思维提升　培优点7　定比点差法策略 学案

培优点7　定比点差法策略
[考情分析]　对于圆锥曲线中的中点弦问题，可以考虑用点差法来简化运算.在题目中出现其他分点弦的有关问题时，通常使用设线法转化成坐标的比来处理，但运算量较大，这时借助于定比点差法来处理可以减少运算量.
考点一　定比点差法的理解
　　一般地，若=λ，则称点P为点A，B的λ定比分点.若λ>0，则点P在线段AB上，此时称点P为内分点；若λ<0，则点P在线段AB的延长线上，此时称点P为外分点.
　　若O为坐标原点，=λ(λ≠-1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P，=.
例1　如图，已知椭圆C：+=1，直线l过点P且与椭圆交于点A，B.若P(2，0)，=2，求直线l的方程.
解　设A(x1，y1)，B(x2，y2).由=2，
可得(2-x1，0-y1)=2(x2-2，y2-0)，
则x1+2x2=6，y1+2y2=0，
且即
上式作差可得，(x1+2x2)(x1-2x2)+4(y1+2y2)(y1-2y2)=-48，所以6(x1-2x2)=-48，
即x1-2x2=-8，又因为x1+2x2=6，
解得x1=-1，y1=±，
所以直线l的斜率k==±，
所以直线l的方程为y=k(x-2)，即x-6y-2=0或x+6y-2=0.
[规律方法]　定比点差法是在原来的点差法的基础上两边乘以一个系数λ2，式子的左边出现了“x1+λx2，y1+λy2”，这与定比分点坐标公式相似.当λ=1时，定比点差法即为点差法.
跟踪演练1　已知F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，且=2，求点A的坐标.
解　如图，延长AF1交椭圆于点C，由对称性，得=，
则=2.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，
则F1.
又F1(-1，0)，所以
由点A，C在椭圆上，得
则1-4=+，
所以+=-3，即=-3，所以x1-2x2=4，
联立解得x1=，
所以y1=±，则A.
考点二　定比点差法的应用
例2　已知椭圆C：+=1(a>b，0(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于点P，设=λ1，=λ2，λ1，λ2≠-1，试判断λ1+λ2是否为定值？请说明理由.
解　(1)设椭圆C的焦距为2c，因为△MF1F2的周长为6，面积为，所以可得a=3-c，
所以2[(3-c)2-c2]c=3(3-c)，解得c=1或c=，
当c=时，a=，b==>2，不满足题意；
当c=1时，a=2，b==<2，满足题意，
所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，P(0，m)，根据定比分点公式可得
xA==，
yA==，
xB==，yB==，
由于点A，B均在椭圆上，
则
两式相减得=(2+λ1+λ2)(λ1-λ2)，
由于λ1-λ2≠0，所以λ1+λ2为定值-.
[规律方法]　对于过坐标轴上的定点(m，0)或(0，m)的直线和圆锥曲线相交，一般都可以尝试利用定比点差法进行求解，而且会比常规使用根与系数的关系来求解简洁很多.对于定比点差法中，x1，x2，λ只需要知道其中一个量就可以求解另外两个量.
跟踪演练2　设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点P(0，4)的动直线l与抛物线C交于A，B两点，当F在l上时，直线l的斜率为-2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)在线段AB上取点D，满足=λ，=λ，λ≠±1，证明：点D总在定直线上.
(1)解　由题意可得F，则=-2，
解得p=4，故抛物线C的方程为y2=8x.
(2)证明　设A(x1， y1)， B(x2， y2)，
由=-λ，得P，
由=λ，得D，
联立
①-②得-λ2=4(x1+x1-λ2x2-λ2x2)，
即(y1+λy2)(y1-λy2)=4(x1+λx2+x1-λx2+λx1-λ2x2-λx1-λ2x2)=4[(x1+λx2)(1-λ)+(x1-λx2)(1+λ)]，
所以
=+=4，
则yDyP=4(xD+xP)，
即 4yD=4(xD+0) yD=xD，
故点D总在定直线y=x上.
专题强化练
[分值：30分]
1.(13分)如图，已知过点Q(0，1)的直线与双曲线-y2=1交于A，B两点，与x轴交于点P.若=λ(λ≠-1)，=μ(μ≠-1)，求证：λ+μ为定值.
证明　设P(x0，0)，由=λ，=μ，
可得A，B.
由点A，B在双曲线上，得
即
两式相减得-3λ2+3μ2=3(1+λ)2-3(1+μ)2，化简得(λ-μ)(λ+μ+1)=0，又λ≠μ，解得λ+μ=-1，故λ+μ为定值-1.
2.(17分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率e=，且经过点，点F1，F2为椭圆C的左、右焦点.
(1)求椭圆C的方程；(5分)
(2)过点F1分别作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1与椭圆交于不同两点A，B，l2与直线x=1交于点P.若=λ(λ≠±1)，且点Q满足=λ，求△PQF1面积的最小值.(12分)
解　(1)由e==，得2c=a，
因为a2=b2+c2，所以b2=3c2，
又点在椭圆C上，
则+=1，+=1，
解得c2=1，则a2=4，b2=3，
故椭圆C的方程为+=1.
(2)设A(x1，y1)， B(x2，y2)，
因为=λ，=-λ，
所以F1，
Q.
因为A，B在椭圆上，
所以
由①-②得，
+=1，
即+=1，
又F1(-1，0)，则=-1，=0，所以xQ=-4.
设∠AF1F2=θ，所以|F1P|=，|F1Q|=，
所以=××=≥6，
所以△PQF1面积的最小值为6.