1.2 等腰三角形 课后培优提升同步训练（含答案）北师大版2025—2026学年八年级下册

1.2等腰三角形课后培优提升同步训练北师大版2025—2026学年八年级下册
一、选择题
1．边长为的等边三角形，它的高是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，每个小正方形的边长为1，若、、是小正方形的顶点，则度数为（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．用反证法证明命题“在中，，求证：”时，第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，，，点在坐标轴上，当是等腰三角形时，满足条件的点有（ ）个
A． B． C． D．
5．如图，是的中线，，，把沿直线折叠后，点C落到的位置上，那么为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
6．如图，中，，D是边上一点，且，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点G，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在等边中，D为边中点，，点P为线段上一动点，连接，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．1
二、填空题
9．在等腰中，是直线上一点，满足．若，则的度数为_____．
10．如图，等边的边长为2，于点D，E为射线上一点，以为边在左侧作等边，则的最小值为_________．
11．如图，在中，与的平分线交于点经过点D，分别交于点，点D到的距离为5，则的面积为________．
12．如图，在等腰中，，于点，两动点，分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为_____．
三、解答题
13．如图，点A、B是线段上方两点．与相交于点C，且，．
(1)求的度数；
(2)求证：．
14．如图，，，点在边上，，，相交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
15．已知是等边三角形，点在边上，作于点，为直线上一点．
(1)如图1，点在边上，连接、，若，，，求的长；
(2)如图2，点为延长线上一点，若，连接交于点，求证：．
16．如图1，中，，点为斜边上动点．
(1)边 ；
(2)如图2，过点作交于点，连接，当平分时，求；
(3)如图3，在点的运动过程中，连接，若为等腰三角形，直接写出的长为 ．
17．如图，和都是等边三角形，当点B，C，D在一条直线上时，连接，交于点M，连接，
(1)求证：．
(2)试探究线段与线段，之间的数量关系，并说明理由．
18．已知：为的中线，分别以和为一边在的外部作等腰三角形和等腰三角形，且，，连接，．
(1)如图，若，，求的度数．
(2)如图，求证：．
(3)如图，设交于点，交于点，与交于点，若点为中点，且，请探究和的数量关系，并证明你的结论．
参考答案
一、选择题
1．B
2．C
3．C
4．B
5．C
6．D
7．C
8．A
二、填空题
9．或
10．
11．15
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：如图1，在上取一点D，使，连接，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图2，延长、交于，
，
，
是等边三角形，
，
由（1）得：，
，
，
，
，
又，，
，
，
．
14．【详解】（1）证明：由题意知，，
∵，，
而，
∴，
∴，
∵，
∴；
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）知，，，
∴，
∴，
∴．
15．【详解】（1）解：是等边三角形，
，
于点，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
的长为4．
（2）证：作平行于交于点，
∴，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
16．【详解】（1）解：∵，
∴．
（2）解：∵
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，则，
在中，
∴，
∴．
（3）解：依题意，∵为等腰三角形，
∴①当时，为等腰三角形
∵，
∴．
②当时，为等腰三角形
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
③当时，为等腰三角形，
如图1中，作于点H，
则，
∵，
∴，
在中， ，
∵，
∴，
∴．
综上所述：的值为15或12.5或18．
17．【详解】（1）证明：与都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中
，
（），
（2）解：；
理由如下：
如图，在上取点F，使，连接，
∵，
，，
，
同理可证：（），
，，
，
是等边三角形，
，
．
18．【详解】（1）解：，
．
．
，
．
．
，
．
．
．
（2）证明：如图，延长至点H，使，连接．
是的中线，
．
在和中
，．
．
．
，
．
，
．
在和中
．
．
，
；
（3）解：结论：．
理由：由（2）得，，又点G为中点，
．
由（2），
．
在和中，
．
，．
∵，
是等边三角形，，．
．
．
在和中，
．
．
，
．
在四边形中，．
．
．
．
．
．