7.2.2 复数的乘、除运算
素养目标 思维导图
1.了解复数的乘法与除法运算的关系.(数学运算) 2.掌握复数的乘法、除法法则.(数学运算)
课前自主学习
问题1.回顾多项式乘法运算,类比复数的乘法运算:
(1)设复数z1=a+bi,z2=c+di,其中,a,b,c,d∈R,则z1z2= (ac-bd)+(ad+bc)i .
(2)z1= a2+b2 .
(3)= a2-b2+2abi .
问题2.复数的除法
(1)若z1,z2是共轭复数,则z1z2是一个怎样的数
提示:是一个实数.
(2)类比实数的除法是乘法的逆运算,我们规定复数的除法是乘法的逆运算.请探求复数除法的法则.
提示:在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成的形式,再把分子与分母都乘分母的共轭复数c-di,化简后就可得到运算结果.这里分子、分母都乘分母的“实数化因式”(共轭复数),从而使分母“实数化”.
【核心概念】
1.复数的乘法运算
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
2.复数乘法的运算律
运算律 恒等式
交换律 z1z2=z2z1
结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3)
分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
3.复数的除法运算(分母实数化)
(a+bi)÷(c+di)===+i(a,b,c,d∈R,且c+di≠0).
课堂合作探究
探究点一 复数的乘法运算
【典例1】(1)(2024·国甲卷)设z=i,则z·= ( )
A.-i B.1 C.-1 D.2
(2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=( )
A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i
(3)(2022·国甲卷)若z=1+i,则|iz+3|=( )
A.4 B.4 C.2 D.2
【思维导引】(1)先根据共轭复数的定义写出,然后根据复数的乘法计算.
(2)由题可得z2,后由复数乘法法则可得答案.
(3)利用复数的乘法运算法则与模的定义计算.
【解析】(1)选D.z=i,则z·=i·(-i)=2.
(2)选A.由题意,z2实部与z1实部互为相反数,则z2=-2+i.则z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.
(3)选D.因为z=1+i,所以iz+3=i(1+i)+3(1-i)=2-2i,所以|iz+3|==2.
【类题通法】
复数乘法运算的注意事项
(1)复数的乘法运算与二项式乘二项式类似,展开后化简即可,注意i2=-1的应用.
(2)多个复数的乘法运算,可以利用加法交换律和结合律进行简便运算,注意两个共轭复数的积是实数.
提醒:灵活运用“平差公式”“完平公式”解析复数乘法计算.
复数的减法不满足交换律和结合律.
【定向训练】
1.(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选A.(1+3i)(3-i)=6+8i,故对应的点在第一象限.
2.(一题多解)
计算:(-+i)(+i)(-+i).
【解析】法一:(-+i)(+i)(-+i)
=[(--)+(-)i](-+i)
=(-+i)2=-i+i2=-i.
法二:(-+i)(+i)(-+i)
=(-+i)[(+i)(-+i)]
=(-+i)(-+i2)
=-(-+i)=-i.
探究点二 复数的除法运算
【典例2】(1)(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1-z)=1,则z+=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
(2)复数z在复平面内对应的点为(2,1),则=( )
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
【思维导引】(1)通过复数的除法运算法则计算.
(2)直接利用复数的运算法则化简求解即可.
【解析】(1)选D.由题设有1-z===-i,故z=1+i,故z+=(1+i)+(1-i)=2.
(2)选A.复数z在复平面内对应的点为(2,1),则z=2+i,=====i(1-i)=1+i.
【类题通法】
复数除法运算的注意事项
(1)分母实数化:将复数的除法运算转化为“分式”的形式,再分子分母同乘以分母的“共轭复数”计算.
(2)注意运算顺序:多个复数的除法运算,有括号先算括号内的,没有括号按照从左向右的顺序进行计算.
提醒:复数的除法运算不满足交换律和结合律.
【定向训练】
1.(2023·新高考Ⅰ卷)已知z=,则z-=( )
A.-i B.i C.0 D.1
【解析】选A.因为z====-i,所以=i,z-=-i-i=-i.
2.(2024·新高考Ⅰ卷)若=1+i (i为虚数单位),则z=( )
A. -1-i B.-1+i
C. 1-i D. 1+i
【解析】选C.由题意知z=(1+i)(z-1),则z==1-i.
探究点三 复数乘运算以及周期性
【典例3】(1)(多选)(2025·湖州高一检测)已知复数z在复平面内对应的点为(-,),则( )
A.|z|=1 B.z+=1
C.z2+z+1=0 D.z2 027=
【思维导引】先求出复数z,再结合复数模、共轭复数及乘运算逐项计算判断即可.
【解析】选ACD.由复数z在复平面内对应的点为(-,),得z=-+i,
对于A,|z|==1,A正确;
对于B,=--i,则z+=-1,B错误;
对于C,z2+z+1=+(-+i)+1=--i-+i+1=0,C正确;
对于D,因为z3=1,所以z2 027=·z2=--i=,D正确.
(2)计算:i+i2+i3+…+i2 028= .
【思维导引】计算in,n∈N*的值,明确周期性计算.
【解析】计算得i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,
i5+i6+i7+i8=i4(i+i2+i3+i4)=0,…
所以i+i2+i3+…+i2 028=507×0=0.
答案:0
【类题通法】
in(n∈N*)的性质
(1)i1=i.
(2)i2=-1.
(3)i3=i·i2=-i.
(4)i4=i3·i=-i2=1.
(5)如果n∈N*,那么有i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1.
注意:(1)上述公式中,说明in(n∈N*)具有周期性,且最小正周期是4.
(2)n可推广到整数集.
(3)4k(k∈Z)是in(n∈N*)的周期.
显然in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).
因为in(n∈N*)具有周期性,解题时要灵活运用,或适当变形,创造条件转化为i的计算.一般地,有(1±i)2=±2i,=i,=-i.
【定向训练】
1.若z=,则|z|= ;z+= .
【解析】因为i2 027=i4×506+3=i3=-i,
所以z===-i,
则|z|==,z+=-i++i=1.
答案: 1
2.计算:(1);
(2)++.
【思维导引】利用复数的运算法则化简计算即可.
【解析】(1)原式=====1-i.
(2)++=
-i···(1+i)++i7
=16(-1+i)--i=-(16+)+
(16-1)i.
探究点四 实系数一元二次的求根公式
【典例4】(一题多解)
在复数范围内解下列一元二次:
(1)x2+9=0;(2)x2-x+1=0.
【思维导引】(1)利用复数的乘运算解.
(2)利用配法解,也可以运用一元二次的求根公式解.
【解析】(1)由x2+9=0,得x2=-9=(±3i)2,所以x=±3i.
(2)法一:由x2-x+1=0配得x2-x+=-,
即(x-)2=-=(±i)2,所以x-=±i,
解得x=±i.
法二:由x2-x+1=0,得Δ=(-1)2-4=-3,
由实系数一元二次的求根公式,
得x1,2==±i.
【类题通法】
实系数一元二次的求根公式
(1)对于实系数一元二次ax2+bx+c=0,a,b,c∈R,a≠0,Δ=b2-4ac,
①当Δ>0时,有两个不相等的实数根x1,2=,若这两个根为二次根式,二者互为有理化因式(也叫共轭根式);
②当Δ=0时,有两个相等的实数根x1,2=-;
③当Δ<0时,有两个不相等的虚数根x1,2=,这两个虚根互为共轭虚数.
(2)对于实系数一元二次ax2+bx+c=0,a,b,c∈R,设其两个复数根分别为x1,x2,根与系数的关系仍然成立:x1+x2=-,x1x2=.
【定向训练】
已知虚数z满足|z|=.
(1)求证:z+在复平面内对应的点在直线y=x上;
(2)若=0(k∈R)的一个根,求k与z.
【思维导引】(1)由题设可得z+=z+i,应用代数运算化简并确定点的坐标,即可证结论;
(2)将复数z=a+bi代入求参数即可.
【解析】(1)设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),由|z|=,则z=5,所以z+=z+i=a+bi+(a-bi)i=(a+b)+(a+b)i,
所以z+在复平面内对应的点为(a+b,a+b),在直线y=x上.
(2)同(1)设复数z=a+bi(a,b∈R,b≠0),
因为=0(k∈R)的一个根,
所以2(a+bi)2+4(a+bi)+k=0,
即2a2-2b2+4a+k+(4ab+4b)i=0,
所以2a2-2b2+4a+k=0且4ab+4b=0,得a=-1,
因为a2+b2=5,所以b=±2,
把a=-1,b=±2代入2a2-2b2+4a+k=0得:k=10,所以k=10,z=-1±2i.
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1.复数z=i+2i2+3i3,则z的虚部为( )
A.2i B.-2i C.2 D.-2
【解析】选D.由z=i+2i2+3i3可得,z=-2-2i,故z的虚部为-2.
2.已知复数z=1+i(i为虚数单位),则在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选D.因为==-i,所以在复平面内对应的点(,-)在第四象限.
3.(2021·新高考I卷)已知z=2-i,则z(+i)=( )
A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i
【解析】选C.z=2-i,=2+i,+i=2+2i,
z(+i)=(2-i)(2+2i)=6+2i.
4.若复数z满足=2i,则z=( )
A.2+2i B.2-2i
C.-2-2i D.-2+2i
【解析】选C.=2i(1+i)=-2+2i,故z=-2-2i.
5.计算:(1);
(2).
【解析】(1)=
===+i;
(2)=
==
=--i.
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7.2.2 复数的乘、除运算
素养目标 思维导图
1.了解复数的乘法与除法运算的关系. (数学运算) 2.掌握复数的乘法、除法法则.(数学运算)
课前自主学习
问题1.回顾多项式乘法运算,类比复数的乘法运算:
(1)设复数z1=a+bi,z2=c+di,其中,a,b,c,d∈R,则z1z2=___________________.
(2)z1=__________.
(3)=______________.
问题2.复数的除法
(1)若z1,z2是共轭复数,则z1z2是一个怎样的数
提示:是一个实数.
(ac-bd)+(ad+bc)i
a2+b2
a2-b2+2abi
(2)类比实数的除法是乘法的逆运算,我们规定复数的除法是乘法的逆运算.请探求复数除法的法则.
提示:在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成的形式,再把分子与分母都乘分母的共轭复数c-di,化简后就可得到运算结果.这里分子、分母都乘分母的“实数化因式”(共轭复数),从而使分母“实数化”.
【核心概念】
1.复数的乘法运算
(a+bi)(c+di)=_______________.
2.复数乘法的运算律
3.复数的除法运算(分母实数化)
(a+bi)÷(c+di)===+i(a,b,c,d∈R,且c+di≠0).
运算律 恒等式
交换律 z1z2=____
结合律 (z1z2)z3=_______
分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(ac-bd)+(ad+bc)i
z2z1
z1(z2z3)
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探究点一 复数的乘法运算
【典例1】(1)(2024·国甲卷)设z=i,则z·= ( )
A.-i B.1 C.-1 D.2
(2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=( )
A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i
(3)(2022·国甲卷)若z=1+i,则|iz+3|=( )
A.4 B.4 C.2 D.2
√
√
√
【思维导引】(1)先根据共轭复数的定义写出,然后根据复数的乘法计算.
(2)由题可得z2,后由复数乘法法则可得答案.
(3)利用复数的乘法运算法则与模的定义计算.
【解析】(1)选D.z=i,则z·=i·(-i)=2.
(2)选A.由题意,z2实部与z1实部互为相反数,则z2=-2+i.则z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.
(3)选D.因为z=1+i,所以iz+3=i(1+i)+3(1-i)=2-2i,所以|iz+3|==2.
【类题通法】
复数乘法运算的注意事项
(1)复数的乘法运算与二项式乘二项式类似,展开后化简即可,注意i2=-1的应用.
(2)多个复数的乘法运算,可以利用加法交换律和结合律进行简便运算,注意两个共轭复数的积是实数.
提醒:灵活运用“平差公式”“完平公式”解析复数乘法计算.
复数的减法不满足交换律和结合律.
【定向训练】
1.(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选A.(1+3i)(3-i)=6+8i,故对应的点在第一象限.
√
2.(一题多解)
计算:(-+i)(+i)(-+i).
【解析】法一:(-+i)(+i)(-+i)
=[(--)+(-)i](-+i)
=(-+i)2=-i+i2=-i.
法二:(-+i)(+i)(-+i)
=(-+i)[(+i)(-+i)]
=(-+i)(-+i2)
=-(-+i)=-i.
探究点二 复数的除法运算
【典例2】(1)(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1-z)=1,则z+=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
(2)复数z在复平面内对应的点为(2,1),则=( )
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
【思维导引】(1)通过复数的除法运算法则计算.
(2)直接利用复数的运算法则化简求解即可.
√
√
【解析】(1)选D.由题设有1-z===-i,故z=1+i,故z+=(1+i)+(1-i)=2.
(2)选A.复数z在复平面内对应的点为(2,1),则z=2+i,=====i(1-i)=1+i.
【类题通法】
复数除法运算的注意事项
(1)分母实数化:将复数的除法运算转化为“分式”的形式,再分子分母同乘以分母的“共轭复数”计算.
(2)注意运算顺序:多个复数的除法运算,有括号先算括号内的,没有括号按照从左向右的顺序进行计算.
提醒:复数的除法运算不满足交换律和结合律.
【定向训练】
1.(2023·新高考Ⅰ卷)已知z=,则z-=( )
A.-i B.i C.0 D.1
【解析】选A.因为z====-i,所以=i,z-=-i-i=-i.
2.(2024·新高考Ⅰ卷)若=1+i (i为虚数单位),则z=( )
A. -1-i B.-1+i
C. 1-i D. 1+i
【解析】选C.由题意知z=(1+i)(z-1),则z==1-i.
√
√
探究点三 复数乘运算以及周期性
【典例3】(1)(多选)(2025·湖州高一检测)已知复数z在复平面内对应的点为(-,),则( )
A.|z|=1 B.z+=1
C.z2+z+1=0 D.z2 027=
【思维导引】先求出复数z,再结合复数模、共轭复数及乘运算逐项计算判断即可.
√
√
√
【解析】选ACD.由复数z在复平面内对应的点为(-,),得z=-+i,
对于A,|z|==1,A正确;
对于B,=--i,则z+=-1,B错误;
对于C,z2+z+1=+(-+i)+1=--i-+i+1=0,C正确;
对于D,因为z3=1,所以z2 027=·z2=--i=,D正确.
(2)计算:i+i2+i3+…+i2 028= .
【思维导引】计算in,n∈N*的值,明确周期性计算.
【解析】计算得i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,
i5+i6+i7+i8=i4(i+i2+i3+i4)=0,…
所以i+i2+i3+…+i2 028=507×0=0.
答案:0
【类题通法】
in(n∈N*)的性质
(1)i1=i.
(2)i2=-1.
(3)i3=i·i2=-i.
(4)i4=i3·i=-i2=1.
(5)如果n∈N*,那么有i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1.
注意:(1)上述公式中,说明in(n∈N*)具有周期性,且最小正周期是4.
(2)n可推广到整数集.
(3)4k(k∈Z)是in(n∈N*)的周期.
显然in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).
因为in(n∈N*)具有周期性,解题时要灵活运用,或适当变形,创造条件转化为i的计算.一般地,有(1±i)2=±2i,=i,=-i.
【定向训练】
1.若z=,则|z|= ;z+= .
【解析】因为i2 027=i4×506+3=i3=-i,
所以z===-i,
则|z|==,z+=-i++i=1.
答案: 1
2.计算:(1);
(2)++.
【思维导引】利用复数的运算法则化简计算即可.
【解析】(1)原式=====1-i.
(2)++=-i···(1+i)++i7
=16(-1+i)--i=-(16+)+(16-1)i.
探究点四 实系数一元二次的求根公式
【典例4】(一题多解)
在复数范围内解下列一元二次:
(1)x2+9=0;(2)x2-x+1=0.
【思维导引】(1)利用复数的乘运算解.
(2)利用配法解,也可以运用一元二次的求根公式解.
【解析】(1)由x2+9=0,得x2=-9=(±3i)2,所以x=±3i.
(2)法一:由x2-x+1=0配得x2-x+=-,
即(x-)2=-=(±i)2,所以x-=±i,
解得x=±i.
法二:由x2-x+1=0,得Δ=(-1)2-4=-3,
由实系数一元二次的求根公式,
得x1,2==±i.
【类题通法】
实系数一元二次的求根公式
(1)对于实系数一元二次ax2+bx+c=0,a,b,c∈R,a≠0,Δ=b2-4ac,
①当Δ>0时,有两个不相等的实数根x1,2=,若这两个根为二次根式,二者互为有理化因式(也叫共轭根式);
②当Δ=0时,有两个相等的实数根x1,2=-;
③当Δ<0时,有两个不相等的虚数根x1,2=,这两个虚根互为共轭虚数.
(2)对于实系数一元二次ax2+bx+c=0,a,b,c∈R,设其两个复数根分别为x1,x2,根与系数的关系仍然成立:x1+x2=-,x1x2=.
【定向训练】
已知虚数z满足|z|=.
(1)求证:z+在复平面内对应的点在直线y=x上;
(2)若=0(k∈R)的一个根,求k与z.
【思维导引】(1)由题设可得z+=z+i,应用代数运算化简并确定点的坐标,即可证结论;
(2)将复数z=a+bi代入求参数即可.
【解析】(1)设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),由|z|=,则z=5,所以z+=z+i=a+bi+(a-bi)i=(a+b)+(a+b)i,
所以z+在复平面内对应的点为(a+b,a+b),在直线y=x上.
(2)同(1)设复数z=a+bi(a,b∈R,b≠0),
因为=0(k∈R)的一个根,
所以2(a+bi)2+4(a+bi)+k=0,即2a2-2b2+4a+k+(4ab+4b)i=0,
所以2a2-2b2+4a+k=0且4ab+4b=0,得a=-1,
因为a2+b2=5,所以b=±2,
把a=-1,b=±2代入2a2-2b2+4a+k=0得:k=10,所以k=10,z=-1±2i.
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1.复数z=i+2i2+3i3,则z的虚部为( )
A.2i B.-2i C.2 D.-2
【解析】选D.由z=i+2i2+3i3可得,z=-2-2i,故z的虚部为-2.
2.已知复数z=1+i(i为虚数单位),则在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选D.因为==-i,所以在复平面内对应的点(,-)在第四象限.
√
√
3.(2021·新高考I卷)已知z=2-i,则z(+i)=( )
A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i
【解析】选C.z=2-i,=2+i,+i=2+2i,
z(+i)=(2-i)(2+2i)=6+2i.
4.若复数z满足=2i,则z=( )
A.2+2i B.2-2i
C.-2-2i D.-2+2i
【解析】选C.=2i(1+i)=-2+2i,故z=-2-2i.
√
√
5.计算:(1);
(2).
【解析】(1)=
===+i;
(2)=
==
=--i.
