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18.1.2勾股定理教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 18
课题 18.1.2勾股定理 课时 1
教材分析 本课是勾股定理的初步应用。教材通过例题建立几何模型，旨在培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。内容上承直角三角形性质，下启勾股逆定理，是数形结合思想的经典体现，重点在于定理的灵活运用与建模意识。
学情分析 学生已掌握勾股定理的基本内容，但空间想象能力尚弱，对抽象的实际问题（如立体图形展开）常感困难。多数学生能进行简单计算，但在复杂情境中提取直角三角形模型、选择合适方法求解方面，仍需教师引导与强化训练。
核心素养目标 1.利用勾股定理解决几何问题. 2.会用勾股定理进行简单的计算. 3.培养严谨的数学学习态度，体会勾股定理的应用价值
教学重点 利用勾股定理解决几何问题
教学难点 会用勾股定理进行简单的计算
教学准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. a + b = c 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固以前学的内容，为后面的学习进行铺垫。
二、引新 创设情境，引入课题 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m、宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 学生思考回答问题 让学生带着疑问进入课堂，激发学习本节课的兴趣
三、探究 合作探究，活动领悟 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AC2=___________=________=_____ AC=_____≈______ 因为_______________ 所以木板能从门框内通过. 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 通过探索的方式学习新知，培养学生独立思考，解决问题的态度.
三、变式 师生互动，变式深化 例1、 现有一楼房发生火灾,消防队员决定用消防车上的云梯救人,如图.已知该消防车高3m,将云梯伸长到10m,在成功救出位于9m高处的受困人后,还要救援位于12m高处的受困人,如果云梯的长保持不变,这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米？(精确到0.1m) 解：如图,设A是云梯的下端点,AB是伸长到10m后的云梯,B是第一次救人的地点,D是第二次救人的地点,过点A的水平线与楼房 ED的交点为O. 则OB=9-3=6(m)，OD=12-3=9(m) 根据勾股定理,得AO2=AB2-OB2=102-62=64 则AO=8m 设AC=xm,则OC=(8-x)m 根据勾股定理,得OC2+OD2=CD2,即(8-x)2+92 =102 解方程,得x1≈12.4，x2≈3.7 ∵AC
四、尝试 尝试练习，巩固提高 1.一根旗杆从离地4.5 m的地方折断，旗杆顶部落在离旗杆底部6 m处，则旗杆折断前高为 ( ) A．10.5 m B．7.5 m C．12 m D．8 m 2.如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行 ( ) A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m 3.如图，一架梯子长25 m，斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7 m．如果梯子的顶端下滑了4 m，则梯子的底端在水平方向移动了 m. 4.将一根25 cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm，6cm，10cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 cm. 5.如图，小明家居住的甲楼AB面向正北，现计划在他家居住的楼前修建一座乙楼CD，楼高为18米，已知冬天的太阳最低时，光线与水平线的夹角为30°，若让乙楼的影子刚好不影响甲楼，则两楼之间距离至少应是多少米？ 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
五、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 勾股定理的应用，解决实际问题 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书 设计
作业 设计 1.如图，有一“工”字形的机器零件，它是轴对称图形，图中所有的角都是直角，各边数据如图（单位：cm），那么A，B两点之间的距离为 ( ) A．8 cm B．8cm C．16 cm D．16cm 2.如图所示，将边长为8 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是 ( ) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 3.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？ 题意是：如图，一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为 尺. 5.图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为________________. 5. 某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬长的云梯，到 高的宿舍楼顶营救“被困”学生.已知消防车按如图所示停放，云梯的底端距离地面，与宿舍外墙 的距离是 .请问云梯够长吗？说明理由.
教学反思 本节课例教学效果良好，学生能积极参与，但处理立体图形展开时部分学生空间感不足。今后应多借助教具或多媒体动态演示，降低思维难度。同时需加强变式训练，避免思维定势，并关注解题步骤的规范性，进一步提升学生应用能力。
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 下册第十八章
课标要求 1.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。 2.了解勾股数的概念，能识别常见的勾股数，探索勾股数的简单规律。 3.经历勾股定理及其逆定理的探究过程，体会“观察—猜想—验证—证明”的几何研究方法，感悟“数形结合”“从特殊到一般”等数学思想，培养几何推理能力和数学建模能力。 4.了解勾股定理的悠久历史和文化价值，尤其是我国古代数学家的贡献，增强民族自豪感和数学学习兴趣。
内容分析 本单元主要学习勾股定理及其逆定理。勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是几何学中的重要定理；其逆定理用于判定三角形是否为直角三角形。内容涵盖定理的探究验证、符号表达及实际应用，注重数形结合思想，为后续学习三角函数、圆等内容奠定基础。
学情分析 学生对勾股定理及逆定理的学情呈现“识记易、建模难、辨析弱”的特点。在此之前，学生已具备学生已掌握三角形基本性质及乘方运算，能轻松记忆“勾三股四弦五”等常见勾股数，也能进行简单的公式套用计算。然而，对定理的探究过程及逆定理的理解尚浅，容易混淆定理与逆定理的使用条件。教学中需通过直观操作和实际问题引导学生深入理解，培养逻辑推理能力和应用意识。
单元目标 （一）教学目标 1.通过对直角三角形三边关系的观察、分析，抽象出勾股定理和逆定理的本质内涵，能用符号语言准确表示定理，抽象出勾股数的概念，识别并探索勾股数的规律。 2.经历“观察特殊直角三角形—猜想一般规律—证明勾股定理—探究逆命题—证明逆定理”的完整过程，掌握“归纳推理”和“演绎推理”的方法，能模仿经典方法证明勾股定理及其逆定理，培养严谨的逻辑思维能力。 3.通过方格图观察、动手拼图（如赵爽弦图）等活动，直观感知直角三角形三边的数量关系和图形的割补转化，建立“形”与“数”的联系，提升几何直观能力。 （二）教学重点、难点 重点： 1. 勾股定理及其逆定理的探究与证明过程，理解定理的本质内涵。 2. 勾股定理及其逆定理的核心应用 难点： 1. 勾股定理的证明思路构建，尤其是“面积法”的应用（通过图形割补建立面积关系，进而推导边长关系）。 2.复杂实际问题的建模过程
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数18.1 勾股定理218.2 勾股定理逆定理2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务18.1.1勾股定理 1. 体验勾股定理的探究过程，理解其含义 2. 掌握勾股定理的内容，能用符号语言表示 3. 能运用勾股定理解决简单的几何问题1. 能通过拼图或面积法探究勾股定理 2. 能准确写出直角三角形的三边关系式 3. 能应用勾股定理求直角三角形的一边任务一：情境导入，观察直角三角形的三边关系 任务二：小组合作，通过拼图验证勾股定理 任务三：例题讲解，巩固勾股定理的应用18.1.2勾股定理1. 进一步理解勾股定理，掌握其常见应用类型 2. 能运用勾股定理解决实际问题 3. 能区分勾股定理的适用条件，避免常见错误1. 能根据实际问题建立直角三角形模型 2. 能正确列式并计算未知边长 3. 能解释勾股定理在实际情境中的意义任务一：复习导入，回顾勾股定理的表达式 任务二：情境探究，解决生活中的距离问题 任务三：拓展练习，综合运用勾股定理解决问题18.2.1勾股定理逆定理1. 探索并理解勾股定理的逆定理 2. 掌握勾股定理逆定理的内容，能用符号语言表示 3. 能运用逆定理判断一个三角形是否为直角三角形1. 能通过画图或计算验证三角形的三边关系 2. 能准确写出逆定理的表达式 3. 能应用逆定理解决简单的判定问题任务一：问题导入，如何判断一个三角形是直角三角形？ 任务二：小组探究，验证三边为3、4、5的三角形是否为直角三角形 任务三：例题讲解，运用逆定理判定直角三角形18.2.2勾股定理逆定理1. 进一步理解勾股定理的逆定理，掌握其应用 2. 能运用逆定理解决实际问题 3. 能区分勾股定理及其逆定理的使用场景1. 能根据实际问题中的三边关系判断三角形形状 2. 能正确运用逆定理进行推理和计算 3. 能解释逆定理在实际问题中的作用任务一：复习导入，回顾逆定理的表达式及判定方法 任务二：情境探究，解决实际问题（如判断是否为直角拐弯） 任务三：拓展练习，综合运用勾股定理及逆定理解决问题
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第18章 勾股定理及其逆定理
18.1.2勾股定理
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
利用勾股定理解决几何问题
01
会用勾股定理进行简单的计算
02
培养严谨的数学学习态度，体会勾股定理的应用价值
03
02
复习旧知
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
a + b = c
a
b
c
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
02
创设情境
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m、宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过 为什么
实际问题
数学问题
实物图形
几何图形
03
新知探究
A
B
C
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC2=___________=________=_____
AC=_____≈______
因为_______________
所以木板能从门框内通过.
AB2+BC2
12+22
2.24
2.242.2
5
03
新知探究
例1、 现有一楼房发生火灾,消防队员决定用消防车上的云梯救人,如图.已知该消防车高3m,将云梯伸长到10m,在成功救出位于9m高处的受困人后,还要救援位于12m高处的受困人,如果云梯的长保持不变,这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米 (精确到0.1m)
03
新知探究
解：如图,设A是云梯的下端点,AB是伸长到10m后的云梯,B是第一次救人的地点,D是第二次救人的地点,过点A的水平线与楼房 ED的交点为O.
则OB=9-3=6(m)，OD=12-3=9(m)
根据勾股定理,得AO2=AB2-OB2=102-62=64
则AO=8m
设AC=xm,则OC=(8-x)m
根据勾股定理,得OC2+OD2=CD2,即(8-x)2+92 =102
解方程,得x1≈12.4，x2≈3.7
∵AC∴x1不合题意.∴x≈3.7.
答:这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近约3.7m
03
新知探究
归纳
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
建
构
利用
决
解
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.一根旗杆从离地4.5 m的地方折断，旗杆顶部落在离旗杆底部6 m处，则旗杆折断前高为 ( )
A．10.5 m B．7.5 m C．12 m D．8 m
2.如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行 ( )
A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m
C
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，一架梯子长25 m，斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7 m．如果梯子的顶端下滑了4 m，则梯子的底端在水平方向移动了 m.
4.将一根25 cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm，6cm，10cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 cm.
8
5
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.如图，小明家居住的甲楼AB面向正北，现计划在他家居住的楼前修建一座乙楼CD，楼高为18米，已知冬天的太阳最低时，光线与水平线的夹角为30°，若让乙楼的影子刚好不影响甲楼，则两楼之间距离至少应是多少米？
解：∵CE∥DB
∴∠ECB=30°
∴∠CBD=30°
在Rt△CBD中，CD=18m
CB=2CD=2×18=36（m）
∴BD===18（m）
05
课堂小结
勾股定理的应用
将生活中的实际问题转化为平面几何直角三角形，利用勾股定理解决.
理解勾股定理应用关键在数学的建模，将实际问题转化平面图形问题.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，有一“工”字形的机器零件，它是轴对称图形，图中所有的角都是直角，各边数据如图（单位：cm），那么A，B两点之间的距离为 ( )
A．8 cm B．8cm C．16 cm D．16cm
D
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2.如图所示，将边长为8 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是 ( )
A．3 cm B．4 cm
C．5 cm D．6 cm
A
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何
题意是：如图，一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高 则折断处离地面的高度为 尺.
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4.图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为________________.
x2＋22＝(x+0.5)
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5. 某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬长的云梯，到 高的宿舍楼顶营救“被困”学生.已知消防车按如图所示停放，云梯的底端距离地面，与宿舍外墙 的距离是 .请问云梯够长吗？说明理由.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解：够长，理由如下：
， 云梯够长．
.
如答图，过点作于点,于点 ，
连接，则 ,
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