思维提升　培优点1　三角函数中ω，φ的范围问题 学案

培优点1　三角函数中ω，φ的范围问题
[考情分析]　三角函数中ω，φ的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的单调性、对称性、零点、最值(值域)等求ω，φ的取值范围，难度中等偏上.
考点一　三角函数的单调性与ω，φ的取值范围
例1　(2025·湘潭模拟)已知函数f(x)=sin(2x+φ)在区间上单调，则φ的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　已知 x∈，
令t=2x+φ，则t∈，
因为|φ|<，所以φ∈.
故原条件等价于已知函数y=sin t在区间上单调，而函数y=sin t在区间上单调，所以
解得 -≤φ≤，
又因为φ∈，故φ的取值范围为.
[规律方法]　若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解.
跟踪演练1　已知函数f(x)=cos
+cos(ω>0)在上单调递增，则ω的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　方法一　f(x)=cos+
cos=cos+sin
=2cos=2cos，
令π+2kπ≤ωx+≤2π+2kπ，k∈Z，
因为ω>0，所以≤x≤，k∈Z，
因为f(x)在上单调递增，
所以解得+4k≤ω≤+2k.
由+4k≤+2k，得k≤，
又k∈Z且ω>0，所以k=0，故≤ω≤，
故ω的取值范围是.
方法二　f(x)=cos+
cos=cos+sin
=2cos
=2cos，
由设f(x)的最小正周期为T，则由题意得π-≤=，所以0<ω≤2，从而<+≤π+，
结合函数y=cos x在[π，2π]上单调递增，
f(x)在上单调递增，
得解得≤ω≤，
故ω的取值范围是.
考点二　三角函数的对称性与ω，φ的取值范围
例2　(2025·盐城模拟)若函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的图象在内有且仅有两条对称轴，一个对称中心，则实数ω的取值范围是　　　　.
答案　
解析　由题意，得f(x)=sin ωx+cos ωx=sin，
令ωx+=kπ+(k∈Z)，
解得x=(k∈Z)，
令k=0，1，2，得x=，，；
令ωx+=kπ(k∈Z)，解得x=(k∈Z)，
令k=1，2，得 x=，.
根据题意，得解得<ω≤，
故实数ω的取值范围是.
[规律方法]　三角函数相邻两条对称轴或相邻两个对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω，φ的不等式组，进而可以研究ω，φ的取值范围.
跟踪演练2　将函数y=cos(x+φ)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=f(x)的图象.若y=f(x)的图象关于点对称，则|φ|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由题意可得f(x)=cos，
由于y=f(x)的图象关于点对称，故f=cos=0，
故-+φ=-+kπ，k∈Z，解得φ=+kπ，k∈Z，
故取k=-1时，=为最小值.
考点三　三角函数的零点与ω，φ的取值范围
例3　(2025·邵阳模拟)已知函数f(x)=2cos2ωx+2sin ωxcos ωx(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有4个零点，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　f(x)=2cos2ωx+2sin ωxcos ωx=cos 2ωx+1+sin 2ωx=sin+1，
令f(x)=0，得sin=-，
∵x∈[0，2π]，∴2ωx+∈，
令t=2ωx+，由y=sin t的图象得
4π-≤4πω+<5π+，
解得≤ω<，故ω的取值范围是.
[规律方法]　已知三角函数的零点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式直接求函数的零点，进而得所求的取值范围.
跟踪演练3　若函数f(x)=4cos(2x+φ)-2(0≤φ≤π)在内恰有4个零点，则φ的取值范围是(　　)
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
答案　D
解析　因为0≤x≤，所以φ≤2x+φ≤+φ.令f(x)=4cos(2x+φ)-2=0，得cos(2x+φ)=.所以当0≤φ≤时，≤+φ<，
解得≤φ≤；
当<φ≤π时，≤+φ<，
解得≤φ≤π.
综上，φ的取值范围是∪.
考点四　三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围
例4　(2025·武汉模拟)已知函数f(x)=sin(x+φ)，0<φ<π，若函数f(x)在上存在最大值，但不存在最小值，则φ的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　若0≤x<，
则φ≤x+φ<+φ，
又因为0<φ<π，函数f(x)在上存在最大值，但不存在最小值，
所以当+φ≥π，即φ≥时，
只需满足+φ≤，此时≤φ≤，
当+φ<π，即φ<时，
函数一定存在最大值，要让函数无最小值，则-φ<+φ-，
此时<φ<，
综上，<φ≤，即φ的取值范围是.
[规律方法]　求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx+φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围.
跟踪演练4　已知函数f(x)=cos ωx-sin(ω>0)，若f(x)在[0，π]上的值域为，则ω的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　f(x)=cos ωx-sin=cos ωx-sin ωxcos-cos ωxsin=cos ωx-sin ωx=cos，
若0≤x≤π，则≤ωx+≤ωπ+，
因为f(x)在[0，π]上的值域为，所以π≤ωπ+≤，所以≤ω≤，
即ω的取值范围为.
专题强化练
[分值：52分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在区间上单调递增，则φ的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　令2kπ-≤2x+φ≤2kπ+，k∈Z，
得kπ--≤x≤kπ+-，k∈Z，
因为f(x)在区间上单调递增，
所以
解得2kπ-≤φ≤2kπ+，k∈Z，
因为|φ|<，所以-≤φ≤.
2.(2025·太原模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω∈N*)，若f =0，f(x)≤恒成立，则ω的最小值是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　B
解析　由题意知直线x=为f(x)图象的一条对称轴，x=-为f(x)的零点，所以·=-，n∈N，又ω∈N*，得ω=4n+2(n∈N)，所以当n=0时，ω取到最小值，最小值为2.
3.(2025·兰州模拟)若函数f(x)=sin 2ωx-2cos2ωx+1(ω>0)在上只有一个零点，则ω的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由题意，得f(x)=sin 2ωx-2cos2ωx+1=sin 2ωx-cos 2ωx=2sin.
因为x∈，所以2ωx-∈，
又f(x)只有一个零点，所以0<ωπ-≤π，
解得<ω≤，故ω的取值范围是.
4.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)，若存在x1，x2∈，使得f(x1)f(x2)=-4，则ω的最小值为(　　)
A.1 B.2 C. D.
答案　C
解析　由题意知f(x)=2sin，
由于f(x1)f(x2)=-4，
则f(x)在上至少有两个相邻的对称轴，
且ωx+∈，ω>0，
令k∈N，
则k∈N，
当k=0时，不等式组无解，当k=1时，解集为，因此ω的最小值为.
5.(2025·苏州模拟)已知函数f(x)=2sin，若f(x)的图象的任意一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，则ω的取值范围是(　　)
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
答案　D
解析　因为f(x)的图象的任意一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，ω>，
所以×≥4π-3π，所以<ω≤1，
又当3π所以kπ+≤3ωπ-且kπ+π+≥4ωπ-，k∈Z，
解得≤ω≤，k∈Z，
又因为<ω≤1，所以k∈Z，
解得k=1，2，
当k=1时，≤ω≤，当k=2时，≤ω≤，
所以ω的取值范围为∪.
6.(2025·合肥模拟)已知函数f(x)=cos ωx-sin ωx(ω>0)的图象的一条对称轴为x=，一个对称中心为点，且在内仅有3个零点，则ω的值为(　　)
A.7 B.6 C.5 D.4
答案　B
解析　由题设，函数f(x)=cos(ω>0)，
其对称中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，
所以=-(k∈N)，
即(2k+1)·=π(k∈N)，
所以ω=2(2k+1)(k∈N).
因为函数f(x)在内仅有3个零点，
且ωx+∈，所以<+≤，
解得<ω≤，所以ω=6.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·常州模拟)已知函数f(x)=sin ωx(ω>0)，则下列说法正确的有(　　)
A.若f(x)在[0，π]上的值域为[-1，1]，则ω的取值范围是
B.若f(x)在上恰有一条对称轴，则ω的取值范围是
C.若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围是
D.若f(x)在上有且只有两个不同的零点，则ω的取值范围是(4，6]
答案　ACD
解析　由x∈[0，π]，则ωx∈[0，ωπ]，且值域为[-1，1]，则ωπ≥，得ω≥，A正确；
由x∈，则ωx∈，则<≤，得ω∈，B错误；
由x∈，则ωx∈，又函数f(x)在上单调递增，
ω>0，则得0<ω≤，C正确；
由x∈，则ωx∈，因为函数f(x)在上有且只有两个不同的零点，
所以2π<≤3π，解得4<ω≤6，D正确.
8.已知函数f(x)=3cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的图象既关于点中心对称，也关于直线x=轴对称，且f(x)在上单调，则ω的值可能是(　　)
A. B. C.2 D.
答案　AB
解析　由题意可得
则ω=，k1，k2∈Z，
即ω=，k∈Z.
因为f(x)在上单调，
所以≥-=，所以T≥π，即≥π，
所以0<ω≤2，即0<≤2，
解得因为k∈Z，所以k=1或k=2或k=3.
当k=1时，ω=，又0<φ<π，则φ=，
此时x+∈，即f(x)在上单调递减，故k=1符合题意；
当k=2时，ω=，又0<φ<π，则φ=，此时x+∈，即f(x)在上单调递减，故k=2符合题意；
当k=3时，ω=2，又0<φ<π，则φ=，
此时2x+∈，则f(x)在上不单调，故k=3不符合题意.
综上，ω的值可能是或.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·海口质检)已知ω>0，函数f(x)=2cos在上单调递减，则ω的取值范围是　　　　，若ω为正整数，当x∈[0，2π]时，曲线y=cos x与f(3x)交点的个数为　　　　.
答案　　6
解析　由x∈得ωx-∈，
∵函数f(x)=2cos在上单调递减，∴k∈Z，
解得+4k≤ω≤+2k，k∈Z，
∵π-=≤=，∴0<ω≤2，
∴当k=0时，≤ω≤，故ω的取值范围是.
若ω为正整数，则ω=1，f(x)=2cos，
f(3x)=2cos，
作出y=cos x与f(3x)=2cos在x∈[0，2π]上的大致图象，如图，
由图象可知，曲线y=cos x与f(3x)交点的个数为6.
10.(2025·上饶模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)，T为f(x)的最小正周期，且f =f ，若f(x)在区间(0，π)上恰有3个极值点，则ω的取值范围是　　　　　.
答案　
解析　由题意可得，f(x)的最小正周期T=，
又f =f ，且T-T=T所以直线x==T为f(x)图象的一条对称轴，所以ω×T+φ=+φ=kπ+(k∈Z)，解得φ=kπ-(k∈Z)，
又φ∈，所以k=0，φ=-，
故f(x)=2sin.
当x∈(0，π)，ω>0时，则ωx-∈，
若函数f(x)在区间(0，π)上恰有3个极值点，
则<ωπ-≤，解得<ω≤，
故ω的取值范围是.