思维提升　培优点5　极点与极线 学案

培优点5　极点与极线
[考情分析]　“极点、极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点、极线是圆锥曲线的一种基本特征，蕴含了很多圆锥曲线的重要性质，自然成为命题人命题的背景知识和方向，掌握了极点、极线的相关知识，就可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质.
考点一　极点与极线
1.极点与极线的定义
过点P(x0，y0)的动直线交圆锥曲线于A，B两点，过A，B的切线交点的轨迹叫做点P关于圆锥曲线的极线，点P叫做相应于此极线的极点，简称极.
一个极点与其对应的极线称作一对配极元素，它们之间的关系称作一对配极关系.
2.极点、极线与圆锥曲线的位置关系
如图(1)，若极点P在圆锥曲线外，则相应的极线l与点P的切点弦重合，即相应的极线l是由点P向圆锥曲线所引的两条切线的切点弦所在直线，极线l与圆锥曲线有两个交点；
如图(2)，若极点P在圆锥曲线内，则极线l是圆锥曲线经过点P的弦的两端点处的两条切线交点的轨迹，此时，极线l与圆锥曲线相离，它们无交点；
如图(3)，若极点P在圆锥曲线上，则相应的极线l与在点P处的切线重合，即相应的极线l就是圆锥曲线在点P处的切线，极线l与圆锥曲线有唯一交点.
例1　 (多选)已知点P是异于原点的一点，则下列关于极线方程的说法中，正确的是(　　)
A.已知点P(x0，y0)和圆C：x2+y2=r2，则关于点P的极线方程为x0x+y0y=r2
B.已知点P(x0，y0)在椭圆+=1(a>b>0)外，则点P相应的极线方程为+=1
C.对于双曲线-=1，与点P(x0，y0)对应的极线方程为+=1
D.对于抛物线y2=2px，若点P，则对应的极线为抛物线的准线
答案　ABD
解析　对于A，点P与圆的位置关系有三种，不妨设点P(x0，y0)在圆C的外部，
两切点分别为T1(x1，y1)，T2(x2，y2)，
两条切线的方程分别为xix+yiy=r2(i=1，2)，
∵P(x0，y0)在切线上，∴x0x1+y0y1=r2，
x0x2+y0y2=r2，
∴T1(x1，y1)，T2(x2，y2)在直线x0x+y0y=r2上，由两点确定一条直线知直线T1T2的方程为x0x+y0y=r2，A正确；
对于B，极线l与椭圆相交，且为由点P向椭圆所引两条切线的切点弦所在直线，设两切点分别为
A(x1，y1)，B(x2，y2)，两条切线的方程分别为
lPA：+=1，lPB：+=1，
∵P(x0，y0)在切线上，∴
即点A(x1，y1)，B(x2，y2)均满足+=1，
故切点弦AB所在直线方程，即为点P相应的极线方程，为+=1，B正确；
对于C，证明方法同椭圆，可得极线方程为-=1，C错误；
对于D，由阿基米德三角形的性质可知D正确.
[规律方法]　(1)一般地，若圆M：(x-a)2+(y-b)2=r2，P(x0，y0)是圆外一点(极点)，则过点P(x0，y0)的圆M的切点弦(极线)的方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(2)从代数角度看，在圆锥曲线方程中，以x0x替换x2，以替换xy，以y0y替换y2，以替换x，以替换y即可得到点P(x0，y0)的极线方程.
(3)从几何角度看，如图，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E，F，G，H，连接EH，FG交于N，连接EG，FH并延长，延长线交于M，则直线MN为点P对应的极线.
若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.
由图同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M对应的极线.因而将△MNP称为自极三角形.
跟踪演练1　过椭圆C：+=1内一点M(3，2)，作直线AB与椭圆交于点A，B，作直线CD与椭圆交于点C，D，过A，B分别作椭圆的切线交于点P，过C，D分别作椭圆的切线交于点Q，求PQ所在的直线方程为　　　　.
答案　+=1
解析　方法一　由题意知直线PQ为点M关于椭圆C的极线，所以直线PQ的方程为+=1.
方法二　由题意设P(x1，y1)，Q(x2，y2).
则直线AB为点P关于椭圆C的极线，
其方程为+=1.
又M(3，2)在直线AB上，
所以+=1， ①
同理+=1， ②
由①②可得直线PQ的方程是+=1.
考点二　极点与极线的性质及应用
例2　设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，如图所示，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)，O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.
证明　当直线l的斜率为0时，易证∠OMA=∠OMB；
当直线l与x轴不重合时，设其方程为x=my+1，
A(x1，y1)，B(x2，y2).
联立
消去x得(m2+2)y2+2my-1=0.
易得Δ=8(m2+1)>0，所以y1+y2=，y1y2=-，
则kAM+kBM=+
=
=，
而x1y2+x2y1-2(y1+y2)
=(my1+1)y2+(my2+1)y1-2(y1+y2)
=2my1y2-(y1+y2)
=2m·-=0，
所以kAM+kBM=0，从而∠OMA=∠OMB.
综上所述，∠OMA=∠OMB.
[规律方法]　极点、极线的性质
(1)如图1，设点P关于圆锥曲线Γ的极线为l，过点P任作一割线交Γ于点A，B，交l于点Q，则=；反之，若=成立，则点P，Q调和分割线段AB，并且=+，=-.
(2)如图2，设点P关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O)的调和共轭点为点Q，PQ连线经过圆锥曲线的中心，则有OR2=OP·OQ，反之若有此式成立，则点Q为点P关于此圆锥曲线的调和共轭点.
(3)如图3，A，B为圆锥曲线Γ的一条对称轴l上的两点(不在Γ上)，若A，B关于Γ调和共轭，过点B任作Γ的一条割线，交Γ于P，Q两点，则∠PAB=∠QAB.
(4)如图4，已知点Q在圆锥曲线Γ的对称轴上，直线l垂直于该对称轴，过点Q作直线交Γ于点M，N，P为l上任意一点.若点Q与直线l是Γ的一对极点与极线，当对称轴是x轴时，kPM+kPN=2kPQ.
(5)如图5，已知点A是椭圆+=1(a>b>0)上任一点，极点P(t，0)(|t|(6)如图6，设圆锥曲线Γ的一个焦点为F，与F相应的准线为l.若过点F的直线与圆锥曲线Γ相交于M，N两点，则Γ在M，N两点处的切线的交点Q在准线l上，且FQ⊥MN；反之，若过准线l上一点Q作圆锥曲线Γ的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN过焦点F，且FQ⊥MN.
跟踪演练2　如图，过椭圆+x2=1的焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，A，B分别为椭圆的左、右顶点，直线AC与BD交于点Q.当点P异于A，B两点时，证明：·为定值.
证明　设直线 l的方程为y=kx+1(k≠0，k≠±1)，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，联立
消去y得(k2+2)x2+2kx-1=0，
易得Δ=8(k2+1)>0，
则
易知A(-1，0)，B(1，0)，
则直线AC的斜率kAC=，
其方程为y=(x+1)， ③
直线BD的斜率kBD=，
其方程为y=(x-1)， ④
由③÷④得=，
即==
=
=
==，
解得xQ=-k.易得P，
故·=xPxQ=-·(-k)=1，
即·为定值1.
专题强化练
[分值：30分]
1.(13分)如图，已知椭圆C：+y2=1的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，点P是椭圆C上异于顶点的动点，直线AD与直线BP交于点 M，直线 DP与x轴交于点N.证明：直线MN过定点，并求出该定点.
证明　由题意可得D(0，1)，B(2，0)，A(-2，0)，
设直线BP的方程为x=my+2(m≠0，m≠±2).
联立
消去x得(m2+4)y2+4my=0，
解得y=0或y=-，
所以yP=-，
从而xP=myP+2=，
故P，
所以直线DP的斜率kDP===，
故直线DP的方程为y=x+1，
令y=0，解得x==，
所以N，
又直线AD的方程为+=1，即x-2y+2=0，
联立解得
所以M.
所以直线MN的斜率
kMN==，
所以直线MN的方程为y=，
整理得m(x-4y+2)+2x-4=0，
由解得
所以直线MN过定点(2，1).
2.(17分)设抛物线C：y=x2的焦点为F，动点P在直线l：x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA，PB，且与抛物线C分别相切于A，B两点.
(1)求△APB的重心G的轨迹方程；(7分)
(2)证明：∠PFA=∠PFB.(10分)
(1)解　设切点A，B坐标分别为(x0，)和(x1，) (x1≠x0)，
所以切线AP的方程为2x0x-y-=0，切线BP的方程为2x1x-y-=0，
由于P既在AP上，又在BP上，
所以
解得P，
所以△APB的重心G的横坐标
xG==xP，
yG==
==，
所以yP=-3yG+4，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为
x-(-3y+4x2)-2=0，即y=(4x2-x+2).
(2)证明　方法一　因为F，
=，
=，
=.
由于P点在抛物线外，则||≠0.
所以cos∠PFA=
=
=，
同理有cos∠PFB=
=
=，故∠PFA=∠PFB.
方法二　①当x1x0=0时，由于x1≠x0，
不妨设x0=0，则A(0，0)，
所以P点坐标为，
则P点到直线AF的距离为d1=，
而直线BF的方程为y-=x，
即x-x1y+x1=0.
所以P点到直线BF的距离为
d2===，
所以d1=d2，即得∠PFA=∠PFB.
②当x1x0≠0时，直线AF的方程为
y-=x，
即x-x0y+x0=0，
直线BF的方程为y-=x，
即x-x1y+x1=0，
所以P点到直线AF的距离为
d3=
==，
同理可得P点到直线BF的距离d4=，
因此由d3=d4，可得到∠PFA=∠PFB.
综上，∠PFA=∠PFB.