21.2.1 课时1 平行四边形的性质 课件（25张PPT） 2025-2026学年数学人教版八年级下册

(共25张PPT)
21.2.1 平行四边形及其性质
课时1 平行四边形的性质
1. 理解平行四边形的概念.
2. 探索并证明平行四边形的性质定理.
3.能利用平行四边形对角线的性质解决相关问题.
对于四边形，从组成它的四条边的位置关系来看，位置关系不同，四边形有什么变化？
四边形
平行四边形
梯形
两组对边分别平行
只有一组对边平行
本节课我们重点学习平行四边形，研究它边和角的性质.
观察下图，平行四边形在生活中无处不在.
你还能举出一些例子吗？
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
B
C
D
A
四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
平行四边形用“□ ”表示，如图，平行四边形 ABCD 记作“□ABCD”.
注意：1.表示平行四边形时一定要按顺(或逆)时针依次书写各顶点字母；2.“□ ”后要紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用.
问 题 请写出平行四边形ABCD的基本元素.
AB，BC，CD， DA．
边
角
∠A，∠B，∠C，∠D．
A
B
C
D
对边
对角
对边
对角
对角线
AC，BD．
探 究1 (1)用尺子等工具度量平行四边形的四条边，你能发现什么
A
B
C
D
测量得到AB=DC，AD=BC.
探 究1 (2)用量角器等工具度量平行四边形的四个角，你能发现∠A与∠C，∠B与∠D之间的数量关系吗
A
B
C
D
测量得到∠A =∠C，∠B =∠D.
猜测：① 平行四边形对边相等；
② 平行四边形对角相等.
怎样证明呢
猜测：平行四边形的对边相等，对角相等.
已知：如图，四边形ABCD为平行四边形.
求证： AB＝CD，AD＝BC； ∠B＝∠D，∠BAD＝∠DCB.
分析：借助全等三角形的对应边、对应角都相等，是证明线段相等、角相等的一种重要的方法.通过添加辅助线，构造两个全等三角形.
B
C
D
A
证明：如图，连接AC.
1
2
3
4
猜测：平行四边形的对边相等，对角相等.
已知：如图，四边形ABCD为平行四边形.
求证： AB＝CD，AD＝BC； ∠B＝∠D，∠BAD＝∠DCB.
B
C
D
A
证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC,
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
又AC是△CBA和△ADC的公共边，∴△ADC△CBA，
∴AB=CD，AD=BC，∠B = ∠D.
又 ∵∠1 = ∠2,∠3 = ∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3，
即∠BAD =∠BCD.
1
2
3
4
思 考 不添加辅助线、你能证明平行四边形的对角相等吗
B
C
D
A
证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC,
∴∠A+∠B=180°，∠C+∠B=180°，
∴∠A = ∠C.
同理，可得∠B = ∠D.
1.如图，在 □ABCD 中，∠B = 40°，求∠A、∠C、∠D的度数.
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠D ＝∠B ＝40°，∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠A＋∠B＝180°，
∴∠A＝∠C ＝180°－∠B＝ 140°.
B
C
D
A
探 究2 如图，在□ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O. OA与OC，OB与OD有什么关系
B
A
C
D
O
我猜测：OA＝OC，OB＝OD.
如何证明这个猜想呢？
已知：□ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O.
求证：OA＝OC，OB＝OD.
B
A
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴△AOD△COB(ASA)，
∴OA＝OC，OB＝OD.
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平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形的性质：1. 平行四边形的对边相等．
2. 平行四边形的对角相等．
3. 平行四边形的对角线互相平分．
数学语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC；
∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC；
OA OC，OB OD.
A
B
C
D
O
拓展思考1 这块平行四边形土地的周长为80米，且△AOB的周长比△BOC的周长小2，边AB和边BC的长为多少？
B
A
C
D
O
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，
由题可知△BOC的周长－△AOB的周长＝2.
∴BC＋OB＋OC－(AB＋OA＋OB)＝2.
∴BC－AB＝2.
又∵ ABCD的周长为80m，
即2(AB＋BC)＝80，∴AB＋BC＝40.
∴AB＝19m，BC＝21m.
归纳：相邻两个小三角形的周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值.
拓展思考2 △ABO，△BCO，△CDO，△DAO的面积有什么关系
解：S△ABO ＝ S△BCO ＝ S△CDO ＝ S△DAO ，理由如下：
在△ABD中，OB＝OD
(平行四边形的对角线互相平分)，
∴OA是BD边上的中线，
∴S△ABO＝S△DAO .
同理可得：S△ABO＝S△BCO，S△BCO＝S△CDO，
∴S△ABO ＝ S△BCO ＝ S△CDO ＝ S△DAO .
归纳：平行四边形的两条对角线将其平分成面积相等的4个三角形.
B
A
C
D
O
例1 如图，在□ ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC.求BC，CD ， AC ， OA的长，以及□ABCD的面积.
分析：
平行四边形对边相等
BC，CD 的长
运用勾股定理
AC 的长
面积公式
□ ABCD 的面积
例1 如图，在□ ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC.求BC，CD ， AC ， OA的长，以及□ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，CD=AB=10.
∵ AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形.
根据勾股定理，AC===6.
∴OA=OC= AC=3，
S ABCD=BCAC=8×6=48.
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，AC＝26，
∴DC＝AB，OA＝OC＝13，OB＝OD.
在Rt△AOD中，根据勾股定理
∴OB＝OD＝5，BD＝10.
在Rt△ABD中，根据勾股定理
∴ ，S□ABCD＝12×10＝120.
2.如图，在□ABCD中，AD=12，对角线AC＝26，∠ADB=90°. 求DC的长和四边形ABCD的面积.
平行四边形的性质
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
平行四边形的定义
边：平行四边形的对边平行且相等.
角：平行四边形的对角相等.
对角线：平行四边形的对角线互相平分.
性质
1.两条对角线将其分成面积相等的4个三角形.
2.经过对角线交点的任意一条直线平分平行四边形的面积和周长.
1.如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(　　)
A．AB＝BC B．AD＝BC
C．OA＝OB D．AC⊥BD
B
2.如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点．若A(－1，2)，则点C的坐标是(　　)
A．(2，－1) B．(－2，1)
C．(1，－2)　　 D．(－1，－2)
C
3.如图， ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若 ABCD的周长为18，则△ABE的周长为__________．
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4.如图，四边形ABCD是平行四边形，若S ABCD＝12，则S阴影＝__________．
3
4.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若DO＝3cm，AB＝10cm，BC＝8cm，求 ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD＝2DO＝2×3＝6 cm，CD＝AB＝10 cm，
在△BCD中，BC2＋BD2＝CD2，
∴△BCD为直角三角形，∠CBD＝90°，
∴DB⊥BC.
∴S ABCD＝BC·BD＝8×6＝48 cm2．