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7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
素养目标 思维导图
1.能进行复数代数形式的加、减运算.(数学运算) 2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.(直观想象)
课前自主学习
问题1.回顾向量的加法运算,联想复数的加法运算:
设向量 =(a,b), =(c,d),对应复数z1=a+bi,z2=c+di,其中,a,b,c,d∈R,
则 + =__________,z1+z2=_____________.
问题2.向量加法的平行四边形法则是否适合复数的加法运算法则
提示:由于复数与平面向量是一一对应的,所以向量加法的平行四边形法则适合复数的加法运算法则.
(a+c,b+d)
(a+c)+(b+d)i
问题3.复数的减法法则:设向量 =(a,b), =(c,d),对应复数z1=a+bi,z2=c+di,
其中,a,b,c,d∈R,则 - =__________,z1-z2=___________.
问题4.如何计算复平面内点Z1(x1,y1)与点Z2(x2,y2)之间的距离公式
提示:根据复数的几何意义,复平面内点Z1(x1,y1)与点Z2(x2,y2)分别对应复数
z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,
所以|Z1Z2|=| |=| - |=|z2-z1|
=|(x2-x1)+(y2-y1)i|=.
(a-c,b-d)
(a-c)+(b-d)i
【核心概念】
1.复数的加减运算
已知复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)
(1)复数的加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=____________.
(2)复数的减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=___________.
两个复数相加,类似于两个多项式相加,复数的加(减)运算就是把复数的实部与实部、虚
部与虚部分别相加(减),结果仍然是一个复数.
2.复数加法的运算律
复数的加法运算满足交换律、结合律.
(1)加法交换律:z1+z2=______.
(2)加法结合律:(z1+z2)+z3=_________.
(a+c)+(b+d)i
(a-c)+(b-d)i
z2+z1
z1+(z2+z3)
3.复数加法与减法运算的几何意义
课堂合作探究
探究点一 复数的加减运算
【典例1】(1)已知复数z1=12-3i,z2=-9+i,则z1+z2的实部与虚部分别为 ( )
A.3,-2 B.3,-2i
C.2,-3 D.2,-3i
(2)设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,则z1-z2= .
【思维导引】(1)应用复数加法求z1+z2,根据实部、虚部定义得答案.
(2)利用复数的加法与减法法则计算.
【解析】(1)选A.因为z1=12-3i,z2=-9+i,所以z1+z2=3-2i,其实部与虚部分别为3,-2.
(2)因为z1=x+2i,z2=3-yi,且z1+z2=5-6i,
所以(x+3)+(2-y)i=5-6i,
所以
即
所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i.
答案:-1+10i
【类题通法】
复数加减运算的注意事项
(1)复数的加减运算法则:分别对复数的实部和虚部相加减.
(2)分清两个复数的实部和虚部是进行加减运算的关键,多个复数的加减混合运算,可以利用加法交换律和结合律进行简便运算.
提醒:复数的减法运算不满足交换律和结合律.
【定向训练】
1.已知复数z=-1+i,z-a=-6+bi(a,b∈R),则b=( )
A.-5 B.-4 C.-3 D.-1
【解析】选B.-1+i-a(-1-i)=-6+bi,
故a-1+(1+a)i=-6+bi,
所以解得
√
2.已知复数z1=3+i,z2=a+4i,a∈R,若z1-z2为纯虚数,则|z2|= .
【解析】z1-z2=3+i-(a+4i)=3-a-3i,
因为z1-z2为纯虚数,所以a=3,
所以z2=a+4i=3+4i,所以|z2|==5.
答案:5
探究点二 复数加减运算的几何意义
【典例2】(1)已知复数z1和z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【思维导引】利用复数的几何意义结合向量运算求解.
【解析】选B.题设等价为向量a,b满足|a|=|b|=2,a+b=(,1),求|a-b|.因为(a+b)2+(a-b)2=2(|a|2+|b|2)=16.又因为|a+b|=2,所以|a-b|==2.
√
(2)如图所示,平行四边形OABC,顶点O,A,C分别表示0,4+3i,-3+5i,
试求:
①对角线 所表示的复数;
②求B点对应的复数.
【类题通法】
复数与向量加减运算的对应关系的两个关注点
(1)应用数形结合思想将向量表示为复数.
(2)注意位置向量 与普通向量 的异同.
【定向训练】
已知复数z1=a+(7-a)i,z2=5+(3a+1)i(a∈R,i是虚数单位).
(1)若z2的实部与z1的模相等,求实数a的值;
(2)若复数z1+z2在复平面内对应的点在第四象限,求实数a的取值范围.
【解析】(1)依题意,|z1|==,因为z2的实部与z1的模相等,则=5,整理得a2-7a+12=0,解得a=3或a=4.
(2)因为z1+z2=(a+5)+(2a+8)i,且z1+z2在复平面内对应的点在第四象限,
所以解得-5
探究点三 两点间的距离与轨迹问题
【典例3】(1)已知i是虚数单位,在复平面内,复数-1+i和1-i对应的点之间的距离是( )
A.0 B.1 C. D.2
(2)已知复数z1=1+(a2-10)i,z2=(2a-5)i(a>0),z1+z2∈R.则实数a= ;若z∈C,|z-z2|=2,则|z|的取值范围为 .
【思维导引】(1)根据复数的几何意义,分别得到两复数对应点的坐标,再由两点间的距离公式,即可得出结果.
(2)由已知求得z1+z2,再由虚部为0求解实数a的值;
数形结合求解|z|的取值范围.
【解析】(1)选D.由于复数-1+i和1-i对应的点分别为(-1,1),(1,-1),因此由两点间的距离公式,得这两点之间的距离为=2.
(2)因为z1=1+(a2-10)i,z2=(2a-5)i,
所以z1+z2=1+(a2-10)i+(2a-5)i=1+(a2+2a-15)i.
又因为z1+z2∈R,所以a2+2a-15=0,
解得a=-5或a=3.
又因为a>0,所以a=3.
由z2=i,设z=x+yi,
由|z-z2|=2 |x+(y-1)i|=2,
所以=2,
得x2+(y-1)2=4,而(y-1)2=4-x2,
所以0≤(y-1)2≤4,所以-2≤y-1≤2,故y∈[-1,3].
所以|z|===,
因为-1≤y≤3,所以2y+3∈[1,9],故|z|∈[1,3],所以|z|的取值范围为[1,3].
答案:3 [1,3]
【类题通法】
复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹
(1)|z-z0|=r(r是正的常数) 轨迹是一个圆.
(2)|z-z1|=|z-z2| 轨迹是一条直线.
其中z0,z1,z2是确定的复数,z是任意复数.
【定向训练】
1.已知复数z=-3+ai(a∈R)对应的点到原点的距离是a+1,则实数a= .
【解析】复数z=-3+ai(a∈R)在复平面内对应的点的坐标为(-3,a),所以=a+1,即a2+9=(a+1)2,解得a=4.
答案:4
2.已知z∈C,且|z+i|=3,i为虚数单位,则|z-3-3i|的最大值是 .
【解析】因为z∈C且|z+i|=3,所以,根据复数模的几何意义,z表示以(0,-1)为圆心,3为半径的圆.所以,|z-3-3i|表示圆上的点和点(3,3)的距离,因为圆心(0,-1)到点(3,3)的距离为=5,所以|z-3-3i|max=3+5=8.
答案:8
【题后反思】z表示以(0,-1)为圆心,3为半径的圆,进而根据复数减法的几何意义求解.
课堂学业达标
1.设m∈R,复数z=(2m2+3i)+(m-m2i)+(-1+2mi),若z为纯虚数,则m等于( )
A.-1 B.3 C. D.-1或3
【解析】选C.z=(2m2+m-1)+(3+2m-m2)i.
令,得m=.
√
√
3.复平面内,复数z1=3-i,z2=-1+2i对应两点间的距离为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选D.复平面内复数z1=3-i,z2=-1+2i对应两点间的距离为|z2-z1|
==5.
√
4.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z= .
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),|z|=,代入得a+bi+=2+8i,
所以解得
所以z=-15+8i.
答案:-15+8i
5.计算:
(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i);
(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)];
(3)(a-bi)-(2a+2bi)-3i(a,b∈R).
【解析】(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)
=(1+3-5)+(2-4-6)i
=-1-8i;
(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]
=5i-(4+i)
=-4+4i;
(3)(a-bi)-(2a+2bi)-3i
=(a-2a)+(-b-2b-3)i
=-a-3(b+1)i(a,b∈R).7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
素养目标 思维导图
1.能进行复数代数形式的加、减运算.(数学运算) 2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.(直观想象)
课前自主学习
问题1.回顾向量的加法运算,联想复数的加法运算:
设向量=(a,b),=(c,d),对应复数z1=a+bi,z2=c+di,其中,a,b,c,d∈R,则+=(a+c,b+d),z1+z2=(a+c)+(b+d)i.
问题2.向量加法的平行四边形法则是否适合复数的加法运算法则
提示:由于复数与平面向量是一一对应的,所以向量加法的平行四边形法则适合复数的加法运算法则.
问题3.复数的减法法则:设向量=(a,b),=(c,d),对应复数z1=a+bi,z2=c+di,其中,a,b,c,d∈R,则-=(a-c,b-d),z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
问题4.如何计算复平面内点Z1(x1,y1)与点Z2(x2,y2)之间的距离公式
提示:根据复数的几何意义,复平面内点Z1(x1,y1)与点Z2(x2,y2)分别对应复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,
所以|Z1Z2|=||=|-|=|z2-z1|
=|(x2-x1)+(y2-y1)i|=.
【核心概念】
1.复数的加减运算
已知复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)
(1)复数的加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
两个复数相加,类似于两个多项式相加,复数的加(减)运算就是把复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加(减),结果仍然是一个复数.
2.复数加法的运算律
复数的加法运算满足交换律、结合律.
(1)加法交换律:z1+z2=z2+z1.
(2)加法结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
3.复数加法与减法运算的几何意义
设z1=a+bi,z2=c+di对应向量=(a,b),=(c,d),(a,b,c,d∈R),其中,与不共线
项目 加法 减法
运算法则 z1+z2=(a+c)+(b+d)i z1-z2=(a-c)+(b-d)i
几何 意义 平行四边形法则 三角形法则
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探究点一 复数的加减运算
【典例1】(1)已知复数z1=12-3i,z2=-9+i,则z1+z2的实部与虚部分别为 ( )
A.3,-2 B.3,-2i
C.2,-3 D.2,-3i
(2)设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,则z1-z2= .
【思维导引】(1)应用复数加法求z1+z2,根据实部、虚部定义得答案.
(2)利用复数的加法与减法法则计算.
【解析】(1)选A.因为z1=12-3i,z2=-9+i,所以z1+z2=3-2i,其实部与虚部分别为3,-2.
(2)因为z1=x+2i,z2=3-yi,且z1+z2=5-6i,
所以(x+3)+(2-y)i=5-6i,
所以
即
所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i.
答案:-1+10i
【类题通法】
复数加减运算的注意事项
(1)复数的加减运算法则:分别对复数的实部和虚部相加减.
(2)分清两个复数的实部和虚部是进行加减运算的关键,多个复数的加减混合运算,可以利用加法交换律和结合律进行简便运算.
提醒:复数的减法运算不满足交换律和结合律.
【定向训练】
1.已知复数z=-1+i,z-a=-6+bi(a,b∈R),则b=( )
A.-5 B.-4 C.-3 D.-1
【解析】选B.-1+i-a(-1-i)=-6+bi,
故a-1+(1+a)i=-6+bi,
所以解得
2.已知复数z1=3+i,z2=a+4i,a∈R,若z1-z2为纯虚数,则|z2|= .
【解析】z1-z2=3+i-(a+4i)=3-a-3i,
因为z1-z2为纯虚数,所以a=3,
所以z2=a+4i=3+4i,所以|z2|==5.
答案:5
探究点二 复数加减运算的几何意义
【典例2】(1)已知复数z1和z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【思维导引】利用复数的几何意义结合向量运算求解.
【解析】选B.题设等价为向量a,b满足|a|=|b|=2,a+b=(,1),求|a-b|.因为(a+b)2+(a-b)2=2(|a|2+|b|2)=16.又因为|a+b|=2,所以|a-b|==2.
(2)如图所示,平行四边形OABC,顶点O,A,C分别表示0,4+3i,-3+5i,试求:
①对角线所表示的复数;
②求B点对应的复数.
【思维导引】①先由向量运算得=-,再根据复数的向量表示及复数加减法的几何意义直接转化成复数减法运算即可得解.
②先由向量运算得=+,再根据复数的向量表示及复数加减法的几何意义将向量加法运算转化成复数加法运算即可得解.
【解析】①因为=-,
所以所表示的复数为(4+3i)-(-3+5i)=7-2i.
②因为=+,
所以所表示的复数为(4+3i)+(-3+5i)=1+8i,即B点对应的复数为1+8i.
【类题通法】
复数与向量加减运算的对应关系的两个关注点
(1)应用数形结合思想将向量表示为复数.
(2)注意位置向量与普通向量的异同.
【定向训练】
已知复数z1=a+(7-a)i,z2=5+(3a+1)i(a∈R,i是虚数单位).
(1)若z2的实部与z1的模相等,求实数a的值;
(2)若复数z1+z2在复平面内对应的点在第四象限,求实数a的取值范围.
【解析】(1)依题意,|z1|==,因为z2的实部与z1的模相等,则=5,整理得a2-7a+12=0,解得a=3或a=4.
(2)因为z1+z2=(a+5)+(2a+8)i,且z1+z2在复平面内对应的点在第四象限,
所以解得-5探究点三 两点间的距离与轨迹问题
【典例3】(1)已知i是虚数单位,在复平面内,复数-1+i和1-i对应的点之间的距离是( )
A.0 B.1 C. D.2
(2)已知复数z1=1+(a2-10)i,z2=(2a-5)i(a>0),z1+z2∈R.则实数a= ;若z∈C,|z-z2|=2,则|z|的取值范围为 .
【思维导引】(1)根据复数的几何意义,分别得到两复数对应点的坐标,再由两点间的距离公式,即可得出结果.
(2)由已知求得z1+z2,再由虚部为0求解实数a的值;
数形结合求解|z|的取值范围.
【解析】(1)选D.由于复数-1+i和1-i对应的点分别为(-1,1),(1,-1),因此由两点间的距离公式,得这两点之间的距离为=2.
(2)因为z1=1+(a2-10)i,z2=(2a-5)i,
所以z1+z2=1+(a2-10)i+(2a-5)i=1+(a2+2a-15)i.
又因为z1+z2∈R,所以a2+2a-15=0,
解得a=-5或a=3.
又因为a>0,所以a=3.
由z2=i,设z=x+yi,
由|z-z2|=2 |x+(y-1)i|=2,
所以=2,
得x2+(y-1)2=4,而(y-1)2=4-x2,
所以0≤(y-1)2≤4,所以-2≤y-1≤2,故y∈[-1,3].
所以|z|==
=,
因为-1≤y≤3,所以2y+3∈[1,9],故|z|∈[1,3],所以|z|的取值范围为[1,3].
答案:3 [1,3]
【类题通法】
复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹
(1)|z-z0|=r(r是正的常数) 轨迹是一个圆.
(2)|z-z1|=|z-z2| 轨迹是一条直线.
其中z0,z1,z2是确定的复数,z是任意复数.
【定向训练】
1.已知复数z=-3+ai(a∈R)对应的点到原点的距离是a+1,则实数a= .
【解析】复数z=-3+ai(a∈R)在复平面内对应的点的坐标为(-3,a),所以=a+1,即a2+9=(a+1)2,解得a=4.
答案:4
2.已知z∈C,且|z+i|=3,i为虚数单位,则|z-3-3i|的最大值是 .
【解析】因为z∈C且|z+i|=3,所以,根据复数模的几何意义,z表示以(0,-1)为圆心,3为半径的圆.所以,|z-3-3i|表示圆上的点和点(3,3)的距离,因为圆心(0,-1)到点(3,3)的距离为=5,所以|z-3-3i|max=3+5=8.
答案:8
【题后反思】z表示以(0,-1)为圆心,3为半径的圆,进而根据复数减法的几何意义求解.
课堂学业达标
1.设m∈R,复数z=(2m2+3i)+(m-m2i)+(-1+2mi),若z为纯虚数,则m等于( )
A.-1 B.3 C. D.-1或3
【解析】选C.z=(2m2+m-1)+(3+2m-m2)i.
令,得m=.
2.在复平面内,O是原点,,,表示的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,则表示的复数为 ( )
A.2+8i B.-6-6i
C.4-4i D.-4+2i
【解析】选C.=-=-(+)=(3,2)-(1,5)-(-2,1)=(4,-4),所以表示的复数为4-4i.
3.复平面内,复数z1=3-i,z2=-1+2i对应两点间的距离为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选D.复平面内复数z1=3-i,z2=-1+2i对应两点间的距离为|z2-z1|
==5.
4.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z= .
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),|z|=,代入得a+bi+=2+8i,
所以解得
所以z=-15+8i.
答案:-15+8i
5.计算:
(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i);
(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)];
(3)(a-bi)-(2a+2bi)-3i(a,b∈R).
【解析】(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)
=(1+3-5)+(2-4-6)i
=-1-8i;
(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]
=5i-(4+i)
=-4+4i;
(3)(a-bi)-(2a+2bi)-3i
=(a-2a)+(-b-2b-3)i
=-a-3(b+1)i(a,b∈R).
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