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第十一章
不等式与不等式组
第6课时 一元一次不等式的应用(1)
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
列不等式解应用题的步骤：
①审（弄清题意，找出不等关系）；②设（只能设一个未知数）；③列；④解；⑤答．
1．【例】某次知识竞赛共有20道题，规定每答对一道题得10分，答错或不答都扣5分．小明得分要超过125分，他至少要答对多少道题？
得分问题
解：设小明答对x道题，
根据题意得10x－5(20－x)＞125，解得x>15，
∵x为非负整数，∴x≥16.
答：小明至少答对16道题．
2.体育课上进行投篮比赛，规定：投进一球可得3分，投丢一球扣1分，每人投篮12次.小李同学要想得分不低于28分，则他至少要投进几个球？
解：设小李投进x个球，则投丢(12－x)个球，
根据题意得3x－(12－x)≥28，解得x≥10.
答：小李至少要投进10个球．
3．【例】多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受广大消费者的喜爱．某品牌早餐机的进价为240元/台，商店以320元/台的价格出售，“五一”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该早餐机每台最多可降价多少元？
利润问题
解：设该早餐机每台可降价x元，
根据题意得320－x－240≥240×20%，
解得x≤32，∴x的最大值为32.
答：该早餐机每台最多可降价32元．
4.某商品进价为每件700元，出售时标价为每件1 100元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于10%，则最多可打几折？
解：设可打x折，
根据题意得1 100× －700≥700×10%，解得x≥7.
答：最多可打七折．
5．小明拿40元购买雪糕和矿泉水．已知每瓶矿泉水2元，每支雪糕3元，他买了5瓶矿泉水，x支雪糕．下面关于x的不等式正确的是（ ）
A．2x＋3×5＜40 B．2x＋3×5≤40
C．2×5＋3x≥40 D．2×5＋3x≤40
6．一艘船从甲地顺流而下到乙地需要3小时，逆流而上返回甲地需要不到5小时．已知水流速度是2千米/时，船在静水中的速度是x千米/时，则满足的不等关系为 ．
D
3(x＋2)＜5(x－2)
7．小智同学对《中文打字机：一个世纪的汉字突围史》这本书很感兴趣，他从图书馆借来这本共488页的书，计划在14天之内读完．如果前4天每天只读27页，从第5天起平均每天读x页才能按计划完成，那么根据题意可列不等式为 ．
4×27＋(14－4)x≥488
8．如图1，一个容量为200 cm3的杯子中装有50 cm3的水，将五颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图2所示．
（1）设每颗玻璃球的体积为x cm3，列出x满足的不等式；
（2）已知每颗玻璃球的体积为10 cm3，若
使水不溢出杯子，则最多能放几颗玻璃球？
解：(1)由题意，得5x＋50＜200；
(2)设可以放m颗玻璃球，由题意得10m＋50≤200，解得m≤15，
∴m的最大值为15.
答：若使水不溢出杯子，则最多能放15颗玻璃球．
9．某商场决定购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要170元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要295元．
（1）购进每件甲、乙两种纪念品各需要多少元？
解：(1)设购进每件甲、乙两种纪念品各需要x元和y元，
由题意得
答：购进每件甲、乙两种纪念品各需要80元和45元；
（2）该商场决定购进甲、乙两种纪念品共100件，且用于购买这100件纪念品的资金不超过6 670元，则该商场最多能购进甲种纪念品多少件？
(2)设商场购进甲种纪念品a件，
由题意得80a＋45(100－a)≤6 670，
解得a≤62.
答：该商场最多能购进甲种纪念品62件．
10．水是人类的生命之源，为鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民阶梯式计费价格表的部分信息，请解答下列问题．
自来水销售价格
每户每月用水量 单位：元/吨
15吨及以下 a
超过15吨但不超过25吨的部分 b
超过25吨的部分 5
（1）小王家今年3月份用水20吨，要交水费 元；（用含a，b的代数式表示）
(15a＋5b)
（2）小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费70元．求a，b的值；
解：(2)依题意得
解得
故a的值为2，b的值为3；
（3）如果小王家5月份水费计划不超过67元，那么小王家5月份最多可用水多少吨？
(3)∵15×2＋(25－15)×3＝60＜67，
∴小王家5月份用水超过25吨．
设小王家5月份用水x吨(x＞25)，
依题意得15×2＋(25－15)×3＋5(x－25)≤67，
解得x≤26.4.
答：小王家5月份最多可用水26.4吨．
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第十一章
不等式与不等式组
第8课时 一元一次不等式组的概念及解法
2
课堂讲练
1
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3
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1.由含有 的几个一元一次不等式组成的一组不等式，叫作一元一次不等式组．
2．一般地，几个不等式的解集的 部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集．
3．一元一次不等式组的解集（口诀）：
同大取 ；同小取 ；大小小大中间找；大大小小无处找．
同一个未知数
公共
大
小
1．【例】下列是一元一次不等式组的是（ ）
一元一次不等式组的定义
B
2.下列不等式组：
其中是一元一次不等式组的有（ ）
A．2个 B．3个
C.4个 D．5个
B
3．【例】直接写出解集．
（1） 的解集是 ；
（2） 的解集是 ；
（3） 的解集是 ；
（4） 的解集是 ．
一元一次不等式组的解集
x＞2
x＜－3
－3＜x＜2
无解
4.根据数轴上表示的关于x的不等式组中两个不等式的解集，写出不等式组的解集．
（1） 的解集是____________；
（2） 的解集是____________ ；
（3） 的解集是____________ ；
（4） 的解集是____________ ．
x≥3
x<0
无解
0＜x≤3
5．【例】解不等式组 并把不等式组的解集在数轴上表示出来.
解一元一次不等式组
解：
解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x＞－2，
不等式①和②的解集在数轴上的表示如图所示，
则不等式组的解集为－2＜x≤1.
6.解不等式组 并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
解：
解不等式①，得x≥4，
解不等式②，得x＞ ，
不等式①和②的解集在数轴上的表示如图所示，
则不等式组的解集为x≥4.
7．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如果点P（m，1－2m）在第一象限，那么m的取值范围是 ．
B
9．解不等式组 并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
解：
解不等式①，得x＜－4，
解不等式②，得x≤15，
不等式①和②的解集在数轴上的表示如图所示，
∴不等式组的解集为x＜－4.
10．解不等式组 并写出它的所有非负整数解．
解：
解不等式①，得x≤2，
解不等式②，得x＞－ ，
则不等式组的解集是－ ＜x≤2，则它的非负整数解有0，1，2.
11．x取哪些整数时，不等式3x＋4>4x＋5与 ＜1都成立？
解：依题意得
解不等式①，得x<－1，
解不等式②，得x>－7，
则不等式组的解集为－7
∴整数x的值为－6，－5，－4，－3，－2.
12．运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＞18”为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ）
A．x≤ B． ＜x≤8
C． ≤x＜6 D．x＜6
B
13．阅读材料，解决下列问题．
【阅读材料】
已知x－y＝2，且x＞1，求y的取值范围．
解：由x－y＝2，得x＝y＋2，
∵x＞1，∴y＋2＞1，解得y＞－1，
∴y的取值范围是y＞－1.
【问题探究】
（1）已知x＋y＝－3，且x＜4，求y的取值范围；
解：(1)由x＋y＝－3，得x＝－y－3，
∵x＜4，∴－y－3＜4，解得y＞－7，
∴y的取值范围是y＞－7；
（2）已知x－y＝1，且－1＜x＜3，求y的取值范围；
(2)由x－y＝1，得x＝y＋1，
∵－1＜x＜3，∴ 解得－2＜y＜2，
∴y的取值范围是－2＜y＜2；
（3）已知－x＋y＝3，且x≤3，y≥0，设a＝x＋y－3，直接写出a的取值范围．
(3)由－x＋y＝3，可得x＝y－3，
∵x≤3，∴y－3≤3，解得y≤6.
∵y≥0，∴y的取值范围是0≤y≤6.
∵a＝x＋y－3＝y－3＋y－3＝2y－6，0≤y≤6，
∴－6≤2y－6≤6，∴－6≤a≤6.
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第十一章
不等式与不等式组
第1课时 不等式及其解集
2
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1
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3
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1.用符号“ ”或“ ”表示不等关系的式子，叫作不等式，用“ ”表示不等关系的式子也是不等式．
2．使不等式成立的未知数的值叫作 ．
3．一般地，一个含有未知数的不等式的 的解，组成这个不等式的解集．求不等式的 的过程叫作解不等式．
＜
≠
＞
不等式的解
所有
解集
1．【例】下列数学表达式中：①－3＜0；② 4x＋3y＞0；③x＝3；④x2＋xy＋y2；⑤x≠5；⑥ x＋2＞y＋3.属于不等式的有 ．（选填序号）
2.下列式子中：① 3＜5；② 4x＋5＞0；③ y＝－5；④ x2＋x；⑤ x≠－4；⑥ 2x＋3≥－5x＋1．不等式有（ ）
A．2个 B．3个 C.4个 D．5个
不等式的定义
①②⑤⑥
C
3．【例】根据下列数量关系，列出不等式：
（1）x的3倍加上2的和大于－4： _______________________；
（2）y的 与10的差小于y的2倍：_______________________；
（3）x的7倍减去1是正数：____________________________；
（4）y的3倍大于或等于9：____________________________；
（5）y与x的5倍的和不大于6：_________________________.
列不等式
3x＋2＞－4
7x－1＞0
3y≥9
y＋5x≤6
4.根据下列数量关系，列出不等式：
（1）a的3倍与b的 的差是负数：__________________________；
（2）x与2的差的3倍大于x：_______________________________；
（3）x与17的和比x的3倍小：______________________________；
（4）a的倒数与2的差是非负数：___________________________；
（5）a与b两数和的平方不小于3：__________________________；
（6）a的平方减去2的差至多为a与b的乘积：__________________.
3(x－2)＞x
x＋17<3x
(a＋b)2≥3
a2－2≤ab
5．【例】x＝3是下列不等式 的一个解．（ ）
A．x－1＜0 B．x＋1＜4
C.2x－3＞4 D．2x＋3＜10
6.下列各数中： ，－4，π，0, 5.6 , 3，是不等式x－2＞1的解的数共有（ ）
A．4个 B．3个
C.2个 D．1个
不等式的解
D
C
7．【例】不等式x＞ 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
不等式的解集在数轴上的表示
A B C D
C
8.把下列不等式的解集在数轴上表示出来．
（1）x＜－2； （2）x≥－3.
9．若x＋y□5是不等式，则“□”里不能是（ ）
A．－ B．≤ C．＞ D．＜
10．下列说法中：①x＝5是不等式2x＞9的一个解；②x＝6是不等式2x＞9的一个解；③不等式2x＞9的解集为x＞4.5.正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
A
C
11．请用不等式表示下列各图表示的解集．
（1）
；
（2）
；
（3）
．
x＞2.5
x＜－2
x≤3
12．（1）用不等式表示“m的3倍与2的差不大于0”为 ；
（2）2024年6月，我国选手苗浩以7时58分4秒的成绩创造了亚洲大铁新纪录，将该纪录用时记为t0.若今后的选手要打破该纪录，则比赛用时t的取值范围为 ．
3m－2≤0
t＜t0
13．已知关于x的不等式x≥ 的解集在数轴上的表示如图所示，求a的值．
解：根据题意知 ＝－2，∴a－1＝－4，则a＝－3.
14．若方程（m＋2）x＝2的解为x＝2，想一想，x＝－2，x＝－1，x＝0，x＝1，x＝2中哪些是不等式（m－2）x＞－3的解．
解：∵(m＋2)x＝2的解为x＝2，∴2(m＋2)＝2，
∴m＝－1，∴m－2＝－3，
由(m－2)x＞－3，得－3x＞－3，
∴x＝－2，x＝－1，x＝0是不等式(m－2)x＞－3的解．
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第十一章
不等式与不等式组
第5课时 一元一次不等式的解法的综合运用
2
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1
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3
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解一元一次不等式的步骤：①去分母；② ；③移项；④合并同类项；⑤________________.
去括号
系数化为1
1．【例】求不等式 ＞2x－2的正整数解．
一元一次不等式的特殊解
解： ＞2x－2，
5(x＋2)＞8x－8，
5x＋10＞8x－8，
5x－8x＞－8－10，
－3x＞－18，
x＜6，
∴这个不等式的正整数解是1，2，3，4，5.
2.求不等式 ≤1的非正整数解．
解： ≤1，
2(2x－1)－(7x＋1)≤6，
4x－2－7x－1≤6，
4x－7x≤6＋2＋1，
－3x≤9，
x≥－3，
∴这个不等式的非正整数解为－3，－2，－1，0.
3.【例】已知代数式 ＋1的值不小于 －1的值，求x的取值范围．
解：由题意，得
－1，
2(x－5)＋6≥3(x＋1)－6，
2x－10＋6≥3x＋3－6，
2x－3x≥3－6＋10－6，
－x≥1，
x≤－1.
4.若x为非负整数，且式子 的值不大于 的值，求x的值．
5．【例】已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x＞y，求k的取值范围．
一元一次不等式的解法的综合运用
解：
①－②，得x－y＝5－k，
∵x＞y，∴x－y＞0，
∴5－k＞0，解得k＜5.
6.若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x＋y＜－ ，求a的取值范围．
7．不等式3x－5＞－1的最小整数解是（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
8．已知点（－7，－2m＋1）在第三象限，则m的取值范围为（ ）
A．m＜ B．m＞－
C．m＜－ D．m＞
C
D
9．按照下面给定的计算程序，当x＝－2时，输出的结果是 ；使代数式2x＋5的值小于20的最大整数x是 ．
1
7
10．若代数式 的值大于1，求满足条件的x的正整数值．
解：依题意得 －＞1，
3(x＋3)－2(2x－1)＞6，
3x＋9－4x＋2＞6，
3x－4x＞6－2－9，
－x＞－5，
x＜5，
∴满足条件的x的正整数值为1，2，3，4.
11．若不等式5（x－2）＋8≤6（x－1）＋7的最小整数解是方程3x－ax＝－3的解，求a的值．
解：5(x－2)＋8≤6(x－1)＋7，
5x－10＋8≤6x－6＋7，
5x－6x≤－6＋7＋10－8，
－x≤3，
x≥－3，
则该不等式的最小整数解为x＝－3.
根据题意，将x＝－3代入方程3x－ax＝－3，
得－9＋3a＝－3，解得a＝2.
12．若关于x的方程2x＋m－3（m－1）＝1＋x的解为负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞－1 B．m＜－1
C．m＞1 D．m＜1
13．关于x的不等式3x＋a≤0的解集如图所示，则a的值是 ．
D
3
14．若不等式3x－2＞2 的解集与关于x的不等式3（x－1）＋5＞5x＋2（m＋x）的解集相同，求m的值．
解：∵不等式3x－2＞2 ，
∴3x－2＞4x＋1，∴3x－4x＞1＋2，解得x＜－3.
∵关于x的不等式3(x－1)＋5＞5x＋2(m＋x)，
∴3x－3＋5＞5x＋2m＋2x，∴3x－5x－2x＞2m＋3－5，
∴－4x＞2m－2，∴x＜－ .
∵不等式3x－2＞2 的解集与关于x的不等式3(x－1)＋5＞5x＋2(m＋x)的解集相同，
∴－ ＝－3，解得m＝7.
15．若点P（2－a，2a＋1）到两坐标轴的距离相等且在x轴下方，则点P的坐标是 ．
(5，－5)
16．小范博士给同学们定义了一种新运算M，规定M（a，b）＝ax＋by，例如，M（－2，3）＝－2x＋3y.若关于x，y的二元一次方程组
的解满足x＋y＞0，求m的取值范围．
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第十一章
不等式与不等式组
1．【例】（1）若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A．a＋c＜b＋c B．a－c＞b－c
C．ac＞bc D．ac2≤bc2
数形结合思想
A
（2）解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是（ ）
A.x＜1或x＞－3 B．－3＜x＜1
C．－3＜x≤1 D．－3≤x＜1
（3）如图表示的是关于x的不等式x－m≤－1的解集，则m的值是 ．
C
3
2．【例】如图，在数轴上，点A，B分别表示数1＋m，2m－1，且点A在点B的左侧．
（1）求m的取值范围；
解：(1)由点A与点B在数轴上的位置可知，2m－1＞1＋m，
2m－m＞1＋1，m＞2，
∴m的取值范围为m＞2；
（2）数轴上表示数4－m的点C应落在 （选填“点A的左侧” “线段AB上”或“点B的右侧”），并说明理由．
(2)点A的左侧，理由如下：
∵由(1)可知m＞2，
∴(1＋m)－(4－m)＝1＋m－4＋m＝2m－3＞0，
∴点C在点A的左侧．
点A的左侧
3．【例】定义新运算：x*y＝ax＋by，且1*2＝0，（－1）*1＝3.
（1）求a，b的值；
（2）若0＜c*（c＋3）＜2，求c的取值范围；
(2)由(1)得x*y＝－2x＋y，
∵0＜c*(c＋3)＜2，∴0＜－2c＋(c＋3)＜2，
即0＜－c＋3＜2，解得1＜c＜3；
（3）图中数轴上的墨迹恰好遮住了关于m的
不等式 ＜n＋1的所
有整数解，求整数n的值．
4．【例】研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏的作用．最佳燃脂心率的最高值为（220－年龄）×0.8，最低值为（220－年龄）×0.6，所以一个40岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（ ）
A．108≤p≤180 B．120≤p≤144
C．108≤p≤144 D．120＜p＜160
模型观念
C
5．【例】如图为小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯乘载的质量超过400千克时警示音响起，且小丽、小欧的质量分别为50千克、70千克．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的质量为x千克，则x的取值范围是 ．
280＜x≤350
6．【例】为了拓宽学生视野，某校计划组织900名师生开展以“追寻红色足迹，传承红色精神”为主题的研学活动．某旅游公司有A，B两种型号的客车可以租用，已知1辆A型客车和1辆B型客车可以载乘客85人，3辆A型客车和2辆B型客车可以载乘客210人．
（1）一辆A型客车和一辆B型客车分别可以载乘客多少人？
解：(1)设一辆A型客车可以载乘客x人，一辆B型客车可以载乘客y人，
根据题意列方程组得
答：一辆A型客车可以载乘客40人，一辆B型客车可以载乘客45人；
（2）若租用A型客车和B型客车（两种都租）刚好能装载这900名师生，请求出所有的租车方案；
(2)设租用a辆A型客车，租用b辆B型客车，
根据题意列式得40a＋45b＝900，则b＝20－ a，
∵a，b是正整数，
∴或
故有两种租车方案：方案1.租用9辆A型客车，12辆B型客车；
方案2：租用18辆A型客车，4辆B型客车；
（3）该校计划租用A，B两种型号的客车共22辆，其中A型客车数量的一半不少于B型客车的数量，共有多少种租车方案？
(3)设租用m辆A型客车，则租用(22－m)辆B型客车，
根据题意列一元一次不等式组得
解得14 ≤m≤18，
∵m为正整数，∴m的值可以为15，16，17，18，
∴共有4种租车方案：
方案1：租用15辆A型客车，7辆B型客车；
方案2：租用16辆A型客车，6辆B型客车；
方案3：租用17辆A型客车，5辆B型客车；
方案4：租用18辆A型客车，4辆B型客车．
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第十一章
不等式与不等式组
第十一章复习
1
知识回顾
2
分层检测
1．【例】若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a＋1＜b＋1 B．a－1＜b－1
C.2a＞2b D．－2a＞－2b
2.下列不等式变形正确的是（ ）
A．由4x－1＞0，得4x＞1 B.由5x＞3，得x＞3
C.由 ＞0，得y＜0 D.由－2x＜4，得x＜－2
不等式的性质
C
A
3．【例】解不等式2－5x≥8－2x，并把解集在数轴上表示出来．
解一元一次不等式（组）
解：2－5x≥8－2x，
－5x＋2x≥8－2，
－3x≥6，
x≤－2.
不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
4.解不等式组 并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
解：
解不等式①，得x≤5，
解不等式②，得x＞－1，
不等式①和②的解集在数轴上的表示如图所示．
∴不等式组的解集为－1＜x≤5.
5．【例】某工地现有大量的残土需要运输，某车队有载质量为8吨的卡车5辆，载质量为10吨的卡车7辆．该车队需要一次运输残土不低于166吨．为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆，则最多购进载质量为8吨的卡车多少辆？
一元一次不等式（组）的应用
解：设购进载质量为8吨的卡车x辆，
依题意得8(5＋x)＋10(7＋6－x)≥166 ，
解得x≤2.
答：最多购进载质量为8吨的卡车2辆．
6.某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，则共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，则共需700万元．
（1）A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元？
解：(1)设A型汽车每辆的价格是x万元，B型汽车每辆的价格是y万元，
依题意得
答：A型汽车每辆的价格是25万元，B型汽车每辆的价格是30万元；
（2）该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量．请你写出最省钱的方案，并求出该方案所需费用．
(2)设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车(10－m)辆，
根据题意得
解得3≤m＜5，
∵m是整数，∴m＝3或4，相应的(10－m)的值为7或6.
当m＝3时，该方案所需费用为25×3＋30×7＝285(万元)；
当m＝4时，该方案所需费用为25×4＋30×6＝280(万元).
∵285＞280，
∴最省钱的方案是购买A型汽车4辆，B型汽车6辆．
答：最省钱的方案是购买A型汽车4辆，B型汽车6辆，该方案所需费用为280万元．
7．若（m＋1）x ＋2＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝ ．
8．x的一半与4的差不大于－2，根据题意可列不等式为 ．
9．已知某文具店每本笔记本2元，每支钢笔5元.若小红用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，则小红最多能买的钢笔支数是 ．
1
13
10．在实数范围内定义一种新运算“ ”，其运算规则为a b＝2a－3b，如1 5＝2×1－3×5＝－13，则不等式x 4＜0的非负整数解是 ．
11．一次环保知识竞赛共有25道题，每一道题答对得4分，答错或不答都扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少要答对多少道题？如果设小明答对了x道题，那么根据题意可列式为 .
0，1，2，3，4，5
4x－(25－x)≥85
12．求同时满足不等式10－4（x－3）≤2（x－1）和 的整数x.
解：由题意可得
解不等式①，得x≥4，解不等式②，得x≤8，
∴不等式组的解集为4≤x≤8，
∴所求整数x为4，5，6，7，8.
13．如果关于x的不等式组 的解集是x＞－1，那么a的取值范围是（ ）
A．a≤－1 B．a≥－1
C．a＜－1 D．a＞－1
14．已知关于x的方程kx－1＝2x的解为正实数，则k的取值范围是 ．
A
k＞2
15．若关于x的不等式mx＋1＞0的解集为x＜ ，求关于x的不等式
（m－1）x＞－1－m的解集．
16．为满足学生课外活动需要，学校决定添置一批某品牌的足球和跳绳．已知足球每个定价为160元，跳绳每条定价为20元．现有A，B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．具体如下：A网店：足球和跳绳都按定价的九折付款；B网店：买一个足球送一条跳绳．已知该校计划从上述网店中购买足球30个，跳绳x条（x＞30，只能选择一家网店购买）.
（1）在A网店、B网店购买各需付款多少元？（用含x的式子表示）
解：(1)在A网店购买付款：
0.9(160×30＋20x)＝(18x＋4 320)元；
在B网店购买付款：
160×30＋20(x－30)＝(20x＋4 200)元；
（2）请你帮学校分析选择哪一家网店购买更合算．
(2)当18x＋4 320＝20x＋4 200时，x＝60，在A网店、B网店购买一样合算；
当18x＋4 320＞20x＋4 200时，x＜60，在B网店购买更合算；
当18x＋4 320＜20x＋4 200时，x＞60，在A网店购买更合算；
答：当x＝60时，在A网店、B网店购买一样合算．
当x＜60时，在B网店购买更合算；
当x＞60时，在A网店购买更合算．
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第十一章
不等式与不等式组
阅读下面材料并解决问题：
两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a和b比较大小，那么当a＞b时，有a－b＞0；当a＝b时，有a－b＝0；当a＜b时，有a－b＜0；反过来也对，即当a－b＞0时，有a＞b；当a－b＝0时，有a＝b；当a－b＜0时，有a＜b.
因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的情况判断对象的大小，像这样判断两数大小关系的方法叫作求差法．
用求差法比较大小
【类比应用】
（1）用“＞”或“＜”填空．
①若a－b＝3时，a b；
②若a－b＝－1时，a b；
③若a＞0，则－a＋5 －2a＋4；
（2）比较5x＋13y＋2和6x＋12y＋2的大小；
＞
＜
＞
5x＋13y＋2－(6x＋12y＋2)＝5x＋13y＋2－6x－12y－2＝y－x，
那么①当y－x＞0，即x＜y时，5x＋13y＋2＞6x＋12y＋2；
②当y－x＝0，即x＝y时，5x＋13y＋2＝6x＋12y＋2；
③当y－x＜0，即x＞y时，5x＋13y＋2＜6x＋12y＋2；
【解决问题】
（3）如图所示，在4×4的正方形网格中，以A为圆心、AB长为半径画扇形，以D为圆心、CE长为直径画半圆，若图中阴影部分的面积分别为S1，S2，则比较S1与S2的大小．
统计资料表明，2021年山西省各市城市建成区面积排行榜中，太原市一城独大，城市建成区面积达340平方千米，大同市排第二，晋中市排第三．已知大同市城市建成区面积比晋中市大22平方千米，且大同市与晋中市城市建成区面积共228平方千米．
用不等式解决实际问题
（1）求2021年大同市与晋中市的城市建成区面积分别是多少；（用二元一次方程组解答）
解：(1)设大同市的城市建成区面积为x平方千米，晋中市的城市建成区面积为y平方千米，依题意得
答：大同市的城市建成区面积为125平方千米，晋中市的城市建成区面积为103平方千米；
（2）2021年太原市城市建成区绿地面积为150平方千米，若从2021年到2025年太原市城市建成区面积平均每年增加10平方千米，要使到2025年太原市城市建城区园林绿地率超过45%（城市建成区园林绿地
率＝ ×100%，简称绿地率），则这四年（2021年到2025年），太原市平均每年增加城市建成区绿地面积应超过多少平方千米？
(2)设平均每年增加城市建成区绿地面积应为a平方千米，依题意得
150＋4a＞(340＋10×4)×45%，解得a＞ .
答：平均每年增加城市建成区绿地面积应超过 平方千米．
在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50.游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E.张华依次将相
邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪
张卡片上的数最大．如表是李明抽取的五张卡片中相邻两
张卡片上的数的和．
猜猜哪个数最大
卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A
两数的和 71 50 57 69 63
请推断出哪张卡片最大，并说明理由．
解：设A，B，C，D，E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e，
则a＋b＝71①，b＋c＝50②，c＋d＝57③，d＋e＝69④，e＋a＝63⑤，
②－①，得c－a＝－21＜0，所以c＜a，
②－③，得b－d＝－7＜0，所以b＜d，
④－③，得e－c＝12＞0，所以e＞c，
④－⑤，得d－a＝6＞0，所以d＞a，
①－⑤，得b－e＝8＞0，所以b＞e，
所以d＞b＞e＞c且d＞a，所以D卡片上的数最大．
小玲搭飞机旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为800千克，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车．已知搭公交车每移动1千米产生的碳排放量为0.04千克，驾驶汽车每移动1千米产生的碳排放量为0.17千克．假设小玲每天上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总路程皆为20千米，与驾驶汽车相比，要使减少产生的碳排放量超过她搭飞机产生的碳排放量，则她至少要搭公交车上下班（ ）
A．310天 B．309天 C．308天 D．307天
低碳生活
C
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第十一章
不等式与不等式组
第7课时 一元一次不等式的应用(2)
1
课堂讲练
2
分层检测
1．【例】某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号电脑每台报价均为6 000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠方案是第一台按原价收费，其余每台优惠25%；乙商场的优惠方案是每台优惠20%.
购买问题
（1）什么情况下到甲商场购买更优惠？
解：设购买电脑x台．
(1)若到甲商场购买更优惠，则
6 000＋(1－25%)×6 000(x－1)＜(1－20%)×6 000x，
解得x＞5.
答：当购买电脑台数大于5时，到甲商场购买更优惠；
（2）什么情况下到乙商场购买更优惠？
(2)若到乙商场购买更优惠，则
6 000＋(1－25%)×6 000(x－1)＞(1－20%)×6 000x，
解得x＜5.
答：当购买电脑台数小于5时，到乙商场购买更优惠；
（3）什么情况下两家商场的收费相同？
(3)若两家商场的收费相同，则
6 000＋(1－25%)×6 000(x－1)＝(1－20%)×6 000x，
解得x＝5.
答：当购买5台电脑时，两家商场的收费相同．
2.为了促进消费，端午节期间，甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的促销方案．甲商场的优惠方案：购物价格累计超过200元后，超出200元部分按70%付费；乙商场的优惠方案：购物价格累计超过100元后，超出100元部分按80%付费．顾客到哪家商场购物花费少？
解：(1)当累计购物不超过100元时，在甲、乙两家商场购物都不享受优惠且两家商场以同样价格出售同样的商品，因此到两家商场购物花费一样；
(2)当累计购物超过100元而不超过200元时，享受乙商场的购物优惠不享受甲商场的购物优惠，因此到乙商场购物花费少；
(3)当累计购物超过200元时，设累计购物x(x＞200)元．
①当顾客在甲商场购物花费少时，
则200＋70%(x－200)＜100＋80%(x－100)，
解得x＞400；
②当顾客在乙商场购物花费少时，
则200＋70%(x－200)＞100＋80%(x－100)，
解得x＜400；
③当顾客在甲、乙商场购物花费相等时，
则200＋70%(x－200)＝100＋80%(x－100)，
解得x＝400；
∴当x＞400时，顾客在甲商场购物花费少，
当x＝400时，顾客在甲、乙商场购物花费相等，
当200＜x＜400时，顾客在乙商场购物花费少．
答：当累计购物不超过100元或等于400元时，顾客在甲、乙商场购物花费相等；当累计购物超过100元而不足400元时，顾客在乙商场购物花费少；当累计购物大于400元时，顾客在甲商场花费少．
3.【例】为加大污水处理量，某治污公司决定购买10台污水处理设备．
现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格与月处理污水量如下表：
A型 B型
价格（万元/台） x y
处理污水量（吨/月） 240 200
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
（1）求x，y的值；
解：(1)依题意得
故x的值为12，y的值为10；
（2）如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，那么求该治污公司有哪几种购买方案；
(2)设购买m台A型设备，则购买(10－m)台B型设备，
依题意得12m＋10(10－m)≤105，解得m≤ ，
∵m为非负整数，
∴m可以为0，1，2，相应的(10－m)的值为10，9，8，
∴该治污公司有3种购买方案，
方案1：购买10台B型设备；
方案2：购买1台A型设备，9台B型设备；
方案3：购买2台A型设备，8台B型设备；
（3）在（2）的条件下，如果月处理污水量不低于2 040吨，那么为了节约资金，请为该公司设计一种最省钱的购买方案．
(3)依题意得240m＋200(10－m)≥2 040，解得m≥1.
又∵m≤ ，且m为非负整数，∴m可以为1，2，
∴该治污公司有2种购买方案，
方案1：购买1台A型设备，9台B型设备；
方案2：购买2台A型设备，8台B型设备，
方案1所需费用为12×1＋9×10＝102(万元)，
方案2所需费用为12×2＋8×10＝104(万元).
∵102＜104，∴购买1台A型设备，9台B型设备最省钱．
答：购买1台A型设备，9台B型设备最省钱．
4.某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A，B两种型号的电风扇，超市第一周卖出3台A种型号和4台B种型号电风扇的销售额为
1 200元，第二周卖出5台A种型号和6台B种型号电风扇的销售额为
1 900元（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）.
（1）求A，B两种型号的电风扇的销售单价；
解：(1)设A，B两种型号的电风扇的销售单价分别为x元，y元，
依题意得
答：A，B两种型号的电风扇的销售单价分别为200元，150元；
（2）若超市准备用不多于7 480元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，则A种型号的电风扇最多能采购多少台？
(2)设A种型号的电风扇采购a台，则B种型号的电风扇采购(50－a)台，依题意得160a＋120(50－a)≤7 480，解得a≤37.
答：A种型号的电风扇最多能采购37台；
（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过
1 860元的目标？若能，则请给出相应的采购方案；若不能，则请说明理由．
(3)依题意得(200－160)a＋(150－120)(50－a)＞1 860，
∴a＞36，由(2)可知a≤37，且a为正整数，
∴a的取值为37，∴50－a＝50－37＝13，
即采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台，能实现利润超过1 860元的目标．
5．为了开展云南省爱国卫生七个专项行动，某单位需要购买分类垃圾桶6个．市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶50元/个，B型分类垃圾桶55元/个．若总费用不超过310元，则购买方式有（ ）
A．2种 B．3种
C．4种 D．5种
B
6．某村要为市容做出一份努力，在“清洁乡村”活动中，村里要购买一些垃圾桶，商家给出了两种购买垃圾桶的方案：
方案一：买分类垃圾桶，需要费用4 000元，以后每月的垃圾处理费用为300元；
方案二：买不分类垃圾桶，需要费用1 000元，以后每月的垃圾处理费用为600元．
设交费时间为x个月，方案一的购买费用和垃圾处理费用共为M元，方案二的购买费用和垃圾处理费用共为N元．
（1）请直接用含x的式子分别表示方案一、二的购买费用和垃圾处理费用M，N.
M： ，
N： ；
300x＋4 000
600x＋1 000
方案一：买分类垃圾桶，需要费用4 000元，以后每月的垃圾处理费用为300元；
方案二：买不分类垃圾桶，需要费用1 000元，以后每月的垃圾处理费用为600元．
（2）请你通过列式计算分析该村采用哪种方案更省钱．
(2)当M＝N时，即300x＋4 000＝600x＋1 000，
解得x＝10，
故交费时间为10个月时，两种方案费用相同；
当M＞N时，即300x＋4 000＞600x＋1 000，解得x＜10，
故交费时间小于10个月时，选择方案二更省钱；
当M＜N时，即300x＋4 000＜600x＋1 000，解得x＞10，
故交费时间超过10个月时，选择方案一更省钱．
7．“地摊经济”已成为社会关注的热门话题，小明从市场得知如下信息：甲商品每件售价为90元，乙商品每件售价为10元．销售1件甲商品和4件乙商品可获得利润45元，销售2件甲商品和3件乙商品可获得利润65元．
（1）求甲、乙商品的进货价格；
解：(1)设甲、乙商品的进货价格分别是x元、y元，
由题意列方程组
答：甲商品的进货价格为65元，乙商品的进货价格为5元；
（2）小明计划用不超过3 500元的资金购进甲、乙商品共100件进行销售，设小明购进甲商品a件，求a的取值范围；
(2)由题意得65a＋5(100－a)≤3 500，解得a≤50，
∴a的取值范围是0≤a≤50；
（3）在（2）的条件下，若要求甲、乙商品全部销售完后获得的利润不少于1 450元，请列举小明有哪些可行的进货方案，并计算采用哪种进货方案可获得的利润最大，最大利润是多少元？
(3)由题意可得(90－65)a＋(10－5)(100－a)≥1 450，
解得a≥47.5，∴47.5≤a≤50，
又∵a为整数，∴a的值为48，49，50，
∴进货方案有：甲商品进48件，乙商品进52件；甲商品进49件，乙商品进51件；甲商品进50件，乙商品进50件；
若甲商品进48件，乙商品进52件，利润为
(90－65)×48＋(10－5)×52＝1 460(元).
若甲商品进49件，乙商品进51件，利润为
(90－65)×49＋(10－5)×51＝1 480(元).
若甲商品进50件，乙商品进50件，利润为
(90－65)×50＋(10－5)×50＝1 500(元).
∵1 500＞1 480＞1 460，
∴当甲商品进50件，乙商品进50件时，可获得的利润最大，为1 500元．
答：进货方案有：甲商品进48件，乙商品进52件；甲商品进49件，乙商品进51件；甲商品进50件，乙商品进50件；甲商品进50件，乙商品进50件可获得的利润最大，最大利润是1 500元．
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第十一章
不等式与不等式组
第4课时 一元一次不等式的概念及解法
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
1.只含有 个未知数，且含有未知数的式子都是 ，未知数的次数是 的不等式，叫作一元一次不等式．
2．解一元一次不等式的步骤：①去分母；② ；③移项；④合并同类项；⑤ ．
一
整式
1
系数化为1
去括号
1.【例】下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．－1＜2 B．－y＋1＞y
C. ＞2 D．3x－2y≤－1
2.下列式子中，是一元一次不等式的有（ ）
① x2＋x≠3； ② 1－x≥5； ③ 4x＋3；
④ x－3＞y＋4; ⑤ 2x＋3＜8; ⑥ 4＞1.
A．2个 B．3个 C.4个 D．5个
一元一次不等式的定义
B
A
3．【例】解不等式3x－1≥2x＋4，并在数轴上表示解集．
解一元一次不等式（移项）
解：3x－1≥ 2x＋4，
3x－2x≥ 4＋1，
x≥ 5，
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
4.解不等式5x－2＞11x＋3, 并在数轴上表示解集．
解：5x－2＞11x＋3，
5x－11x＞ 3＋2，
－6x＞5，
x＜－ ，
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
5．【例】解不等式3（x－1）＞2x＋2，并在数轴上表示解集．
解一元一次不等式（去括号）
解：3(x－1)＞2x＋2，
3x－3＞ 2x＋2，
3x－2x＞ 2＋3，
x＞ 5，
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
6.解不等式2x－11≥4（x－3）＋3，并在数轴上表示解集．
解：2x－11≥ 4(x－3)＋3，
2x－11≥ 4x－12＋3，
2x－4x≥ －12＋3＋11，
－2x≥ 2，
x≤ －1，
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
7．【例】解不等式 －3≤x，并在数轴上表示解集．
解一元一次不等式（去分母）
解： －3≤ x，
3x＋2－6≤ 2x，
3x－2x≤ 6－2，
x≤ 4，
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
8.解不等式 －1，并在数轴上表示解集．
解： －1，
2(2x－1)＜ 3(3x－2)－6，
4x－2＜ 9x－6－6，
4x－9x＜－6－6＋2，
－5x＜－10，
x＞ 2，
这个不等式的解集在数轴上的表示如
图所示．
9．不等式x－2＞0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
D
10．解不等式2x－3＜6x＋13，并在数轴上表示解集．
解：2x－3＜ 6x＋13，
2x－6x＜13＋3，
－4x＜16，
x＞－4，
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
11．解不等式4（2x－1）＞3（4x＋2），并在数轴上表示解集．
解：4(2x－1)＞3(4x＋2)，
8x－4＞12x＋6，
8x－12x＞6＋4，
－4x＞10，
x＜－ ，
这个不等式的解集在数轴上的
表示如图所示．
12．解不等式 ，并在数轴上表示解集．
解： ，
2(5x＋1)－24≥ 3(x－5)，
10x＋2－24≥ 3x－15，
10x－3x≥ －15－2＋24，
7x≥ 7，
x≥ 1，
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
13．已知（a－1） ＋m＞0是关于x的一元一次不等式，则a的值为 ．
14．规定对任意有理数a，b都有a※b＝a（a－b）＋1，如2※5＝2×（2－5）＋1＝2×（－3）＋1＝－5，则不等式3※x＜13的解集为 ．
－1
x＞－1
15．已知不等式x＋8＞4x＋m（m是常数）的解集是x＜3，求方程2m－2x＝3－m的解．
解：∵不等式x＋8＞4x＋m(m是常数)的解集是x＜3，
∴整理得－3x＞m－8，
解得x＜ ，则 ＝3，
解得m＝－1，
则2m－2x＝3－m整理得－2－2x＝3＋1，
解得x＝－3.
16．阅读以下例题：
解不等式： ＞1.
解：①当2x＞0时，即x＞0，原不等式可化为一元一次不等式2x＞1，解这个不等式，得x＞ ，∴x＞ ；
②当2x＜0时，即x＜0，原不等式可化为一元一次不等式－2x＞1，解这个不等式，得x＜－ ，（依据）
∴x＜－ ；
③当2x＝0时，即x＝0，原不等式可化为0＞1，不成立，此时不等式无解．
所以不等式的解集为x＜－ 或x＞ .
任务：
（1）填空：上述解答过程中的“依据”是指________________________
_____________________________________________；
不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变
（2）仿照例题利用分类讨论思想解不等式： ＞3.
解：(2)①当2x＋1＞0时，即x＞－ ，
原不等式可化为一元一次不等式2x＋1＞3，
解这个不等式，得x＞1，∴x＞1；
②当2x＋1＜0时，即x＜－ ，
原不等式可化为一元一次不等式－2x－1＞3，
解这个不等式，得x＜－2，∴x＜－2；
③当2x＋1＝0时，即x＝－ ，
原不等式可化为0＞3，不成立，此时不等式无解．
所以不等式 ＞3的解集为x＞1或x＜－2.
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第十一章
不等式与不等式组
第2课时 不等式的性质
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
1. 不等式的性质1：如果a＞b，那么a±c b±c.
2．不等式的性质2：如果a＞b，c＞0，那么ac bc.
3．不等式的性质3：如果a＞b，c＜0，那么ac bc.
＜
＞
＞
＞
＜
1．【例】已知a＞b，用“＜”或“＞”填空．
（1）3＋a b＋3；
（2）8a 8b；
（3）－4a －4b；
不等式的性质
（4） .
＜
＞
＞
＞
2.用“＞”或“＜”填空．
（1）如果a－1＜b－1，那么a b；
（2）如果3a＞3b，那么a b；
（3）如果－a＜－b，那么a b；
（4）如果2a＋1＜2b＋1，那么a b．
＜
＞
＜
＞
3.【例】已知实数a，b满足a＋1＞b＋1，则下列选项可能错误的是（ ）
A．a＞b B．－3a＜－3b
C. a＋2＞b＋2 D．ac＞bc
4.已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．a－b＜0 B．3a＋1＜3b＋1
C. am2＞bm2 D．
D
D
5.【例】若x＜－6，则利用不等式的性质求出下列各式的取值范围．
（1）x＋3； （2）－3x； （3）2x＋5.
解：(1)∵x＜－6，∴x＋3＜－6＋3，∴x＋3＜－3；
(2)∵x＜－6，∴－3x＞－6×(－3)，∴－3x＞18；
(3)∵x＜－6，∴2x＜－6×2，∴2x＜－12，
∴2x＋5＜－12＋5，∴2x＋5＜－7.
6.若m＞2，则利用不等式的性质求出下列各式的取值范围．
（1）m－4； （2）3m； （3）－3m＋2.
解：(1)∵m＞2，∴m－4＞2－4，∴m－4＞－2；
(2)∵m＞2，∴3m＞3×2，∴3m＞6；
(3)∵m＞2，∴－3m＜－3×2，∴－3m＜－6，
∴－3m＋2＜－6＋2，∴－3m＋2＜－4.
7．若a＞b，则下列结论正确的是（ ）
A．a＋2＜b＋2 B．a－1＜b－1
C.2a＞2b D．
8．下列推理正确的是（ ）
A．因为m＞n，所以m＋a＞n－b B.因为m＞n，所以m＋a＞n＋a
C.因为m＜n，所以m＋1＜n－2 D.因为m＜n，所以m＋2＜n－1
C
B
9．已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．－5a＜－5b B．a－3＜b－3
C.a＋b＞0 D．ab＞0
A
10．用“＞”或“＜”填空．
（1）若a＜b，则3a 3b；
（2）若a－b＜c－b，则a c；
（3）若－2y＜10，则y －5；
（4）若－2a＋1＜－2b＋1，则a b；
（5）若x＜a＜0，则x2 ax.
＜
＜
＞
＞
＞
11．如果（a＋1）x＜a＋1的解集是x＞1，那么a的取值范围是（ ）
A.a＜0 B．a＜－1
C.a＞－1 D．a是任意有理数
B
12．若x＜y，试比较下列各式的大小并说明理由.
（1）3x－1与3y－1； （2）－ x＋6与－ y＋6.
解：(1)3x－1＜3y－1，理由如下：
∵x＜y，∴3x＜3y(不等式的性质2).
∴3x－1＜3y－1(不等式的性质1)；
13．【阅读材料】
我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差a－b.若a－b＞0，则
a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b.
【解决问题】
（1）已知x＞y，试比较4x＋8y，3x＋9y的大小；
（2）若M＝2a2＋3b＋1，N＝a2＋3b，M－2N＞0，求a，b的取值范围．
解：(1)∵(4x＋8y)－(3x＋9y)＝4x＋8y－3x－9y＝x－y＞0，
∴4x＋8y＞3x＋9y；
(2)∵M－2N＞0，∴(2a2＋3b＋1)－2(a2＋3b)＞0，
∴2a2＋3b＋1－2a2－6b＞0，∴－3b＞－1，∴b＜ ，
∴a为任意实数，b＜ .
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第十一章
不等式与不等式组
第9课时 一元一次不等式组的应用
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
列一元一次不等式组解应用题的一般步骤：①审： ；②设：设一个未知数；③找：找出 ；④列：列出 ；⑤解出不等式组的解集；⑥作答．
不等关系
审题
不等式组
1．【例】一幢学生宿舍楼里有一些空宿舍，现有一批学生要入住，若每间住5人，则有25人无法入住；若每间住10人，则有1间房不空也不满．求空宿舍的间数和这批学生的人数．
分配问题
解：设空宿舍有x间，
根据题意得 解得5＜x＜7，
∵x是整数，∴x＝6，5×6＋25＝55(人).
答：空宿舍有6间，这批学生有55人．
2.河源市鹰嘴桃果品肉质爽脆、味甜如蜜，现在将一箱鹰嘴桃分给若干名到果园参观的游客品尝，如果每人分4个，则剩下20个鹰嘴桃；如果每人分8个，则有一名游客分得的鹰嘴桃不足8个．求这批游客的人数和这箱鹰嘴桃的个数．
解：设这批游客有x人，则这箱鹰嘴桃有(4x＋20)个，
依题意得 解得5＜x＜7，
∵游客人数应取整数，∴x＝6，∴4×6＋20＝44(个).
答：这批游客有6人，这箱鹰嘴桃有44个．
3．【例】七（2）班王老师对在某次考试中取得优异成绩的同学进行奖励．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，若购买甲种笔记本15本、乙种笔记本20本，共花费1 020元；若购买甲种笔记本10本、乙种笔记本25本，共花费1 030元．
（1）购买一本甲种笔记本、一本乙种笔记本各需多少元？
方案问题
解：(1)设购买一本甲种笔记本需x元，一本乙种笔记本需y元，
由题意可得
答：购买一本甲种笔记本需28元，一本乙种笔记本需30元；
（2）王老师决定再次购买甲、乙两种笔记本共35本，并且要求此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不低于1 016元，不超过1 020元，共有多少种购买方案，请通过计算一一列举出来．
(2)设购买a本甲种笔记本，则购买(35－a)本乙种笔记本，
由题意可得 解得15≤a≤17，
∵a为整数，∴a为15，16，17，∴相应的(35－a)的值为20，19，18，
故共有3种购买方案：
①购买15本甲种笔记本，20本乙种笔记本；②购买16本甲种笔记本，19本乙种笔记本；③购买17本甲种笔记本，18本乙种笔记本．
4.某储运站现有甲种货物1 530吨、乙种货物1 150吨，计划用一列货车将这批货物运往青岛，这列货车可挂A，B两种不同规格的货厢50节．已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A，B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请设计出来．
解：设应安排x节A型货厢，则安排(50－x)节B型货厢，
由题意得 解得28≤x≤30，
因为x为整数，所以x只能取28，29，30，
相应的(50－x)的值为22，21，20，
所以共有三种运输方案：
方案1：安排A型货厢28节，B型货厢22节；
方案2：安排A型货厢29节，B型货厢21节；
方案3：安排A型货厢30节，B型货厢20节．
购买甲商品x件，那么依题意可列不等式组为 ．
5．若点P（4－m，m－3）在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜3 B．m＞4
C．3＜m＜4 D．3≤m≤4
6．某商店甲商品的单价为8元，乙商品的单价为2元．已知购买乙商品的件数比购买甲商品的件数的2倍少4件，如果购买甲、乙两种商品的总件数不少于32件，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元，设
B
7．某工人制造机器零件，如果每天比计划多做1件，那么8天所做的零件总数超过100件；如果每天比计划少做1件，那么8天所做的零件总数不足99件．这个工人计划每天做多少件零件？
解：设这个工人计划每天做x件零件，
根据题意得 解得11.5＜x＜13 ，
因为x取整数，所以x＝12或13.
答：这个工人计划每天做12或13件零件．
8．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知甲种农机具每件1.5万元，乙种农机具每件0.5万元．若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，有哪几种购买方案？投入资金最少是多少？
解：设购进甲种农机具m件，则购进乙种农机具(10－m)件，
根据题意得
解得4.8≤m≤7，
因为m取整数，所以m可取5，6，7，相应的(10－m)的值为5，4，3，
故有3种购买方案，
方案1：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；
方案2：购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；
方案3：购进甲种农机具7件，乙种农机具3件．
方案1所需资金为1.5×5＋0.5×5＝10(万元)；
方案2所需资金为1.5×6＋0.5×4＝11(万元)；
方案3所需资金为1.5×7＋0.5×3＝12(万元).
因为10＜11＜12，
所以方案1所需资金最少，故投入资金最少是10万元．
9．某初中组织本校332名考生和8名领队教师到县城参加考试，学校准备租用45座甲种客车和30座乙种客车．若租用1辆甲种客车和2辆乙种客车，则共需租金1 650元；若租用2辆甲种客车和1辆乙种客车，则共需租金1 800元.
（1）甲、乙两种客车每辆的租金各是多少元？
解：(1)设甲种客车每辆的租金是x元，乙种客车每辆的租金是y元，
依题意得
答：甲种客车每辆的租金是650元，乙种客车每辆的租金是500元；
（2）为了保证安全，学校要求每辆车上至少要有一名领队教师陪同，在总租金不超过5 200元的情况下，有多少种租车方案？并写出最省钱的租车方案．
(2)由每辆客车上至少有1名领队教师，所以客车总数不能大于8辆；又要保证340名师生有车坐，客车总数不能小于(332＋8)÷45≈8辆.∴客车总数为8辆．
设租用甲种客车m辆，则租用乙种客车(8－m)辆，
依题意得 解得 ≤m≤8，
∵m取整数，
∴m＝7或m＝8，相应的(8－m)的值为1，0.
有两种租车方案：
方案一：甲种客车租用7辆，乙种客车租用1辆，共需租金
7×650＋1×500＝5 050(元)；
方案二：甲种客车租用8辆，不租乙种客车，共需租金8×650＝5 200(元).
∵5 050＜5 200，
∴甲种客车租用7辆，乙种客车租用1辆最省钱．
答：有2种租车方案，甲种客车租用7辆，乙种客车租用1辆最省钱．
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第十一章
不等式与不等式组
第3课时 不等式的性质的应用
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
解不等式要借助不等式的性质对不等式两边进行变形，将不等式逐步化为x>m或 （m为常数）的形式．
x＜m
1．【例】利用不等式的性质解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（1）x＋3＞5; （2）－3x＞9.
利用不等式的性质解不等式
解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边同时减3，得x＞2，
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示；
(2)根据不等式的性质3，不等式两边同时除以－3，得x＜－3，
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
2.利用不等式的性质解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（1） x≥－ x－2; （2）3x－1＞4.
解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边同时加 x，得x≥－2，这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示；
(2)根据不等式的性质1，不等式两边加1，得3x＞5，
根据不等式的性质2，不等式两边除以3，得x＞ ，
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
3.【例】利用不等式的性质解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（1）3x＜5x－4; （2）1－2x≥2－x.
解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边减5x，得－2x＜－4，
根据不等式的性质3，不等式两边除以－2，得x＞2，
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示；
(2)根据不等式的性质1，不等式两边加x，再减1，
得1－2x＋x－1≥2－x＋x－1，整理得－x≥1，
根据不等式的性质3，不等式两边除以－1，得x≤－1，
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
4.利用不等式的性质解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（1） x≥－ x－2; （2）－3x＋2＜2x＋3.
解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加 x，得x≥－2，
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示；
(2)根据不等式的性质1，不等式两边减2，得－3x＜2x＋1，
根据不等式的性质1，不等式两边减2x，得－5x＜1，
根据不等式的性质3，不等式两边除以－5，得x＞－ ，
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
5．【例】某双向六车道高速公路，分车道与车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数据代表该车道车型的最高通行车速（单位：km/h），右侧数据代表该车道车型的最低通行车速（单位：km/h）.王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为v km/h，则车速v的范围是（ ）
A.90≤v≤100 B．80≤v≤100
C．60≤v≤100 D．60≤v≤120
生活中的不等关系
C
6.某生物兴趣小组在恒温箱中培养两种菌种，如果甲种菌种生长的温度t（℃）范围是34≤t≤37，乙种菌种生长的温度t（℃）范围是35≤t≤38，那么恒温箱的温度t（℃）应该设定的范围是（ ）
A.34≤t≤38 B．35≤t≤37
C．34≤t≤35 D．37≤t≤38
B
7．下列说法错误的是（ ）
A．由 x＋2＞0，可得x＞－2
B．由x＜0，可得x＜0
C．由2x＞－4，可得x＜－2
D．由－ x＞－1，可得x＜
C
8．（1）不等式3x≥x－4的解集是__________________________；
（2）不等式4－x≥0的正整数解是_________________________．
9．利用不等式的性质求下列不等式的解集，并说出变形的依据．
（1）若x＋2 008＞2 009，则x ．
（ ）
（2）若2x＞－ ，则x ．
（ ）
（3）若－ ＞5，则x ．
（ ）
x≥－2
x＝1，2，3，4
＞1
不等式两边减2 008，不等号的方向不变
不等式两边除以2，不等号的方向不变
＜－10
不等式两边乘－2，不等号的方向改变
10．利用不等式的性质解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（1）4x－9＜－5; （2）3x－2＞4x＋1.
解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加9，得4x＜4，
根据不等式的性质2，不等式两边除以4，得x＜1，
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示；
(2)根据不等式的性质1，不等式两边加2，得3x＞4x＋3，
根据不等式的性质1，不等式两边减4x，得－x＞3，
根据不等式的性质3，不等式两边除以－1，得x＜－3，
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
11．某盒新款巧克力饼干共有300克，盒子上注有“每100克中蛋白质含量约为4.2～4.5克”．设这盒新款巧克力饼干的蛋白质含量为x克，则x满足的关系式为 ．
12．若关于x的不等式（a－3）x≤3－a，其解集在数轴上的表示如图所示，则a的取值范围是 ．
13．已知a＋b＝4，若－2≤b≤－1，则a的取值范围是 ．
12.6≤x≤13.5
a＜3
5≤a≤6
14．阅读材料：形如2＜2x＋1＜3的不等式，我们称之为双连不等式．求解双连不等式的方法之一是利用不等式的性质直接求解．该双连不等式的左、中、右同时减1，得1＜2x＜2，然后同时除以2，得
＜x＜1.
根据上述材料解决下列问题．
（1）利用不等式的性质解双连不等式2≥－2x＋3＞－5；
（2）已知－3≤x≤－ ，则3x＋5可取的整数值为 ．
(1)解：该双连不等式左、中、右同时减3，得－1≥－2x＞－8，然后同时除以－2，改变不等号的方向，得 ≤x＜4，
∴该双连不等式的解集为 ≤x＜4；
－4，－3
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第十一章
不等式与不等式组
微专题五 一元一次不等式(组)的含参问题
1
课堂讲练
2
分层检测
1．【例】（1）如果关于x的不等式（1＋m）x＞3的解集为x＜ ，则m的取值范围是 ；
（2）若关于x的不等式组 的解集是x＜3a＋4，则a的取值范围是______________；
（3）若关于x的不等式组 的解集是－1＜x＜1，则
（a＋b）2 025＝ ．
已知不等式（组）的解集
m＜－1
－1
a≤－5
2.（1）若关于x的不等式3x－a＞5x的解集为x＜3，则a的值为 ；
（2）若关于x的一元一次不等式组 有解，则m的取值范围为 ；
（3）若关于x的不等式组 的解集为－3＜x＜1，则a－b的值为__________．
－6
4
3．【例】（1）若关于x的不等式3x－2m＜x只有3个正整数解，则m的取值范围是 ；
（2）若关于x的不等式组 只有3个整数解，则a的取值范围是_______________．
已知不等式（组）整数解的情况
3＜m≤4
－3≤a＜－2
4.（1）若关于x的不等式x－m＞1的最小整数解是2，则实数m的取值范围是______________；
（2）已知关于x的不等式组 的整数解共有4个，则m的取值范围是 _____________.
0≤m＜1
6＜m≤7
5．【例】若关于x的不等式 ≥1的解都能使关于x的不等式3x＜2x＋a成立，求a的取值范围．
已知两个不等式的解的关系
6.已知关于x的不等式 －1＜x与关于x的不等式1－2（x＋3）＞0的解集相同，求a的值．
解：解不等式 －1＜x，得x解不等式1－2(x＋3)＞0，得x<－2.5，
因为两个不等式的解集相同，
所以a＋2＝－2.5，解得a＝－4.5.
7．【例】若关于x，y的二元一次方程组 的解满足
x＋y≤0，则m的取值范围是 ．
8.已知关于a，b的方程组 中，a为负数，b为非正数，则m的取值范围是 ．
已知方程（组）解的情况
m≤2
－2≤m＜3
9．若关于x的不等式组 的解集是x＞1，则m的取值范围是 ．
10．若关于x的不等式组 无解，则实数m的取值范围是 ．
m≤1
m≤1
11．已知关于x的不等式组
（1）若该不等式组的解集为－2＜x＜3，求m的值；
（2）若该不等式组只有5个整数解，求整数m的值．
(2)由(1)得不等式组的解集为－2＜x＜ ，
∵不等式组只有5个整数解，
∴整数解是－1，0，1，2，3，则3＜ ≤4，
解得3＜m≤6，
∴整数m的值为4，5，6.
12．【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：2x＋4＝2的解为x＝－1， 的解集为－3≤x＜4，不难发现x＝－1在－3≤x＜4范围内，所以2x＋4＝2是 的“子方程”．
【问题解决】
（1）下列方程中，①4x－5＝x＋7；② ＝0；③2x＋3（x＋2）＝21，是不等式组 的“子方程”的是 （选填序号）；
①②
（2）若关于x的方程2x－k＝4是不等式组 的“子方程”，求k的取值范围；
（3）若方程 4x＋4＝0是关于x的不等式组 的“子方程”，直接写出m的取值范围．
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第十一章
不等式与不等式组
1．【人教七下P129 T10改编】 某市地铁票收费标准如下：不超过
6 km 3元；超过6 km到 12 km（含）4元；超过12 km到22 km（含）5元；超过22 km到32 km（含）6元；超过32 km部分，每增加1元可再乘坐
20 km.一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为
x km，用不等式表示x的取值范围为 ．
2．【人教七下P130 T12改编】 已知三个正整数a，b，c满足a＜b＜c，且 ＝1，则所有（a，b，c）的正整数对有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
72＜x≤92
A
3．【人教七下P136 练习T2改编】 哪吒为助力陈塘关振兴，自瑶池仙圃购得“混天仙桃”1 000千克，收购价为每千克10金．因东海龙族作祟，运输途中仙桃遭海水侵蚀，质量损耗4%.为保障陈塘关防务建设及民生改善，需确保至少20%的利润．设销售单价为x金，则可列不等式为（ ）
B
4．【人教七下P145 T11改编】 甲、乙两名同学各提一个水桶在同一个水龙头前打水．如果甲打满一桶水需要4（1＋a2）分钟，乙打满一桶水需（2a2＋1）分钟，那么要使两人都打满一桶水所用时间和（包括等待时间）最少，应如何安排？（ ）
A．安排甲先打水 B．安排乙先打水
C．甲、乙的打水顺序不影响总时间 D．无法确定
B
5．【人教七下P137 T7改编】 2025年3月，第18届国际田径联合会世界室内田径锦标赛在南京举办．比赛期间某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，锦标赛结束后，商店准备将这批服装降价处理，打x折出售，并使得每件衣服的利润不低于5%.根据题意可列出来的不等式为 ．
6．【人教七下P144 T4改编】 的值能否同时小于x－1和 的值？请说明理由．
7.【人教七下P145 T10改编】 小轩用计算机设计了一个程序运算框图，规定：“输入一个实数x”到“结果是否大于31”为一次操作．
（1）若操作只进行一次就停止了，求x的取值范围；
解：(1)根据题意，得2x－1＞31，解得x＞16；
∴x的取值范围为x＞16；
（2）若操作进行了两次才停止，求x的取值范围．
8．【人教七下P137 T10改编】 某校七年级师生乘坐客车参观历史博物馆，通过调查得到以下信息.
信息1：每辆A型客车载客40人，每辆B型客车载客55人，A型客车每辆租金为500元，B型客车每辆租金为600元．
信息2：若每位老师带50名学生，则有10名学生无老师可带；若每位老师带56名学生，则余下一位老师无学生可带．
请根据以上信息，完成以下任务．
任务一：求此次活动中老师与学生各有多少人？
任务二：若本次活动需租用两种车型的客车，每辆客车上至少有一名老师负责学生安全，每人都必须有座位且不超载．
（1）求共需租用多少辆客车，最多可以租多少辆A型客车；
解：任务一：设此次活动中老师有x人，
∴50x＋10＝56(x－1)，解得x＝11，
所以学生人数为50×11＋10＝560(人).
答：此次活动中老师有11人，学生有560人；
任务二：(1)由任务一知共有老师11人，由每辆客车上至少有一名老师负责学生安全，客车总数不能大于11辆；又要保证571名师生有车坐，所以客车总数不能小于(11＋560)÷55≈11(辆)，
∴共需租用11辆客车．
设租用m辆A型客车，则租用(11－m)辆B型客车．
根据题意，得40m＋55(11－m)≥560＋11，解得m≤2 ，
∵本次活动需租用两种车型的客车，m为正整数，
∴最多可以租2辆A型客车；
（2）求共有几种租车方案，并通过计算说明租金最低的租车方案．
(2)由(1)知：最多可以租2辆A型客车，
∴当m＝2时，11－m＝9，租金为2×500＋9×600＝6 400(元)；
当m＝1时，11－m＝10，租金为1×500＋10×600＝6 500(元).
∵6 500＞6 400，
∴租用2辆A型客车，9辆B型客车的租金最少．
答：共有2种租车方案，租用2辆A型客车，9辆B型客车的租金最少．
感谢聆听
