2026年新北师大版八年级数学下册 1.2.2 等腰三角形的判定及反证法 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
2026年新北师大版八年级数学下册课件★★第1.2.2课时
第2课时 等腰三角形的判定及反证法
复习回顾
问题1：等腰三角形有怎样的性质？
边：等腰三角形有两边相等。（定义）
角：等腰三角形的两个底角相等。（定理）
三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。（定理）
边：有两边相等的三角形是等腰三角形。
（定义）
问题2：如何判定一个三角形是等腰三角形？
角：等腰三角形 两底角相等
性质
进行新课
前面已经证明了等腰三角形的两底角相等。反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
A
B
C
已知：在△ABC 中，∠B =∠C。
求证：AB = AC。
要想证明AB=AC，只要能构造全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了。
分析：
知识点1
等腰三角形的判定——等角对等边
A
B
C
已知：在△ABC 中，∠B =∠C。
求证：AB = AC。
D
证法一
证明：如图，过点A作 AD⊥BC 于点 D，
则∠ADB =∠ADC = 90°，
又∵∠B =∠C，AD = AD，
∴△ADB ≌ △ADC（AAS），
∴AB = AC（全等三角形的对应边相等）。
还有其他证法吗？
A
B
C
已知：在△ABC 中，∠B =∠C。
求证：AB = AC。
D
证法二
证明：如图，作∠BAC的平分线AD，则∠BAD=∠CAD。
∵∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS）。
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）。
定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形。
这一定理可以简述为：等角对等边。
前提是“在同一个三角形中”
A
B
C
几何语言：
在△ABC中，
∵∠B=∠C，
∴AB=AC。
等腰三角形的判定：
等腰三角形的判定与性质的异同
相同点：都是在同一个三角形中；
区别：判定是由角的关系得到边的关系，
性质是由边的关系得到角的关系。
即：等边 等角
性质
判定
例1 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E。
求证：△AED是等腰三角形。
证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA，
∴△ABD ≌ △DCA（SSS）。
∴∠ADB = ∠DAC（全等三角形的对应角相等）。
∴AE = DE（等角对等边）。
∴△AED 是等腰三角形。
练一练
如图，AE平分∠BAC，DE // AB，若AD=5，则DE的长是______。
AE平分∠BAC
∠2=∠3
DE // AB
(等角对等边)
∠1=∠2
5
1
2
3
∠1=∠3
DE=AD
尝试·思考
知识点2
反证法
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等。你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
小明的思考过程如下。你能理解他的推理过程吗？
A
B
C
如图，在△ABC 中，已知
∠B ≠∠C，此时 AB 与 AC 要么相等，要么不相等。
假设 AB = AC，那么根据定理“等边对等角” 可得∠C =∠B，这与已知条件∠B ≠∠C 相矛盾，因此 AB ≠ AC。
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。
反证法
例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。
已知：△ABC。
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角。
证明：假设∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B 是直角，即∠A = 90°，∠B = 90°。 于是∠A +∠B +∠C = 90°+ 90°+∠C ＞180°。
这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B 是直角”的假设不成立。
所以，一个三角形中不能有两个角是直角。
用反证法证明的一般步骤
1. 先假设命题的结论不成立；
2.从这个假设出发，应用正确的推理证明，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果；
3.由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。
练一练
用反证法证明：一个三角形中至少有一个角不大于60°。
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角。
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°。
证明：假设∠A，∠B，∠C 都大于60°，
则∠A +∠B +∠C ＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，因此假设不成立。
所以，一个三角形中至少有一个角不大于60°。
随堂练习
1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D。
（1）图中等腰三角形的个数是_______；
（2）若BC=2，则AD的长为_______。
3
36°
72°
72°
36°
36°
△ABC、△ADB、△DBC
2
BC=BD=DA
【教材P17 随堂练习 第1题】
2. 如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，交AC 于点 D，过点 D 作 BC 的平行线，交 AB 于点E，请判断△BDE 的形状，并说明理由。
解：△BDE 是等腰三角形。
∵ BD 平分∠ABC，
∴∠ABD = ∠DBC，
又∵DE∥BC，
∴∠DBC = ∠EDB，
∴∠ABD =∠EDB，
∴△BDE 是等腰三角形。
A
B
C
E
D
【教材P18 随堂练习 第2题】
3. 已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个数大于或等于 。
证明：假设这五个正数a1，a2，a3，a4，a5全部小于 ，
那么这五个正数的和 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 就小于 1。
这与已知这五个正数的和等于 1 相矛盾。
因此假设不成立，原命题成立，即这五个数中至少有一个大于或等于 。
4.如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，E是射线OA上的一个动点。当∠OEC的度数为__________________时，△OCE是等腰三角形。
120°或75°或30°
课堂小结
等腰三角形的判定：
有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）
反证法：
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。
A
B
C