2026届中考数学二轮复习重难题型：四边形 强化训练
一、选择题
1.如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（ ）
A.4 B.5 C.8 D.10
2.如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，DF⊥AE，与AB交于点F，则DF的长为( )
A. B. C.2 D.3
3.如图，在正方形ABCD中，BC＝6，CE＝2，点E、点H为CD、AD边上的一点，连接BE和CH，使得BE⊥CH交于点F，点G是线段CH上的一个动点，连接BG、EG．当四边形GECB的面积是8时，线段HG的长度为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G，若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是（ ）
A.2 B. C. D.
5.如图，四边形的对角线于点，点，，，分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，则四边形的面积等于（ ）
A.30 B.35 C.40 D.60
6.如图，四边形ABCD是正方形，点E在AD上，连接BE，过点A作BE的垂线交CD于点F，点G为垂足，下列选项中的结论，不正确的是（ ）
A.AE＝DF
B.∠DFA＝∠AEB
C.AG＝GF
D.S△ABG＝S四边形EGFD
7.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA、的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是（ ）
A.AB＝CD B.AC⊥BD C.CD＝BC D.AC＝BD
8.如图，已知点E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（ ）
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.梯形
9.在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ）
A.四边形的周长 B.的大小 C.四边形的面积 D.线段的长
10.如图，四边形ABCD为菱形，AB＝6，∠A＝60°，连接四边中点得到四边形EFGH，则四边形EFGH的面积为（ ）
A.9 B.6 C.18 D.9
11.在搬运班级储物柜时，小明与同学将储物柜靠在墙上稍作休息，思考如下问题：如图，墙面 与地面垂直，柜子侧面为矩形 ，其中 ， ，当柜子靠在墙上缓慢倒下，即在上滑动，在上滑动，在这个过程中，点到点的最大距离为（ ）
A. B. C. D.
12.顺次连接菱形四边中点所得的四边形一定是（ ）
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.不能确定
13.顺次连结一个四边形各边的中点所得的四边形是矩形，那么这个四边形一定是（ ）
A.矩形
B.菱形
C.对角线相等的四边形
D.对角线垂直的四边形
14.已知中，，，直角的顶点P是中点，两边、分别交、于点E、F，给出以下结论：①；②和可以分别看作由和绕点P顺时针方向旋转得到的；③是等腰直角三角形；④． 其中始终成立的有（ ）
A.②③④ B.①② C.②③ D.①②③
15.如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和得到四边形．若，，则四边形的面积等于（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
16.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC，BD于点E，点M，过点B作BF⊥AE于点P，交AC于点G，交CD于点F，则OM与OG存在数量关系 ；当OM＝1时，则BM＝ ．
17.如图，矩形ABCD的相邻两边的长分别是3cm和4cm，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于 cm．
18.如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、AD、CD上，AB＝3，AE＝1，DG＞AE，BF＝EG，BF与EG交于点P，连接DP，则DP的最小值为 ．
19.在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ．
20.如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为．若，，则的长为 ．
21.如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O．若AB＝4，AE＝3，则ON的长为 ．
22.顺次连接一个矩形各边中点得到的四边形是 ．
23.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，顶点D恰好落在双曲线上.若将正方形沿x轴向左平移b个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则b的值为________.
24.如图，在正方形中，E是的中点，F，G分别在上，连接，交于点M，N为的中点，连接，若正方形的边长为6，，则线段的长为 ．
三、解答题
25.如图，在正方形中，为边的中点，交于点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．
26.如图，点E、F在正方形ABCD的边AB、BC上，BE＝CF，若CE＝10cm，求DF的长．
27.如图，正方形，点，分别在，上，且，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
28.如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作．
(1)当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度＝______米．
(2)当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽；
(3)当他在丙房间时，测得米，且，．求丙房间的宽．
29.图1是某款自动旋转圆形遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为2.6米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．某一时刻测得米．请求出此时遮阳伞影子中的长度．
30.在学习了正方形后，数学小组的同学对正方形进行了探究，聪明的你也加入探究吧：
图1 图2 图3
(1)如图1，在正方形中，点E为边上任意一点（点E不与B，C重合），点F在线段上，过点F的直线，分别交于点M，N．此时，①与有什么数量关系？（直接写出即可）
②与之间又有什么数量关系？并说明理由；
(2)如图2：当点F为中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线与交于点G，连接，此时有结论：，请利用图2做出证明．
(3)如图3：当点E为直线上的动点时，如果（2）中的其他条件不变，直线分别交直线于点M，N请你直接写出线段与之间的数量关系、线段与之间的数量关系．2026届中考数学二轮复习重难题型：四边形 强化训练（参考答案）
一、选择题
1.如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（ ）
A.4 B.5 C.8 D.10
【答案】B
【解析】如图：连接，交于点O，
因为、、、分别是四边形边的中点，
∴，；，；，；， ．
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
∴，，
∴，
∵四边形面积为，，
∴，
解得 ．
∴
在中
．
2.如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，DF⊥AE，与AB交于点F，则DF的长为( )
A. B. C.2 D.3
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAF＝∠B＝90°，BC＝AB＝AD＝2，
∴∠BAE+∠2＝90°，
∵AB＝2，E是BC的中点，
∴BE＝1，
∴AE＝＝＝，
∵ADBC，
∴∠1＝∠2，
∵DF⊥AE，
∴∠1+∠ADF＝90°，
∴∠ADF＝∠BAE，
在△ADF和△BAE中，，
∴△ADF≌△BAE（ASA），
∴DF＝AE＝；
故选：A．
3.如图，在正方形ABCD中，BC＝6，CE＝2，点E、点H为CD、AD边上的一点，连接BE和CH，使得BE⊥CH交于点F，点G是线段CH上的一个动点，连接BG、EG．当四边形GECB的面积是8时，线段HG的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD为正方形，BC＝6，
∴CD＝BC＝6，∠D＝∠BCD＝90°，
在Rt△BCE中，CE＝2，
由勾股定理得：BE，
∵BE⊥CH，∠BCD＝90°，
∴∠DCH+∠BCH＝90°，∠CBE+∠BCH＝90°，
∴∠DCH＝∠CBE，
在△CDH和△BCE中，
，
∴△CDH≌△BCE（ASA），
∴CH＝BE，
∵S四边形GECB＝S△GEC+S△GBC
GC EFGC BF
GC（EF+BF）
GC BE，
又∵四边形GECB的面积是8，
∴2GC BE＝8，
即，
∴GC，
∴HG＝CH﹣CG．
故选：C．
4.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G，若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是（ ）
A.2 B. C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD为正方形，BC＝4，
∴∠CDF＝∠BCE＝90°，AD＝DC＝BC＝4，
又∵DE＝AF＝1，
∴CE＝DF＝3，
在△CDF和△BCE中，
，
∴△CDF≌△BCE （SAS），
∴∠DCF＝∠CBE，
∵∠DCF+∠BCF＝90°，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BGC＝90°，
在Rt△BCE中，BC＝4，CE＝3，
∴BE5，
∴BE CG＝BC CE，
∴CG．
故选：D．
5.如图，四边形的对角线于点，点，，，分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，则四边形的面积等于（ ）
A.30 B.35 C.40 D.60
【答案】A
【解析】点，分别为边，的中点，
是的中位线，
，，
，
，
同理，可得：，，
，，
点，分别为边，的中点，
是的中位线，
，，
同理，可得：，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
平行四边形是矩形，
矩形的面积为：，
即四边形的面积为30．
故选：A．
6.如图，四边形ABCD是正方形，点E在AD上，连接BE，过点A作BE的垂线交CD于点F，点G为垂足，下列选项中的结论，不正确的是（ ）
A.AE＝DF
B.∠DFA＝∠AEB
C.AG＝GF
D.S△ABG＝S四边形EGFD
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADF＝90°，
∵AF⊥BE，即∠AGB＝90°，
∴∠ABG+∠BAG＝90°，又∠BAG+∠EAG＝90°，
∴∠ABE＝∠DAF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴AE＝DF，故选项A正确，不符合题意；
∴∠DFA＝∠AEB，故选项B正确，不符合题意；
∴S△ABE≌S△DAF．
∴S△ABG＝S四边形EGFD，故选项D正确，不符合题意；
由于点E的位置不确定，无法得出AG＝GF，故选项C错误，符合题意，
故选：C．
7.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA、的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是（ ）
A.AB＝CD B.AC⊥BD C.CD＝BC D.AC＝BD
【答案】D
【解析】应添加的条件是AC＝BD，理由为：
证明：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，且AC＝BD，
∴EHBD，FGBD，HGAC，EFAC，
∴EH＝HG＝GF＝EF，
则四边形EFGH为菱形，
故选：D．
8.如图，已知点E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（ ）
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.梯形
【答案】B
【解析】连接AC、BD、AC交FG于L．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵DH＝HA，DG＝GC，
∴，
同法可得：，
∴GH＝EF，GH∥EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
同法可证：GF∥BD，
∴∠OLF＝∠AOB＝90°，
∵AC∥GH，
∴∠HGL＝∠OLF＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
故选：B．
9.在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ）
A.四边形的周长 B.的大小 C.四边形的面积 D.线段的长
【答案】C
【解析】解：连接，
在中，，分别为，中点，
且，，，
且，
四边形是平行四边形，
，
同理，且．
，，（、为中点， ），
在和中，
，
，
同理可证．
四边形的面积的面积，
由全等可知，，
且与的面积和为面积的一半（因是中点等关系 ），
四边形的面积始终为面积的一半，是定值．
选项A：、等边长随、移动变化，周长不定，错误．
选项B：随位置改变，错误．
选项D：长度随、移动改变，错误．
综上，四边形的面积是定值，
10.如图，四边形ABCD为菱形，AB＝6，∠A＝60°，连接四边中点得到四边形EFGH，则四边形EFGH的面积为（ ）
A.9 B.6 C.18 D.9
【答案】D
【解析】连接AC、BD交于点O，
∵E，F，G，H分别是AD，AB，BC，CD的中点，
∴EFBD，GHBD，EF∥BD∥HG，EHAC，FGAC，EH∥AC∥FG，
∴EF＝GH，EH＝FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAC＝60°，
∴AC⊥BD，∠BAC＝30°，AC＝2AO，BD＝2BO，
∴EF⊥EH，即∠FEH＝90°，
∴四边形EFGH为矩形，
∴S四边形EFGH＝EH EFBD AC，
∵AC⊥BD，∠BAC＝30°，AB＝6，
∴BOAB＝3，AO＝3，
∴BD＝6，AC，
∴S四边形EFGH6．
故选：D．
11.在搬运班级储物柜时，小明与同学将储物柜靠在墙上稍作休息，思考如下问题：如图，墙面 与地面垂直，柜子侧面为矩形 ，其中 ， ，当柜子靠在墙上缓慢倒下，即在上滑动，在上滑动，在这个过程中，点到点的最大距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
取的中点，连接，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴点到点的最大距离为，
故选：．
12.顺次连接菱形四边中点所得的四边形一定是（ ）
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.不能确定
【答案】B
【解析】如图：四边形ABCD是菱形，点EFGH分别是AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E、F、G、H，
∵E，H是中点，
∴EH∥BD，
同理，EF∥AC，GH∥AC，FG∥BD，
∴EH∥FG，EF∥GH，
则四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC⊥BD，EH∥BD，
∴AC⊥EH，
∵EF∥AC，
∴EF⊥EH，
∴平行四边形EFGH是矩形．
故选：B．
13.顺次连结一个四边形各边的中点所得的四边形是矩形，那么这个四边形一定是（ ）
A.矩形
B.菱形
C.对角线相等的四边形
D.对角线垂直的四边形
【答案】D
【解析】
如图，
根据题意得，是的中点，
∴，
∴，
同理：，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
所以顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点是矩形．
故选：D．
14.已知中，，，直角的顶点P是中点，两边、分别交、于点E、F，给出以下结论：①；②和可以分别看作由和绕点P顺时针方向旋转得到的；③是等腰直角三角形；④． 其中始终成立的有（ ）
A.②③④ B.①② C.②③ D.①②③
【答案】A
【解析】①∵中，，，点P是中点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
∵、不是定值，
∴不是定值，
∵为定值，
∴不一定与相等，故①错误；
②∵，，，
∴和可以分别看作由和绕点P顺时针方向旋转得到，故②正确；
③∵，，
∴是等腰直角三角形，故③正确；
④∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，故④正确；
综上分析可知，②③④正确，故A正确．
故选：A．
15.如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和得到四边形．若，，则四边形的面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得：分别是的中位线，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴四边形的面积.
故选：C
二、填空题
16.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC，BD于点E，点M，过点B作BF⊥AE于点P，交AC于点G，交CD于点F，则OM与OG存在数量关系 ；当OM＝1时，则BM＝ ．
【答案】相等
【解析】∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，OA=OB=OC，
∴∠AOM=∠BOG=90°，
∴∠MAO+∠AMO=90°.
∵BF⊥AE，
∴∠MBP+∠BMP=90°.
∵∠BMP=∠AMO，
∴∠MAO=∠MBP.
∵∠AOM=∠BOG=90°，AO=BO，∠MAO=∠GBO，
∴△AOM≌△BOG（ASA），
∴OM=OG.
作MN⊥AB于点N，
∵AC⊥BD，AE平分∠BAC，
∴OM=MN.
∵∠ABD=45°，
∴BN=MN.
∵BM2=BN2+MN2=2MN2=2OM2，OM=1，
∴BM=.
故答案为：.
17.如图，矩形ABCD的相邻两边的长分别是3cm和4cm，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于 cm．
【答案】
10
【解析】
连接AC、BD，
在Rt△ABD中，BD==5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=5，
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH∥BD，EH=BD=，
同理，FG∥BD，FG=，EF∥AC，EF=AC=，
∴四边形EHGF为菱形，
∴四边形EFGH的周长=×4=10，
故答案为：10．
18.如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、AD、CD上，AB＝3，AE＝1，DG＞AE，BF＝EG，BF与EG交于点P，连接DP，则DP的最小值为 ．
【答案】1．
【解析】如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点Q，连接QP、QD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠A＝∠ADC＝∠DME＝90°，AB∥CD，
∴四边形ADME是矩形，
∴EM＝AD＝AB，
在Rt△BAF和Rt△EMG中，
，
∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），
∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM，
∵AB∥CD，
∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB，
∵∠ABF+∠AFB＝90°，
∴∠ABF+∠BEG＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴BF⊥EG，
∵△EPB是直角三角形，Q是BE的中点，
∴QPBE，
∵AB＝3，AE＝1，
∴BE＝3﹣1＝2，
∴QB＝QE＝1，
∵QD﹣QP≤DP，
∴当Q、D、P共线时，DP有最小值，
∵QPBE＝1，AQ＝AE+EQ＝1+1＝2，
∴QD，
∴PD1，
∴PD的最小值为1，
故答案为：1．
19.在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ．
【答案】正方形
【解析】如图所示：
在中，，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理，，．
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
设与交于点，与交于点，
在中，，分别是，的中点，
∴，同理，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是正方形．
故答案为：正方形
20.如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为．若，，则的长为 ．
【答案】
【解析】∵，是公共角，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
作于点F，
则四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵的垂直平分线交于点M，交于点N，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
21.如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O．若AB＝4，AE＝3，则ON的长为 ．
【答案】．
【解析】∵∠MOB＝∠A，∠ABE＝∠ABE，
∴△BOM∽△BAE，
∴，
∵AB＝4，AE＝3，
∴，
∵MN垂直平分BE，
∴，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，AB∥CD，
作MF⊥CD于点F，
∴∠MFD＝∠MFN＝90°，
∴AD＝MF，
∴AB＝MF，
∵MN是BE的垂直平分线，
∴∠MFN＝∠BAE＝90°，∠FMN+∠BMO＝∠BMO+∠MBO＝90°，
∴∠FMN＝∠MBO，
∵，
∴△ABE≌△FMN（ASA），
∴NM＝BE＝5，
∴．
故答案为：．
22.顺次连接一个矩形各边中点得到的四边形是 ．
【答案】
菱形
【解析】
如图，连接、，
、、、分别是矩形的、、、边上的中点，
，，
矩形的对角线，
，
四边形是菱形．
故答案为：菱形．
23.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，顶点D恰好落在双曲线上.若将正方形沿x轴向左平移b个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则b的值为________.
【答案】2
【解析】如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点.∵直线与轴，轴分别交于点，，令，得，∴点的坐标为，令，得，∴点的坐标为.
∵四边形是正方形，∴，，
∴，又因为，
所以.
在和中，
，
∴≌（AAS），
∴，，，即点的坐标为.同理可得≌，所以，，，即点的坐标为.因为点在双曲线上，将代入得，所以双曲线的解析式为.因为将正方形沿轴向左平移个单位长度后，点恰好落在该双曲线上，所以点在双曲线上，则，解得.
24.如图，在正方形中，E是的中点，F，G分别在上，连接，交于点M，N为的中点，连接，若正方形的边长为6，，则线段的长为 ．
【答案】
【解析】如图，过点作交于点，
四边形是正方形，
，，，
四边形是平行四边形，
，
，，
是的中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的中点，
，
故答案为：．
三、解答题
25.如图，在正方形中，为边的中点，交于点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】解：．证明如下：
四边形是正方形，
，
．
，
，
，
，
，
，
为的中点，
，
．
26.如图，点E、F在正方形ABCD的边AB、BC上，BE＝CF，若CE＝10cm，求DF的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，BC＝CD，
在△CBE和△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴CE＝DF，
∵CE＝10cm，
∴DF＝10cm．
27.如图，正方形，点，分别在，上，且，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】
（1）证明：证明如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
28.如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作．
(1)当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度＝______米．
(2)当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽；
(3)当他在丙房间时，测得米，且，．求丙房间的宽．
【答案】（1）解：在中，
∵，米，米，
∴，
∵，
∴甲房间的宽度米，
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴米．
（3）解：过点作垂线，垂足点，连接，
设，且．
∵梯子的倾斜角为，
∴为等腰直角三角形，为等边三角形，梯子长度相同，，
∵，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴米，即丙房间的宽是米．
29.图1是某款自动旋转圆形遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为2.6米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．某一时刻测得米．请求出此时遮阳伞影子中的长度．
【答案】如图，过点E作于点I，过点G作于点J．
，
，
，
,
，
，，
，
，四边形为矩形，
，，
，
，
在中，（米）．
答：此时遮阳伞影子中的长度是米．
30.在学习了正方形后，数学小组的同学对正方形进行了探究，聪明的你也加入探究吧：
图1 图2 图3
(1)如图1，在正方形中，点E为边上任意一点（点E不与B，C重合），点F在线段上，过点F的直线，分别交于点M，N．此时，①与有什么数量关系？（直接写出即可）
②与之间又有什么数量关系？并说明理由；
(2)如图2：当点F为中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线与交于点G，连接，此时有结论：，请利用图2做出证明．
(3)如图3：当点E为直线上的动点时，如果（2）中的其他条件不变，直线分别交直线于点M，N请你直接写出线段与之间的数量关系、线段与之间的数量关系．
【答案】（1）解：①，②
理由如下：在图1中，过点D作交于P，则，
∵是正方形，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∵于F，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．，，
∴，．
（2）证明如下：
在图2中连接、、，
由正方形的轴对称性得，
∴，，
∵于F，F为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
由图可知，
∴，
又∵四边形的内角和为，，
∴，
在和中，为斜边，F为的中点，
∴，，
∴；
（3），，理由如下：
过点M作于H，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又
∴，
∴；
连接、、，
由正方形的轴对称性得，
∴，，
∵于F，F为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，为斜边，F为的中点，
∴，，
∴．
