第五章分式与分式方程拔尖卷（一）（含答案）北师大版2025—2026学年八年级数学下册

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第五章分式与分式方程拔尖卷（一）北师大版2025—2026学年八年级数学下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．计算：（ ）
A． B． C． D．
2．若分式的值为，则求的值时应建立的式子是（ ）
A．
B．且
C．
D．且
3．下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知a是实数，并且，则代数式的值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
6．已知，若(都为正整数)，则的结果为（ ）
A．91 B．100 C．109 D．110
7．如果把分式中的、同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的倍
C．不变 D．缩小到原来的6倍
8．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．若，则代数式的值为________．
10．已知，，求_______ ．
11．无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______．
12．已知关于的分式方程无解，则的值为__________．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．先化简，再求值：，其中
14．解分式方程：
(1)；
(2)．
15．请根据下面对话，解答问题：
小明：今天起晚了，没能跟你一起骑自行车上学，我用了平时骑车速度的1.2倍才刚好在校门口追上你．
小丽：还好我们家离学校就，再远点你可能就要迟到了．
(1)设小明原来的速度为，则小明今天的速度为 ；
(2)求小明今天的速度．
16．厦门的凤梨穗龙眼干，果肉厚实、香甜软糯，是闽南特色伴手礼．某农产品合作社今年需加工晾晒龙眼干36吨，社员先自行加工晾晒了6 吨后，区乡村振兴办组织的志愿者服务队加入一起加工．已知志愿者服务队的加工速度是社员加工速度的2倍，从社员开始加工到全部加工完毕，一共用了8天．
(1)求社员每天加工晾晒多少吨？
(2)已知合作社每天需要支出给社员劳务费2500元，志愿者服务队是义务劳动，不需要支出劳务费，只需每天支出饮食费600元，那么志愿者服务队加入后可帮助合作社节省多少元？
17．我们把形如（、不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如：为“十字分式方程”，可化为，，．
再如：为“十字分式方程”，可化为，，．
应用上面的结论，解答下列问题：
(1)若为“十字分式方程”，则________，________；
(2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解；
(3)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值．
18．定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，则称这个分式为“优美分式”．
如；，，则、都是“优美分式”．
(1)请你判断下列式子是否为“优美分式”？（在题后相应的括号中，是“优美分式”打“√”，不是“优美分式”打“×”）；
①；（ ）
②；（ ）
③；（ ）
④．（ ）
(2)若“优美分式”，其中A为整式，B为常数．
①求整式A；
②若，求的值．
(3)若“优美分式”与（其中a，b为常数），当两者拆分后的分式分子为相等常数时，求的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．A
2．B
3．D
4．A
5．C
6．C
7．A
8．D
二、填空题
9．
10．
11．
12．2
三、解答题
13．【详解】解：原式
当时，
原式
14．【详解】（1）解：，
原方程去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
检验：将代入得，
∴原方程的解为；
（2）解：原方程可化为 ，
去分母，得：，
移项，合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
检验：将代入得，
则是分式方程的增根，故原方程无解
15．【详解】（1）解：∵小明原来的速度为，今天小明速度是平时骑车速度的1.2倍，
∴小明今天的速度为．
（2）解：根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：小明今天的速度为．
16．【详解】（1）解：设社员每天加工晾晒吨，则志愿者每天晾晒吨，
根据题意，可得，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴社员每天加工晾晒吨；
（2）解：原计划：（天），
原计划费用：（元），
社员加工天数：（天），
社员和志愿者加工天数：（天），
实际费用：（元），
节省的钱数为：（元），
故志愿者服务队加入后可帮助合作社节省元．
17．【详解】（1）解：为“十字分式方程”，
，
，；
故答案为：，；
（2）解：为“十字分式方程”，
∴方程可化为，
，
或，
，；
（3）解：“十字分式方程”即的两个解分别为，，
，，
．
18．【详解】（1）解：①，
∴①是“优美分式”．
故答案为：√；
②是整式，不是“优美分式”．
故答案为：×；
③=1+，
∴③是“优美分式”．
故答案为：√；
④，
∴④是“优美分式”．
故答案为：√；
（2）解：①由题意，∵
，
且“优美分式”，其中A为整式，B为常数，
∴整式；
②∵，
∴结合①可得，，则．
∴．
∴
；
（3）解：∵“优美分式”与（其中a，b为常数），
当两者拆分后的分式分子为相等常数，
∴可设， ，，
∴，
，
∴，
∴，，
∴，
，
∵，
，
∵
∴，
∴，且．
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