浙江省杭州市2026年八年级下册第一次月考数学模拟卷 含解析

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浙江省杭州市2026年八年级下册第一次月考数学模拟卷
时间120min 满分120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．方程的二次项系数、一次项系数，常数项分别为（　　）
A．3，5，7 B．3，， C．3，，7 D．3，5，
3．下列二次根式中能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算中正确的是（　　）
A． = B． = - =6-4=2
C． ＝1 D． = -2
5．若方程可配方成的形式，则方程可配方成（　　）
A． B． C． D．
6．若3，m，5为三角形的三边长，则化简的结果为（　　）
A．6 B． C． D．10
7．若关于x的方程a（x+1）2-b=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则（　　）
A．a-b＞0 B．a-b＜0 C．ab＜0 D．ab＞0
8． 关于x的一元二次方程一个实数根为2024，则方程一定有实数根（　　）
A．2024 B． C．－2024 D．
9．若，则的值为（　　）
A．0 B．1 C． D．2
10．某景点的门票价格为220元，日接待游客5000人．当门票价格每提高10元，日游客数减少50人．若想每天的门票收入达到138万元，问门票价格需提高多少元？设门票价格提高元，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．当时，二次根式的值为　 　．
12．一元二次方程化成一般式为　 　.
13．已知n是一个正整数， 是整数，则n的最小值是　 　．
14．元旦节时，某学习小组每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则该学习小组有　 人．
15． 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：　 　．
16．若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论：
①；
②若，则；
③关于x的方程的根为，；
④关于x的方程的根为2，3．
其中正确结论的有　 　．
三、解答题(共8题；共72分)
17．（1）计算：；
（2）解方程：.
18．已知
（1）求m，n的值.
（2）若关于x的一元二次方程有一个根是1，求b的值.
19．（8分）已知，求：
（1）x+y和xy的值；
（2）求x2-xy+y2的值.
20．（8分）所示，某小区规划在一个长为40m、宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积为144m2，求甬路的宽度．
21．（10分）某零件生产厂生产的零件1月份的平均日产量为20000个，从2月份起扩大产能，3月份的平均日产量达到24200个。
（1）求零件日产量的月平均增长率。
（2）按照这个增长率，预计4月份的平均日产量为多少个
22．（10分）设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有三角形的面积公式（海伦公式），（秦九韶公式）．请选用以上公式，计算下列两个三角形的面积．
（1）三角形三边长分别为9，10，11；
（2）三角形三边长分别为，，．
23．（12分）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
（1）已知：，则______；
（2）化简：______；
（3）计算：．
24．（12分）已知关于的方程与都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且，则称它们互为“同根轮换方程”． 如与互为“同根轮换方程”．
（1）方程与互为“同根轮换方程”吗？
（2）若关于的方程与互为“同根轮换方程”，求的值；
（3）已知方程①：和方程②：，、分别是方程①和方程②的实数根，且．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含的代数式分别表示和；如果不能，请说明理由．
参考答案
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）列出不等式求解即可.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：方程3x2=5x+7转化为一般形式为3x2-5x-7=0，
其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，-5，-7，
故答案为：B.
【分析】一元二次方程的一般形式“ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）”其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，据此移项将原方程化为一般形式，可求解.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：A、，不能和合并，故A不符合题意；
B、不能和合并，故B不符合题意；
C、，能和合并，即，故C符合题意；
D、不能和合并，故D不合题意.
故答案为：C.
【分析】先将二次根式化成最简二次根式，再根据被开方数完全相同的最简二次根式才能合并进行判断即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】A、 =13，不符合题意；
B、 = = =2 ，不符合题意；
C、 ＝ ，不符合题意；
D、 =|2- |= -2，符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、由一个负数的平方的算术平方根等于它的绝对值，得出 =13≠±13，此选项错误，不符合题意；
B、由于根号具有括号的作用，故 = = =2 ≠2 ，此选项错误，不符合题意；
C、合并同类二次根式的时候，只把系数相加减，二次根式部分不变，故 ＝ ≠1，此选项错误，不符合题意；
D、由一个负数的平方的算术平方根等于它的绝对值，得出 =|2- |= -2，此选项正确，符合题意。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：可化为，
，
可化为，
即，
故答案为：C．
【分析】根据已知可得，移项后可得答案．
6．【答案】B
【解析】【解答】解：根据三角形三边之间的关系可得出：5-3＜m＜5+3，
即：2＜m＜8.
∴==m-2+m-8=2m-10.
故答案为：B。
【分析】首先根据三角形三边之间的关系可得出2＜m＜8.进而根据二次根式的性质进行化简，即可得出答案。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程a（x+1）2-b=0（a≠0）有两个不相等的实数根，
∴x+1=，
∴ab＞0.
故答案为：D.
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，通过开平方求得根，再得到ab的符号.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：方程可化为，而有一实数根为2024，即，对照可知，当x=时，也有，故此方程必有一实数根.
答案：D.
【分析】由题意对照两方程系数的特征，转化为系数相近的一元二次方程，即可求出其中一根.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：，
将代入上式可得，
原式．
故答案为：A．
【分析】首先根据配方法可得出，然后再将代入上式求值即可。
10．【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意得：．
故答案为：A.
【分析】根据“景点的门票价格为220元，日接待游客5000人.当门票价格每提高10元，日游客数减少50人”以及“每天的门票收入达到138万元”得到相应的一元二次方程.
11．【答案】3
【解析】【解答】解：当x=1时，原式=
故答案为：3.
【分析】把x=1代入原式计算即可.
12．【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】
先对左边去括号，然后把右边的常数项移到等号左边即可.
13．【答案】3
【解析】【解答】解：∵ =4 ，若 是整数，则 也是整数；
∴n的最小正整数值是3；
故答案是：3．
【分析】先将 中能开方的因数开方，然后再判断n的最小正整数值．
14．【答案】12
【解析】【解答】解：设这个小组有x个人，
由题意得：
解得（舍去），
∴这个小组有12人
故答案为：12．
【分析】设这个小组有x个人，根据“共送贺卡132张”列一元二次方程求解即可．
15．【答案】0
【解析】【解答】解：由数轴可知，，0＜，
∴，，，
∴
故答案为：0．
【分析】根据a、b在数轴上的位置确定，，的符号，再根据二次根式的性质“”及绝对值性质进行化简即可．
16．【答案】②④
【解析】【解答】解：①将(x-2)(x-3)=m化为一般形式为x2-5x+6-m=0，
原方程有实数根，且，
，
解得：，故①错误；
②关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根，
当x=1，则m=2，
方程为x2-5x+4=0，
解得：x1=1，x2=4，故，则 满足方程，故②正确；
③关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根，且，
而(x-3)(x-4)=m可化为：[(x-1)-2][(x-1)-3]=m，
x-1=x1，x-1=x2
x=x1+1或x=x2+1，故③错误；
④将(x-2)(x-3)=m化为一般形式为x2-5x+6-m=0，
原方程有实数根，且
x1+x2=5，x1x2=6-m，
(x-x1)(x-x2)+m=x2-(x1+x2)x+m+x1x2=x2-5x+m+6-m=x2-5x+6，
x2-5x+6=0，
解得：x=2或x=3，故④正确.
故答案为：②④.
【分析】 ① 把方程化为一般形式结合判别式可判断；②把方程的一个解代入原方程求出m，再求另一个解即可判断；③结合整体思想，把括号内拆分后看成一个整体，再进行判断；④利用根与系数的关系把(x-x1)(x-x2)+m=0变形，再解方程即可判断.
17．【答案】（1）解：原式=
=
=
（2）解：方程整理为一般式：，
∵，，，
∴，
则，
∴，.
【解析】【分析】（1）根据二次根式的混合运算即可求出答案.
（2）根据求根公式解方程即可求出答案.
18．【答案】（1）解：∵，
∴n-5≥0且5-n≥0，
解之：n=5，
∴m=4，
∴n=5，m=4
（2）解：∵关于x的一元二次方程有一个根是1， n=5，m=4，
∴4x2+bx+5=0，
∴4+b+5=0，
解之：b=-9，
∴b的值为-9
【解析】【分析】（1）利用二次根式的非负性，可得到n-5≥0且5-n≥0，由此可求出n的值，然后求出m的值.
（2）将m，n的值代入方程，可得到4x2+bx+5=0，再将x=1代入方程，可求出b的值.
19．【答案】（1）解：
（2）解：
∴x2-xy+y2
=(x+y)2-3xy
=(2)2-3×1
=12-3
=9
【解析】【分析】(1)代入相加求得x+y，利用平方差公式计算得到xy；
（2）先将 x2-xy+y2配方后整体代入计算.
20．【答案】解：设甬路的宽为xm，
根据题意得：
整理得
解得
当x=44时不符合题意，故舍去，
所以x=2.
答：甬路的宽为2米．
【解析】【分析】设甬路的宽为xm，六块草坪的面积为，把甬路进行平移，将草坪的面积拼成一个矩形，根据6块草坪的面积可列关于x的方程，解方程求出x的值，并根据x的实际意义进行值的取舍即可确定甬路的宽．
21．【答案】（1）解：设零件日产量的月平均增长率为x。
根据题意，得20000(1+x)2=24200，解得. (舍去)，
∴零件日产量的月平均增长率为10%
（2）解：24200×(1+0.1)=26620(个)。
∴预计4月份的平均日产量为26620个
【解析】【分析】(1)根据题意设零件日产量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解；
(2)结合(1)中的增长率，根据3月份平均日产量为24200个，即可预计4月份平均日产量.
22．【答案】（1）解：因为三角形的三边是整数，所以可以选用海伦公式计算面积．
，
．
（2）解：因为三角形的三边是无理数，平方后可得整数，所以可选秦九韶公式计算．
，，，
【解析】【分析】（1）海伦公式与秦九韶公式都适用于知道三角形的三边，求面积的计算，观察两个公式发现海伦公式更适用于边长为整数的情况，故先计算出半周长，再代入公式求面积即可；
（2）三角形的三边是无理数，平方后可得整数，故可选秦九韶公式计算即可．
（1）解：因为三角形的三边是整数，所以可以选用海伦公式计算面积．
，
．
（2）解：因为三角形的三边是无理数，平方后可得整数，所以可选秦九韶公式计算．
，，，
．
23．【答案】（1）2
（2）
（3）原式
，
．
【解析】【解答】（1）解：因为，
所以．
故答案为：2；
（2）解：原式，
故答案为：；
【分析】（1）根据对偶性的定义，若两个式子为对偶式，则它们的乘积等于被开方数之差；
（2）对于分母含有二次根式的式子，可通过乘以分母的对偶式进行分母有理化；
（3）观察式子中每一项的分母均为两个二次根式之和，可利用对偶式进行分母有理化，将每一项化为分子为两个二次根式之差，分母为常数的形式，然后通过观察各项之间的关系进行简便计算，中间项可互相抵消得出结论.
（1）解：因为，
所以．
故答案为：2；
（2）解：原式，
故答案为：；
（3）原式
，
．
24．【答案】（1）解：在方程中，，
∴方程无实数根，
∴方程与不互为“同根轮换方程”；
（2）解：∵方程与互为“同根轮换方程”，
∴
设t是公共根，则有，，
解得，．
∵，
∴．
∴．
∴（0值舍去）．
（3）解：当公共解为时，
∴，，，
∴，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，
∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”；
设公共解为时，，，，
同理可得，
∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”；
设公共解为，
由题意可得：，，，
同理可得，，，，
∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”．
【解析】【分析】(1)根据判断方程根的情况，再根据“同根轮换方程”的定义解答即可；
(2)根据方程： 与 互为“同根轮换方程”，得到m、n之间的关系为4m=-6n.然后设t是公共根，则有 6t+n=0，于是得到结论；
(3)根据 与 3=0互为“同根轮换方程”，得到它们的公共根是3，从而得到当p=q=-3a时，有 解得， 解得， 从而证得方程 与 互为“同根轮换方程”.