(共17张PPT)
第七章
相交线与平行线
第七章复习
1
知识回顾
2
分层检测
1．【例】如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC.若∠BOD＝70°，则∠AOE＝（ ）
A.30° B．35°
C.40° D．45°
相交线
2.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，
∠EOD＝38°，则∠AOC＝ ．
B
52°
3．【例】如图，AB⊥l1，AC⊥l2，垂足分别为B，A，已知AB＝12，BC＝5，AC＝13，则点A到直线l1的距离是 ．
点到直线的距离
4.如图，点P处安装了一个路灯，能照射范围的水平距离为线段AB，测得PA＝10 m，PB＝8 m，则点P到直线AB的距离可能为（ ）
A．10 m B．9 m
C.8 m D．7 m
12
D
5．【例】如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中能判定a∥b的是（ ）
A.∠1＝∠4
B.∠2＋∠3＝180°
C.∠2＝∠5
D.∠4＝∠5
平行线的判定
D
6.如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判定AB∥CD的是（ ）
A.∠3＝∠4
B.∠1＝∠2
C.∠D＝∠DCE
D.∠D＋∠DCA＝180°
B
7．【例】如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，若∠A＝130°，则∠B的度数是 ．
8.如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B＝56°，则∠D的度数是 ．
平行线的性质
130°
124°
9．【例】给出以下四个命题：
①如果b∥c，a⊥b，那么a⊥c；
②同旁内角互补；
③相等的角是对顶角；
④如果b∥a，c∥a，那么b∥c.
其中是假命题的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
命题与平移
B
10.如图，在一块长AB＝24 m，宽BC＝17 m的长方形草地上，修建三条宽均为2 m的长方形小路，则这块草地的绿地面积为 m2.
300
11．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠BOD.若∠COE＝36°，求∠BOF的度数．
解：∵OE⊥AB，∴∠EOB＝90°，
∵∠COE＝36°，
∴∠BOC＝∠EOB－∠COE＝54°，
∴∠BOD＝180°－∠BOC＝126°，
∵OF平分∠BOD，∴∠BOF＝ ∠BOD＝63°.
12．如图，∠B＝50°，CG平分∠DCF，∠FCG＝65°.求证：AB∥EF.
证明：∵CG平分∠DCF，∠FCG＝65°，
∴∠DCF＝2∠FCG＝130°，
∴∠BCE＝∠DCF＝130°，
∵∠B＝50°，
∴∠B＋∠BCE＝180°，
∴AB∥EF.
13．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠1．求证：AD平分∠BAC.
证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴∠ADC＝∠EGC＝90°，
∴AD∥EG，∴∠1＝∠2，∠E＝∠3，
又∵∠E＝∠1，∴∠2＝∠3，
∴AD平分∠BAC.
14．如图，∠B＝∠CDF，∠1＝∠2，∠3＝64°.
（1）求证：CD∥EF；
（2）若AF平分∠BAE，求∠1的度数．
(1)证明：∵∠B＝∠CDF，∴AB∥CD，
∵∠1＝∠2，∴AB∥EF，∴CD∥EF；
(2)解：∵AB∥CD，∴∠BAE＋∠3＝180°，
∵∠3＝64°，∴∠BAE＝180°－∠3＝116°，
∵AF平分∠BAE，∴∠1＝ ∠BAE＝58°.
15．综合与探究
【问题情境】如图1，直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1＋∠2＝180°.
【初步感知】（1）求证：AB∥CD.
(1)证明：∵∠1＋∠2＝180°，∠2＝∠CFE，∠1＝∠AEF，∴∠AEF＋∠CFE＝180°，∴AB∥CD；
【问题解决】
（2）如图2，在（1）的条件下，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH.
(2)证明：由(1)知，AB∥CD，∴∠BEF＋∠EFD＝180°，
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∠PEF＝ ∠BEF，∠PFE＝ ∠EFD，
∴∠PEF＋∠PFE＝ (∠BEF＋∠EFD)＝90°，
∴∠EPF＝90°，∵GH⊥EG，
∴∠PGH＝90°，即∠EPF＝∠PGH，∴PF∥GH；
【拓展迁移】
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，Q是EF上一点，且∠HPQ＝45°，若∠PHG＝15°，请直接写出∠QPE的度数．
(3)解：∵GH⊥EG，∴∠PGH＝90°，
∵∠PHG＝15°，∴∠HPG＝75°，
∵∠HPQ＝45°，∠QPE＋∠HPQ＋∠HPG＝180°，
∴∠QPE＝60°.
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第七章
相交线与平行线
第4课时 两条直线被第三条直线所截
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
如图，两条直线a，b被第三条直线c所截，形成了八个角．
（1）同位角：在直线a，b同一侧，且在直线c的同一侧
的两个角，如∠1与 ，∠3与 ．
（2）内错角：在直线a，b之间，且分别在直线c的两侧
的两个角，如∠3与 ， ∠5与 ．
（3）同旁内角：在直线a，b之间，且在直线c的同一侧
的两个角，如∠3与 ，∠6与 .
∠6
∠8
∠6
∠4
∠5
∠4
1．【例】如图，直线AB，CD被第三条直线EF所截，构成八个角．
（1）∠1与∠5是 角；
（2）∠4与∠6是 角；
（3）∠4与∠5是 角；
（4）∠3与∠7是 角．
同位角、内错角、同旁内角
同位
同旁内
内错
同位
2．结合图形填空：
（1）∠1与 是同位角；
（2）∠1与 是内错角；
（3）∠5与 是内错角；
（4）∠1与 是同旁内角；
（5）∠5与 是同旁内角．
∠3
∠6
∠6
∠2
∠4
3.【例】 如图，下列说法正确的是（ ）
A.∠2与∠B是同位角
B.∠2与∠B是内错角
C.∠1与∠A是内错角
D.∠3与∠B是同旁内角
D
4.如图，下列说法错误的是（ ）
A.∠1与∠2是同旁内角
B.∠1与∠4是同旁内角
C.∠5与∠2是内错角
D.∠5与∠3是内错角
C
5.【例】结合图形填空：
（1）∠1与∠2是 角；
（2）∠3与∠4是 角；
（3）∠3与∠5是 角；
（4）∠ABC与∠4是 角．
6.结合图形填空：
（1）∠2与∠4是 角；
（2）∠3与∠4是 角；
（3）∠2与∠5是 角；
（4）∠1的同位角是______________．
同旁内
同位
内错
同位
同旁内
内错
内错
∠3或∠5
7.【例】结合图形填空：
（1）∠1与∠2是直线 和 被直线 所截形成的
角；
（2）∠5与∠B是直线 和 被直线 所截形成的
角；
（3）∠D与∠DCB是直线 和 被
直线 所截形成的 角．
AB
CD
AC
内错
AD
BC
同位
AB
AD
同旁内
BC
DC
8.结合图形填空：
（1）直线ED，BC被直线AB所截，则∠1和 是同位角；
（2）直线ED，BC被直线AF所截，则∠3和 是内错角；
（3）∠1和∠3是直线AB，AF被直线 所截形成的内错角．
∠2
∠4
DE
9．如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是（ ）
A. ∠1与∠2是邻补角
B．∠1与∠3是对顶角
C．∠2与∠4是同位角
D．∠3与∠4是内错角
D
10．如图，下面说法错误的是（ ）
A. ∠1与∠C是内错角
B．∠2与∠C是同位角
C．∠1与∠3是对顶角
D．∠1与∠2是邻补角
B
11．如图，下列说法正确的是（ ）
A. ∠1与∠4是内错角
B．∠1与∠3是同位角
C．∠3与∠4是同旁内角
D．∠1与∠C是同位角
D
12．根据图形填空：
（1）与∠1是同旁内角的是 ；
（2）与∠2是内错角的是 ；
（3）与∠4是内错角的是 ；
（4）与∠3是同位角的是 ．
∠5
∠3
∠1
∠1或∠5
13．如图，∠1与∠2是同位角的是（ ）
A．（2）（3） B．（2）（3）（4）
C．（1）（2）（4） D．（3）（4）
C
14．如图，下列说法：
①∠1与∠3是内错角； ②∠B与∠4是同位角；
③∠1与∠2是同旁内角； ④∠1与∠ACE是内错角．
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②
C．①②③ D．①②③④
D
15．根据图形填空：
（1）直线AB和CD被直线AC所截形成的内错角是 ；
（2）直线AB和CD被直线BE所截形成的同位角是 ；
（3）直线AD和BE被直线AB所截形成的同旁内角是 ；
（4）∠3与∠6是直线 和 被
直线 所截形成的 角．
∠1与∠5
∠4与∠ABC
∠DAB与∠ABC
AD
BD
BE
内错
16．根据图形回答下列问题：
（1）∠1的内错角是 ；
（2）∠F和∠3是 角；
（3）∠2的同位角是 ；
同旁内
∠4
∠4
（4）如果∠1＝∠4，那么∠2和∠4相等吗？为什么？
（5）如果∠2＝∠4，那么∠3和∠4互补吗？为什么？
解：(4)相等，理由如下：
因为∠1＝∠2，∠1＝∠4，所以∠2＝∠4；
(5)互补，理由如下：
因为∠2＋∠3＝180°，∠2＝∠4，
所以∠3＋∠4＝180°，所以∠3和∠4互补．
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第七章
相交线与平行线
微专题一 平行线中的拐点问题
1
课堂讲练
2
分层检测
1．【例】探究题：
（1）如图1，若AB∥CD，则∠B＋∠D＝∠E，你能说明理由吗？
M型和铅笔型
解：(1)能，理由如下：
如图1，过点E作EF∥AB，则∠B＝∠BEF，
∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥CD，
∴∠D＝∠DEF，
∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝∠B＋∠D；
图1
（2）若将点E移至图2的位置，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？并证明．
(2)∠B＋∠D＋∠E＝360°，证明如下：如图2，
过点E作EF∥AB，则∠B＋∠BEF＝180°，
∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥CD，
∴∠D＋∠DEF＝180°，
∴∠B＋∠BEF＋∠D＋∠DEF＝180°＋180°＝360°，
又∵∠BEF＋∠DEF＝∠BED，∴∠B＋∠D＋∠BED＝360°.
图2
2．【例】已知AB∥CD，E为AB，CD之外任意一点．
（1）如图1，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系是：
；
（2）如图2，探究∠CDE与∠B，∠E的数量关系是：
；
钩型
∠BED＝∠B－∠D
∠CDE＝∠B＋∠E
（3）应用：如图3，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝ ．
30°
3．【例】下列各图中的MA1与NAn平行．
多拐点型
（1）图1中的∠A1＋∠A2＝ ；图2中的∠A1＋∠A2＋∠A3＝ ；图3中的∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝ ；图4中的∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝ ；
（2）图n中的∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠An＋1＝ ．
180°
360°
720°
540°
180n°
4．如图，AB∥CD，∠A＝37°，∠C＝65°，那
么∠F等于（ ）
A．28° B．63°
C.37° D．60°
A
5．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°.顶部支架EF与灯杆CD所
成锐角β＝45°，则EF与FG所成锐角的度数为（ ）
A．60° B．55°
C.50° D．45°
A
6．如图，若AB∥CD，则α，β，γ之间的关系为（ ）
A.α＋β＋γ＝360°
B.α－β＋γ＝70°
C.α＋β－γ＝180°
D.α＋β＋γ＝180°
C
7．如图，已知AB∥CD，EF平分∠AEN，连接FN交CD于点M，若∠CMF＝40°，∠AEF＝70°，则∠ENM的度数为（ ）
A.80°
B.70°
C.90°
D.110°
A
8．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°.
（1）若∠E＝50°，则∠F＝ ；
图1
图2
80°
（2）请判断∠BEF与∠EFD之间满足的数量关系？说明理由；
图1
解：(2)∠BEF＝∠EFD－30°，
理由如下：如图1，过点E作EM∥AB，过点F作NF∥CD，
∵AB∥CD，∴AB∥EM∥NF∥CD，
∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，∠NFD＋∠D＝180°．
∴∠BEF＝30°＋∠MEF，∠EFD＝60°＋∠EFN，
∴∠MEF＝∠BEF－30°，∠EFN＝∠EFD－60°，
又∵∠MEF＝∠EFN，∴∠BEF－30°＝∠EFD－60°，
∴∠BEF＝∠EFD－30°；
图1
（3）如图2，若EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
图2
(3)如图2，过点F作FH∥EP，
由(2)知∠EFD＝∠BEF＋30°.设∠BEF＝2x°，
则∠EFD＝(2x＋30)°，∵EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，
∴∠PEF＝ ∠BEF＝x°，∠EFG＝ ∠EFD＝(x＋15)°，
∵FH∥EP，∴∠EFH＝∠PEF＝x°，∠P＝∠HFG，
∵∠HFG＝∠EFG－∠EFH＝15°，∴∠P＝15°.
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第七章
相交线与平行线
单元核心思想归纳1
1．【例】如图，BG∥CE，BC∥GE，点F在GE上，线段BG的延长线与线段CF的延长线相交于点A.如果∠AGE＝70°，∠FCB∶∠FCE＝5∶6，则∠CFE的度数为（ ）
A．45° B．50°
C．55° D．60°
方程与设元思想
B
2.【例】如图，CD⊥AB，垂足为D，FE⊥AB，垂足
为E，∠ACD＋∠F＝180°.
（1）求证：AC∥FG；
(1)证明：∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴∠ADC＝∠AEH＝90°，
∴EF∥DC，∴∠AHE＝∠ACD，
∵∠ACD＋∠F＝180°.∴∠AHE＋∠F＝180°，
∵∠AHE＋∠EHC＝180°，∴∠EHC＝∠F，
∴AC∥FG；
（2）若∠F＝3∠G，∠BCD∶∠ACD＝2∶3，
求∠BCD的度数．
(2)解：∵∠BCD∶∠ACD＝2∶3，
∴设∠BCD＝2x°，∠ACD＝3x°，
∵AC∥FG，∴∠G＝∠ACB＝∠BCD＋∠ACD＝5x°，
∵∠F＝3∠G，∴∠F＝15x°，
∵∠ACD＋∠F＝180°，∴3x＋15x＝180，即x＝10，
∴∠BCD＝2x°＝20°.
3.【例】如图，在三角形ABC中，点D，F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2＋∠3＝180°.
（1）判断EH与AD的位置关系，并说明理由．
解：(1)EH∥AD，理由如下：
∵∠1＝∠B，∴AB∥GD，∴∠2＝∠BAD，
∵∠2＋∠3＝180°，∴∠BAD＋∠3＝180°，∴EH∥AD；
（2）若∠DGC＝58°，且∠H＝∠4＋10°，求∠H的度数．
(2)由(1)得AB∥GD，∴∠2＝∠BAD，∠DGC＝∠BAC，
∵∠DGC＝58°，∴∠BAC＝58°，
∵EH∥AD，∴∠2＝∠H，∴∠H＝∠BAD，
∴∠BAC＝∠BAD＋∠4＝∠H＋∠4＝58°，
∵∠H＝∠4＋10°，∴∠4＋10°＋∠4＝58°，解得∠4＝24°，
∴∠H＝34°.
4．【例】将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠B＝60°，∠E＝30°，∠A＝∠D＝45°），当∠ACE＜180°，且点E在直线AC的上方时，满足三角尺BCE有一条边与斜边AD平行，那么此时∠ACE＝ ．
分类讨论思想
135°或165°或45°
5.【例】如图，点O在直线EF上，点A，B与点C，D分别在直线EF两侧，且∠AOB＝120°，∠COD＝70°.若OC平分∠BOD，OE平分∠AOD，过点O作射线OG⊥OB，求∠EOG的度数.
解：∵OC平分∠BOD，∠COD＝70°，
∴∠BOD＝2∠COD＝140°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝360°－∠AOB－∠BOD＝360°－120°－140°＝100°.
当OG在EF下方时，如图1，
∵OE平分∠AOD，∠AOD＝100°，
∴∠AOE＝ ∠AOD＝50°，
∵OG⊥OB，∴∠BOG＝90°，
∴∠AOG＝∠AOB－∠BOG＝30°，
∴∠EOG＝∠AOG＋∠AOE＝80°.
图1
当OG在EF上方时，如图2，
∵OE平分∠AOD，∠AOD＝100°，
∴∠AOE＝ ∠AOD＝50°，
∵OG⊥OB，∴∠BOG＝90°，
∵∠AOE＋∠AOB＋∠BOG＋∠EOG＝360°，∠AOB＝120°，
∴∠EOG＝100°，
综上，∠EOG的度数为80°或100°.
图2
6.【例】已知两条平行线AB，CD和一块含45°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°），且点E，F不能同时落在直线AB和CD之间．
（1）如图1，把三角尺的45°角的顶点E，G分别放在AB，CD上，若∠BEG＝150°，则∠FGC的度数为 ；
105°
（2）如图2，把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，若点E恰好落在AB和CD之间，AB与EF相交于点M，且所夹锐角为25°，求∠FGC的度数；
(2)解：过点E作EH∥AB，如图1，
∵AB∥CD，∴EH∥AB∥CD，
∴∠BME＝∠FEH＝25°，∠DGE＝∠HEG.
∴∠FEG＝∠FEH＋∠GEH＝∠BME＋∠DGE＝45°，
∴∠DGE＝20°，
∴∠FGC＝180°－∠FGE－∠DGE＝115°；
图1
（3）把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，旋转三角尺，是否存在∠FGC＝11∠DGE（∠DGE＜45°）？若存在，请求出射线GF与AB所夹锐角的度数；若不存在，请说明理由.
(3)解：存在，有两种情况．
①当点E在CD上方时，如图2，
∵∠FGC＝11∠DGE，
∴∠DGE＋11∠DGE＋45°＝180°，
∴∠DGE＝11.25°，
∴射线GF与AB所夹锐角的度数为45°＋11.25°＝56.25°.
图2
②当点E在CD下方时，如图3，
∵∠FGC＝11∠DGE，∠FGC＋∠FGD＝180°，
∴11∠DGE＋45°－∠DGE＝180°，
∴∠DGE＝13.5°.
∴射线GF与AB所夹锐角的度数为45°－13.5°＝31.5°.
综上所述，射线GF与AB所夹锐角的度数为56.25°或31.5°.
图3
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第七章
相交线与平行线
第7课时 平行线的判定(2)
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
平行线的判定：
（1）同位角 ，两直线平行；
（2）内错角 ，两直线平行；
（3）同旁内角 ，两直线平行；
（4） 于同一条直线的两直线平行．
相等
相等
互补
平行
1．【例】如图，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2. 求证：AB∥CD.
与角平分线相关的问题
证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠1，
∵CF平分∠BCD，∴∠BCD＝2∠2，
∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠BCD，
∴AB∥CD.
2.如图，AC平分∠EAG，BD平分∠FBG，∠EAG＝∠FBG.求证：AC∥BD.
证明：∵AC平分∠EAG，∴∠1＝ ∠EAG，
∵BD平分∠FBG，∴∠2＝ ∠FBG，
∵∠EAG＝∠FBG，∴∠1＝∠2，
∴AC∥BD.
3．【例】如图，AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝15°，∠2＝15°.求证：AE∥BF.
与垂直相关的问题
证明：∵AC⊥AE，BD⊥BF，
∴∠EAC＝∠FBD＝90°，
∵∠1＝∠2＝15°，
∴∠1＋∠EAC＝∠2＋∠FBD，
即∠EAG＝∠FBG，∴AE∥BF.
4.如图，AB⊥BC，BC⊥CD，∠1＝∠2.求证：BE∥CF.
证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2，
即∠EBC＝∠FCB，∴BE∥CF.
5．【例】如图，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°.求证：AC∥FG.
与平行公理的推论相关的问题
证明：∵∠1＝∠2，∴AC∥DE，
∵∠3＋∠4＝180°，∴FG∥DE，∴AC∥FG.
6.如图，∠A＝∠E＝130°，∠1＝∠2＝50°.求证：AB∥EF.
证明：∵∠A＝130°，∠1＝50°，
∴∠A＋∠1＝180°，
∴AB∥CD，∵∠E＝130°，∠2＝50°，∴∠E＋∠2＝180°，
∴EF∥CD，
∴AB∥EF.
7．如图，∠C＝45°，AD⊥BC于点D，DE平分∠ADB.求证：DE∥AC .
证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，
∵DE平分∠ADB，
∴∠BDE＝ ∠ADB＝45°，
∵∠C＝45°，∴∠BDE＝∠C，
∴DE∥AC.
8．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B，C，BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD.求证：BE∥CF.
证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠EBC＝ ∠ABC，∴∠FCB＝ ∠BCD，
∴∠EBC＝∠FCB，∴BE∥CF.
9．如图，CD⊥MN，AB⊥MN，垂足分别为B，D，∠FDC＝∠EBA.求证：DF∥BE.
证明：∵CD⊥MN，AB⊥MN，
∴∠CDM＝∠ABM＝90°，
∵∠FDC＝∠EBA，
∴∠CDM－∠FDC＝∠ABM－∠EBA，
即∠FDM＝∠EBM，∴DF∥BE.
10．如图，AB⊥BC于点B，∠1＋∠2＝90°，∠2＝∠3.求证：BE∥DF.
证明：∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，
∴∠3＋∠4＝90°，
∵∠2＝∠3，∴∠2＋∠4＝90°，
又∵∠1＋∠2＝90°，
∴∠4＝∠1，
∴BE∥DF.
11．如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠AME＝
∠CNE，∠1＝∠2.求证：
（1）AB∥CD；（2）PM∥QN.
证明：(1)∵∠AME＝∠CNE，∴AB∥CD；
(2)∵∠AME＝∠BMF，∠DNF＝∠CNE，∠AME＝∠CNE，
∴∠BMF＝∠DNF，∵∠1＝∠2，∴∠BMF－∠1＝∠DNF－∠2，
即∠PMF＝∠QNF，∴PM∥QN.
12．如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1＝∠2.求证：
（1）AD∥EF；（2）AB∥ED.
证明：(1)∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠1，
∵EF平分∠DEC，∴∠CEF＝∠2，
∵∠1＝∠2，∴∠CAD＝∠CEF，∴AD∥EF；
(2)∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠1，
∵EF平分∠DEC，∴∠DEC＝2∠2，
∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DEC，∴AB∥ED.
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第七章
相交线与平行线
第9课时 平行线的判定与性质综合
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
1.平行线的判定：
（1）同位角 ，两直线平行；
（2）内错角 ，两直线平行；
（3）同旁内角 ，两直线平行．
2．平行线的性质：
（1）两直线平行，同位角 ；
（2）两直线平行，内错角 ；
（3）两直线平行，同旁内角 ．
相等
相等
互补
相等
相等
互补
1．【例】如图，DE∥BC，∠1＝∠2.求证：AB∥EF.
平行线的判定与性质
证明：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠B，
∵∠1＝∠2，
∴∠B＝∠2，
∴AB∥EF.
2.如图，AB∥DE，∠1＝∠2.求证：AE∥DC.
证明：∵AB∥DE，
∴∠1＝∠AED，
∵∠1＝∠2，
∴∠AED＝∠2，
∴AE∥DC.
3.【例】如图，∠A＝∠1，∠C＝∠F.求证：BC∥EF.
证明：∵∠A＝∠1，
∴AC∥DF，
∴∠C＝∠2，
∵∠C＝∠F，
∴∠2＝∠F，
∴BC∥EF.
4.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠E.求证：AD∥BE.
证明：∵∠1＝∠2，
∴BD∥CE，
∴∠4＝∠E，
∵∠3＝∠E，
∴∠3＝∠4，
∴AD∥BE.
5.【例】如图，AD⊥BC于点D，FG⊥BC于点G，且∠1＝∠2.求证：∠BDE＝∠C.
证明：∵AD⊥BC，FG⊥BC，∴∠ADC＝∠FGC＝90°，
∴AD∥FG，∴∠DAC＝∠2，
∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DAC，
∴DE∥AC，∴∠BDE＝∠C.
6.如图，CE⊥AB于点E，MN⊥AB于点N，∠1＝∠2.求证：∠ADE＝∠ACB.
证明：∵MN⊥AB，CE⊥AB，
∴∠MNB＝∠CEB＝90°，
∴MN∥CE，∴∠2＝∠BCE，
∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BCE，
∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠ACB.
7．如图，点D，E分别在AB，BC上，AF∥BC，∠1＝∠2.求证：DE∥AC.
证明：∵AF∥BC，
∴∠2＝∠C，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠C，
∴DE∥AC.
8．如图，EF∥CD，∠1＝∠2.求证：DE∥BC.
证明：∵EF∥CD，
∴∠1＝∠CDE，
∵∠1＝∠2，
∴∠CDE＝∠2，
∴DE∥BC.
9．如图，BE∥CF，BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD.求证：AB∥CD.
证明：∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，
∵BE∥CF，
∴∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴AB∥CD.
10．如图，∠1＝∠2，∠B＝∠C.求证：∠A＝∠D.
证明：∵∠1＝∠4，∠1＝∠2，
∴∠2＝∠4，∴BF∥CE，
∴∠3＝∠C，
又∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠3，∴AB∥CD，
∴∠A＝∠D.
11．如图，BD⊥AC于点D，EF⊥AC于点F，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2.求证：DM∥BC.
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC＝∠EFC＝90°，
∴BD∥EF，∴∠DBC＝∠2，
∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DBC，∴FG∥BC，
又∵∠AMD＝∠AGF，∴DM∥FG，
∴DM∥BC.
12．如图，AB∥CD，E，G是AB上的点，F，H是CD上的点，∠AGH＝∠EFD.
（1）求证：EF∥GH；
证明：(1)∵AB∥CD，
∴∠AGH＝∠GHD，
∵∠AGH＝∠EFD，
∴∠EFD＝∠GHD，
∴EF∥GH；
（2）EN为∠BEF的平分线，交GH于点P，连接FN，求证：∠ENF＝∠HPN－∠NFD.
(2)如图，过点N作NM∥CD，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MN，
∴∠MNF＝∠NFD，∠MNE＝∠BEN，
∵EN平分∠BEF，∴∠BEN＝∠FEN，
∴∠MNE＝∠FEN，由(1)得EF∥GH，∴∠FEN＝∠HPN，
∴∠MNE＝∠HPN，∴∠ENF＝∠MNE－∠MNF＝∠HPN－∠NFD.
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第七章
相交线与平行线
第6课时 平行线的判定(1)
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
判定两条直线平行的方法：
文字叙述 符号语言 图形
相等，两直线平行 ∵ ， ∴a∥b
相等，两直线平行 ∵ ， ∴a∥b
互补，两直线平行 ∵ ， ∴a∥b
同位角
∠1＝∠2
内错角
∠2＝∠3
同旁内角
∠2＋∠4＝180°
1．【例】如图：
（1）若∠1＝∠A，则 ∥ ；
（2）若∠2＝∠C，则 ∥ ；
（3）若∠A＋∠ABC＝180°，则 ∥ ．
平行线的判定
AB
CD
AB
CD
AD
BC
2．如图：
（1）若∠1＝∠2，则 ∥ ；
（2）若∠1＝∠4，则 ∥ ；
（3）若∠3＝∠5，则 ∥ ；
（4）若∠2＋∠3＝180°，则 ∥ .
a
b
c
d
a
b
c
d
3.【例】如图，∠1＝65°，∠2＝65°.求证：a∥b.
证明：∵∠1＝65°，∠2＝65°，
∴∠1＝∠2，∴a∥b.
4.如图，∠1＝50°，∠2＝50°.求证：a∥b.
证明：∵∠1＝50°，∠2＝50°，∴∠1＝∠2，∴a∥b.
5.【例】如图，∠1＝112°，∠O＝68°.求证：AB∥OC.
证明：∵∠1＝112°，
∴∠2＝∠1＝112°，
∵∠O＝68°，∴∠2＋∠O＝180°，
∴AB∥OC.
6.如图，∠B＝80°，∠CAF＝50°，AC平分∠BAF.求证：EF∥BC.
证明：∵AC平分∠BAF，∠CAF＝50°，
∴∠BAF＝2∠CAF＝100°，
∵∠B＝80°，∴∠BAF＋∠B＝180°，∴EF∥BC.
7．如图：
（1）若∠1＝∠B，则 ∥ ；
（2）若∠2＝∠3，则 ∥ ；
（3）若∠3＋∠BDE＝180°，则 ∥ ．
8．如图，要使AD∥BC，则需要添加的条件是（ ）
A. ∠A＝∠CBE B．∠A＝∠C
C．∠C＝∠CBE D．∠A＋∠D＝180°
DE
BC
DE
BC
AB
EF
A
9．如图，直线a，b被直线c，d所截，则下列条件可以判定直线c∥d的是（ ）
A. ∠2＝∠3
B．∠1＝∠3
C．∠1＋∠5＝180°
D．∠4＋∠5＝180°
C
10．如图，下列推理中正确的是（ ）
A. 若∠1＝∠2，则AD∥BC
B．若∠1＝∠2，则AB∥DC
C．若∠A＝∠3，则AD∥BC
D．若∠3＝∠4，则AB∥DC
B
11．如图，CE平分∠ACD，若∠1＝30°，∠2＝60°.求证：AB∥CD.
证明：∵CE平分∠ACD，∠1＝30°，∴∠ACD＝2∠1＝60°，
∵∠2＝60°，∴∠2＝∠ACD，
∴AB∥CD.
12.如图，已知∠DAB＝∠DCB，AF平分∠DAB，CE平分∠DCB，∠FCE＝∠CEB，试说明：AF∥CE.
解：∵AF平分∠DAB，CE平分∠DCB（ ），
∴ ＝ ∠DAB，∠FCE＝ （ ）.
又∵∠DAB＝∠DCB（已知），∴∠FAE＝∠FCE.
∵∠FCE＝∠CEB，
∴ ＝ （ ）.
∴AF∥CE（ ）.
已知
∠FAE
角平分线的定义
∠FAE
∠CEB
等量代换
同位角相等，两直线平行
13．如图，O为直线AB上一点，OF⊥OE，∠DOE＝55°，OF平分∠AOD，∠D＝110°.求证：CD∥AB.
证明：∵OF⊥OE，∴∠FOE＝90°，
∵∠DOE＝55°，
∴∠DOF＝∠FOE－∠DOE＝35°，
∵OF平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠DOF＝70°，
又∵∠D＝110°，∴∠AOD＋∠D＝180°，
∴CD∥AB.
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第七章
相交线与平行线
第11课时 平移
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
1.在平面内，将一个图形按某一方向 ，这样的图形运动叫作平移．
2．把一个图形平移，得到的新图形具有下列特点：
（1）新图形与原图形的 和 完全相同；
（2）新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段 . 且 ．
移动一定的距离
形状
大小
平行(或在同一条直线上)
相等
1．【例】下列现象属于平移的是（ ）
A．电梯的上下移动 B．羽毛在空中飘动
C.钟摆的运动 D．方向盘的转动
平移的定义
2.观察下列四幅图案，能通过左边的图案平移得到的是（ ）
A B C D
A
C
3．【例】如图，三角形ABC沿BC边所在的直线向右平移得到三角形DEF.下列结论中错误的是（ ）
A．AC∥DF
B.∠A＝∠D
C.AC＝DF
D.EC＝CF
平移的性质
D
4.如图，三角形ABC沿射线BC方向平移到三角形DEF（点E在线段BC上）.如果BC＝8 cm，EC＝5 cm，那么平移的距离为（ ）
A.3 cm
B.5 cm
C.8 cm
D.13 cm
A
5．【例】如图，在边长为1的正方形网格
中，平移三角形ABC，使点A平移到点D.
（1）画出平移后的三角形DEF；
（2）求三角形ABC的面积．
平移的作图
解：(1)图略；
6.如图，在边长为1的正方形网格中，三角形ABC的顶点都在方格纸的格点上，将三角形ABC经过平移，使点C移到点C′的位置．
（1）画出平移后的三角形A′B′C′；
（2）求三角形B′CC′的面积．
解：(1)图略；
7．【例】右图是一个会场的台阶的侧视图，要在上面铺上红地毯，则至少需要 米的地毯才能铺好整个台阶．（ ）
A．2.5
B．5
C．7.5
D．10
平移的实际应用
C
8．如图，在一块长为11 m，宽为5 m的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线．这块草地的绿地面积是（ ）
A．50 m2 B．55 m2
C.40 m2 D．44 m2
A
9．下列生活中的现象属于平移的是（ ）
A．钟摆的运动 B．汽车雨刷的运动
C．过安检时传送带上行李箱的运动 D．骑自行车时前后轮的转动
10．下面图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A B C D
C
B
11．如图，在图形B到图形A的变化过程中，下列描述正确的是（ ）
A．向上平移2个单位长度，向左平移4个单位长度
B．向上平移1个单位长度，向左平移4个单位长度
C．向上平移2个单位长度，向左平移5个单位长度
D．向上平移1个单位长度，向左平移5个单位长度
B
12．如图，在边长为1的正方形网格中，平移三角形ABC，使点B平移到点B′.
（1）画出平移后的三角形A′B′C′；
（2）求三角形ABC的面积．
解：(1)图略；
13．如图，将三角形ABC沿射线BC的方向平移1 cm 得到三角形DEF.若三角形ABC的周长为6 cm，则四边形ABFD的周长为（ ）
A.6 cm
B．8 cm
C．10 cm
D．12 cm
B
14．如图，在长方形草地内修建了宽为2 m的道路，则草地面积为（ ）
A.140 m2
B．144 m2
C．148 m2
D．152 m2
B
15．如图，CB∥OA，∠B＝∠A＝100°，点E，F在CB上，且满足∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF.
（1）求证：OB∥AC；
(1)证明：∵CB∥OA，∴∠B＋∠BOA＝180°，
∵∠B＝100°，∴∠BOA＝180°－∠B＝80°，
∵∠A＝100°，∴∠A＋∠BOA＝180°，
∴OB∥AC；
（2）求∠EOC的度数；
(2)解：∵∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF，
∴∠FOC＝ ∠FOA，∠EOF＝ ∠BOF，
∴∠EOC＝∠EOF＋∠FOC
＝ ∠BOF＋ ∠FOA
＝ (∠BOF＋∠FOA)
＝ ∠BOA
＝40°；
（3）在平行移动AC的过程中，∠OCB∶∠OFB的值是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．
(3)解：不变．∵CB∥OA，
∴∠OCB＝∠COA，∠OFB＝∠FOA，
∵∠FOC＝∠AOC，
∴∠COA∶∠FOA＝1∶2，
即∠OCB∶∠OFB＝1∶2.
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第七章
相交线与平行线
第1课时 两条直线相交
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
1．如图，∠1的邻补角是 ，∠2的邻补角是 ．
2．如图，∠1的对顶角是 ，∠2的对顶角是 ．
3．邻补角的性质：邻补角 ．
4．对顶角的性质：对顶角 ．
∠2或∠4
∠1或∠3
∠3
∠4
互补
相等
1．【例】如图，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
邻补角、对顶角的定义
A B C D
2.如图，∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A B C D
B
D
3．【例】如图，两条直线a，b相交，∠1＝50°.
（1）∠2＝ °；
（2）∠3＝ °；
（3）∠4＝ °.
邻补角和对顶角的性质
4.如图，直线a，b相交，∠1＋∠2＝70°.
（1）∠1＝ °；
（2）∠3＝ °.
130
50
130
35
145
5.【例】如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOD＝35°，OA平分∠COE.求∠DOE的度数．
解：因为∠BOD＝35°，
所以∠AOC＝∠BOD＝35°，
因为OA平分∠COE，
所以∠COE＝2∠AOC＝70°，
所以∠DOE＝180°－∠COE＝110°.
6.如图，直线AD与直线BC相交于点O，OE平分∠AOB，∠1＝30°.求∠DOE的度数．
解：因为∠1＝30°，
所以∠AOB＝180°－∠1＝150°，
因为OE平分∠AOB，
所以∠BOE＝ ∠AOB＝75°，
又因为∠2＝∠1＝30°，
所以∠DOE＝∠2＋∠BOE＝105°.
7．如图，直线AB，CD相交于点O，∠COE＝135°，
∠BOD＝45°，则∠AOE＝ .
8．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD.
（1）∠AOC的对顶角是____________；
（2）∠AOE的邻补角是____________．
90°
∠BOD
∠BOE
9．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠COE，若∠COE＝70°.
（1）求∠BOD的度数；
（2）求∠BOC的度数．
解：(1)因为OA平分∠COE，∠COE＝70°，
所以∠AOC＝ ∠COE＝35°，
所以∠BOD＝∠AOC＝35°；
(2)因为∠BOD＝35°，所以∠BOC＝180°－∠BOD＝145°.
10．如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOE＝90°，∠AOD＝30°，OF平分∠BOD.
（1）求∠EOC的度数；
（2）求∠EOF的度数．
解：(1)因为∠BOC＝∠AOD＝30°，∠BOE＝90°，
所以∠EOC＝∠BOE－∠BOC＝60°；
(2)因为∠BOC＝30°，所以∠BOD＝180°－∠BOC＝150°，
因为OF平分∠BOD, 所以∠BOF＝ ∠BOD＝75°，
又因为∠BOE＝90°，所以∠EOF＝∠BOE＋∠BOF＝165°.
11．如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC.若∠COE＝90°，∠BOC∶∠COD＝4∶3，求∠DOE的度数．
解：因为OD平分∠AOC，所以∠AOD＝∠COD，
设∠BOC＝4x°，则∠AOD＝∠COD＝3x°，
所以4x＋3x＋3x＝180，解得x＝18，
所以∠COD＝3x°＝54°，又因为∠COE＝90°，
所以∠DOE＝∠COE －∠COD＝36°.
12．如图，直线EF，CD相交于点O，OC平分∠AOF.
（1）若∠DOF＝110°，求∠AOE的度数；
（2）若∠AOE＝2∠BOD，求∠AOB的度数．
解：(1)因为∠DOF＝110°，
所以∠COF＝180°－∠DOF＝70°，
因为OC平分∠AOF，所以∠AOF＝2∠COF＝140°，
所以∠AOE＝180°－∠AOF＝40°；
（2）若∠AOE＝2∠BOD，求∠AOB的度数．
(2)设∠BOD＝α，则∠AOE＝2∠BOD＝2α，
所以∠AOF＝180°－2α，又因为OC平分∠AOF，
所以∠AOC＝∠COF＝ (180°－2α)＝90°－α，
又因为∠DOE＝∠COF＝90°－α，
所以∠BOE＝∠DOE－∠BOD＝90°－2α，
所以∠AOB＝∠AOE＋∠BOE＝2α＋(90°－2α)＝90°.
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第七章
相交线与平行线
第10课时 定义、命题、定理
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
1.判断一件事情的陈述语句，叫作命题．命题是由 和
组成的．
2．任何一个命题都可以写成“ ”的形式， 正确的命题叫作 ，错误的命题叫作 ．
3．一个命题是真命题，它的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作 ．
题设
结论
如果……那么……
真命题
假命题
定理
1．【例】 下列语句中，是命题的是（ ）
A．延长线段AB B．垂线段最短
C.作直线 D．平行线和垂线
命题的定义
2.下列语句中，不是命题的是（ ）
A．两点之间线段最短 B.内错角都相等
C.连接A，B两点 D.平行于同一条直线的两条直线平行
B
B
3．【例】把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．
（1）两直线平行，同位角相等．
_________________________________________________________；
（2）对顶角相等．
_________________________________________________________ ；
（3）同角的补角相等．
_________________________________________________________.
命题的题设与结论
如果两直线平行，那么同位角相等
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等
4.指出下列命题的题设和结论．
（1）内错角相等，两直线平行．
题设：_________________，结论： _________________.
（2）绝对值相等的两个数互为相反数．
题设： ______________________ ，结论： _______________________.
（3）平行于同一条直线的两条直线平行．
题设： __________________________________ ，
结论： ___________________________________.
内错角相等
两直线平行
两个数的绝对值相等
这两个数互为相反数
两条直线平行于同一条直线
这两条直线平行
5．【例】下列命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B.同位角相等
C.两点之间直线最短 D.同旁内角相等，两直线平行
真命题和假命题
6.下列命题中，真命题有（ ）
（1）同旁内角互补； （2）和为0的两个数互为相反数；
（3）若| a |＝| b |，则a＝b； （4）相等的角是对顶角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A
A
7．【例】下列说法错误的是（ ）
A．命题不一定是定理，定理一定是命题
B.真命题是定理
C.定理是真命题
D.如果真命题的正确性是经过推理证实的，那么这样的真命题就是定理
定理与证明
B
8.下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（ ）
A．a＝－2 B．a＝－1
C.a＝1 D．a＝2
A
9．下列语句是命题的是（ ）
A．画线段AB B.内错角相等
C.作直线AB∥CD D.对顶角相等吗？
10．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两点之间线段最短 B.对顶角相等
C.直角的补角仍然是直角 D.同旁内角互补
B
D
11．下列命题为真命题的是（ ）
A．两个锐角之和一定是钝角
B.两直线平行，同旁内角相等
C.如果x2＞0，那么x＞0
D.平行于同一条直线的两条直线平行
D
12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．
（1）邻补角互补．
____________________________________________________________；
（2）等角的补角相等．
____________________________________________________________.
如果两个角互为邻补角，那么这两个角互补
如果两个角相等，那么这两个角的补角相等
13．如图，∠1＝∠E，∠B＝∠D.求证：AB∥CD．
证明：∵∠1＝∠E，
∴AD∥BE，
∴∠D＝∠DCE，
∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠DCE，
∴AB∥CD.
14．请将下面的证明过程补充完整：
已知：如图，CD∥EF，∠1＝∠2，∠3＝90°.
求证：AC⊥BC.
证明：∵CD∥EF（已知），
∴∠2＝ （ ），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝ （ ），
∴GD∥CB（ ），
∠DCB
两直线平行，同位角相等
∠DCB
等量代换
内错角相等，两直线平行
∴∠3＝ （ ），
∵∠3＝90°（已知），
∴∠ACB＝90°（ ），
∴AC⊥BC（ ）.
∠ACB
两直线平行，同位角相等
等量代换
垂直的定义
15．如图，将一个长方形纸片ABCD沿EF所在直线折叠，使得点C，D的对应点分别为点N，M，NF交AE
于点G，过点G作GH∥EF，交BF于点H（注：长方形的对边平行）．
（1）若∠MEG＝50°，求∠GEF的度数；
(1)解：设∠GEF＝x°，
则∠MEF＝∠MEG＋∠GEF＝(x＋50)°，
由折叠得∠DEF＝∠MEF＝(x＋50)°，
∴x＋x＋50＝180，解得x＝65，∴∠GEF＝65°；
（2）求证：GH平分∠AGF.
(2)证明：∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠EFC，由折叠得∠EFG＝∠EFC，
∴∠AEF＝∠EFG，
又∵GH∥EF，
∴∠AGH＝∠AEF，∠FGH＝∠EFG，
∴∠AGH＝∠FGH，
∴GH平分∠AGF.
16．如图，直线AB与CD被直线EF所截，EF与AB，CD分别交于点P，O，且AO⊥BO，∠1＋∠2＝90°.
（1）试说明：AB∥CD；
解：(1)∵AO⊥BO，∴∠AOB＝90°，∴∠AOC＋∠2＝90°，
∵∠1＋∠2＝90°，
∴∠AOC＝∠1，
∴AB∥CD；
（2）若OB平分∠DOE，∠3＝4∠2，求∠OPB的度数．
(2)∵OB平分∠DOE，∴∠DOE＝2∠2，
∵∠3＝4∠2，∠3＋∠DOE＝180°，
∴4∠2＋2∠2＝180°，
∴∠2＝30°，∴∠DOE＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠DOE＋∠OPB＝180°，
∴∠OPB＝120°.
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第七章
相交线与平行线
第5课时 平行线的概念
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
1.平行线的定义：在同一平面内， 的两直线叫作平行线．
2．在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系： . 与 ．
3．平行公理：过直线外一点有且只有 条直线与这条直线平行．
4．平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也 ．也就是说：如果a∥c，b∥c，那么 ．
平行
不相交
相交
一
a∥b
互相平行
1．【例】下列说法正确的是（ ）
A．两点之间直线最短
B.不相交的两条直线叫作平行线
C.若AC＝BC，则点C为线段AB的中点
D.两点确定一条直线
平行线的定义
D
2.下列说法正确的是（ ）
A．不相交的两条线段是平行线
B.不相交的两条直线是平行线
C.不相交的两条射线是平行线
D.在同一平面内，不相交的两条直线是平行线
D
3．【例】在下列各图中，分别过点P画直线MN∥AB.
平行线的画法
略
4.如图，在方格纸中，有两条线段AB，BC.利用方格纸完成以下操作：
（1）过点A作BC的平行线；
（2）过点C作AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D.
略
5．【例】过直线外一点A作直线l的平行线，可以作（ ）
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
平行公理
6.如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是___________________________________________
___________________________________________.
A
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
7．【例】三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是（ ）
A．a⊥c B．a∥c
C.a⊥c或a∥c D．无法确定
平行公理的推论
8．如图，AB∥CD，过点E画EF∥AB，则EF与CD的
位置关系是 ，理由是__________________
______________________________________________.
B
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
EF∥CD
9．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有（ ）
A．平行和相交 B．平行和垂直
C．平行、垂直和相交 D．垂直和相交
10．小明列举生活中几个例子，你认为是平行线的是 （填序号）.
①马路上的斑马线； ②笔直的火车铁轨；
③直跑道线； ④长方形门框上下边．
A
①②③④
11．右图是一个平行四边形，请用符号表示图中的平行线： ．
12．如图，在长方体ABCD－EFGH中，下列各棱与棱AB平行的是（ ）
A．BC B．CG
C．EH D．HG
AB∥CD，AD∥BC
D
13．下列推理正确的是（ ）
A．如果a∥b，b∥c，那么c∥d B．如果a∥c，b∥d，那么c∥d
C．如果a∥b，a∥c，那么b∥c D．如果a∥b，c∥d，那么a∥c
14．在同一平面内有a，b，c三条直线，若a∥b，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
C
B
15．如图，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是（ ）
A．平行
B．垂直
C．平行或垂直
D．无法确定
A
16．若a，b，c是同一平面内三条不重合的直线，则它
们的交点可以有（ ）
A．1个或2个或3个
B．0个或1个或2个或3个
C．1个或2个
D．以上都不对
B
17．已知方格纸上点O和线段AB，根据下列要求画图：
（1）画直线OA；
（2）过点B画直线OA的垂线，垂足为D；
（3）取线段AB的中点E，过点E画BD的平行线，
交AO于点F.
解：如图所示．
18．如图．
（1）过点C画CE∥AD，交AB于点E；
（2）过点B画BF∥AD，交DC的延长线于点F；
（3）试判断CE和BF平行吗？为什么？
解：(1)略 (2)略
(3)CE∥BF，理由如下：
因为CE∥AD，BF∥AD，所以CE∥BF.
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第七章
相交线与平行线
1．【动手操作】在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点P画直线AB的平行线的方法，折纸过程如下：图1－图2－图3－图4.
【问题初探】（1）通过上述的折纸过
程，图2的折痕PQ与直线AB的位置关
系是 ；如图4，∠1＝∠2＝
，则AB与CD的位置关系
为 ；
画平行线的方法
垂直
90°
平行
解：(1)如答图1，
由折叠性质可知直线AB折叠重合为两个角，平角为180°，
∴∠AQP＝90°，即AQ⊥PQ，
∴PQ与直线AB的位置关系是垂直，
如答图2，
∵AB⊥PQ，∴∠2＝90°，
由折叠可知∠1＝∠CPF＝90°，
∴∠1＝∠2＝90°，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)，
答图1
答图2
【问题二探】（2）张华在（1）的条件下继续探究，他在P，Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从PD开始绕点P顺时针旋转至PC后立即回转，灯Q射线从QA开始绕点Q顺时针旋转至QB后立即回转，两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是1°/ s、3°/ s，若灯P射线转动20 s后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达PC之前，当灯Q转动t s时，灯P射线PN转动到
如图5的位置．
①用含t的式子表示∠DPN＝ ；
②当t＝45 s时，两条射线的夹角为
；
(20＋t)°
70°
(2)①由条件可知灯P转动20秒后度数为20×1＝20°，
∵当灯Q转动t秒时，灯P射线PN转动到如答图3的位置，
∴此时灯P再次转动了t·1＝t°，
∴∠DPN＝(20＋t)°，
②当t＝45 s时，∠DPN＝20＋t＝65°，∠AQH＝45×3＝135°，
∵AB∥CD，∴∠PHQ＝∠HQB＝180°－∠AQH＝45°，
∴两条射线的夹角为180°－45°－65°＝70°.
答图3
【问题三探】（3）在（2）的条件下，在灯P射线第一次到达PC之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由．
(3)设灯Q转动a s，两灯的光束互相平行，
①当0≤a≤60时，如答图4，
由条件可知∠DPN＝∠PNA，
∠HQA＝∠PNA，
∴3a＝1×(20＋a)，
解得a＝10；
答图4
②当60＜a≤120时，如答图5，
由条件可知∠DPN＝∠PNA，∠PNA＝∠AQH，
∴∠DPN＝∠AQH，
∴360°－3a＝1×(20＋a)，
解得a＝85；
答图5
③当120＜a≤160时，如答图6，
由条件可知∠CPN＝∠PNB，∠HQB＝∠PNB，
∴∠CPN＝∠HQB，
∴∠NPH＝∠NQH，
∴3a－360°＝180°－1×(20＋a)，
解得a＝130，
综上所述，当a为10 s或85 s或130 s时，两灯的光束互相平行.
答图6
2.【知识初探】（1）王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．
①如图1，在正方形纸上画出一条直线BC，在BC外取一点P.过点P折叠纸片，使得点C的对应点C′落在直线BC上
（如图2），记折痕DE与BC的交点为A，
将纸片展开铺平；
②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点E′落在直线DP上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）.此时王芳说，PF就是BC的平行线．
王芳同学只写了部分证明过程就有事离开，请你帮她把证明过程补充完整．
证明：由折叠可知∠PAB＝∠PAC，
又∵∠PAB＋∠PAC＝180°，
∴∠PAC＝90°.
…
(1)证明：由折叠可知∠PAB＝∠PAC，
又∵∠PAB＋∠PAC＝180°，
∴∠PAC＝90°，
同理，∠EPF＝∠E′PF＝90°，
∴∠PAC＝∠E′PF，
∴PF∥BC；
【深入探究】（2）李明同学在王芳同学折纸（如图4）中量得∠PFM＝α，请你求出∠ABM的大小（用含α的代数式表示）；
(2)解：作MH∥PF，则MH∥PF∥BC，
∴∠PFM＋∠FMH＝180°，∠ABM＋∠HMB＝180°，
∴∠PFM＋∠FMH＋∠ABM＋∠HMB
＝∠PFM＋∠ABM＋∠FMB＝360°，
∵∠PFM＝α，∠FMN＝90°(正方形的一个内角为90°)，
∴∠ABM＝270°－α；
【拓展延伸】（3）王伟同学改变直线BC和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到FK∥BC后（点B，C，K，F分别在线段MN，NQ，QR，RM上），再画出∠PFM和∠ABM的平分线FH，BI，FH，BI所在的直线交于点G，请求出∠FGB的度数．
(3)解：当点G在直线PF的下方时，如答图1，过点G作GJ∥PF，则GJ∥PF∥BC，
∴∠FGJ＝∠PFG，∠BGJ＝∠ABG，
∴∠FGB＝∠FGJ＋∠BGJ＝∠PFG＋∠ABG，
∵FH，BI分别平分∠PFM和∠ABM，
∴∠PFG＝ ∠PFM，∠ABG＝ ∠ABM，
由(2)可知∠PFM＋∠ABM＝270°，
∴∠FGB＝∠PFG＋∠ABG＝ ∠PFM＋ ∠ABM＝ ×270°＝135°；
答图1
当点G在PF上方时，如答图2，过点G作GJ∥PF，则GJ∥PF∥BC，
∴∠BGJ＋∠CBG＝180°，∠FGJ＝∠PFH，
∴∠FGB＝∠BGJ－∠FGJ＝(180°－∠CBG)－∠PFH
＝180°－∠CBG－∠PFH，
∵FH，BI分别平分∠PFM和∠ABM，
∴∠PFH＝ ∠PFM，∠CBG＝ ∠ABM，
由(2)知∠ABM＋∠PFM＝270°，
∴∠FGB＝180°－∠CBG－∠PFH＝180°－ ∠PFM－ ∠ABM
＝180°－135°＝45°；
综上所述，∠FGB＝135°或∠FGB＝45°.
答图2
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第七章
相交线与平行线
教材母题探究1
1．【人教七下P6 T3改编】 如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4 cm，AC＝3 cm，AB＝5 cm.
（1）点B到AC的距离是 cm；点A到BC的距离是 cm；
（2）画出表示点C到AB的距离的线段，并求这个距离．
4
3
(2)如图，作CD⊥AB于点D，则线段CD的长度就是点C到AB的距离．
∵S△ABC＝ BC·AC＝ AB·CD.
∴CD＝ (cm).
2．【人教七下P9 T5改编】 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC∶∠BOC＝2∶3.
（1）求∠DOE的度数；
解：(1)∵∠AOC∶∠BOC＝2∶3，
∴设∠AOC＝2x°，则∠BOC＝3x°.
∵2x＋3x＝180，∴x＝36，
∴∠AOC＝2x°＝72°，∠BOC＝3x°＝108°，
∴∠BOD＝∠AOC＝72°，
∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝ ∠BOD＝36°；
（2）若OF⊥OE，求证：OF平分∠AOD.
(2)∵OF⊥OE，∠DOE＝36°，∴∠DOF＝90°－∠DOE＝54°，
∵∠AOD＝∠BOC＝108°，
∴∠AOF＝∠AOD－∠DOF＝54°，
∴∠AOF＝∠DOF，
∴OF平分∠AOD.
3．【人教七下P14 T1改编】 如图，根据题
意可识别哪两条直线平行．
（1）如果∠1＝∠2，那么根据内错角相等，
两直线平行，可得 ；
（2）如果∠3＝∠4，那么根据 ，可得 ；
（3）如果∠6＝∠7，那么根据 ，可得 ；
AD∥BC
内错角相等，两直线平行
AB∥CD
同位角相等，两直线平行
BD∥CF
（4）若∠DAB＋∠ADC＝180°，那么根据 ，可得 ；
（5）若∠ABC＋∠BCD＝180°，那么根据 ，可得 ．
同旁内角互补，两直线平行
AB∥CD
同旁内角互补，两直线平行
AB∥CD
4．【人教七下P20 T8改编】 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝45°，∠2＝122°，则图中其他角的度数正确的是（ ）
A．∠3＝58° B．∠4＝135°
C．∠6＝58° D．∠8＝122°
C
5．【人教七下P30 T6改编】 如图，在一块长为a m，宽为b m的长方形草地上，有一条笔直的小路和一条弯曲的小路，笔直的小路宽度为1 m，弯曲的小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线．则这块草地的绿地面积为（ ）
A．（ab－1）m2
B．（ab－a－b）m2
C．（a－1）（b－1）m2
D．（a－1）（b＋1）m2
C
6．【人教七下P21 T14改编】 如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？请把下列解题过程补充完整．
解：∵AB∥CD（已知），
∴ （ ）.
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（ ）.
∠2＝∠3
两直线平行，内错角相等
等量代换
∵∠1＋∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠4＋∠6＝180°（ ）.
∴ ．
∴ （ ）.
平角定义
∠5＝∠6
l∥m
内错角相等，两直线平行
7．【人教七下P38 T16改编】 一个台球桌的桌面如图所示，一个球在桌面上的点A滚向桌边PQ，碰到PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS，碰到RS上的点C便反弹而滚向点D.如果PQ∥RS，AB，BC，CD都是直线，且∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCD的平分线CM垂直于RS.
（1）求证BN平行CM
解：(1)如图，延长BN交RS于点K，
∵BN⊥PQ，∴∠PBK＝90°，
∵PQ∥RS，∴∠BKR＝∠PBK＝90°，
∵CM⊥RS，∴∠MCR＝90°，
∴∠BKR＝∠MCR＝90°，∴BN∥CM；
（2）球经过两次反弹后所滚的路径CD是否平行于原来的路径AB
(2)球经过两次反弹后所滚的路径CD平行于原来的路径AB，理由如下：
由(1)可知BN∥CM，∴∠CBN＝∠BCM，
∵BN平分∠ABC，CM的平分∠BCD，
∴∠ABC＝2∠CBN，∠BCD＝2∠BCM，
∴∠ABC＝∠BCD，∴CD∥AB.
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第七章
相交线与平行线
第2课时 两条直线垂直(1)
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
1．垂直的定义：当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a与b互相垂直，记作 ，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作 ．
2．垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有 直线与已知直线垂直．
a⊥b
垂足
一条
1．【例】如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠COE＝35°.求∠BOD的度数．
利用垂直求角度
解：因为OE⊥AB，所以∠AOE＝90°，
因为∠COE＝35°，
所以∠AOC＝∠AOE－∠COE＝55°，
所以∠BOD＝∠AOC＝55°.
2.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，OC平分∠AOE.求∠BOD的度数.
解：因为OE⊥AB，所以∠AOE＝90°，
因为OC 平分∠AOE，
所以∠AOC＝ ∠AOE＝45°，
所以∠BOD＝∠AOC＝45°.
3.【例】如图，直线AB与直线MN相交于点O，OC⊥AB于点O，OA平分∠MOD.若∠BON＝25°，求∠COD的度数．
解：因为∠BON＝25°，
所以∠AOM＝∠BON＝25°，
因为OA 平分∠MOD，
所以∠AOD＝∠AOM＝25°，
因为OC⊥AB，所以∠AOC＝90°，
所以∠COD＝∠AOC－∠AOD＝65°.
4.如图，直线AB，FD相交于点O，OB平分∠EOF，OC⊥AB于点O，∠AOD＝40°.求∠COE的度数．
解：因为∠AOD＝40°，
所以∠BOF＝∠AOD＝40°，
因为OB平分∠EOF，
所以∠BOE＝∠BOF＝40°，
因为OC⊥AB，所以∠BOC＝90°，
所以∠COE＝∠BOC＋∠BOE＝130°.
5．【例】在下列各图中，分别过点C画直线AB的垂线．
垂线的画法
略
6.在下列各图中，分别过点P画直线AB或线段AB的垂线．
略
7．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足
为O，∠EOC＝35°，则∠AOD＝ .
8．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD于点O.若∠AOC＝120°，则∠BOD＝ ．
125°
30°
9．如图，OA⊥OB于点O ，∠BOC＝50°，OM平分∠AOC.求∠MOB的度数．
解：因为OA⊥OB，所以∠AOB＝90°，
因为∠BOC＝50°，
所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝140°，
因为OM平分∠AOC，所以∠COM＝ ∠AOC＝70°，
所以∠MOB＝∠COM－∠BOC＝20°.
10．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥CD于点O，OA平分∠MOE，∠BOD＝28°.求∠BOE的度数．
解：因为∠BOD＝28°，所以∠AOC＝∠BOD＝28°，
因为OM⊥CD，所以∠COM＝90°，
所以∠AOM＝∠COM－∠AOC＝62°，
因为OA平分∠MOE，所以∠AOE＝∠AOM＝62°，
所以∠BOE＝180°－∠AOE＝118°.
11．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，OF平分∠AOD.
（1）若∠COE＝50°，求∠AOF的度数；
（2）若∠COE∶∠AOF＝2∶3，求∠BOD的度数.
解：(1)因为OE⊥AB，所以∠AOE＝90°，
因为∠COE＝50°，所以∠AOC＝∠AOE －∠COE ＝40°，
所以∠AOD＝180°－∠AOC＝140°，
因为OF平分∠AOD，所以∠AOF＝ ∠AOD＝70°；
（2）若∠COE∶∠AOF＝2∶3，求∠BOD的度数.
(2)设∠COE＝2x°，则∠AOF＝3x°，
因为OE⊥AB，所以∠AOE＝90°，
所以∠AOC＝∠AOE －∠COE＝(90－2x)°，
因为OF平分∠AOD，所以∠AOD＝2∠AOF＝6x°，
则90－2x＋6x＝180，解得x＝22.5，
所以∠BOD＝∠AOC＝(90－2x)°＝45°.
12．如图，OA⊥OB，垂足为O，OD平分∠AOC，
OE平分∠BOC.
（1）若∠BOC＝50°，求∠DOE的度数；
解：(1)因为OA⊥OB，所以∠AOB＝90°，
因为∠BOC＝50°，所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝140°，
因为OD平分∠AOC，所以∠COD＝ ∠AOC＝70°，
因为OE平分∠BOC，所以∠COE＝ ∠BOC＝25°，
所以∠DOE＝∠COD－∠COE＝45°；
（2）试探究∠DOE与∠AOB有什么数量关系，并说明你的理由．
(2)∠DOE＝ ∠AOB，理由如下：
设∠BOC＝x°，因为OA⊥OB，所以∠AOB＝90°，
所以∠AOC ＝∠AOB＋∠BOC＝(90＋x)°，
因为OD平分∠AOC，所以∠COD＝ ∠AOC＝ (90＋x)°，
因为OE平分∠BOC，所以∠COE＝ ∠BOC＝ x°，
所以∠DOE＝∠COD－∠COE＝ (90＋x)°－ x°＝45°，
所以∠DOE＝ ∠AOB.
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第七章
相交线与平行线
第3课时 两条直线垂直(2)
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
1．垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，
最短，简称： ．
2．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 的长度，叫作点到直线的距离，如右图，点P到直线l的距离是指线段 的长度．
垂线段
垂线段最短
垂线段
PB
1．【例】如图，AC⊥BC于点C，AB＝10 cm，AD＝
8 cm，AC＝6 cm，则点A到BC的距离为 cm.
点到直线的距离
2．如图，BC⊥AC于点C，BC＝4 cm，AB＝5 cm，AC＝3 cm .
（1）点B到AC的距离为 cm；
（2）点A到BC的距离为 cm；
（3）A，B两点间的距离为 cm.
6
4
3
5
3．【例】如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（ ）
A.两点之间线段最短
B.点到直线的距离
C.两点确定一条直线
D.垂线段最短
垂线段最短
D
4.如图，AC⊥BC于点C，D是线段BC上任意一点．若AC＝6，则AD的长不可能是（ ）
A．5.5 B．9
C.7 D．8
A
5．【例】如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分
∠BOE，∠DOF＝25°，∠AOC＝40°.求证：
OE⊥CD.
垂直的判定
证明：因为∠AOC＝40°，所以∠BOD＝∠AOC＝40°，
因为∠DOF＝25°，所以∠BOF＝∠BOD＋∠DOF＝65°，
因为OF平分∠BOE，所以∠EOF＝∠BOF＝65°，
所以∠DOE＝∠EOF＋∠DOF＝90°，所以OE⊥CD.
6.如图，直线EF与直线CD相交于点O，OC平分∠AOF，∠AOE＝42°.
（1）求∠DOE的度数；
（2）若∠BOD＝ ∠AOE，求证：OA⊥OB.
(1)解：因为∠AOE＝42°，
所以∠AOF＝180°－∠AOE＝138°，
因为OC平分∠AOF，所以∠COF＝ ∠AOF＝69°，
所以∠DOE＝∠COF ＝69°；
（2）若∠BOD＝ ∠AOE，求证：OA⊥OB.
(2)证明：因为∠AOE＝42°，
所以∠BOD＝ ∠AOE＝21°，
由(1)得∠COF＝69°，又因为OC平分∠AOF，
所以∠AOC＝∠COF＝69°，
所以∠AOB＝180°－∠AOC－∠BOD＝90°，
所以OA⊥OB.
7．如图，CD⊥AB于点D，BC＝4，AC＝3，CD＝2.4．则点C到线段AB的距离等于（ ）
A．4 B．3
C．2.4 D．2
8．在小河旁有一村庄，现要建一码头，为使该村村民运送货物过河最方便，则码头应建在（ ）
A．A点 B．B点
C.C点 D．D点
C
C
9．如图，直线AB，CD交于点O，∠EOD＝65°，∠COF＝130°，OB平分∠DOF.求证：EO⊥AB.
证明：因为∠COF＝130°，
所以∠DOF＝180°－∠COF＝50°，
因为OB平分∠DOF，所以∠BOD＝ ∠DOF＝25°，
又因为∠EOD＝65°，所以∠EOB＝∠EOD＋∠BOD＝90°，
所以EO⊥AB.
10．如图，直线AB，CD交于点O，OF⊥CD于点O，∠COE＝2∠AOC.
（1）若∠BOD＝28°，求∠COE的度数；
（2）若∠BOF＝60°，求证：OE⊥AB.
(1)解：因为∠BOD＝28°，
所以∠AOC＝∠BOD＝28°，
所以∠COE＝2∠AOC＝56°；
（2）若∠BOF＝60°，求证：OE⊥AB.
(2)证明：因为OF⊥CD，所以∠FOD＝90°，
因为∠BOF＝60°，
所以∠BOD＝∠FOD－∠BOF＝30°，
所以∠AOC＝∠BOD＝30°，所以∠COE＝2∠AOC＝60°，
所以∠AOE＝∠AOC＋∠COE＝90°，所以OE⊥AB.
11．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O.
（1）若∠1＝30°，求∠BOD的度数；
（2）若∠1＝∠2，求证：ON⊥CD.
(1)解：因为OM⊥AB，所以∠AOM＝90°，
因为∠1＝30°，所以∠AOC＝∠AOM－∠1＝60°，
所以∠BOD＝∠AOC＝60°；
（2）若∠1＝∠2，求证：ON⊥CD.
(2)证明：因为OM⊥AB，所以∠AOM＝90°，
所以∠1＋∠AOC＝90°，又因为∠1＝∠2，
所以∠2＋∠AOC＝90°，所以∠CON＝90°，
所以ON⊥CD.
12．如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE.
（1）判断OF与OD的位置关系，并说明理由；
（2）若∠AOC∶∠AOD＝1∶4，求∠EOF的度数.
解：(1)OF⊥OD，理由如下：
因为OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，
所以∠EOD＝ ∠BOE，∠EOF＝ ∠AOE，
所以∠DOF＝∠EOD＋∠EOF＝ (∠BOE＋∠AOE)
＝ ×180°＝90°，
所以OF⊥OD；
（2）若∠AOC∶∠AOD＝1∶4，求∠EOF的度数.
(2)设∠AOC＝x°，∠AOD＝4x°，
则x＋4x＝180，解得x＝36，
所以∠AOC＝36°，所以∠BOD＝∠AOC＝36°，
因为OD平分∠BOE，所以∠EOD＝∠BOD＝36°，
由(1)得∠DOF＝90°，
所以∠EOF＝∠DOF－∠EOD＝90°－36°＝54°.
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第七章
相交线与平行线
第8课时 平行线的性质
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
平行线的性质：
文字叙述 符号语言 图形
两直线平行， 相等 ∵ a∥b， ∴ .
两直线平行， 相等 ∵ a∥b， ∴ .
两直线平行， 互补 ∵ a∥b， ∴ .
同位角
∠1＝∠2
内错角
∠2＝∠3
同旁内角
∠2＋∠4＝180°
1．【例】如图，已知直线a∥b，∠1＝40°，
则∠2＝ ．
2.如图，AB∥CD，∠C＝50°，则∠1的度数
是 ．
平行线的性质
40°
130°
3.【例】如图，D是直线AB上一点，DE∥AC，若∠C＝45°，∠BDE＝65°.求∠CDB的度数.
解：∵DE∥AC，
∴∠CDE＝∠C＝45°，
∵∠BDE＝65°，
∴∠CDB＝∠CDE＋∠BDE＝110°.
4.如图，AD∥BC，∠DEC＝60°，DB平分∠ADE.求∠B的度数．
解：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝60°，
∵DB平分∠ADE，
∴∠ADB＝ ∠ADE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠B＝∠ADB＝30°.
5.【例】如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠C＝80°.求∠D的度数．
解：∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠C＝180°，∵∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°－∠C＝100°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠BAD＝50°.
6.如图，AD∥EF，∠1＝∠2，∠BAC＝70°.求∠AGD的度数．
解：∵AD∥EF，∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，
∴DG∥AB，∴∠AGD＋∠BAC＝180°，
∵∠BAC＝70°，
∴∠AGD＝180°－∠BAC＝110°.
7．如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝50°，
则∠A＝ ．
8．如图，∠1＝40°，CD∥BE，那么∠B的度
数为 .
50°
140°
9．如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40°
C．50° D．60°
10．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠．若
∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．55° B．60°
C．65° D．70°
C
D
11．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF.若∠1＝65°，求∠2的度数．
解：∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠1＝65°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEF＝2∠BEG＝130°，
∵AB∥CD，∴∠2＋∠BEF＝180°，
∴∠2＝180°－∠BEF＝50°.
12．如图，AB∥CD，∠C＝35°，AB是∠FAD 的平分线．
（1）求∠FAD的度数；
（2）若∠ADB＝110°，求∠BDE的度数．
解：(1)∵AB∥CD，∴∠FAB＝∠C＝35°，
∵AB平分∠FAD，∴∠FAD＝2∠FAB＝70°；
(2)∵∠ADB＝110°，∠FAD＝70°，
∴∠ADB＋∠FAD＝180°，∴CF∥BD，
∴∠BDE＝∠C＝35°.
13．如图，AD∥BC，E是BA延长线上一点，∠E＝∠DCE.
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若CE平分∠BCD，∠E＝50°，求∠B的度数．
(1)证明：∵∠E＝∠DCE，
∴BE∥CD，∴∠D＝∠EAD，
∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，
∴∠B＝∠D；
（2）若CE平分∠BCD，∠E＝50°，求∠B的度数．
(2)解：∵BE∥CD，∠E＝50°，
∴∠DCE＝∠E＝50°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠DCE＝100°，
∵BE∥CD，∴∠B＋∠BCD＝180°，
∴∠B＝180°－∠BCD＝80°.
14．如图，将一张上、下两边平行（即AB∥CD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）若∠1＝48°，求∠CFN的度数．
(1)证明：∵AB∥CD，∴∠BEN＝∠DFN，
∵A′E∥C′F，∴∠A′EN＝∠C′FN，
∴∠BEN－∠A′EN＝∠DFN－∠C′FN，即∠1＝∠2；
（2）若∠1＝48°，求∠CFN的度数．
(2)解：由折叠知，∠A′EN＝∠AEN，
∵∠1＝48°，
∴∠AEN＝ (180°－∠1)＝66°，
∵AB∥CD，
∴∠CFN＝∠AEN＝66°.
感谢聆听
