思维提升　培优点8　非对称问题处理策略 学案

培优点8　非对称问题处理策略
[考情分析]　在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x或y，得到一个一元二次方程，往往能够利用韦达定理来快速处理|x1-x2|，+，+之类的结构，但在有些问题中，我们会遇到涉及x1，x2的不同系数的代数式的运算，比如，或λx1+μx2之类的结构，我们把这种系数不对等的结构，称为“非对称韦达结构”.
考点一　两根之比型
例1　设椭圆C：+=1(a>b>0)的左焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，=2，求椭圆C的离心率.
解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知y1>0，y2<0，
因为=2，所以-y1=2y2，
设直线l的方程为y=(x+c)，
其中c=，联立
消去x得(3a2+b2)y2-2b2cy-3b4=0，
Δ=(-2b2c)2-4(3a2+b2)(-3b4)=48a2b4>0，
方法一　解得y1=，
y2=，因为-y1=2y2，
即-=2·，
则-c-2a=2c-4a，即2a=3c，
所以离心率e==.
方法二　非对称处理手法1(倒数相加法)：
由根与系数的关系得y1+y2=，y1y2=，因为y1=-2y2，即=-2，
所以=++2=-2-+2=-，
即-=-，
整理得8c2=3a2+b2，即9c2=4a2，
所以离心率e==.
方法三　非对称处理手法2：
由y1=-2y2，得
则==-.
将代入上式得，
=-，即·=-，
整理得8c2=3a2+b2，故离心率e=.
方法四　非对称处理手法3(消元法)：
将y1=-2y2代入
得
消去y2得，2=，
整理得5a2=9b2，则e==.
[规律方法]　比值型问题适用于x1=λx2型，可以采用倒数相加法，但有时得到的可能不是这种形式，而是x1=λx2+k的形式，此时采用待定系数法，例如x1=-3x2+4，可以转化x1-1=-3(x2-1)，得到=-3，继续采用倒数相加法解决.
跟踪演练1　如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，经过点F的直线l交抛物线于A，B两点，=3，求直线l的斜率.
解　易知F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l的方程为x=my+1，
联立消去x得，y2-4my-4=0，
由根与系数的关系，得y1+y2=4m，y1y2=-4.
因为=3，所以(x1-1，y1)=3(1-x2，-y2)，
所以y1=-3y2，即 =-3.
+==
==-4m2-2.
又=-3，则+=-3-=-，
所以-4m2-2=-，解得m=±.
所以直线l的斜率为=±.
考点二　分式上下不对称型
例2　如图，设F为椭圆C：+y2=1的右焦点，过点(2，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点.
(1)若点B为椭圆C的上顶点，求直线AF的方程；
(2)设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2(k2≠0)，求证：为定值.
(1)解　直线AB的方程为+y=1，
即y=-+1，联立
得x2-x=0，解得x=0或x=，
所以A，而F(1，0)，所以kAF=1，
故直线AF的方程为y=x-1.
(2)证明　设直线AB的方程为x=my+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
得(m2+2)y2+4my+2=0，
则Δ=(4m)2-4×2(m2+2)=8m2-16>0，m2>2，
可得y1+y2=-，y1y2=.(*)
又F(1，0)，则===，
方法一　非对称处理手法1(y1y2转化为y1+y2)：
由(*)两式相除，可得 y1+y2=-2my1y2，
所以my1y2=-，
所以====-1.
方法二　非对称处理手法2(y1，y2保留y1)：
==
===-1.
方法三　非对称处理手法3(y1，y2保留y2)：
==
===-1.
方法四　由求根公式得y=，
不妨设y1=，
y2=，
则==
=
==-1.
[规律方法]　非对称结构的常规处理方法有和积转换、配凑、求根公式(暴力法)、曲线方程代换、第三定义等方法，将其转化为对称结构计算.
跟踪演练2　双曲线C：-=1(a>0，b>0)上一点D(6，)到左、右焦点的距离之差为6.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知A(-3，0)，B(3，0)，过点(5，0)的直线l与C交于M，N(异于A，B)两点，直线MA与NB交于点P，试问点P到直线x=-2的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
解　(1)依题意可得
解得故双曲线C的方程为-y2=1.
(2)由题意可得直线l的斜率不为0，设直线l的方程为
x=my+5，
联立
消去x，得(m2-9)y2+10my+16=0，
则m2-9≠0，Δ=(10m)2-4×16(m2-9)
=36(m2+16)>0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1+y2=，y1y2=，
又A(-3，0)，B(3，0)，
直线AM：y=(x+3)，
直线BN：y=(x-3)，
联立
两式相除，得==
==
===-4，
即=-4，解得x=，
所以点P在定直线x=上，
因为直线x=与直线x=-2之间的距离为+2=，所以点P到直线x=-2的距离为定值，且定值为.
专题强化练
[分值：30分]
1.(13分)如图，已知抛物线C：y2=4x，经过定点P(2，1)的直线l交抛物线C于A，B两点，且=7，求直线l的斜率.
解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l的方程为x-2=m(y-1)，
联立直线与抛物线方程，消去x得，
y2-4my+4m-8=0，
所以y1+y2=4m，y1y2=4m-8.
由=7，得(x2-2，y2-1)=7(2-x1，1-y1)，
所以y2-1=7-7y1，即 y2=-7y1+8.
设y2+u=-7(y1+u)，则y2=-7y1-8u，所以u=-1，
所以=-7，
所以+==-2，
代入根与系数的关系，得-=-7-，
化简得m2-m-2=0，解得m=-1或m=2.
所以直线l的斜率为-1或.
2.(17分)如图，已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，点A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，点F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.过点F2任作一条不与y轴垂直的直线与椭圆C交于M，N两点，△MNF1的周长为8.
(1)求椭圆C的方程；(5分)
(2)若直线A1M，A2N交于点D，试判断点 D 是否在某条定直线x=t上，若是，求出t的值；若不是，请说明理由.(12分)
解　(1)由△MNF1的周长为8，得
4a=8，即a=2，
由离心率e==，可得c=1，则b2=a2-c2=3，
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)方法一　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
直线MN的方程为x=λy+1.
联立得(3λ2+4)y2+6λy-9=0，
则y1+y2=-，
y1y2=-.
由题意可知，直线A1M：y=(x+2)，
直线A2N：y=(x-2)，
联立两直线方程，解得x=，
所以x-4=-4
===0，
即x=4.
综上所述，直线A1M，A2N的交点D 恒在定直线x=4上.
方法二　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x=λy+1，
联立得(3λ2+4)y2+6λy-9=0，
则y1+y2=-，
y1y2=-，
联立直线A1M，A2N的方程，得
(x+2)=(x-2)，
则=·.
又+=1，即=，
则=-·，
故=-··
=-·
=-·
=-·
=-·=3，
解得x=4，
故直线A1M，A2N的交点D恒在定直线 x=4上.
方法三　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x=λy+1，
可知直线A1M：y=(x+2)，
直线A2N：y=(x-2).
联立两直线方程，得x=.
联立得(3λ2+4)y2+6λy-9=0，
则y1+y2=-，
y1y2=-，
两式相除，得 =，
则λy1y2= ，
所以x=
=
==4，
综上，直线A1M，A2N的交点 D 恒在定直线x=4上.