思维提升　培优点10　抽象函数的性质 学案

培优点10　抽象函数的性质
[考情分析]　抽象函数问题是近几年高考的热点问题，考查数学素养和创新思维.抽象函数问题是指没有给出具体的解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊的关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.
考点一　抽象函数的奇偶性、周期性与对称性
例1　(多选)(2025·海口模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(2+x)+f(2-x)=6，函数F(x)=f(1+x)-(1+x)为偶函数，则(　　)
A.函数f(x)图象的一个对称中心为(2，3)
B.f(0)=2
C.函数f(x)为周期函数，且一个周期为4
D.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=14
答案　AD
解析　对于A，由f(2+x)+f(2-x)=6知函数f(x)图象的一个对称中心为(2，3)，故A正确；
对于B，因为函数f(x)的图象关于点(2，3)对称，则f(2)=3，
由函数F(x)=f(1+x)-(1+x)为偶函数，故f(1+x)-(1+x)=f(1-x)-(1-x)，即f(1+x)=f(1-x)+2x，
令x=-1，则f(0)=f(2)-2=3-2=1，故B错误；
对于C，由函数f(x)图象的一个对称中心为(2，3)，f(0)=1，则f(4)=5，即f(0)≠f(4)，故函数f(x)的周期不是4，故C错误；
对于D，由f(2+x)+f(2-x)=6，令x=1，有f(3)+f(1)=6，
又f(2)=3，f(4)=5，故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=14，故D正确.
[规律方法]　函数性质的综合问题经常利用函数的奇偶性、对称性、周期性中的两个性质去推导第三个性质，再将3个性质综合运用即可实现问题求解.
跟踪演练1　已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)+f(x-1)=2，f(x+2)为偶函数，若f(0)=2，则f(k)等于(　　)
A.116 B.115 C.114 D.113
答案　C
解析　由f(x+1)+f(x-1)=2，
得f(x+2)+f(x)=2，即f(x+2)=2-f(x)，
所以f(x+4)=2-f(x+2)=2-[2-f(x)]=f(x)，
所以函数f(x)的周期为4，
又f(x+2)为偶函数，
则f(x+2)=f(-x+2)，
所以f(x)=f(4-x)=f(-x)，
所以函数f(x)也为偶函数，
又f(x+1)+f(x-1)=2，
所以f(3)+f(1)=2，f(4)+f(2)=2，
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4，
又f(2)+f(0)=2，f(0)=2，
所以f(2)=0，
所以f(k)=[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×28+f(1)+f(2)+f(3)=4×28+2+0=114.
考点二　两个混合型函数的抽象函数
例2　(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5，g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称，g(2)=4，则f(k)等于(　　)
A.-21 B.-22 C.-23 D.-24
答案　D
解析　由y=g(x)的图象关于直线x=2对称，
可得g(2+x)=g(2-x).
在f(x)+g(2-x)=5中，用-x替换x，
可得f(-x)+g(2+x)=5，
可得f(-x)=f(x).
在g(x)-f(x-4)=7中，用2-x替换x，得g(2-x)=f(-x-2)+7，
代入f(x)+g(2-x)=5中，
得f(x)+f(-x-2)=-2，
可得f(x)+f(x+2)=-2，
所以f(x+2)+f(x+4)=-2，
所以f(x+4)=f(x)，
所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.
由f(x)+g(2-x)=5可得f(0)+g(2)=5，
又g(2)=4，所以可得f(0)=1，
又f(x)+f(x+2)=-2，
所以f(0)+f(2)=-2，
f(-1)+f(1)=-2，
得f(2)=-3，f(1)=f(-1)=-1，
又f(3)=f(-1)=-1，
f(4)=f(0)=1，
所以f(k)=6f(1)+6f(2)+5f(3)+5f(4)=6×(-1)+6×(-3)+5×(-1)+5×1=-24.故选D.
[规律方法]　解决双函数的抽象函数问题，关键是找到两个函数之间的联系，然后通过赋值、解方程分别找到每一个函数之间的内在联系，从而得到每一个函数的性质.
跟踪演练2　(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(1+x)-g(x)=2，则(　　)
A.g(x)的图象关于直线x=2对称
B.g(x)是以4为周期的周期函数
C.f(x)的图象关于点(1，2)对称
D.f(2k-1)=2 025
答案　BC
解析　对于C，由f(1+x)-g(x)=2， ①
得f(1-x)-g(-x)=2，
因为g(x)为奇函数，所以g(-x)=-g(x)，故f(1-x)+g(x)=2， ②
①+②，得f(1+x)+f(1-x)=4，
所以f(x)的图象关于点(1，2)对称，且f(x)+f(2-x)=4，故C正确；
对于D，因为f(x)是偶函数，所以f(x)=4-f(2-x)=4-f(x-2)，
所以f(x)+f(x-2)=4，f(x-2)+f(x-4)=4，故f(x)=f(x-4)，
所以f(x)的周期为4，
在f(1+x)+f(1-x)=4中，令x=0，得f(1)=2，
所以f(1)+f(3)=f(1)+f(-1)=2f(1)=4，
结合f(x)的周期性得，f(5)+f(7)=…=f(4 045)+f(4 047)=f(1)+f(3)=4，f(4 049)=f(1)=2，
所以f(2k-1)=2 025×2=4 050，故D错误；
对于A，①-②，得g(x)=，
所以g(2+x)+g(2-x)=+
=+
=0，
所以g(x)的图象关于点(2，0)对称，而不是关于直线x=2对称，故A错误；
对于B，由g(2+x)+g(2-x)=0得g(x)+g(4-x)=0，
因为g(x)是奇函数，所以g(x)=-g(4-x)=g(x-4)，
所以g(x)是以4为周期的周期函数，故B正确.
考点三　抽象函数与导数
例3　(多选)(2025·石家庄模拟)函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，且满足f(2x)=f(2x+3)，f'(x+3)为奇函数，若2是f(x)的极值点，则(　　)
A.f(x)的周期为3
B.f'(x)是偶函数
C.f(x)是奇函数
D.f'(x)在(0，6)上至少有7个零点
答案　AD
解析　因为f(2x)=f(2x+3)，得f(x)=f(x+3)，所以f(x)的周期为3，故A正确；
f(x)=f(x+3)两边同时求导得f'(x)=f'(x+3)，所以f'(x)的周期为3.
因为f'(x+3)为奇函数，所以f'(x+3)+f'(-x+3)=0，即f'(x)+f'(-x+6)=0，
又因为f'(x)的周期为3，则f'(x)+f'(-x)=0，所以f'(x)是奇函数，故B错误；
由f'(x)=-f'(-x)，可得f(x)=f(-x)+c，c为常数.
又函数f(x)的定义域为R，所以当x=0时，f(0)=f(0)+c，可知c=0.
即f(x)=f(-x)，则函数f(x)为偶函数，故C错误；
因为2是f(x)的极值点，所以f'(2)=0，又函数f'(x)为周期为3的奇函数，
故f'(-2)=0，f'(5)=f'(2)=0，f'(1)=f'(-2)=0，f'(4)=f'(1)=0，
因为f'(x)=f'(x+3)，f'(x)=-f'(-x)，
所以f'(x+3)=-f'(-x)，即f'(x)的图象关于点对称，又f'(x)的定义域为R，
所以f'=0，f'=f'=0，则f'(1)=f'=f'(2)=f'(3)=f'(4)=f'=f'(5)=0，
即f'(x)在(0，6)上至少有7个零点，故D正确.
[规律方法]　与导数有关的抽象函数的性质，关键是原函数f(x)的性质和导函数f'(x)的性质之间的关系，如：在定义域R上，若函数f(x)为奇函数，则导函数f'(x)为偶函数；函数f(x)为偶函数，则导函数f'(x)为奇函数；若函数f(x)的图象关于直线x=a对称，则导函数f'(x)的图象关于点(a，0)对称；若函数f(x)的图象关于点(a，0)对称，则导函数f'(x)的图象关于直线x=a对称.
跟踪演练3　(多选)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)的导函数分别为f'(x)，g'(x)，且f(x)=f(4-x)，f(1+x)-g(x)=4，f'(x)+g'(1+x)=0，则(　　)
A.g(x)的图象关于直线x=1对称
B.g'(3)=1
C.f'(x)的一个周期为4
D.f'(n)g'(n)=0(n∈Z)
答案　ACD
解析　由f(x)=f(4-x)，得f(1+x)=f(3-x)， ①
由f(1+x)-g(x)=4， ②
得f(3-x)-g(2-x)=4， ③
由①②③得，g(x)=g(2-x)，所以函数g(x)的图象关于直线x=1对称，故A正确；
由g(x)=g(2-x)，得g'(x)=-g'(2-x)，
令x=1，得g'(1)=0，
由f(1+x)-g(x)=4，得f'(1+x)-g'(x)=0，
令x=1，得f'(2)=g'(1)=0，
所以f'(2+x)-g'(1+x)=0， ④
又f'(x)+g'(1+x)=0， ⑤
令x=2，得-f'(2)=g'(3)=0，故B错误；
④⑤两式相加，得f'(2+x)+f'(x)=0，得f'(4+x)+f'(2+x)=0，
所以f'(x)=f'(4+x)，即函数f'(x)的一个周期为4，故C正确；
由f'(2+x)+f'(x)=0，令x=2，得f'(4)+f'(2)=0，所以f'(4)=0，
所以f'(1)g'(1)=f'(2)g'(2)=f'(3)g'(3)=f'(4)g'(4)=…=f'(n)g'(n)=0(n∈Z)，故D正确.
考点四　抽象函数赋值与构造
例4　(多选)已知函数f(x)的定义域为R，若 x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，f(1)=0，f(0)≠0，则(　　)
A.f(0)=1
B.f=
C.f(x)为偶函数
D.4为函数f(x)的一个周期
答案　ACD
解析　根据题意，f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，
取x=y=0，得2f(0)=2[f(0)]2，
因为f(0)≠0，所以f(0)=1，A正确；
取x=，y=，
得f(1)+f(0)=2，
所以f=±，B错误；
取x=0，y=x，得f(x)+f(-x)=2f(x)，即f(x)=f(-x)，
所以f(x)为偶函数，C正确；
取y=1，得f(x+1)=-f(x-1)，所以f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，
即4为函数f(x)的一个周期，D正确.
[规律方法]　双变量的抽象函数的性质问题常用的方法是赋值法，求函数值时，通常令等式中的变量取0，1，2，-1，-2等特殊值；判断函数奇偶性时，通常通过赋值使等式中出现-x，x；当然要结合所求灵活赋值，根据函数的性质进行求解.
跟踪演练4　(2025·青岛模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x+y)-f(x-y)=2f(1-x)f(y)，f(1)=1，则f(2 025)等于(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案　C
解析　令x=0，
则f(y)-f(-y)=2f(1)f(y)=2f(y)，
∴f(y)=-f(-y)，∴f(x)为奇函数，
令y=1，则f(x+1)-f(x-1)=2f(1-x)f(1)=2f(1-x)，
∵f(x)为奇函数，
∴f(1-x)=-f(x-1)，
∴f(x+1)=-f(x-1)，
∴f(x+2)=-f(x)，∴f(x+4)=f(x)，
∴f(x)的周期为4，∴f(2 025)=f(1)=1.
专题强化练
[分值：44分]
一、单项选择题(每小题5分，共10分)
1.(2025·重庆模拟)设函数f(x)的定义域为R，f'(x)是f(x)的导函数.若f(x+1)是奇函数，则f'(x)的图象(　　)
A.关于点(1，0)对称 B.关于直线x=1对称
C.关于点(-1，0)对称 D.关于直线x=-1对称
答案　B
解析　因为f(x+1)是奇函数，所以f(x+1)=-f(-x+1)，即f(x+1)+f(-x+1)=0，
则f'(x+1)-f'(-x+1)=0，所以f'(x)的图象关于直线x=1对称.
2.(2025·长春模拟)已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=2，则(　　)
A.f(2)=0
B.f(10)=10
C.f(x)的周期为2
D.直线x=1是曲线y=f(x)的一条对称轴
答案　B
解析　对于A，已知f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)=0.
令x=0，代入f(x)+f(2-x)=2，可得f(0)+f(2)=2，所以f(2)=2，所以A错误；
对于B，因为f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x).
由f(x)+f(2-x)=2，可得f(-x)+f(x+2)=2，又因为f(-x)=-f(x)，
所以-f(x)+f(2+x)=2，即f(x+2)=f(x)+2.
所以f(10)=f(8)+2=f(6)+4=f(4)+6=f(2)+8=10，所以B正确；
对于C，由f(x+2)=2+f(x)，可知f(x+2)≠f(x)，所以f(x)的周期不是2，所以C错误；
对于D，由f(0)=0≠2=f(2)，得直线x=1不是曲线y=f(x)的对称轴，所以D错误.
二、多项选择题(每小题6分，共24分)
3.(2025·邵阳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(-x)=f(x)，f(x-2)=-f(-x)，当x∈[0，1]时，f(x)单调递减，则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的图象关于直线x=-1对称
B.函数f(x-1)为奇函数
C.4是函数f(x)的一个周期
D.f 答案　BC
解析　因为f(x-2)=-f(-x)，所以f(x)的图象关于点(-1，0)中心对称，故A错误；
令F(x)=f(x-1)，所以F(-x)=f(-x-1)，又f(x-2)=-f(-x)，所以f(x-1)=-f(-x-1)，
所以F(x)=-F(-x)，故f(x-1)为奇函数，故B正确；
因为f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，所以f(x-2)=-f(-x)=-f(x)，
所以f(x+2)=-f(x)，所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，
所以f(x)是周期为4的函数，故C正确；
由函数f(x)的奇偶性和周期性知
f =f (-log43)=f(log43)，
f =f ，
又因为当x∈[0，1]时，f(x)单调递减，log43>log42=，所以f(log43)即f 4.定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)=f(x)，f(1)=2，f(3x+2)为奇函数，函数g(x)(x∈R)满足g(x)=-g(4-x)，若y=f(x)与y=g(x)的图象恰有2 025个交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2 025，y2 025)，则下列说法正确的是(　　)
A.f(2 025)=2
B.f(2)=0
C.2为y=f(x)的一个周期
D.(xi+yi)=4 050
答案　ABD
解析　因为f(2-x)=f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称，又f(3x+2)为奇函数，
所以f(-3x+2)=-f(3x+2)，
则f(-x+2)=-f(x+2)，所以函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，则f(2)=0，故B正确；
所以f(x+2)=-f(2-x)=-f(x)，
即f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，
所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，故C错误；
所以f(2 025)=f(1)=2，故A正确；
又g(x)=-g(4-x)，所以函数g(x)的图象关于点(2，0)对称，
因此函数f(x)的图象与g(x)图象的交点也关于点(2，0)对称，
则(xi+yi)=xi+yi=2×2 025+0=4 050，故D正确.
5.(2025·白银模拟)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，其导函数分别是f'(x)，g'(x)，且满足f(x)=1+g'(x)=1-g'(2-x).若g(x)是奇函数，当x∈[0，1]时，g(x)=x2+x，则(　　)
A.f(x)是偶函数
B.f(x)的图象关于点(1，1)对称
C.g(x)的周期为4
D.g(i)=0
答案　ABC
解析　因为函数f(x)，g(x)的定义域均为R，1+g'(x)=1-g'(2-x)，所以g'(x)=-g'(2-x)，
所以g'(x)的图象关于点(1，0)对称，又f(x)=1+g'(x)，所以f(x)的图象关于点(1，1)对称，B选项正确；
因为g(x)是奇函数，即g(-x)=-g(x)，所以-g'(-x)=-g'(x)，即g'(-x)=g'(x)，
所以g'(x)是偶函数，所以f(x)=1+g'(x)是偶函数，A选项正确；
因为g(x)是奇函数，g'(x)的图象关于点(1，0)对称，所以g(x)=g(2-x)，
所以g(4+x)=g(-x-2)=-g(x+2)=-g(-x)=g(x)，所以g(x)的周期为4，C选项正确；
g(i)=506[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(1)
=506[g(1)+g(0)+g(-1)+g(0)]+g(1)=0+g(1)=2，D选项错误.
6.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)f(x-y)=[f(x)]2-[f(y)]2，f(1)=1，f(2x+1)为偶函数，则(　　)
A.f(0)=0
B.f(x)为偶函数
C.f(2+x)=-f(2-x)
D.f(k)=1
答案　ACD
解析　令x=y=0，得[f(0)]2=[f(0)]2-[f(0)]2=0，即f(0)=0，A正确；
令x=0，得f(y)f(-y)=[f(0)]2-[f(y)]2，
又f(0)=0，所以f(y)[f(-y)+f(y)]=0对任意y∈R恒成立，因为f(1)=1，所以f(y)不恒为0，所以f(-y)+f(y)=0，即f(-y)=-f(y)，故f(x)为奇函数，B错误；
将f(x)的图象向左平移1个单位长度后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得f(2x+1)的图象，因为f(2x+1)的图象关于直线x=0对称，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(x)=f(2-x)，又f(x)为奇函数，所以f(2-x)=-f(x-2)=-f(2-(x-2))=-f(4-x)=f(x-4)，所以f(x)=f(x-4)，所以4为f(x)的一个周期.由f(x)=f(x-4)，得f(2+x)=f(x-2)=-f(2-x)，C正确；
因为f(3)=f(-1)=-f(1)=-1，f(2)=f(2-2)=f(0)=0，f(4)=f(0)=0，所以f(k)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)=1，D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2025·聊城模拟)已知偶函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，则f(x)的值域为　　　　　.
答案　[0，+∞)
解析　对f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，
令x=y=0，则f(0)=2f(0)，解得f(0)=0；
对f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，令y=-x，
则f(0)=f(x)+f(-x)-2x2=0，
又f(x)为偶函数，即f(-x)=f(x)，故2f(x)-2x2=0，解得f(x)=x2.
又f(x)=x2≥0，故f(x)的值域为[0，+∞).
8.(2025·武汉模拟)已知函数f(x)和它的导函数f'(x)的定义域均为R，且f(x+2)+f(-x)=2，f'(x+2)为奇函数.若f(0)=0，则f(2 027)=　　　　.
答案　1
解析　∵f(x+2)+f(-x)=2，
∴f(x+2)=2-f(-x)，即f(x)的图象关于点(1，1)中心对称，
∵f'(x+2)为奇函数，且定义域为R，
∴f(x+2)为偶函数，即f(-x+2)=f(x+2)，
则f(x)的图象关于直线x=2对称，则有f(x)=f(4-x)，
可知
作差得f(x+2)+f(x+4)=2，则f(x)+f(x+2)=2，
∴f(x+4)=f(x)，即函数f(x)的周期为4.
由f(x+2)+f(-x)=2，可知f(3)+f(-1)=2，又f(3)=f(-1)，∴f(3)=1，
∴f(2 027)=f(3)=1.