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第十章
二元一次方程组
第10课时 三元一次方程组的解法(1)
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
为 ．
方程组 经“消元”后得到一个关于x，y的二元一次方程组
三元一次方程组的解法
解：①＋②，得5x＋2y＝16，④
②＋③，得3x＋4y＝18， ⑤
⑤－④×2，得－7x＝－14，解得x＝2，
把x＝2代入④，得10＋2y＝16，解得y＝3，
把x＝2，y＝3代入③，得2＋3＋z＝6，解得z＝1，
∴原方程组的解是
解：由①×2－②，得5x＋3y＝11，④
由①＋③，得5x＋6y＝17， ⑤
由⑤－④，整理得y＝2，把y＝2代入④，解得x＝1，
把x＝1，y＝2代入①，解得z＝3，
∴原方程组的解是
解：由②＋③，得2x＋y＝8， ④
由①＋④，得3x＝9，解得x＝3，把x＝3代入①，得y＝2，
把x＝3，y＝2代入②，得3＋6＋z＝10，解得z＝1，
∴方程组的解是
解：③－①，得x－2y＝－8， ④
②－④，得y＝9，
把y＝9代入④，得x＝10，
把x＝10，y＝9代入①，得z＝7，
则方程组的解为
12．已知关于x，y，z的三元一次方程组 的解使x＋2y－3z＝－12成立，求a 的值．
解：①＋②＋③，得2x＋2y＋2z＝30a，
即x＋y＋z＝15a， ④
④－①，得z＝6a，④－②，得x＝4a，④－③，得y＝5a，
把x＝4a，y＝5a，z＝6a代入x＋2y－3z＝－12，
得4a＋2×5a－3×6a＝－12，解得a＝3 .
故a的值为3.
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第十章
二元一次方程组
1．【例】对于x，y定义一种新运算“ ”：x y＝ax－by，其中a，b为常数，已知2 （－1）＝17，1 3＝5，那么2 （－3）＝ ．
构造法
2.【例】规定：形如x＋ky＝b与kx＋y＝b的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中k≠1.由这两个方程组成的方程组 叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”．
（1）方程3x＋y＝5的“共轭二元一次方程”为 ；
19
x＋3y＝5
（2）若关于x，y的二元一次方程组 为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的“共轭系数”．
3．【例】小智同学在解方程组 时发现，可将第一
整体思想
个方程通过移项变形为x＋y＝7，可以很轻松地解出这个方程组．小智同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法．
（1）请按照小智同学的解法解出这个方程组；
（2）用整体代入法解方程组
4.【例】【阅读感悟】已知实数x，y满足 求5x＋2y和4x－5y的值．
本题常规思路是利用消元法解方程组，解得x，y的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，发现本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①＋②可得5x＋2y＝12，由①×2－②可得4x－5y＝3．这样的解题思想称为“整体思想”．
【解决问题】
（1）已知二元一次方程组 求3x＋y和x－3y的值；
解：(1)
①＋②，得3x＋y＝4，
①－②，得x－3y＝2.
即3x＋y的值为4，x－3y的值为2；
（2）炳灵寺石窟位于甘肃省临夏回族自治州永靖县西南约40千米处的积石山的大寺沟内，为世界文化遗产，是中国著名的石窟之一，属于全国重点文物保护单位．现存窟龛183个，共计石雕造像694身，泥塑82身，壁画约900平方米．在炳灵寺石窟景区内，购买A景点门票4张，B景点门票7张共（120＋a）元；购买A景点门票4张，B景点门票1张共（80－a）元．某校计划组织42名学生到炳灵寺石窟研学，都参观A，B两个景点，带队王老师带1 200元购买门票够用吗？请通过计算说明．
(2)设A景点门票为x元，B景点门票为y元，
依题意，得
①＋②，得8x＋8y＝200，即x＋y＝25，
∴43(x＋y)＝1 075＜1 200.
答：组织42名学生到炳灵寺石窟研学，都参观A，B两个景点，带队王老师带1 200元购买门票够用．
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第十章
二元一次方程组
第6课时 实际问题与二元一次方程组(1)
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
1.某品牌矿泉水有大箱和小箱两种包装，3大箱、2 小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶．设一大箱有x瓶，一小箱有y瓶，则可列出方程组
为 ．
2．某年级有学生246人，其中男生人数比女生的2倍少3人，问男、女生各有多少人？设女生人数为x，男生人数为y，则可列出方程组
为 ．
1．【例】全班共有学生50人，男生人数比女生人数少2人，则这个班男生、女生各有多少人？
和差倍分问题
解：设这个班男生有x人，女生有y人，
根据题意得
答：这个班男生有24人，女生有26人．
2.植树节，30名学生共植树80棵，其中男生每人植3棵，女生每人植2棵，男生、女生各有多少人？
解：设男生有x人，女生有y人，
由题意得
答：男生有20人，女生有10人．
3．【例】某校为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球．若购买3个篮球和1个足球共需420元，购买2个篮球和3个足球共需560元．
（1）求每个篮球和每个足球的售价；
购买问题
解：(1)设每个篮球的售价是x元，每个足球的售价是y元，
由题意得
答：每个篮球的售价是100元，每个足球的售价是120元；
（2）求购买10个篮球和5个足球的总费用．
(2)10×100＋5×120＝1 600(元).
答：购买10个篮球和5个足球的总费用是1 600元．
4.学校需要一些酒精灯和漏斗，根据图中信息，回答下列问题：
（1）求酒精灯和漏斗的单价；
（2）买5个酒精灯和20个漏斗，商家打八折出售，求学校花的钱数．
解：(1)设酒精灯的单价为x元，漏斗
的单价为y元，
根据题意得
答：酒精灯的单价为6元，漏斗的单价为2元；
（2）买5个酒精灯和20个漏斗，商家打八折出售，求学校花的钱数．
(2)(6×5＋20×2)×0.8＝56(元).
答：学校花的钱数为56元．
5．有48支队伍，共520名运动员参加篮球、羽毛球比赛，其中每支篮球队有10人，每支羽毛球队有12人，每名运动员只能参加一项比赛．篮球队、羽毛球队各有多少支参赛？
解：设篮球队有x支参赛，羽毛球队有y支参赛，
由题意得
答：篮球队有28支参赛，羽毛球队有20支参赛．
6．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆.现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，则中、小型汽车各有多少辆？
解：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆，
由题意得
答：中型汽车有12辆，小型汽车有18辆．
7．在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元；购买10根跳绳和50个毽子共用360元．
（1）跳绳、毽子的单价各为多少元？
解：(1)设跳绳的单价为x元，毽子的单件为y元，
由题意得
答：跳绳的单价为16元，毽子的单价为4元；
（2）该店在五一节期间开展促销活动，所有商品一律九折销售，则节日期间购买100根跳绳和100个毽子实际共需花费多少？
(2)(100×16＋100×4)×0.9＝1 800(元).
答：节日期间购买100根跳绳和100个毽子实际共需花费1 800元．
8.甲、乙两公司全体员工踊跃参与“献爱心”捐款活动，甲公司人均捐款120元，乙公司人均捐款100元．下图是甲、乙两公司员工的一段对话，则甲、乙两公司各有多少人？
解：设甲公司有x人，乙公司有y人，
根据题意得
答：甲公司有150人，乙公司有180人．
9．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
（1）每辆A，B两种型号的汽车的进价分别为多少万元？
解：(1)设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，
依题意得
答：每辆A型汽车的进价为25万元，每辆B型汽车的进价为10万元；
（2）若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该公司有哪几种购买方案？
(2)设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
依题意得25m＋10n＝180，∴n＝18－ m，
∵m，n均为正整数，∴
∴共3种购买方案，方案一：购进A型汽车2辆，B型汽车13辆；
方案二：购进A型汽车4辆，B型汽车8辆；方案三：购进A型汽车6辆，B型汽车3辆．
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第十章
二元一次方程组
第4课时 加减消元法(1)
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
1.已知方程组 可用①＋②消去未知数 ，得到一元一次方程 ．
2．已知方程组 可用①－②消去未知数 ，得到一元一次方程_______________．
3x＝9
y
y
2x＝2
1．【例】解方程组
某个未知数的系数互为相反数
解：①＋②，得5x＝15，解得x＝3，
把x＝3代入②，得y＝－1，
∴方程组的解是
2.解方程组
解：①＋②，得7x＝14，解得x＝2，
把x＝2代入①，得6－2y＝5，解得y＝ ，
∴方程组的解是
某个未知数的系数相同
解：②－①，得x＝1，
把x＝1代入①，得2＋y＝3，解得y＝1，
∴方程组的解是
解：①－②，得2x＝－4，解得x＝－2，
把x＝－2代入①，得－6－2y＝2，解得y＝－4，
∴方程组的解是
解：①－②，得2y＋4y＝12，解得y＝2，
把y＝2代入①，得3x＋4＝1，解得x＝－1，
∴方程组的解为
解：②－①，得2y＝8，解得y＝4，
把y＝4代入①，得－2x＋20＝9，解得x＝ ，
∴方程组的解为
7．用加减消元法解方程组 适合的方法是（ ）
A．①－② B．①＋②
C. ①×2＋② D．②×2＋①
8．方程组 的解是（ ）
B
A
9．方程组 的解是 ．
10．已知 则x＋y的值为__________．
3
解：①＋②，得5x＝15，解得x＝3，
把x＝3代入①，得3×3＋ y＝0，解得y＝－18，
∴方程组的解为
解：①－②，得5x＝5，解得x＝1，
把x＝1代入①，得2－y＝3，解得y＝－1，
∴方程组的解为
解：原方程组整理，得
①＋②，得4y＝28，解得y＝7，
把y＝7代入①，得3x－7＝8，解得x＝5，
∴方程组的解为
14．已知关于x，y的二元一次方程组 的解也是方程x－y＝2的解，求m的值．
解：解方程组
把 代入方程x＋2y＝m－3，
得3＋2×1＝m－3，解得m＝8.
故m的值为8.
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第十章
二元一次方程组
第8课时 实际问题与二元一次方程组(3)
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
1.原价100元的商品打八折后价格为 元．
2．某商品的进价为100元，售价为130元，则利润为 元，成本利润率为 ．
30%
80
30
1．【例】某商场用3 300元购进节能灯100盏，这两种节能灯的进价、售价如表：
（1）甲、乙两种节能灯各购
进多少盏？
销售问题
节能灯 进价（元/盏） 售价（元/盏）
甲种 30 40
乙种 35 50
解：(1)设商场购进甲种节能灯x盏，乙种节能灯y盏，
根据题意得
答：分别购进甲、乙两种节能灯40盏、60盏；
（2）全部售完100盏节能灯后，该商场获利多少元？
节能灯 进价（元/盏） 售价（元/盏）
甲种 30 40
乙种 35 50
(2)40×(40－30)＋60×(50－35)＝1 300(元).
答：商场获利1 300元．
2.某服装店用2 600元购进A，B两种服装，进价和售价如下表，全部销售完后可获得利润1 600元，服装店购
进A，B两种服装各多少件？
A型 B型
进价（元/件） 60 100
售价（元/件） 100 160
解：设A型服装购进x件，B型服装购进y件，
依题意得
答：A型服装购进10件，B型服装购进20件．
3.【例】七年级1班相约周末去游乐园划船，若每条船乘7人，则有7人无船可乘；若每条船乘9人，则空出一条船，且其余船恰好坐满．该游乐园有多少条船，该班共有多少人？
盈不足问题
解：设该游乐园有x条船，该班共有y人，
由题意得
答：该游乐园有8条船，该班共有63人．
4.某校组织七年级师生共480人参观广州博物馆．学校向租车公司租赁A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没有座位．A，B两种车型各有多少个座位？
解：设A型车有x个座位，B型车有y个座位，
根据题意得
答：A型车有45个座位，B型车有60个座位．
5．已知甲、乙两种商品的进价和为100元，为了促销而打折销售，若甲商品打八折，乙商品打六折，则可赚50元；若甲商品打六折，乙商品打八折，则可赚30元．甲、乙两种商品的定价分别为（ ）
A．50元、150元 B．50元、100元
C．100元、50元 D．150元、50元
D
6．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为x人，银子为y两，则可列方程组（ ）
A
7．某校为七年级学生安排宿舍，若每间宿舍住5人，则有4人住不下；若每间宿舍住6人，则有一间只住4人．求七年级住宿的学生人数及宿舍间数．
解：设七年级住宿的学生有x人，宿舍有y间，
由题意得
答：七年级住宿的学生有34人，宿舍有6间．
8．某服装店用20 000元购进甲、乙两种新式服装共450件，这两种服装的进价、标价如表所示．
（1）求这两种服装各购进的件数；
甲种 乙种
进价（元/件） 40 50
标价（元/件） 60 80
解：(1)设甲种服装购进x件，乙种
服装购进y件，
由题意得
答：甲种服装购进250件，乙种服装购进200件；
（2）如果甲种服装按标价的八折出售，
乙种服装按标价的七折出售，那么这批
服装全部售完后，服装店共盈利多少元？
甲种 乙种
进价（元/件） 40 50
标价（元/件） 60 80
(2)250×(60×0.8－40)＋200×(80×0.7－50)
＝250×8＋200×6
＝3 200(元).
答：这批服装全部售完后，服装店共盈利3 200元．
9．某中学组织七年级学生去春游，原计划租用45座客车若干辆，但会有15人没有座位；如果租用同样数量的60座客车，则会多出一辆，且其余客车恰好坐满．已知45座客车日租金为每辆220元，60座客车日租金为每辆300元．
（1）该校七年级学生有多少人？按原计划需要租用45座客车多少辆？
解：(1)设该校七年级学生有x人，按原计划需要租用45座客车y辆，
由题意得
答：该校七年级学生有240人，按原计划需要租用45座客车5辆；
（2）要使每位学生都有座位，怎样租车更合算？
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第十章
二元一次方程组
第9课时 实际问题与二元一次方程组(4)
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
1.若小船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，则小船在顺水中的速度为 千米/时，在逆水中的速度为 千米/时．
2．甲、乙两车分别从相距240 km的A，B两地出发，甲车速度为
70 km/h，乙车速度为50 km/h.
（1）两车同时出发，相向而行，经过 小时两车相遇；
（2）两车同时出发，同向而行，经过 小时甲车追上乙车．
2
a＋b
a－b
12
1．【例】一条船顺流航行，每小时行25 km；逆流航行，每小时行19 km.求该船在静水中的速度与水流速度．
行程问题
解：设该船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h，
依题意得
答：该船在静水中的速度为22 km/h，水流速度为3 km/h.
2.甲、乙两地相距210 km，一艘轮船在两地间航行，顺水时用10 h，逆水时用14 h．求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．
解：设这艘轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h，
由题意得
答：这艘轮船在静水中的速度为18 km/h，水流速度为3 km/h.
3.【例】甲、乙两人相距50千米，若同时同向而行，乙10小时追上甲；若同时相向而行，2小时后两人相遇．甲、乙两人每小时各行多少千米？
解：设甲每小时行x千米，乙每小时行y千米，
依题意得
答：甲每小时行10千米，乙每小时行15千米．
4.A，B两地相距36 km，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时相向出发，4 h后两人相遇，6 h后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍．求甲、乙两人的速度．
解：设甲的速度为x km/h，乙的速度为y km/h，
由题意得
答：甲的速度为4 km/h，乙的速度为5 km/h.
5．某船顺水航行45千米需要3小时，逆水航行65千米需要5小时．求该船在静水中的速度和水流速度．
解：设该船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，
依题意得
答：该船在静水中的速度为14千米/时，水流速度为1千米/时．
6.甲、乙两车分别从相距210千米的A，B两地相向而行，两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少？
解：设甲车的速度是x千米/小时，乙车的速度是y千米/小时，
根据题意，得
答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时．
7．甲、乙两人在400米的环形跑道上练习赛跑，如果两人同时同地反向跑，经过40秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过200秒甲第一次追上乙．求甲、乙两人的平均速度．
解：设甲的平均速度为x米/秒，乙的平均速度为y米/秒，
依题意得
答：甲的平均速度为6米/秒，乙的平均速度为4米/秒．
8．甲、乙两地相距20千米，A从甲地向乙地方向前进，同时B从乙地向甲地方向前进，2小时后两人在途中相遇，相遇后A就返回甲地，B仍向甲地前进，A回到甲地时，B离甲地还有2千米．求A，B两人的平均速度．
解：设A的平均速度为x千米/小时，B的平均速度为y千米/小时，
由题意得
答：A的平均速度为5.5千米/小时，B的平均速度为4.5千米/小时．
9．如图，某工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．已知公路运价为1.4元/（吨·千米），铁路运价为1.1元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运输费14 000元，铁路运输费89 100 元．
（1）该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运
往B地的产品多少吨？
解：(1)设该工厂从A地购买了x吨原料，制
成运往B地的产品y吨，
依题意得
答：该工厂从A地购买了400吨原料，制成运往B地的产品300吨；
（2）这批产品的利润是多少元？
(2)8 000×300－(1 000×400＋14 000＋89 100)
＝1 896 900(元).
答：这批产品的利润是1 896 900元．
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第十章
二元一次方程组
第2课时 代入消元法(1)
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
1.将方程中的未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作
思想．
2．在二元一次方程x＋y＝5中，
（1）用含x的式子表示y，则y＝ ；
（2）用含y的式子表示x，则x＝ ．
消元
5－x
5－y
（2）用含y的式子表示x为 ．
2.已知2x－y＝3.
（1）用含x的式子表示y为 ；
1．【例】已知2x＋y＝7.
（1）用含x的式子表示y为 ；
用代数式表示某个字母
y＝7－2x
（2）用含y的式子表示x为 ．
y＝2x－3
3．【例】解方程组
用代入消元法解二元一次方程组
解：把①代入②，得2(y－1)＋y＝7，
解得y＝3，
把y＝3代入①，得x＝2，
∴方程组的解为
4.解方程组
解：把②代入①，得7x－3(2x－1)＝4，
解得x＝1，
把x＝1代入②，得y＝1，
∴方程组的解为
5.【例】解方程组
解：由①，得y＝x－3，③
把③代入②，得3x－8(x－3)＝14，
解得x＝2，
把x＝2代入③，得y＝－1，
∴方程组的解是
6.解方程组
解：由①，得y＝2x－5，③
把③代入②，得7x－3(2x－5)＝20，
解得x＝5，
把x＝5代入③，得y＝5，
∴方程组的解是
7．解方程组
解：把①代入②，得3x＋2x＝10，
解得x＝2，
把x＝2代入①，得y＝4，
∴方程组的解为
8．解方程组
解：把②代入①，得x－3(2x＋1)＝2，
解得x＝－1，
把x＝－1代入②，得y＝－1，
∴方程组的解为
9．解方程组
解：由①得，y＝7－2x，③
把③代入②，得6x－2(7－2x)＝16，
解得x＝3，
把x＝3代入③，得y＝1，
∴方程组的解是
10.解方程组
解：由①，得y＝2x－5，③
把③代入②，得5x＋2(2x－5)＝8，
解得x＝2，
把x＝2代入③，得y＝－1，
∴方程组的解是
11．请你根据王老师所给的内容，完成下面问题：若1◎1＝8，4◎2＝20，求x，y的值．
解：∵a◎b＝ax＋by，
又∵1◎1＝8，4◎2＝20，
∴
由①，得y＝8－x，③
把③代入②，得4x＋2(8－x)＝20，解得x＝2，
把x＝2代入③，得y＝6，∴x＝2，y＝6.
12．阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形，得4x＋10y＋y＝5，
即2（2x＋5y）＋y＝5，③
把①代入③，得2×3＋y＝5，
解得y＝－1，把y＝－1代入①，得x＝4，
所以原方程组的解为
请你运用以上方法解决下列问题：
模仿小红的方法解方程组
解：
将方程②变形，得2x＋6y＋y＝6，即2(x＋3y)＋y＝6，③
把方程①代入③，得2×2＋y＝6，解得y＝2，
把y＝2代入①，得x＝－4，
所以方程组的解为
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第十章
二元一次方程组
第11课时 三元一次方程组的解法(2)
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
为 ．
1.已知y＝ax2＋bx＋c.
（1）当x＝0时，y＝ ；（2）当x＝1时，y＝ ．
2．甲、乙、丙三个数的和是8，甲数的2倍比乙数大5，丙数是乙数的4倍，求这三个数．若设甲数为x，乙数为y，丙数为z，则可列方程组
c
a＋b＋c
1.【例】已知y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝0；当x＝1时，y＝－4；当x＝2时，y＝3.
（1）求a，b，c的值；
（2）求当x＝－3时，y的值．
(2)当x＝－3时，y＝3×(－3)2－2×(－3)－5＝28.
2.已知y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝－3时，y＝28；
（1）求a，b，c的值；
（2）求当x＝－2时，y的值．
(2)当x＝－2时，y＝2×(－2)2－3×(－2)＋1＝15.
3.【例】甲、乙、丙三人合买一台电视机，甲付的钱数等于乙付的钱数的2倍，也等于丙付的钱数的3倍．已知甲比丙多付了680元．
（1）甲、乙、丙三人分别付了多少钱？
解：(1)设甲付了x元，乙付了y元，丙付了z元，
由题意得
答：甲、乙、丙三人分别付了1 020元、510元、340元；
（2）这台电视机的售价是多少元？
(2)1 020＋510＋340＝1 870(元).
答：这台电视机的售价是1 870元．
4.运动室有篮球、排球和足球共26个．已知篮球比排球多1个，排球与足球个数的和比篮球多6个．这三种球各有多少个？
解：设篮球有x个，排球有y个，足球有z个，
由题意得
答：篮球有10个，排球有9个，足球有7个．
5．已知△ABC的三边长a，b，c满足a＝b＋1，c＝b－1，且这个三角形的周长为21，求a，b，c的值．
6．已知甲、乙、丙三个数的和为26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．
解：设甲数为x，乙数为y，丙数为z，
由题意得
∴甲数是10，乙数是9，丙数是7.
7．全国足球甲级联赛前12轮（场）比赛后，前三名比赛成绩如表：
每队胜一场、平一场、
负一场各得多少分？
胜（场） 平（场） 负（场） 积分
万达队 8 2 2 26
申花队 6 5 1 23
国安队 5 7 0 22
解：设每队胜一场得x分，平一场得y分，负一场得z分，
由题意得
答：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
8.如图所示，在3×3的方格内，填写了一些式子和
数，图中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，
请你求出x，y，z的值．
2x 3 z
y －3
0 2z
9.有甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件共需315元钱；购买甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱．则购买甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元钱？
解：设购买一件甲商品x元，购买一件乙商品y元，购买一件丙商品z元，
根据题意得
①＋②，得4x＋4y＋4z＝600，∴x＋y＋z＝150.
答：购买甲、乙、丙三种商品各一件共需150元．
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第十章
二元一次方程组
第十章复习
1
知识回顾
2
分层检测
1．【例】下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．x＋2y＝3 B．x2＋y＝1
C． y＋ ＝2 D．2x－1＝5
2.若（m－3）x ＋y＝0是关于x，y的二元一次方程，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C.0 D．1或3
二元一次方程（组）的定义
A
A
3．【例】若 是关于x，y的方程x＋ay＝3的解，则a的值为（ ）
A．－1 B．1 C．－3 D．3
4.若关于x，y的方程组 的解是 则a＋b＝ ．
二元一次方程（组）的解
B
3
二元一次方程组的解法
解：把①代入②，得3(y＋2)＋2y＝16，解得y＝2，
把y＝2代入①，得x＝4，
∴方程组的解是
解：①×2＋②，得5x＝25，解得x＝5，
把x＝5代入①，得5－2y＝1，解得y＝2，
故方程组的解为
三元一次方程组的解法
解：①＋②＋③，得2x＋2y＋2z＝3＋(－2)＋9，
整理得x＋y＋z＝5，④
④－①，得z＝2，④－②，得x＝7，④－③，得y＝－4，
∴原方程组的解为
9．方程组 的解为_____________．
10．方程组 的解为 ．
11．已知方程组 则x－y的值是（ ）
A．2 B．－2 C．0 D．－1
12．甲、乙两码头之间的距离为120千米，一艘船在两个码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，则水流速度是 千米/小时．
A
3
13．某校七（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款400元，捐款情况如下表，表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．捐款10元和15元的人数各
是多少人？
解：设捐款10元的人数是x人，捐款15元的人数是y人，
由题意得
答：捐款10元的人数是19人，捐款15元的人数是6人．
14．方程组 的解满足2x－ky＝10（k是常数）.
（1）求k的值；
（2）写出关于x，y的方程（k－1）x＋2y＝14的正整数解．
15．某校准备组织七年级340名学生参加夏令营，已知租用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105名；租用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110名．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
解：(1)设每辆小客车能坐a名学生，每辆大客车能坐b名学生，
由题意得
答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生；
（2）若小客车每辆需租金4 000元，大客车每辆需租金8 000元，请写出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
∴一共有2种租车方案：方案一：租用小客车17辆，大客车0辆；方案二：租用小客车8辆，大客车4辆．
方案一的费用为4 000×17＝68 000(元)，
方案二的费用为4 000×8＋4×8 000＝64 000(元)，
∵68 000＞64 000，
∴最省钱的方案是租用8辆小客车、4辆大客车，租金为64 000元．
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第十章
二元一次方程组
【课本再现】人教版七年级下册教材P115中曾探究过“以方程x－y＝0的解为坐标（x的值为横坐标，y的值为纵坐标）的点的特性”．一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．
二元一次方程的“图象”
如图，我们在画方程2x＋y＝4的图象时，可以取点A（2，0）和B（0，4）作出直线AB.在画方程x－y＝－1的图象时，可以取点C（0，1）和D（1，2）作出直线CD.
【解决问题】
（1）已知点E（1，－1），F（－1，0），
G（3，2），则在方程x－y＝－1的图象上
的点是 （选填“E” “F”或“G”）；
（2）请根据这两个二元一次方程的图象，回答下列问题：
①二元一次方程组 的解是 ；
F
②在x轴上是否存在点M，使以A，D，M三点为顶点的三角形的面积为△ACD面积的2倍，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
坐标的点在方程x－y＝2的图象上．
①m＝ ；
②当t＞m时，计算： ＝ ．
【拓展延伸】
（3）以关于x，y的方程组 的解为
5
π
学校开展“生活中的数学问题”学习活动，某小组选择“汽车轮胎换位问题”为研究方向．
【问题背景】大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮的轮胎换位的建议．
轮胎换位问题
【数据信息】
（1）汽车前面一对轮胎一般应在汽车行驶达到6万公里时报废，而后面一对轮胎应在汽车行驶达到8万公里时报废；
（2）轮胎的磨损量＝汽车行驶的单位路程的磨损量×汽车行驶的路程；
【问题解决】
（3）若每对新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前面的一对轮胎每行驶1万公里的磨损量为 ，安装在后面的一对轮胎每行驶1万公里的磨损量为 ；
（4）如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，那么在汽车行驶里程达到多少万公里时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的前后两对轮胎同时报废？（结果保留小数点后两位）
注：“同时报废”指的是前后两对轮胎的总磨损量均为1.
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第十章
二元一次方程组
1．【人教七下P90 T5改编】 为落实“双减”政策，刘老师把班级里50名学生分成若干小组进行小组互助学习，每小组只能是4人或6人，则分组方案有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
A
2．【人教七下P100 T8改编】 我国古代问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？” 这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，井深为y尺，则符合题意的方程组是（ ）
D
3．【人教七下P100 T12改编】 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醨？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮了19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据题意，可列方程组为（ ）
A
4．【人教七下P105 T3改编】 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤＝16两，半斤＝8两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为x人，银子为y两，可列方程组（ ）
A
5．【人教七下P106 T8改编】 春晓超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏，以下是4天的账目记录：第1天，卖出13支牙刷和7盒牙膏，收入132元；第2天，卖出52支牙刷和28盒牙膏，收入518元；第3天，卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；第4天，卖出26支牙刷和14盒牙膏，收入264元，其中记录有误的是（ ）
A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天
B
6．【人教七下P119 T7改编】 为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量不超过12 m3时，按一级单价收费；超过12 m3时，超过的部分按二级单价收费．五月份张华家用水14 m3，缴费37.6元；李明家用水17 m3，缴费47.2元．若陈智家用水11 m3，则应缴费 元．
28.6
7．【人教七下P119 T9改编】 甲、乙两人都以不变的速度在400米的环形路上跑步．如果同时同地出发，反向而行，每隔2分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔6分钟相遇一次．已知甲比乙跑得快．
（1）甲、乙两人速度分别是多少米/分钟？
（2）甲、乙两人跑一圈各需要多少分钟？
(2)甲跑一圈需要400÷ ＝3(分钟)，
乙跑一圈需要400÷ ＝6(分钟).
答：甲跑一圈需要3分钟，乙跑一圈需要6分钟．
8．【人教七下P119 T12改编】 某商店分两次购进A，B两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨30%，20%.
购进的台数 购进所需要的费用（元）
A型 B型
第一次 10 20 3 000
第二次 15 10 4 500
（1）求第一次购进A，B两种台灯时，每台进价分别是多少元？
解：(1)设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元，
由题意得
解得
答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元；
（2）A，B两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2 800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1 800元．
①求A，B两种台灯每台售价分别是多少元？
①第二次购进的A型台灯的价格为200(1＋30%)＝260(元)，B型台灯的价格为50(1＋20%)＝60(元)，
设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元，
由题意得
解得
答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；
②若按照第二次购进A，B两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1 000元，求有哪几种购进方案？
②设购进A型台灯a台，B型台灯b台，由题意，
得(340－260)a＋(120－60)b＝1 000，整理得4a＋3b＝50，
∵a，b为自然数，
∴有4种购进方案：
①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；
③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台．
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第十章
二元一次方程组
第5课时 加减消元法(2)
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
1.解方程组 时，由②－①得 ．
2．已知方程组 用加减法消x的方法是 ，用加减法消y的方法是 ．
6y＝12
①×2－②×3
①×3＋②×2
加减消元法
解：①×3＋②×2，得17x＝34，解得x＝2，
把x＝2代入①，得6＋2y＝8，解得y＝1，
∴方程组的解为
解：①×2－②×3，得y＝－1，
把y＝－1代入②，得2x－3＝3，解得x＝3，
∴方程组的解是
解：方程组可化为
①×2－②，得3y＝9，解得y＝3，
把y＝3代入①，得x＋6＝11，解得x＝5，
∴方程组的解是
解：方程组可化为
①＋②×2，得7x＝21，解得x＝3，
把x＝3代入②，得6＋y＝8，解得y＝2，
∴方程组的解是
解：①×2＋②×3，得13x＝78，解得x＝6，
把x＝6代入②，得18＋2y＝22，解得y＝2，
∴方程组的解是
解：①×4－②×3，得13x＝13，解得x＝1，
把x＝1代入①，得7＋3y＝4，解得y＝－1，
∴方程组的解是
解：方程组整理，得
①×2－②，得3y＝9，解得y＝3，
把y＝3代入①，得x＋6＝11，解得x＝5，
∴方程组的解为
解：方程组可化为
①×2＋②×3，得17x＝34，解得x＝2，
把x＝2代入②，得6＋2y＝6，解得y＝0，
∴方程组的解是
9．若关于x，y的方程组 的解互为相反数，求a的值．
解：
①＋②，得3x＋3y＝2a－4，∴3(x＋y)＝2a－4，
又∵该方程组的解互为相反数，∴x＋y＝0，
∴2a－4＝0，解得a＝2.
故a的值为2.
10．甲、乙两人同时解关于x，y的方程组 甲解对了，得
乙看错了m，得 试求出原方程组中的m，a，b的值．
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第十章
二元一次方程组
微专题四 二元一次方程组的解法综合
1
课堂讲练
2
分层检测
二元一次方程组的解法
解：把①代入②，得3x＋2(2x－3)＝8，解得x＝2，
把x＝2代入①，得y＝1，
∴方程组的解为
解：①－②，得7y＝7，解得y＝1，
把y＝1代入①，得3x＋2＝11，解得x＝3，
∴方程组的解为
解：①＋②×2，得17x＝17，解得x＝1，
把x＝1代入①，得7＋4y＝5，解得y＝－ ，
∴方程组的解为
解：①×2＋②×3，得19x＝95，解得x＝5，
将x＝5代入①，得10＋3y＝4，解得y＝－2，
∴方程组的解是
5．【例】已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x－2y＝8，求k的值．
二元一次方程组的综合运用
6.已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x＋y＝－3，求a的值．
解：
①＋②，得3x＋3y＝6－3a，
∴x＋y＝2－a，
∵x＋y＝－3，
∴2－a＝－3，
∴a＝5.
解：①×2－②，得y＝2，
将y＝2代入①，得2x＋3×2＝8，解得x＝1，
∴方程组的解是
解：①×2＋②，得11x＝66，解得x＝6，
把x＝6代入①，得18＋4y＝16，解得y＝－ ，
∴方程组的解是
解：①×2＋②×3，得17x＝51，解得x＝3，
将x＝3代入①，得12＋3y＝3，解得y＝－3，
∴方程组的解为
10．在等式y＝kx＋b中，当x＝3时，y＝1；当x＝2时，y＝4.
（1）求k，b的值；
（2）当y＝－2时，求x的值．
(2)∵k＝－3，b＝10，∴y＝－3x＋10，
∴当y＝－2时，－3x＋10＝－2，解得x＝4.
11．已知关于x，y的方程组
（1）若x，y互为相反数，求a的值；
解：(1)①＋②，得3x＋3y＝3a－3，
∵x，y互为相反数，∴x＋y＝0，
∴3x＋3y＝0，∴3a－3＝0，解得a＝1；
（2）若x－y＝2，求方程组的解．
(2)②－①，得x－y＝－a－5，
∵x－y＝2，∴－a－5＝2，解得a＝－7，
把a＝－7代入原方程组，得
12．若方程组 的解满足2x－ky＝10.
（1）求k的值；
（2）求方程（k－1）x＋2y＝14的正整数解．
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第十章
二元一次方程组
第7课时 实际问题与二元一次方程组(2)
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
1.根据图中所给的信息，每件T恤和每瓶矿泉水的价格分别是 . 元和 元．
第1题图
20
2
2．如图，四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形，如果大长方形的周长为28厘米，那么每个小长方形的长是 厘米，宽是 厘米．
第2题图
2
6
1．【例】如图，用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形．求大长方形的面积．
图形问题
解：设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，
由题意得
∴大长方形的面积为(45×2)×60＝5 400(cm2).
答：大长方形的面积为5 400 cm2.
2.如图，7个相同的小长方形恰好拼成一个大的长方形．若小长方形的周长为42 cm，求每个小长方形的长和宽．
解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm，
根据题意得
答：每个小长方形的长为15 cm，宽为6 cm.
3．【例】用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作盒身15个或盒底42个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有144张白铁皮，用多少张制作盒身、多少张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒？
配套问题
解：设用x张制作盒身、y张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒，
根据题意得
答：用84张制作盒身、60张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒．
4.一家眼镜厂，有25个工人加工镜片和镜架，每人每天可加工镜架72副或镜片96片，为了使每天加工的镜架和镜片能配套，应如何分配工人？
解：设分配x人加工镜片，分配y人加工镜架，
由题意得
答：分配15人加工镜片，10人加工镜架．
正好使每天加工的产品成套，则可列方程组为 ．
6.右图为两个形状、大小完全相同的小长方形拼接而成的图形．已知AB＝5，CD＝3，则此图形的面积为（ ）
A.6 B.8
C.10 D.12
5．某车间有工人54人，每人每天可加工轴杆15个或轴承24个，一个轴杆与两个轴承配成一套．若分配x个工人加工轴杆，y个工人加工轴承，
B
7．在手工制作课上，老师组织班上学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．这个班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪筒身40个或筒底120个．
（1）这个班的男生、女生各有多少人？
解：(1)设这个班的男生有x人，女生有y人，
根据题意得
答：这个班男生有24人，女生有26人；
（2）茶叶筒要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应分配多少人去剪筒身，多少人去剪筒底？
(2)设应分配a人去剪筒身，b人去剪筒底，
根据题意得
答：应分配30人去剪筒身，20人去剪筒底．
8．如图，在大长方形ABCD中，放入9个相同的小长方形（图中白色部分）.
（1）求出小长方形的长和宽；
（2）求图中阴影部分的面积．
解：(1)设小长方形的长为x cm，宽为y cm，
依题意得
答：小长方形的长是7 cm，宽是2 cm；
(2)S阴＝15×(9＋2)－9×7×2＝39(cm2).
答：图中阴影部分的面积为39 cm2.
9．某工厂用如图1所示的长方形纸板和正方形纸板做成如图2所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．
（1）现有长方形纸板340张、正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求两种纸盒生产个数；
解：(1)设能做成竖式纸盒有x个，横式纸
盒有y个，
根据题意得
答：能做成40个竖式纸盒，60个横式纸盒；
（2）工厂共有78名工人，每人每天能生产70张长方形纸板或者100张正方形纸板．已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套，应如何分配工人才能使每天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？
(2)设分配a名工人生产长方形纸板，
b名工人生产正方形纸板，
根据题意得
答：分配60名工人生产长方形纸板，18名工人生产正方形纸板．
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第十章
二元一次方程组
第3课时 代入消元法(2)
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
在二元一次方程2x－3y＝7中，
（1）用含x的式子表示y，则y＝ ；
（2）用含y的式子表示x，则x＝ ．
1．【例】在二元一次方程8x＋3y＋5＝0中，
（1）用含x的式子表示y，则y＝___________________；
（2）用含y的式子表示x，则x＝ ___________________.
2.在二元一次方程4x－3y＝12中，
（1）用含x的式子表示y，则y＝ ___________________ ；
（2）用含y的式子表示x，则x＝ ___________________.
用代数式表示某个字母
3．【例】解方程组
用代入法解系数不为1的二元一次方程组
4.解方程组
5.【例】解方程组
6.解方程组
7．把方程3x－2y＋1＝0写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（ ）
C
8．解方程组
9．解方程组
10．小明在解方程组 时，解得 则△和 代表的数分别是（ ）
A．1，5 B．5，1
C.－1，3 D．3，－1
B
11．解方程组
12．已知a，b为常数，关于x的方程 ，无论k为何值，它的解总是1，则2a＋b的值为（ ）
A．26 B．－26
C.13 D．以上都不对
D
13．我们把关于x，y的二元一次方程ax＋by＋c＝0的系数a，b，c称为该方程的伴随数，记作（a，b，c）.例如：二元一次方程5x－y＋3＝0的伴随数是（5，－1，3）.
（1）二元一次方程3x＋2y＝1的伴随数是 ；
(3，2，－1)
（2）已知关于x，y的二元一次方程的伴随数是（3，m，n），且
是该方程的两组解，求m，n的值．
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第十章
二元一次方程组
第1课时 二元一次方程组的概念
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
1.含有 未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是 ，像这样的方程叫作二元一次方程．
2．含有 未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是 ，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组．
3．使二元一次方程两边的值 的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解．
4．二元一次方程组的两个方程的 ，叫作二元一次方程组的解．
两个
1
两个
1
相等
公共解
1．【例】下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．x＋2y＝3 B．x2＋y＝1
C.y＋ ＝2 D．2x－1＝5
2.下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．xy＝2 B． －y＝3
C.3x＋y2＝1 D．2x＋y＝5
二元一次方程的定义
A
D
二元一次方程组的定义
D
C
5．【例】下列各组数中，是二元一次方程5x－y＝4的解的是（ ）
二元一次方程（组）的解
D
C
9
1
2
9．下列方程属于二元一次方程的是（ ）
A．2x2－3＝y B．3＋2y＝1
C.x＋y＋8＝0 D．xy＝2
10．若3xm－2－2y＝1是二元一次方程，则m的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
C
D
C
A
2 022
6
15．二元一次方程x＋2y＝7在正整数范围内的解有哪些？
解：由x＋2y＝7，得x＝7－2y，
∴方程的正整数解有
16.已知 是方程x＋my＝16的解．
（1）m＝ ；
（2）写出二元一次方程x＋my＝16的所有正整数解．
4
解：(2)方程的正整数解有
C
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