思维提升　培优点6　阿基米德三角形与蒙日圆 学案

培优点6　阿基米德三角形与蒙日圆
[考情分析]　在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及蒙日圆与阿基米德三角形，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档.
考点一　阿基米德三角形
　　过圆锥曲线上任意两点A，B分别作两条切线相交于点P，则称△PAB为阿基米德三角形.其中∠P为顶角，AB为底边，当AB过圆锥曲线的焦点时，△PAB叫作焦点阿基米德三角形.图中的△PAB分别为椭圆、双曲线、抛物线的阿基米德三角形.
例1　(1)过抛物线x2=2py(p>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为　　　　　.
答案　x0x=p(y+y0)
解析　y=，y'=，由导数的几何意义得所求切线的斜率k=，
∴所求的切线方程为y-y0=(x-x0)，
即x0x=+py-py0，又=2py0，
∴过抛物线x2=2py(p>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x=p(y+y0).
(2)(多选)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，在两点处的切线相交于点Q，则下列说法中正确的是(　　)
A.当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆
B.若M为弦AB的中点，则MQ与x轴平行(或重合)
C.若弦AB过抛物线的焦点，则点Q在抛物线的准线上
D.若阿基米德三角形的底边AB过焦点，M为弦AB的中点，则该三角形的面积最小值为2p
答案　ABC
解析　对于A，由蒙日圆的定义知A正确；
对于B，过A的切线方程为y1y=p(x+x1)，
过B的切线方程为y2y=p(x+x2)，
联立方程
解得两切线交点Q，
又M，
∴MQ与x轴平行(或重合)，B正确；
对于C，设Q(x0，y0)，
则直线AB的方程为y0y=p(x+x0)，
又直线AB经过焦点F，
∴0=p，∴x0=-，C正确；
对于D，若底边AB过焦点，则Q点的轨迹方程是x=-，此时y1y2=-p2，易验证kQA·kQB=-1，即QA⊥QB，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q为直角顶点，
∴|QM|=+=+≥+=p，
由B项分析可知，MQ与x轴平行(或重合)，
∴S△QAB=|QM||y1-y2|≥|QM|·≥p2，当且仅当y1=-y2时，等号成立，
∴阿基米德三角形面积的最小值为p2，D错误.
[规律方法]　抛物线y2=2px(p>0)的阿基米德三角形的常见性质
性质1　阿基米德三角形底边上的中线MQ平行(或重合)于抛物线的对称轴.
性质2　底边长为a的阿基米德三角形的面积最大值为.
性质3　抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹.
性质4　如果阿基米德三角形的底边AB过抛物线内定点C(xc，yc)，那么顶点Q的轨迹方程为ycy=p(x+xc).
推论　如果阿基米德三角形的底边AB过焦点，那么点Q的轨迹为抛物线的准线，且QA⊥QB.
性质5　阿基米德三角形底边上的中线QM的中点P在抛物线上，且点P处的切线与底边AB平行.
性质6　在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB.
性质7　在阿基米德三角形中，|AF|·|BF|=|QF|2.
跟踪演练1　若直线l与抛物线y2=2px(p>0)没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点，若直线l方程为ax+by+c=0，则定点的坐标为　　　　　.
答案　
解析　由题意知a≠0，任取直线l：ax+by+c=0上的一点Q(x0，y0)，则ax0+by0+c=0，当b≠0时，y0=-x0-， ①
过点Q作抛物线y2=2px的两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在的直线方程为y0y=p(x0+x)，把①式代入可得y=p(x0+x)，
即x0=px+y，
令-y-p=0且px+y=0，
可得弦AB所在的直线过定点.
当b=0时，x0=-，则弦AB所在的直线方程为y0y=p，
将，即代入，方程成立.
综上，定点的坐标为.
考点二　蒙日圆
　　椭圆的蒙日圆的定义：椭圆+=1(a>b>0)的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆x2+y2=a2+b2，这个圆称为椭圆的蒙日圆，也称为椭圆的外准圆.
例2　(1)已知椭圆M的方程为+y2=1，过平面内椭圆M外的点P作椭圆M的两条互相垂直的切线，则点P的轨迹方程为(　　)
A.x2+y2=5 B.x2+y2=4
C.x2+y2=3 D.x2+y2=
答案　A
解析　设点P(x0，y0)，当切线斜率存在且不为0时，x0≠±2，y0≠±1，
设切线方程为y-y0=k(x-x0)，
联立
消去y得(4k2+1)x2+8(y0-kx0)kx+4(y0-kx0)2-4=0，
则Δ=64k2(y0-kx0)2-4×(4k2+1)[4(y0-kx0)2-4]=0，即(4-)k2+2x0y0k+1-=0，两切线垂直，故其斜率之积为-1，则由根与系数的关系知=-1，即+=5.
当切线斜率不存在或为0时，此时点P坐标为(2，1)，(-2，1)，(-2，-1)，(2，-1)，满足方程+=5，故所求轨迹方程为x2+y2=5.
(2)(多选)已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长为4，离心率为e=，P为蒙日圆上任一点，则以下说法正确的是(　　)
A.过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，则有PA⊥PB
B.过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点，则kOP·kAB=-
C.过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则S△APB的取值范围为
D.过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则S△AOB的最大值为
答案　ACD
解析　由题意知椭圆C：+=1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为e=，
故a=2，=，所以c=1，b2=a2-c2=3，则椭圆方程为+=1，“蒙日圆”的方程为x2+y2=7.
对于A，由蒙日圆的定义知
PA⊥PB，A正确；
对于B，设A(x2，y2)，B(x3，y3)，则PA的方程为+=1，
PB的方程为+=1，
两切线过点P(x1，y1)，故+=1，
+=1，
即点A，B在直线+=1上，因为两点确定一条直线，
故直线AB的方程为+=1，则kAB=-，
而kOP=，故kOP·kAB=-，B错误；
对于C，由于直线AB的方程为+=1，联立+=1，
得(3+4)x2-24x1x+48-16=0，
Δ=(24x1)2-4(3+4)(48-16)
=64(3+4-12)>0，
则x2+x3=，x2x3=，
故|AB|=·
=×
=，
又点P到直线AB的距离d1=，
故S△APB=|AB|d1
=·
=，
又+=7，故令t==，t∈[3，4]，则S△APB==，
令f(t)=+，显然f(t)在[3，4]上单调递减，
故y=在[3，4]上单调递增，
则(S△APB)min==，
(S△APB)max==，
即S△APB的取值范围为，C正确；
对于D，由C的分析可知
|AB|=，
而点O到直线AB的距离d2=，
故S△AOB=|AB|d2
=·
=，
又+=7，
故令t==，t∈[3，4]，
则S△AOB==，
而t+≥2=4，当且仅当t=，
即t=2∈[3，4]时，等号成立，
故S△AOB=≤=，
即S△AOB的最大值为，D正确.
[规律方法]　(1)设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆+=1(a>b>0)的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点.
性质1　PA⊥PB.
性质2　kOP·kAB=-.
性质3　kOA·kPA=-，kOB·kPB=-(垂径定理的推广).
性质4　PO平分椭圆的切点弦AB.
性质5　延长PA，PB分别交蒙日圆O于两点C，D，则CD∥AB.
性质6　S△AOB的最大值为，S△AOB的最小值为.
性质7　S△APB的最大值为，S△APB的最小值为.
(2)蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广
双曲线-=1(a>b>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是蒙日圆：x2+y2=a2-b2(只有当a>b时才有蒙日圆).
(3)抛物线y2=2px(p>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是该抛物线的准线：x=-(可以看作半径无穷大的圆).
跟踪演练2　(多选)已知椭圆C：+=1，O为原点，则下列说法中正确的是(　　)
A.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=9
B.过直线l：x+2y-3=0上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，当∠MPN为直角时，直线OP的斜率为-
C.若P为蒙日圆上一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，则PO平分椭圆的切点弦MN
D.若P为蒙日圆上一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，且O，P到MN的距离分别为d1，d2，则d1d2=
答案　ACD
解析　对于A，椭圆C：+=1的蒙日圆方程为x2+y2=9，A正确；
对于B，依题意，点P是直线l与蒙日圆的交点，则
解得P或P(3，0)，
直线OP的斜率为-或0，B错误；
对于C，设P点坐标为(x0，y0)，
直线OP斜率kOP=，
由切点弦公式得到MN的方程为+=1，kMN=-，kOP·kMN=-，
由点差法可知，PO平分MN，C正确；
对于D，设P(cos θ，sin θ)，
则直线MN的方程为xb2cos θ+
ya2sin θ-a2b2=0，
则原点O到直线MN的距离
d1=，
则点P到直线MN的距离
d2=
=
=，
故d1d2==，D正确.
专题强化练
[分值：30分]
1.(13分)如图，过圆 M：x2+(y+4)2=1上一点P作抛物线C：x2=4y的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求△PAB面积的最大值.
解　设 P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则切线PA的方程为 y-y1=(x-x1)，
切线PB的方程为 y-y2=(x-x2)，
将点P(x0，y0)分别代入直线方程中，
可得
所以直线AB的方程为x0x-2(y+y0)=0.
联立
可得x2-2x0x+4y0=0，Δ=4-16y0>0，
则x1+x2=2x0，x1x2=4y0，
所以|AB|=·
=.
设点P到直线AB的距离为d，则d=，
所以S△PAB=|AB|·d=.
由于点P在圆M上，则=--8y0-15，
代入上式得S△PAB=，y0∈[-5，-3]，所以当 y0=-5时， △PAB面积的最大值为 20.
2.(17分)如图，已知椭圆C：+=1，圆E：x2+y2=7，过圆E上的任一点M作椭圆C的一条切线MA，A为切点，延长MA与圆E交于点D，O为坐标原点.若直线OM，OD的斜率存在，且分别为k1，k2，证明：k1·k2为定值.
证明　当切线MA 的斜率存在且不为零时，
设切线MA的方程为y=kx+m(k≠0).
由
消去y得(3+4k2)x2+8mkx+4m2-12=0，
所以Δ=64m2k2-4(3+4k2)(4m2-12)=0，
即m2=3+4k2.由
消去y得(1+k2)x2+2mkx+m2-7=0，
所以Δ=4m2k2-4(1+k2)(m2-7)=16+12k2>0，
设M(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1+x2=，x1x2=，
所以k1·k2=
=
=
=
=.
因为m2=3+4k2，
所以k1·k2===-；
当切线MA的斜率不存在或为零时，易得k1·k2=-成立.综上，k1·k2为定值-.