2026年甘肃省定西市渭源县第一中学高三数学第五次模拟考试试卷（含答案）

2026年甘肃省定西市渭源县第一中学高三数学第五次模拟考试试卷
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则（ ）
A．12 B． C．20 D．
4．已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．9 B．27 C．36 D．45
5．已知椭圆:的右焦点为，上顶点为，直线交于另一点．若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，，则为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．已知，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线与平面.命题：在平面外，命题：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
二、多选题（每题6分，共18分）
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．若是正方体表面上的动点，且，则长度的最大值为3
B．四面体的体积为
C．平面截正方体所得截面的面积为
D．平面
11．已知是公比为的等比数列的前项和，若，，则（ ）
A． B． C． D．为定值
三、填空题（每题5分，共15分）
12．的展开式中，项的系数为 .（用数字作答）
13．已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则在上的最小值为 .
14．已知向量满足，则与的夹角为
四、解答题（5个小题，共77分）
15（13分）．在中，内角所对的边分别为，，为锐角.
(1)求；
(2)若，延长至，使得，，求的面积.
16（15分）．如图，是边长为4的正方形，平面，，且.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(3)线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.
17（15分）．在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间.这两个班级各有40名学生，均提供了有效的数据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图：
(1)已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据知，甲班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.05，乙班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.1，求甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生各多少人？
(2)从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较，的大小.（只需写出结论）
18（17分）．在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点.
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线：与椭圆交于不同的两点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若，求的值.
19（17分）．已知函数（是自然对数的底数）．
(1)求曲线在原点处的切线方程；
(2)若在内有两个极值点，求实数的取值范围；
(3)时，讨论关于的方程的根的个数．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B D C D D B ACD ACD
题号 11
答案 ACD
12．
13．/
14．/
15．【详解】（1）因为，由正弦定理，得
（*）.
又，所以，
代入（*），可得.
因为，所以，
所以，即.
因为，所以，
所以，即.
（2）在中，由正弦定理得①
在中，，
由正弦定理，②.
由①②可得，展开化简得，
因为，所以.
因为，所以.
所以.
16．【详解】（1）在上取点，使，连接，，如下图：
因为，即，且，故四边形是平行四边形，
则有且，因为是正方形，则有且，
故且，即四边形是平行四边形，则有，
因为平面，平面，故平面.
（2）由题意可设为原点，为轴建立空间直角坐标系，如下图：
则，
，
设平面的法向量，则有，
令，则，即，直线的方向向量为，
设直线与平面的夹角为，则有
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
（3）已知，平面的法向量，且，
设是线段上一点，由可设，
则，
点到平面的距离，
令，解得（舍）或，故存在满足条件的点，
则，故线段长.
17．【详解】（1）甲班每天学习时间不超过4小时的学生人数为人，
乙班每天学习时间不超过4小时的学生人数为人.
（2）两个班级每天学习时间不超过4小时的学生人数共有6人，记从乙班抽到的学生人数为，易得随机变量符合超几何分布，的取值为
则有，
则，，，
则分布列为：
1 2 3
0.2 0.6 0.2
则，即的数学期望为2.
（3）根据频率分布直方图，可以观察到甲班每天学习时间较为集中，乙班学习时间较为分散，故可得乙班数据波动较大，方差较大，则有.
18．【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为.
依题意可得，又，
所以，则.
故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率；
（2）（ⅰ）设，.
联立，整理得.
由，解得或.
即的取值范围为.
（ⅱ）由（ⅰ）可得，，，（*）
则.
因为，所以，
则得，
将（*）代入，可得.
解得，满足.
所以的值为.
19．【详解】（1）因为，所以，
故，
故曲线在点处的切线方程为，即；
（2）由（1）知，，
因为在内有两个极值点，所以 在内有两个不相等的实数根，
即在上有两个不相等的实数根．
设，则，
①当时，，
所以在上单调递增，不符合条件．
②当时，令得 ，
当，即时，，
所以在上单调递减，不符合条件；
当，即时，，
所以在上单调递增，不符合条件；
当，即时， 在上单调递减，上单调递增，
若要在上有两个不相等的正实根，则 ，解得．
综上所述，所以的取值范围为.
（3）由可得，，
设，
令，则，所以 在上单调递增，在上单调递减．
（ⅰ）当时，，则 ，所以．
因为，所以 ，因此在上单调递增．
（ⅱ）当时，，则 ，
所以．
因为，所以，即 ，
又， 所以，
因此 在上单调递减．
综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当时， ，
当，即 时，没有零点，故关于x的方程根的个数为0，
当，即 时，只有一个零点，故关于x的方程根的个数为1，
当，即 时，
①当时， ，要使，可令，即 ；
②当时，，要使 ，
可令，即，
所以，当时，有两个零点，故关于 x的方程根的个数为2，
综上所述：当时，关于 x的方程根的个数为0，
当时，关于x的方程根的个数为1，
当时，关于x的方程根的个数为2．
答案第1页，共2页
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