思维提升　培优点2　极化恒等式、等和线定理、奔驰定理与三角形四心 学案

培优点2　极化恒等式、等和线定理、奔驰定理与三角形四心
[考情分析]　利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题.等和线可以解决一些向量共线、点共线问题，也可以由共线求参数.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
考点一　极化恒等式
极化恒等式：a·b=[(a+b)2-(a-b)2].
(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
(2)若O是平行四边形PMQN对角线的交点，则：
①·=(||2-||2)(平行四边形模式)；
②·=||2-||2(三角形模式).
例1　(1)在△ABC中，AB=2，cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，P为△ABC所在平面内的动点，且PA=1，则·的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　因为A，B，C∈(0，π)，
所以A-B∈(-π，π)，B-C∈(-π，π)，C-A∈(-π，π)，
可得cos(A-B)∈(-1，1]，cos(B-C)∈(-1，1]，
cos(C-A)∈(-1，1]，
若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，
则cos(A-B)=1，cos(B-C)=1，cos(C-A)=1，
可得A-B=0，B-C=0，C-A=0，
所以A=B=C，所以△ABC是边长为2的等边三角形.
如图，取BC的中点G，由PA=1可知点P的轨迹是半径为1的圆，
根据极化恒等式可知·=||2-||2，
易知PGmin=AG-PA=-1，PGmax=AG+PA=+1，
故(-1)2-12≤·≤(+1)2-12，
即3-2≤·≤3+2，
所以· 的取值范围是[3-2，3+2].
(2)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是(　　)
A.[0，1] B.[0，2]
C.[1，3] D.[0，4]
答案　B
解析　由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2.当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径.设内切球的球心为O，
则·=-=-1.
由于P为正方体表面上的动点，故PO∈[1，]，
所以·的取值范围是[0，2].
[规律方法]　在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤
(1)取第三边的中点，连接向量的起点与终点；
(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；
(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值.
注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式.
跟踪演练1　(1)已知正△ABC的边长为2，动点P满足PC=1，则·的最小值为(　　)
A.4-2 B.3-2
C.3-2 D.4-2
答案　C
解析　因为动点P满足PC=1，
所以点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，如图所示，
设D为AB的中点，
则·=(+)·(+)=-=-1，
所以当||取最小值时，·取得最小值，||min=||-1=-1，
所以(·)min=(-1)2-1=3-2.
(2)如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=4，D为AC的中点，在平面ABC中，将线段AC绕点D旋转得到线段EF.设M为线段AB上的点，则·的最小值为　　　　.
答案　-4
解析　依题意BC=4，D为线段EF的中点，
则+=2，
·=[(+)2-(-)2]
=-，
由于||min=2，=32，
所以·的最小值为-4.
考点二　等和线
平面向量等和线定理
平面内一组基底{，}及任一向量，且=λ+μ(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k===，则λ+μ=k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.
(1)当等和线恰为直线AB时，k=1；
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，+∞)；
(4)当等和线过O点时，k=0；
(5)若两条等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
(6)定值k的绝对值与等和线到O点的距离成正比.
例2　(1)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若=x+y.其中x，y∈R，则3x+5y的最大值为(　　)
A. B.5 C. D.6
答案　A
解析　如图所示，分别取=，=，=x+y=3x+5y，根据等和线知识可得3x+5y=，当OD⊥MN时，|OD|取得最小值，|OD|min===，故(3x+5y)max==.
(2)(2025·泉州模拟)在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设=α+β(α，β∈R)，则α+β的取值范围是　　　　.
答案　[3，4]
解析　如图，直线BF为k=1的等和线，当P在△CDE内(包括边界)时，直线EC是最近的等和线，过D点的等和线是最远的，所以α+β∈.设正六边形的边长为2，则AN=3，AM=1，AD=4，故α+β∈[3，4].
[规律方法]　用等和线求基底系数和的步骤
(1)确定值为1的等和线；
(2)平移该线，作出满足条件的等和线；
(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.
跟踪演练2　(1)(2025·南昌模拟)已知O是△ABC内一点，且++=0，点M在△OBC内(不含边界)，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+2μ的取值范围是(　　)
A. B.(1，2)
C. D.
答案　B
解析　因为O是△ABC内一点，且++=0，所以O为△ABC的重心.
取AC的中点D，则点O在BD上，且=2，=λ+μ=λ+2μ，
作一系列与BD平行的直线与CD相交(图略)，
所以当点M在边OB上时，λ+2μ取得最小值1；
当点M与C重合时，λ+2μ取得最大值2，
因为M在△OBC内且不含边界，
所以λ+2μ的取值范围为(1，2).
(2)如图所示，半径为1的扇形AOB，∠AOB=，若点C为弧AB上任意一点，且=x+y(x，y∈R)，则x+y的最大值是　　　　.
答案　2
解析　如图所示，设x+y=k，则直线AB为以{，}为基底，k1=1的等和线，所有与直线AB平行且与弧AB有公共点的直线中，切线离圆心O最远，即此时k取得最大值，设切点为D，连接OD，与AB交于点E，易知OE⊥AB.
因为OA=1，∠AOB=，
所以OE=，则k===2，
即x+y的最大值为2.
考点三 奔驰定理
奔驰定理：
如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·+S△PAC·+S△PAB·=0.
例3　(1)已知△ABC所在平面内一点D满足++=0，则△ABC的面积是△ABD的面积的(　　)
A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍
答案　A
解析　因为++
=0，
即2+2+=0，
所以S△BCD∶S△ACD∶S△ABD=2∶2∶1，所以△ABC的面积是△ABD的面积的5倍.
(2)已知点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=4∶3∶2，设=λ+μ，则实数λ和μ的值分别为(　　)
A.， B.，
C.， D.，
答案　A
解析　根据奔驰定理，得3+2+4=0，
即3+2(+)+4(+)=0，
整理得=+，
故λ=，μ=.
[规律方法]　已知P为△ABC内一点，且x+y+z=0(x，y，z∈R，xyz≠0，x+y+z≠0)，则有
(1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=|x|∶|y|∶|z|；
(2)=，
=，=.
跟踪演练3　(1)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3--=0，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　)
A.1∶2 B.1∶3
C.1∶4 D.2∶5
答案　B
解析　方法一　将3--=0变形可得++=0，
根据奔驰定理可知
S△BCM∶S△ACM∶S△ABM=1∶1∶1，
则S△ABM∶S△ABC=1∶3.
方法二　如图，D为BC边的中点，则=+)，
因为3--=0，
所以3=+=2，
所以=，
所以S△ABM=S△ABD=S△ABC，即S△ABM∶S△ABC=1∶3.
(2)已知点P，Q在△ABC内，+2+3=2+3+5=0，则=　　　　.
答案　
解析　根据奔驰定理得S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB=2∶3∶5，
∴S△PAB=S△QAB=S△ABC，∴PQ∥AB，
又∵S△PBC=S△ABC，S△QBC=S△ABC，
∴==-=.
考点四　奔驰定理与三角形四心
已知点O在△ABC内部，有以下四个推论：
①若O为△ABC的重心，则++=0 S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=1∶1∶1；
②若O为△ABC的外心，则sin 2A·+sin 2B·+sin 2C·=0，且||=||=||；
③若O为△ABC的内心，则a·+b·+c·=0，或sin A·+sin B·+sin C·=0(a，b，c分别为角A，B，C的对边)；
④若O为△ABC的垂心，则tan A·+tan B·+tan C·=0，且·=·=·.
考向1　奔驰定理与重心
例4　已知O是△ABC的重心，·=2，且∠BAC=60°，则△OBC的面积为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　∵O是△ABC的重心，∴++=0，
由奔驰定理知S△OAB∶S△OBC∶S△OAC=1∶1∶1，
∴S△OBC=S△ABC.
∵·=2，∴||||cos∠BAC=2，
∵∠BAC=60°，∴||||=4，
又S△ABC=||||sin∠BAC=，
∴△OBC的面积为.
考向2　奔驰定理与外心
例5　已知点P是△ABC的外心，且++λ=0，C=，则λ=　　　　　.
答案　
解析　依题意得，
sin 2A∶sin 2B∶sin 2C=1∶1∶λ，
∴sin 2A=sin 2B，
∴2A=2B或2A+2B=π(舍)，
∴A=B，又C=，∴A=B=，
又=，
∴λ====.
考向3　奔驰定理与内心
例6　已知△ABC的内切圆的圆心为O，半径为2，2+2+3=0，则△ABC的外接圆面积为　　　　.
答案　
解析　∵2+2+3=0，且O为内心，
∴△ABC的三边长之比为a∶b∶c=2∶2∶3，
令a=2k，则b=2k，c=3k，k>0，
∴cos C=-，sin C=，
设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R，
又S△ABC=(a+b+c)·r=absin C，
即×7k×2=×2k×2k×，
解得k=，c=4，
又2R==，解得R=，
∴△ABC的外接圆面积S=πR2=.
考向4　奔驰定理与垂心
例7　如图，已知O是△ABC的垂心，且+2+3=0，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为S1，S2，S3，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于(　　)
A.1∶2∶3 B.1∶2∶4
C.2∶3∶4 D.2∶3∶6
答案　A
解析　O是△ABC的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，
则CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP=∠BAC，∠AOP=∠ABC，
因此===，
同理=，
于是得tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=S1∶S2∶S3，
由“奔驰定理”有S1·+S2·+S3·=0，
又+2+3=0，
所以S1∶S2∶S3=1∶2∶3，
所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=1∶2∶3.
[易错提醒]　涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件.
跟踪演练4　(多选)奔驰定理的几何表示因酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，它与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·+SB·+SC·=0.以下命题正确的有(　　)
A.若M为△ABC的重心，AB=6，AC=8，BC=2，则△BMC的面积为4
B.若M为△ABC的内心，2+3+=0，则C=
C.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则 SA∶SB∶SC=2∶∶1
D.若M为△ABC 的垂心，3+4+5=0，则cos∠AMB=
答案　ABC
解析　对于A，由余弦定理得
cos A===，
又A∈(0，π)，所以A=，
所以S△ABC=×6×8×sin=12，
又M为△ABC的重心，所以++=0，
即S△AMB∶S△AMC∶S△BMC=1∶1∶1，
所以S△BMC=S△ABC=4，故A正确；
对于B，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，
由M为△ABC的内心，且2+3+=0，
可得a∶b∶c=2∶3∶，
令a=2k，则b=3k，c=k，k>0，
cos C==，
又C∈(0，π)，所以 C=，故B正确；
对于C，如图，
因为M为△ABC的外心，设外接圆半径为R，
因为∠BAC=45°，∠ABC=60°，
所以∠BMC=90°，∠AMC=120°，
故∠AMB=360°-120°-90°=150°，
所以SA∶SB∶SC=R2sin 90°∶R2sin 120°∶R2sin 150°=sin 90°∶sin 120°∶sin 150°
=1∶∶=2∶∶1，故C正确；
对于D，由M为△ABC的垂心，3+4+5=0，所以SA∶SB∶SC=3∶4∶5，
则=4，=3，
延长AM，BM，CM，分别交BC，AC，AB于点D，F，E，如图，
设MD=x，MF=y，则AM=3x，BM=2y，
所以cos∠BMD==cos∠AMF=，得3x2=2y2，
所以cos∠BMD=，
则cos∠AMB=-，故D错误.
专题强化练
[分值：52分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.设O点在△ABC内部，且有3+2+=0，则△AOC的面积与△AOB的面积的比值为(　　)
A.2 B. C. D.3
答案　A
解析　根据奔驰定理△AOC的面积与△AOB的面积的比值为=2.
2.如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设=a，=b，向量=λa+μb，则λ+μ的值为(　　)
A.1 B. C. D.
答案　C
解析　如图，BC为值是1的等和线，过O作BC的平行线，延长AO交BC于点M，
设λ+μ=k，则k=.
由题易知O为△ABC的重心，=，
所以λ+μ=.
3.如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则·的取值范围为(　　)
A.[4，5] B.[5，7] C.[4，6] D.[5，8]
答案　B
解析　由极化恒等式可得，
·=-=-1，
当OM与正六边形的边垂直时，=，
当点M运动到正六边形的顶点时，=2，
所以||∈[，2]，则∈[6，8]，
即·=(||2-1)的取值范围为[5，7].
4.△ABC内一点O满足关系式S△OBC·+S△OAC·+S△OAB·=0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·+b·+c·=0，则O为△ABC的(　　)
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
答案　B
解析　记点O到AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，S△OBC=a·h2，S△OAC=b·h3，
S△OAB=c·h1，
因为S△OBC·+S△OAC·+S△OAB·=0，
则a·h2·+b·h3·+c·h1·=0，
即a·h2·+b·h3·+c·h1·=0，
又因为a·+b·+c·=0，所以h1=h2=h3，所以点P是△ABC的内心.
5.已知点A，B，C，P在同一平面内，=，=，=，则S△ABC∶S△PBC等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由=，
得-=-)，
整理得=+=+，
由=，得=-)，
整理得=-，
∴-=+，
整理得4+6+9=0，
∴S△ABC∶S△PBC=(4+6+9)∶4=19∶4.
6.若H为△ABC所在平面内一点，且+=+=+||2，则点H是△ABC的(　　)
A.重心 B.外心
C.内心 D.垂心
答案　D
解析　+=+ +=+，
得·=· ·=0，即⊥；
+=+ +=+，
得·=· ·=0，即⊥；
+=+ +=+，
·=· ·=0，即⊥，所以H为△ABC的垂心.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·+SB·+SC·=0.设O是△ABC内一点，△ABC的三个内角分别为A，B，C，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，若3+4+5=0，则以下命题正确的有(　　)
A.SA∶SB∶SC=3∶4∶5
B.O有可能是△ABC的重心
C.若O为△ABC的外心，则sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5
D.若O为△ABC的内心，则△ABC为直角三角形
答案　AD
解析　对于A，由奔驰定理可得，3+4+5=SA·+SB·+SC·=0，
因为，，不共线，
所以SA∶SB∶SC=3∶4∶5，故A正确；
对于B，若O是△ABC的重心，
则++=0，
因为3+4+5=0，所以=2，即O，B，C三点共线，故B错误；
对于C，当O为△ABC的外心时，
||=||=||，
所以SA∶SB∶SC=sin∠BOC∶sin∠AOC∶
sin∠AOB=3∶4∶5，
即sin 2A∶sin 2B∶sin 2C=3∶4∶5，故C错误；
对于D，当O为△ABC的内心时，
SA∶SB∶SC=ar∶br∶cr
=a∶b∶c=3∶4∶5(r为内切圆半径，a，b，c分别为角A，B，C的对边)，
所以a2+b2=c2，所以C=，故D正确.
8.已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有(　　)
A.若||+||+||=0，则点O是△ABC的重心
B.若·=·=0，则点O是△ABC的内心
C.若(+)·=(+)·=0，则点O是△ABC的外心
D.若O为△ABC的外心，且2=+，则B为△ABC的垂心
答案　BCD
解析　对于A，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，在AB，AC上分别取点D，E，
使得=，=，
则||=||=1，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图所示，
则四边形ADFE是菱形，且=+=+，所以AF平分∠BAC，
因为||+||+||=0，
即a+b+c=0，
所以a·+b·(+)+c·(+)=0，
即(a+b+c)+b+=0，
所以=+
==，
所以A，O，F三点共线，即O在∠BAC的平分线上，
同理可得O在其他两角的平分线上，所以O为△ABC的内心，故A错误；
对于B，在AB，AC上分别取点D，E，使得=，=，如图，
则||=||=1，且-=，
因为·=0，
即⊥，又||=||=1知，AO平分∠BAC，同理，可得BO平分∠ABC，故O为△ABC的内心，故B正确；
对于C，取AB，BC的中点分别为M，N，如图，
因为(+)·
=(+)·=0，
所以2·=2·
=0，
即OM⊥AB，ON⊥BC，所以O是△ABC的外心，故C正确；
对于D，因为2=+，
所以=-，即O为AC的中点，
又O为△ABC的外心，
所以∠B=90°，则B为△ABC的垂心，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.在△ABC中，AC=2BC=6，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN=2，若·的最小值为3，则cos∠ACB=　　　　　　　　.
答案　
解析　取线段MN的中点P，连接CP，过C作CO⊥AB于O，如图，PM=MN=1，
依题意，·=-=-1，
因为·的最小值为3，
则||的最小值为2，因此CO=2，
在Rt△AOC中，cos∠OCA==，
sin∠OCA=，
在Rt△BOC中，cos∠OCB==，
sin∠OCB=，
所以cos∠ACB=cos(∠OCA+∠OCB)
=cos∠OCAcos∠OCB-sin∠OCAsin∠OCB
=.
10.设点P在△ABC内部且为△ABC的外心，∠BAC=，如图.若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，则x+y的最大值是　　　　.
答案　
解析　方法一　根据奔驰定理得，+x+y=0，即=2x+2y，x>0，y>0，
平方得=4x2+4y2+8xy||·
||·cos∠BPC，
又因为点P是△ABC的外心，∠BAC=，
所以||=||=||，且∠BPC=2∠BAC=，
所以x2+y2+xy=，
(x+y)2=+xy≤+，
解得x+y≤，当且仅当x=y=时取等号，
所以(x+y)max=.
方法二　因为点P是△ABC的外心，所以
S△PBC∶S△PCA∶S△PAB=sin 2∠BAC∶sin 2∠ABC∶sin 2∠ACB=∶x∶y，x>0，y>0，
又∠BAC=，所以sin 2∠BAC=，
所以x=sin 2∠ABC，y=sin 2∠ACB，
所以x+y=(sin 2∠ABC+sin 2∠ACB)
==sin，
又因为∠ABC∈，所以2∠ABC-∈，所以sin∈，
所以x+y∈，所以(x+y)max=.