【归纳】遇到平行线的条件时就要联想到角的相等或互补；遇到角的相等或互补时就要联想到两直线平行；遇到垂直的条件时就要联想到垂直的性质．
【问题】3．如图，AD是∠BAC的平分线，∠2＝∠3，试说明∠3＝∠G．
【答案】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2．
又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．
∴GE∥AD（内错角相等，两直线平行）．
∴∠2＝∠G（两直线平行，同位角相等）．
∴∠3＝∠G．
【归纳】平行线的性质与判定的选择：
（1）由角的关系得到平行，用的是平行线的判定．
（2）由两直线平行得到角的关系，用的是平行线的性质．
【问题】4．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，则∠1与∠2之间有什么数量关系？说明理由．
【答案】解：∠1＋∠2＝90°．理由如下：
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD．
∵AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°．
∴∠1＋∠2＝∠ABC＋∠BCD＝(∠ABC＋∠BCD)＝×180°＝90°．
【归纳】要确定两个角之间的数量关系，关键是看这两个角属于哪一类角，当角不是由两平行直线被第三条直线所截而形成的同位角、内错角或同旁内角时，一般要考虑这两个角与这三类角之间有无倍、分关系．
【设计意图】前面几道题目涉及到应用平行线的性质进行相关角度的计算，在解决该类问题时，一般要综合应用平行线的判定和性质，灵活求解．
【问题】5．如图，已知BE∥CF，∠1＝∠2，请判断直线AB与CD是否平行，并说明理由．
【师生活动】学生以组为单位，对图形进行分析，写出解题过程并组内纠错．
【答案】解：∵BE∥CF，
根据“两直线平行，内错角相等”，
得∠EBC＝∠BCF．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠EBC＝∠2＋∠BCF．
即∠ABC＝∠BCD．
根据“内错角相等，两直线平行”，得AB∥CD．
【问题】6．如图，已知AD∥BC，∠A＝∠C，试说明AB和CD的位置关系．
【答案】解：AB∥CD．理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠C＝∠CDE．
∵∠A＝∠C，
∴∠A＝∠CDE．
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
【归纳】在利用平行线的性质或判定时，一定要看清楚直线与角的位置关系，分清同位角、内错角、同旁内角是由哪两条直线被哪条直线所截而成的．
【设计意图】问题5和问题6主要应用平行线的性质判断边的位置关系，在解决该类问题时，要分清截线和被截线．
【问题】7．一块梯形铁片的残余部分如图所示，量得∠A＝100°，∠B＝115°，梯形的另外两个角∠D，∠C分别是多少度？
【师生活动】教师引导学生从梯形的特征去分析，知道两边平行就可以应用平行线的相关知识解决问题．
【答案】解：因为梯形上、下两底AB与DC互相平行，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠A与∠D互补，∠B与∠C互补．于是
∠D＝180°－∠A＝180°－100°＝80°，
∠C＝180°－∠B＝180°－115°＝65°．
所以梯形的另外两个角∠D，∠C分别是80°，65°．
【问题】8．如图，MN，EF表示两面互相平行的镜子，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经过镜面EF反射后的光线为CD，此时∠3＝∠4．试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
【答案】解：AB∥CD．理由如下：
∵MN∥EF，
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠3＝∠4，
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4．
∵∠1＋∠ABC＋∠2＝180°，∠3＋∠BCD＋∠4＝180°，
∴∠ABC＝∠BCD．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【归纳】实际问题一般要转化为数学问题解决，解决此类问题的关键是利用平行线的性质求有关角的度数．
【设计意图】问题7和问题8两题涉及到平行线的性质在实际生活中的应用，解决这类问题的关键是找出平行线，利用平行线的性质求出角的度数．
课堂小结
课后任务
完成教材第17页练习第2题、第3题．
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