1.4 线段的垂直平分线 课后培优提升同步训练（含答案）北师大版2025—2026学年八年级下册
文档属性
| 名称 | 1.4 线段的垂直平分线 课后培优提升同步训练（含答案）北师大版2025—2026学年八年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 579.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-23 00:00:00 | ||
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文档简介
1.4线段的垂直平分线课后培优提升同步训练北师大版2025—2026学年八年级下册
一、选择题
1．到钝角三角形三个顶点距离都相等的点在三角形的（ ）
A．内部 B．外部
C．某一边上 D．以上都有可能
2．观察下列作图痕迹，所作为的边上的中线是（ ）．
A．B．C．D．
3．如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为，的周长为，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，直线为线段的垂直平分线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为20，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．如图，已知是等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，则以下结论错误的是（ ）
A．直线是线段的垂直平分线 B．
C．是等边三角形 D．
7．如图所示，在等腰中，，若和分别垂直平分和，垂足分别为E、F，M、N都在边上，且，则的长度为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
8．如图，将等边折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，为折痕上一动点，若，，周长的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
9．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________．
10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝8cm，∠B＝15°，则AC等于__．
11．如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，，则______．
12．如图，在中，的垂直平分线分别与交于点，的垂直平分线分别与交于点，，则的周长是________．
三、解答题
13．已知：如图，在中，，，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．求证：．
14．如图，，点E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接、．
(1)求证：是的平分线．
(2)求证：线段垂直平分．
15．如图，在中，，点P为射线上一点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
16．如图，是等边三角形，D是外一点，连接，，，过点D作交于点F，交于点E，已知．
(1)求证：垂直平分；
(2)若，，求的长．
17．如图，在中，平分，于D，于E，．
(1)求证：；
(2)求证：点C在的垂直平分线上．
18．如图，在钝角△ABC中，∠A＝135°，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，交AB、AC于点F、G．
（1）连接AD，AE，求证：△ADE为直角三角形．
（2）若∠C＝30°，BD＝3，CE＝3．求AC+BC的长度．
（3）在（2）的条件下，AB＝ ．
参考答案
一、选择题
1．B
2．B
3．C
4．B
5．C
6．D
7．D
8．D
二、填空题
9．
10．4cm．
11．
12．16
三、解答题
13．【详解】证明：∵为的垂直平分线，
∴，
又，，
∵，
∴，
∴，
∴．
14．【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线；
（2）证明：由（1）知，
∴，
∵，
∴线段垂直平分．
15．【详解】（1）证明：∵，
∴，即；
（2）证明：由（1）知，
又∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴．
16．【详解】（1）证明：是等边三角形，
．
，
∴点B、点D在的垂直平分线上，
垂直平分．
（2）解：是等边三角形，
．
，
，
，
是等边三角形，
．
由（1）可知垂直平分，
，
，
，
，
，
．
17．【详解】（1）证明：∵平分，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）证明：在上取点F，使，连接、，如图：
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点C在的垂直平分线上．
18．【详解】（1）证明：∵∠BAC＝135°，
∴∠B+∠C＝180°﹣135°＝45°，
∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴AD＝BD，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠DAB+∠EAC＝45°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝90°，
∴△ADE为直角三角形；
（2）解：由（1）得：AD＝BD＝3，AE＝CE＝3，∠DAE＝90°，
∴DE＝＝6，
∴BC＝BD+DE+CE＝9+3，
∵∠C＝30°，∠CGE＝90°，
∴EG＝CE＝，CG＝EG＝，
∴AC＝2CG＝3，
∴AC+BC＝3+9+3＝9+6；
（3）解：过A作AH⊥BC于H，过C作CP⊥BA于P，如图所示：
则∠APC＝90°，
∵∠BAC＝135°，
∴∠PAC＝45°，
∴△APC是等腰直角三角形，
∴PC＝PA＝AC＝，
∵△ADE的面积＝DE×AH＝AD×AE，
∴AH＝，
∵△ABC的面积＝AB×PC＝BC×AH，
∴AB＝，
故答案为：．
一、选择题
1．到钝角三角形三个顶点距离都相等的点在三角形的（ ）
A．内部 B．外部
C．某一边上 D．以上都有可能
2．观察下列作图痕迹，所作为的边上的中线是（ ）．
A．B．C．D．
3．如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为，的周长为，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，直线为线段的垂直平分线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为20，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．如图，已知是等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，则以下结论错误的是（ ）
A．直线是线段的垂直平分线 B．
C．是等边三角形 D．
7．如图所示，在等腰中，，若和分别垂直平分和，垂足分别为E、F，M、N都在边上，且，则的长度为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
8．如图，将等边折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，为折痕上一动点，若，，周长的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
9．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________．
10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝8cm，∠B＝15°，则AC等于__．
11．如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，，则______．
12．如图，在中，的垂直平分线分别与交于点，的垂直平分线分别与交于点，，则的周长是________．
三、解答题
13．已知：如图，在中，，，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．求证：．
14．如图，，点E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接、．
(1)求证：是的平分线．
(2)求证：线段垂直平分．
15．如图，在中，，点P为射线上一点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
16．如图，是等边三角形，D是外一点，连接，，，过点D作交于点F，交于点E，已知．
(1)求证：垂直平分；
(2)若，，求的长．
17．如图，在中，平分，于D，于E，．
(1)求证：；
(2)求证：点C在的垂直平分线上．
18．如图，在钝角△ABC中，∠A＝135°，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，交AB、AC于点F、G．
（1）连接AD，AE，求证：△ADE为直角三角形．
（2）若∠C＝30°，BD＝3，CE＝3．求AC+BC的长度．
（3）在（2）的条件下，AB＝ ．
参考答案
一、选择题
1．B
2．B
3．C
4．B
5．C
6．D
7．D
8．D
二、填空题
9．
10．4cm．
11．
12．16
三、解答题
13．【详解】证明：∵为的垂直平分线，
∴，
又，，
∵，
∴，
∴，
∴．
14．【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线；
（2）证明：由（1）知，
∴，
∵，
∴线段垂直平分．
15．【详解】（1）证明：∵，
∴，即；
（2）证明：由（1）知，
又∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴．
16．【详解】（1）证明：是等边三角形，
．
，
∴点B、点D在的垂直平分线上，
垂直平分．
（2）解：是等边三角形，
．
，
，
，
是等边三角形，
．
由（1）可知垂直平分，
，
，
，
，
，
．
17．【详解】（1）证明：∵平分，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）证明：在上取点F，使，连接、，如图：
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点C在的垂直平分线上．
18．【详解】（1）证明：∵∠BAC＝135°，
∴∠B+∠C＝180°﹣135°＝45°，
∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴AD＝BD，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠DAB+∠EAC＝45°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝90°，
∴△ADE为直角三角形；
（2）解：由（1）得：AD＝BD＝3，AE＝CE＝3，∠DAE＝90°，
∴DE＝＝6，
∴BC＝BD+DE+CE＝9+3，
∵∠C＝30°，∠CGE＝90°，
∴EG＝CE＝，CG＝EG＝，
∴AC＝2CG＝3，
∴AC+BC＝3+9+3＝9+6；
（3）解：过A作AH⊥BC于H，过C作CP⊥BA于P，如图所示：
则∠APC＝90°，
∵∠BAC＝135°，
∴∠PAC＝45°，
∴△APC是等腰直角三角形，
∴PC＝PA＝AC＝，
∵△ADE的面积＝DE×AH＝AD×AE，
∴AH＝，
∵△ABC的面积＝AB×PC＝BC×AH，
∴AB＝，
故答案为：．
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