(共27张PPT)
第18章 勾股定理及其逆定理
18.1.1勾股定理
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容
01
会用面积法证明勾股定理.
02
培养严谨的数学学习态度，体会勾股定理的应用价值
03
02
复习旧知
直角三角形是一类特殊的三角形它的三边是否还具有特殊性呢？
三角形的三边关系：
“任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边”
02
创设情境
提问：“消防队员用云梯从9米高处救人，云梯最长伸10米，消防车离建筑多远？如果要救12米高处的人，消防车需要再向建筑移动多少米？”
03
新知探究
探究
如图,在行距、列距都是1个单位长度的方格网中,Rt△ABC的顶点都是格点，∠ACB=，分别以△ABC的各边为正方形的一边，向形外作正方形,并用S1，S2与S3表示这三个正方形的面积.
1.观察图(1),并填写:
S1= 个单位面积;
S2= 个单位面积;
S3= 个单位面积.
9
9
18
03
新知探究
2.观察图(2),并填写:
S1= 个单位面积;
S2= 个单位面积;
S3= 个单位面积.
9
16
25
3.图(1),(2)中三个正方形面积之间有怎样的关系
用它们的边长a，b，c表示: .
a + b = c
03
新知探究
4.如图18-2，在几何绘图软件中任意画一个Rt△ABC，其中∠C=90°、AB=c、BC=a、AC=b，度量△ABC的三边长a,b,c,猜想a,b,c有怎样的关系。
03
新知探究
猜想
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b.
则 a + b = c .
03
新知探究
证明：取4个与Rt△ABC全等的直角三角形,把它们拼成如图所示的边长为a+b的正方形EFGH.
由题意,得A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=c.
因为∠B1A1E+∠A1B1E=90°，∠A1B1E=∠D1A1H,
所以∠B1A1E+∠D1A1H=90°，∠D1A1B1=90°,
同理:∠A1B1C1=∠B1C1D1=∠C1D1A1=90°,
则四边形 A1B1C1D1是边长为c的正方形.
03
新知探究
分别记正方形EFGH和正方形A1B1C1D1的面积
为S正方形EFGH和S正方形A1B1C1D1则S正方形EFGH-4S△ABC
=S正方形A1B1C1D1
即
化简,得.
03
新知探究
归纳
勾股定理
如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可表示为a + b = c
:直角三角形两条直角边的平方和，等于以斜边的平方
几何语言：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴.
03
新知探究
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
股
国外又叫毕达哥拉斯定理
03
新知探究
例1 如图,在Rt△ABC中,两直角边AC=5，BC=12.求:
(1)AB的长;
(2)斜边上的高 CD 的长.
解(1)在Rt△ABC中，
AB2=AC2+BC2=52+122=169.
则AB =13.
(2)∵S△ABC=AC·BC=AB·CD，
∴CD = = = .
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列说法中正确的是( )
A．已知a，b，c 是三角形的三边长，则a 2＋b 2＝c 2
B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，所以a 2＋b 2＝c 2
D．在Rt△ABC 中，∠B＝90°，所以a 2＋b 2＝c 2
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2. 若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c 的关系式中不正确的是( )
A．b 2＝c 2－a 2 B．a 2＝c 2－b 2
C．b 2＝a 2－c 2 D．c 2＝a 2＋b 2
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3．已知a=3，b=4，若a，b，c能组成直角三角形，则c= 。
4.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d，且c＜a＜d＜b.若a＝2，b＋c＝12，则d＝ .
5或
10
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．
解：∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ADB中,∠B=45°,∠ADB=90°, AD=1
∴AD=BD=1
∴AB=
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
在Rt△ADC中,∠C=30°,∠ADB=90°
∴AC=2AD=2×1=2
∴CD=
∴BC=BD+CD=1+
∴C△ABC=AB+AC+BC=
05
课堂小结
勾股定理
定理：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言：
△ABC是直角三角形，三边之间的关系为：a + b = c
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图1所示，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长1倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ D ）
A. 72 B. 52 C. 80 D. 76
D
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2. 如图，正方形A和正方形C的面积分别为81，225，则正方
形B的面积是（ C ）
A. 12 B. 15 C. 144 D. 306
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E为AC上一点，连接BE交AD于点F. 若BF＝AC，FD＝CD，AB＝3 ，则AD的长为 .
4.在直角坐标系中，已知点P的坐标为（5,12），则点P到原点的距离是 .
3
13
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，且∠AOD＝90°.
（1）求证：AD2＋BC2＝AB2＋CD2；
解：（1）证明：∵AC和BD相交于点O，
∠AOD＝90°，
∴AO2＋DO2＝AD2，BO2＋CO2＝BC2，AO2＋
BO2＝AB2，CO2＋DO2＝CD2，
∴AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2＝（AO2
＋BO2）＋（CO2＋DO2）＝AB2＋CD2.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
（2）若BC＝2AD，AB＝12，CD＝9，求四边形ABCD的周
长.
解：（2）∵BC＝2AD，AB＝12，CD＝9，
∴AD2＋（2AD）2＝122＋92，
解得AD＝3 ，∴BC＝2AD＝6 ，
∴四边形ABCD的周长为
AD＋BC＋AB＋CD＝3 ＋6 ＋12＋9＝21＋9 .
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 下册第十八章
课标要求 1.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。 2.了解勾股数的概念，能识别常见的勾股数，探索勾股数的简单规律。 3.经历勾股定理及其逆定理的探究过程，体会“观察—猜想—验证—证明”的几何研究方法，感悟“数形结合”“从特殊到一般”等数学思想，培养几何推理能力和数学建模能力。 4.了解勾股定理的悠久历史和文化价值，尤其是我国古代数学家的贡献，增强民族自豪感和数学学习兴趣。
内容分析 本单元主要学习勾股定理及其逆定理。勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是几何学中的重要定理；其逆定理用于判定三角形是否为直角三角形。内容涵盖定理的探究验证、符号表达及实际应用，注重数形结合思想，为后续学习三角函数、圆等内容奠定基础。
学情分析 学生对勾股定理及逆定理的学情呈现“识记易、建模难、辨析弱”的特点。在此之前，学生已具备学生已掌握三角形基本性质及乘方运算，能轻松记忆“勾三股四弦五”等常见勾股数，也能进行简单的公式套用计算。然而，对定理的探究过程及逆定理的理解尚浅，容易混淆定理与逆定理的使用条件。教学中需通过直观操作和实际问题引导学生深入理解，培养逻辑推理能力和应用意识。
单元目标 （一）教学目标 1.通过对直角三角形三边关系的观察、分析，抽象出勾股定理和逆定理的本质内涵，能用符号语言准确表示定理，抽象出勾股数的概念，识别并探索勾股数的规律。 2.经历“观察特殊直角三角形—猜想一般规律—证明勾股定理—探究逆命题—证明逆定理”的完整过程，掌握“归纳推理”和“演绎推理”的方法，能模仿经典方法证明勾股定理及其逆定理，培养严谨的逻辑思维能力。 3.通过方格图观察、动手拼图（如赵爽弦图）等活动，直观感知直角三角形三边的数量关系和图形的割补转化，建立“形”与“数”的联系，提升几何直观能力。 （二）教学重点、难点 重点： 1. 勾股定理及其逆定理的探究与证明过程，理解定理的本质内涵。 2. 勾股定理及其逆定理的核心应用 难点： 1. 勾股定理的证明思路构建，尤其是“面积法”的应用（通过图形割补建立面积关系，进而推导边长关系）。 2.复杂实际问题的建模过程
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数18.1 勾股定理218.2 勾股定理逆定理2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务18.1.1勾股定理 1. 体验勾股定理的探究过程，理解其含义 2. 掌握勾股定理的内容，能用符号语言表示 3. 能运用勾股定理解决简单的几何问题1. 能通过拼图或面积法探究勾股定理 2. 能准确写出直角三角形的三边关系式 3. 能应用勾股定理求直角三角形的一边任务一：情境导入，观察直角三角形的三边关系 任务二：小组合作，通过拼图验证勾股定理 任务三：例题讲解，巩固勾股定理的应用18.1.2勾股定理1. 进一步理解勾股定理，掌握其常见应用类型 2. 能运用勾股定理解决实际问题 3. 能区分勾股定理的适用条件，避免常见错误1. 能根据实际问题建立直角三角形模型 2. 能正确列式并计算未知边长 3. 能解释勾股定理在实际情境中的意义任务一：复习导入，回顾勾股定理的表达式 任务二：情境探究，解决生活中的距离问题 任务三：拓展练习，综合运用勾股定理解决问题18.2.1勾股定理逆定理1. 探索并理解勾股定理的逆定理 2. 掌握勾股定理逆定理的内容，能用符号语言表示 3. 能运用逆定理判断一个三角形是否为直角三角形1. 能通过画图或计算验证三角形的三边关系 2. 能准确写出逆定理的表达式 3. 能应用逆定理解决简单的判定问题任务一：问题导入，如何判断一个三角形是直角三角形？ 任务二：小组探究，验证三边为3、4、5的三角形是否为直角三角形 任务三：例题讲解，运用逆定理判定直角三角形18.2.2勾股定理逆定理1. 进一步理解勾股定理的逆定理，掌握其应用 2. 能运用逆定理解决实际问题 3. 能区分勾股定理及其逆定理的使用场景1. 能根据实际问题中的三边关系判断三角形形状 2. 能正确运用逆定理进行推理和计算 3. 能解释逆定理在实际问题中的作用任务一：复习导入，回顾逆定理的表达式及判定方法 任务二：情境探究，解决实际问题（如判断是否为直角拐弯） 任务三：拓展练习，综合运用勾股定理及逆定理解决问题
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18.1.1勾股定理教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 18
课题 18.1.1勾股定理 课时 1
教材分析 勾股定理是几何与代数的桥梁，揭示直角三角形三边间的数量关系。教材从方格纸探索规律入手，引导学生猜想、证明，最终得出结论。其核心在于定理的证明及其初步应用，为后续学习实数、四边形等内容奠定基础。
学情分析 学生已掌握三角形、正方形等知识，具备一定观察、归纳能力。但八年级学生抽象思维尚在发展中，对面积法证明定理的理解可能存在困难，需通过直观操作帮助其突破思维障碍。
核心素养目标 1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容. 2.会用面积法证明勾股定理. 3.培养严谨的数学学习态度，体会勾股定理的应用价值
教学重点 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容
教学难点 会用面积法证明勾股定理
教学准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 三角形的三边关系： “任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边” 直角三角形是一类特殊的三角形它的三边是否还具有特殊性呢？ 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固以前学的内容，为后面的学习进行铺垫。
二、引新 创设情境，引入课题 提问：“消防队员用云梯从9米高处救人，云梯最长伸10米，消防车离建筑多远？如果要救12米高处的人，消防车需要再向建筑移动多少米？” 学生思考回答问题 让学生带着疑问进入课堂，激发学习本节课的兴趣
三、探究 合作探究，活动领悟 探究 如图，在行距、列距都是1个单位长度的方格网中，Rt△ABC的顶点都是格点，∠ACB=，分别以△ABC的各边为正方形的一边，向形外作正方形，并用S1，S2与S3表示这三个正方形的面积. 1.观察图(1)，并填写： S1= 个单位面积； S2= 个单位面积； S3= 个单位面积. 2.观察图(2)，并填写： S1= 个单位面积； S2= 个单位面积； S3= 个单位面积. 3.图(1)，(2)中三个正方形面积之间有怎样的关系 用它们的边长a，b，c表示： . 4.如图18-2，在几何绘图软件中任意画一个Rt△ABC，其中∠C=90°、AB=c、BC=a、AC=b，度量△ABC的三边长a，b，c，猜想a，b，c有怎样的关系。 猜想：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b. 则 a + b = c . 证明：取4个与Rt△ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图所示的边长为a+b的正方形EFGH. 由题意，得A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=c. 因为∠B1A1E+∠A1B1E=90°，∠A1B1E=∠D1A1H， 所以∠B1A1E+∠D1A1H=90°，∠D1A1B1=90°， 同理：∠A1B1C1=∠B1C1D1=∠C1D1A1=90°， 则四边形 A1B1C1D1是边长为c的正方形. 分别记正方形EFGH和正方形A1B1C1D1的面积 为S正方形EFGH和S正方形A1B1C1D1则S正方形EFGH-4S△ABC =S正方形A1B1C1D1 即 化简，得. 归纳： 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于以斜边的平方 如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可表示为a + b = c 几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴. 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 国外又叫毕达哥拉斯定理 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 小组讨论，归纳 通过探索的方式学习新知，培养学生独立思考，解决问题的态度.
三、变式 师生互动，变式深化 例1 如图，在Rt△ABC中，两直角边AC=5，BC=12.求： (1)AB的长； (2)斜边上的高 CD 的长. 解(1)在Rt△ABC中， AB2=AC2+BC2=52+122=169. 则AB =13. (2)∵S△ABC=AC·BC=AB·CD， ∴CD = = = . 学生思考解答 通过例题的讲解，巩固所学知识
四、尝试 尝试练习，巩固提高 1.下列说法中正确的是( ) A．已知a，b，c 是三角形的三边长，则a 2＋b 2＝c 2 B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，所以a 2＋b 2＝c 2 D．在Rt△ABC 中，∠B＝90°，所以a 2＋b 2＝c 2 2. 若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c 的关系式中不正确的是( ) A．b 2＝c 2－a 2 B．a 2＝c 2－b 2 C．b 2＝a 2－c 2 D．c 2＝a 2＋b 2 3．已知a=3，b=4，若a，b，c能组成直角三角形，则c= 。 4.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d，且c＜a＜d＜b.若a＝2，b＋c＝12，则d＝ . 5.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长． 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
五、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 勾股定理的内容 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书 设计
作业 设计 1.我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图1所示，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长1倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A. 72 B. 52 C. 80 D. 76 2. 如图，正方形A和正方形C的面积分别为81，225，则正方形B的面积是（ ） A. 12 B. 15 C. 144 D. 306 3. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E为AC上一点，连接BE交AD于点F. 若BF＝AC，FD＝CD，AB＝3 ，则AD的长为 . 4.在直角坐标系中，已知点P的坐标为（5，12），则点P到原点的距离是 . 5.如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，且∠AOD＝90°. （1）求证：AD2＋BC2＝AB2＋CD2； （2）若BC＝2AD，AB＝12，CD＝9，求四边形ABCD的周长.
教学反思 本节课通过拼图活动，有效激发了学生的探究兴趣，较好地突破了面积法证明这一难点。但课堂节奏稍快，部分学生对定理的多种证明方法消化不够，后续应给予更多交流与内化的时间。
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