思维提升　培优点9　齐次化在圆锥曲线中的应用 学案

培优点9　齐次化在圆锥曲线中的应用
[考情分析]　圆锥曲线中的定点、定值、弦长、面积等许多问题都可以转化为斜率问题，当解圆锥曲线问题遇到斜率之和或斜率之积时，如果采用齐次化解决，会使题目计算量大大减少.
考点一　常数代换+齐次化
例1　如图，已知抛物线y2=4x，直线l交抛物线于A，B两点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点.
证明　设直线AB的方程为mx+ny=1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得y2-4mx2-4nxy=0，
上式两边同时除以x2，得-4n-4m=0，
则Δ=16n2+16m>0，
因为kOAkOB=·=-1，
则由根与系数的关系得-4m=-1，解得m=，
故直线AB：x+ny=1，过定点(4，0).
[规律方法]　齐次化在圆锥曲线中的应用步骤
(1)设直线与圆锥曲线相交于两点A(x1，y1)和B(x2，y2).
(2)联立直线和圆锥曲线的方程，得出齐次方程.
(3)利用根与系数的关系，得到斜率之和或斜率之积的表达式.(目的)
通过齐次化处理，将复杂的表达式转化为简单的代数形式，从而简化计算.(效果)
跟踪演练1　如图，已知不过原点的动直线l交椭圆+=1于A，B两点，直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求证：直线l的斜率为定值.
证明　设直线l的方程为mx+ny=1，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
得(12n2-4)+24mn+12m2-3=0，
则12n2-4≠0，Δ>0，
于是kOAkOB=·=，
又kAB=-，直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，所以=，
解得kAB=-=±，
故直线l的斜率为定值.
考点二　平移变换+齐次化
例2　如图，已知抛物线y2=4x，P(1，2)，直线l交抛物线于A，B两点，PA⊥PB，求证：直线l过定点.
证明　将图形向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，使点P位于坐标原点，如图，
平移后的抛物线方程为(y+2)2=4(x+1)，
整理得y2+4y-4x=0，
设平移后直线A'B'的方程为mx+ny=1，A'(x1，y1)，B'(x2，y2)，
联立
得(1+4n)+(4m-4n)-4m=0，
则1+4n≠0，Δ>0，
于是kP'A'kP'B'=·==-1，
整理得4m-4n=1，
所以直线A'B'：mx+ny=1过定点(4，-4)，将其向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
得直线l过定点(5，-2).
[规律方法]　齐次化方法一般应用于：
(1)题设条件中满足三个点都在圆锥曲线上，其中一个点为定点.
(2)定点与两个动点连线的斜率之和或斜率之积有关系.
跟踪演练2　如图，已知椭圆+=1，点P在椭圆上，A，B为椭圆上两点，kPA+kPB=0.求证：直线AB的斜率为定值.
证明　将图形向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度，使点P位于坐标原点(图略)，则平移后的椭圆方程为+=1，
整理得4y2+3x2+6x+12y=0，
设平移后的点P，A，B为P'，A'，B'，直线A'B'的方程为mx+ny=1，A'(x1，y1)，B'(x2，y2)，P'(0，0)，
联立
得(12n+4)y2+6(2m+n)xy+(6m+3)x2=0，
上式两边同时除以x2，得(12n+4)+6(2m+n)+6m+3=0，
则12n+4≠0，Δ>0，
则kP'A'+kP'B'=+==0，
所以2m+n=0，
故kA'B'=kAB=-=，
故直线AB的斜率为定值.
专题强化练
[分值：30分]
1.(13分)如图，已知双曲线-=1，P(2，0)，A，B为双曲线上两点，且kPA+kPB=0.AB不与x轴垂直，求证：直线AB过定点.
证明　将图形向左平移2个单位长度，使点P位于坐标原点(图略)，则平移后的双曲线方程为-=1，
整理得y2-x2-4x-2=0，
设平移后的点P，A，B为P'，A'，B'，直线A'B'的方程为mx+ny=1，A'(x1，y1)，B'(x2，y2)，P'(0，0)，
联立
得(1-2n2)y2-(4n+4mn)xy-(2m2+4m+1)x2=0，
上式两边同时除以x2，得(1-2n2)-(4n+4mn)-(2m2+4m+1)=0，
则1-2n2≠0，Δ>0，
则kP'A'+kP'B'=+==0，
所以4n+4mn=4n(m+1)=0，
解得n=0或m=-1，
又直线AB不与x轴垂直，则n≠0，
所以m=-1，故直线A'B'：-x+ny=1，过定点(-1，0)，将其向右平移2个单位长度，故直线AB过定点(1，0).
2.(17分)如图，椭圆E：+=1(a>b>0)经过点A(0，-1)，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；(5分)
(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ斜率之和为2.(12分)
(1)解　由题设知，=，b=1，
结合a2=b2+c2，解得a=，所以椭圆E的方程为+y2=1.
(2)证明　将图形向上平移1个单位长度，使点A位于坐标原点(图略)，则平移后的椭圆的方程为+(y-1)2=1，
设平移后的点P，Q为P'，Q'，直线P'Q'的方程为mx+ny=1，P'(x1，y1)，Q'(x2，y2)，
联立
得2y2+x2-4y(mx+ny)=0，
即(-4n+2)y2-4mxy+x2=0，
因为x≠0，上式两边同时除以x2，
得(-4n+2)-4m·+1=0，则-4n+2≠0，Δ>0，则+=，
易得直线mx+ny=1过点(1，2)，得m+2n=1，即m=1-2n，
故kAP+kAQ====2.