第四章因式分解拔尖卷（一）（含答案）北师大版2025—2026学年八年级数学下册

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第四章因式分解拔尖卷（一）北师大版2025—2026学年八年级数学下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．把多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是如对于多项式，因式分解的结果是，若取当，时，则各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式取，时，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．113212 B．111232 C．123211 D．123011
4．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．12
5．已知，则代数式的值为（ ）
A．6 B． C．4 D．
6．已知，则的值为（ ）
A．8 B．16 C．12 D．10
7．若实数，，满足，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．若是的一个因式，则的值为（ ）
A．4 B．1 C． D．0
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知，则的值为___________．
10．已知，则代数式的值是________．
11．a、b、c是三个连续正整数，，，则的值为______．
12．已知，均不等于0，且满足：，则__________．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．利用平方差公式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
14．分解因式：
(1)．
(2)．
(3)．
15．先阅读材料，再回答问题．
分解因式：．
解：设，则原式．
再将代入，得原式．
上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想方法．请你用“整体思想”解决下列问题：
(1)分解因式：．
(2)若为正整数，试说明的值为某一个整数的平方．
16．对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)若，求的值．
17．【实践探究】在学习“因式分解”时，小安同学用如图1中编号分别为①②③④的四种长方体（含正方体）若干，进行数学实践探究．
(1)若从中选取两个小长方体拼成一个如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式_____；
(2)【问题解决】若要拼成一个棱长为的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通过计算说明理由；
(3)【拓展应用】如图3，从一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，直接写出因式分解的结果，并解答以下问题：
已知和分别是两个大小不同的正方体的棱长，且满足等式，若为整数时，求的值．
18．先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题，
已知多项式有一个因式是，求的值．
解法一：设，
则，
比较系数得，解得．
解法二：设（为整式），
由于上式为恒等式，为方便计算取，，故．
根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题：
(1)已知关于的多项式有一个因式是，则________；
(2)已知有因式和，求、的值；
(3)已知是多项式的一个因式，求，的值，并将该多项式分解因式．
参考答案
一、选择题
1．D
2．A
3．D
4．A
5．C
6．B
7．A
8．C
二、填空题
9．
10．
11．4092529
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：
；
（2）解：
;
（3）解：
．
14．【详解】（1）解：提取公因式：
原式
．
故答案为：．
（2）解：设．
则原式
代入，解得：
原式．
故答案为：．
（3）解：原式
．
故答案为：．
15．【详解】（1）解：设，则原式，
再将代入，得原式．
（2）证明：原式，
令，则原式，
为正整数，为正整数，
的值为某一个整数的平方．
16．【详解】（1）解：；
（2）解：，
，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
17．【详解】（1）解：根据题意可知：．
（2）解：∵，且，，
∴需要②号长方体12个，③号长方体6个．
（3）解：；
由题意，得，
整理得，
∵，
∴．
即．
∵为整数，
∴为完全平方数，且，即
又，，故
因而存在下面两种情形：
①当时，；
②当时，．
综上所述，的值为或．
18．【详解】（1）由题设知：，
故，
解得．
故答案为：7；
（2）设（A为整式），
分别令和得：
，
解得：，
∴；
（3）设，
∵
，
∴，
解得：，
∴多项式，
∴
，
∴，该多项式分解因式为：．
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