第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
素养目标 思维导图
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形,认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征.(直观想象) 2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.(直观想象)
课前自主学习
问题1.如图为一素描作品,根据该作品思考下列问题.
(1)这些作品是根据哪些物体画出的
提示:这些作品是根据圆锥、球、长体等物体画出的.
(2)这些物体的表面均是由平面图形构成的吗
提示:不是.球的表面是由曲面构成的,圆锥的表面是由曲面和平面图形共同构成的.
(3)若要对该作品中的几何分类,可以分成几类
提示:可以分为两类:多面体、旋转体.
问题2.观察图中的长体,它的每个面是什么样的多边形 不同的面之间有什么位置关系
提示:可以发现长体的每个面都是平行四边形(矩形),并且相对的两个面,如面ABCD和面A'B'C'D',给我们以平行的形象,如同教室的地面和天花板.
问题3.观察下面的几何体,它们有什么共同特征
提示:(1)底面是平面多边形.(2)侧面都是三角形且它们有一个公共顶点.
问题4.观察如图所示的几何体,回答有关问题.
(1)用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面与底面的关系如何
提示:它们是相似的多边形.
(2)各棱AA',BB',CC',DD'延长后是否交于一点
提示:交于一点.
【核心概念】
1.多面体与旋转体的有关概念
类别 定义 图示
多 面 体 一般地,由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面;两个面的公共边叫做多面体的棱;棱与棱的公共点叫做多面体的顶点
旋 转 体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴
2.棱柱的有关概念
(1)定义:一般地,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
(2)有关概念:
①底面:两个互相平行的面且是等的多边形;
②侧面:其余各面且都是平行四边形;
③侧棱:相邻侧面的公共边;
④顶点:侧面与底面的公共顶点.
3.棱锥的有关概念
定义 有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥
图形 及有 关概 念 底面:多边形面 侧面:有公共顶点的各个三角形面 侧棱:相邻侧面的公共边 顶点:各侧面的公共顶点
分类 按底面多边形的边数分:三棱锥、四棱锥……
4.棱台的有关概念
定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间那部分多面体
图形 及有 关概 念 上底面:截面 下底面:原棱锥的底面 侧面:除上、下底面以外的面 侧棱:相邻侧面的公共边 顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点
分类 由几棱锥截得即为几棱台:如三棱台、四棱台……
课堂合作探究
探究点一 多面体与旋转体的概念
【典例1】(1)下列几何体是旋转体的是 ( )
A.五棱柱 B.六棱锥
C.八棱台 D.球
【思维导引】根据旋转体、多面体的定义,判断即可.
【解析】选D.根据一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体,判断球是旋转体;一般地,由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体,由此判断五棱柱、六棱锥、八棱台都是多面体.
(2)如果一个多面体的所有面都是等的正三角形或正多边形,每个顶点聚集的棱的条数都相等,这个多面体就叫做正多面体.如图几何体中,所有棱长均相等,同一表面的角都相等,则
是正多面体.(写出所有正确的序号)
【思维导引】由题意,逐个判别,可得答案.
【解析】对于①,该多面体由等的正三角形组成,且每个顶点聚集的棱有3条,符合题意;
对于②,该多面体由等的正四边形组成,且每个顶点聚集的棱有3条,符合题意;
对于③,该多面体由等的正三角形组成,但顶点聚集的棱有3条或4条,不符合题意;
对于④,该多面体由等的正五边形组成,且每个顶点聚集的棱有3条,符合题意.
答案:①②④
【类题通法】
理解多面体与旋转体的三个注意点
(1)构成多面体的各个面都是平面图形.
(2)构成旋转体的各面不是平面图形,有些面是曲面,也有的旋转体的表面没有平面图形,如球.
(3)不论是多面体还是旋转体,都是空间几何体,空间几何体是由实物抽象出来的图形,是由平面或曲面围成的空间部分.
【定向训练】
正多面体各个面都是等的正多边形,其中,面数最少的是正四面体,面数最多的是正二十面体,它们被称为柏拉图多面体.正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体.已知多面体满足:顶点数-棱数+面数=2,则正二十面体的顶点的个数为 .
【解析】由于正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体,所以面数为20,并且每个顶点处有5条棱,设正二十面体共有n个顶点,则棱数为,由题意可得n-+20=2,解得n=12,则正二十面体的顶点的个数为12.
答案:12
探究点二 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
【典例2】(1)下列说法正确的是 ( )
A.各侧面都是正形的四棱柱一定是正体
B.有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台
C.多面体至少有5个面
D.六棱柱有6条侧棱,6个侧面,侧面均为平行四边形
【思维导引】根据多面体、棱柱和棱台的定义判断即可.
【解析】选D.对于A,各侧面都是正形的四棱柱,可以是底面为菱形的直棱柱,不一定是正体,故A错;对于B,有2个面平行,其余各面都是梯形,但若是各侧棱的延长线不能交于一点,则该几何体不是棱台,故B错;对于C,多面体是指四个或四个以上多边形所围成的立体图形,故C错;对于D,根据棱柱的定义可知六棱柱有6条侧棱,6个侧面,侧面均为平行四边形,故D正确.
(2)(一题多问)
根据下列对几何体结构特征的描述,解决下列问题.
①由八个面围成,其中两个面是互相平行且等的正六边形,其他各面都是矩形,对应的空间几何体是什么
②由五个面围成,其中一个面是正形,其他各面是有一个公共顶点的等三角形,对应的空间几何体是什么
③由五个面围成,其中上、下两个面是相似三角形,其余各面都是梯形,并且这些梯形的腰所在直线能相交于一点,对应的空间几何体是什么
④由四个平面围成的封闭图形,只能是什么空间几何体
【解析】①该几何体有两个面是互相平行且等的正六边形,其他各面都是矩形,满足棱柱的定义,故该几何体是六棱柱.
②该几何体的其中一个面是正形,其余各面都是三角形,并且这些三角形有一个公共顶点,因此该几何体是四棱锥.
③该几何体上、下两个面是相似三角形,其余各面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点,因此该几何体是三棱台.
④由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥.
【类题通法】
1.判断一个几何体是否为棱柱的三个关键
(1)有两个面互相平行.
(2)其余各面都是四边形.
(3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行.
2.判断一个几何体是否为棱锥的三个关键
(1)底面是多边形.
(2)侧面是三角形.
(3)侧面有公共顶点.
3.判断一个几何体是否为棱台的三个关键
(1)两底面相互平行且相似.
(2)各侧棱延长后交于一点.
(3)侧面是梯形.
【定向训练】
如图所示,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是 ( )
A.三棱锥 B.四棱锥
C.三棱柱 D.四棱柱
【解析】选B.余下部分是四棱锥A'-BCC'B'.
探究点三 多面体的展开图
【典例3】(1)画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可).
【思维导引】依题意画出即可.
【解析】(答案不唯一,合理即可)平面展开图如图所示:
(2)在以O为顶点的三棱锥中,过O的三条棱两两的交角都是30°,在一条侧棱上有A,B两点,OA=4,OB=3,以A,B为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦),求此绳在A,B之间的最短绳长.
【思维导引】先作出展开图,然后根据勾股定理求解即可.
【解析】作出三棱锥的平面展开图,如图,
A,B两点间的最短绳长就是线段AB的长度.OA=4,OB=3,∠AOB=90°,所以AB==5,即此绳在A,B之间的最短绳长为5.
【类题通法】
多面体展开图问题的解题策
(1)绘制展开图:绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其表面展开图.
(2)由展开图复原图形:若是给出多面体的表面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过逆推.同一个空间图形的表面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个表面展开图.
提醒:在解题的过中,需要明确两个点在几何体上所处的位置,再利用平面上两点间直线段最短,所以处理法就是将面切开平铺,利用平面图形的相关特征求得结果.
【定向训练】
如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小值.
【解析】将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,
如图所示,
线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.
因为∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,
所以∠AVA1=90°.
又VA=VA1=4,所以AA1=4.
所以△AEF周长的最小值为4.
课堂学业达标
1.下列棱锥有6个面的是 ( )
A.三棱锥 B.四棱锥
C.五棱锥 D.六棱锥
【解析】选C.由棱锥的结构特征可知,三棱锥有4个面,四棱锥有5个面,五棱锥有6个面,六棱锥有7个面.
2.如图所示的组合体的结构特征是 ( )
A.一个棱柱截去一个棱柱
B.一个棱柱截去一个圆柱
C.一个棱柱截去一个棱锥
D.一个棱柱截去一个棱台
【解析】选C.如题图,可看成是四棱柱截去一个角,即截去一个三棱锥后得到的几何体,故为一个棱柱截去一个棱锥所得.
3.有两个面平行的多面体不可能是 ( )
A.棱柱 B.棱锥
C.棱台 D.长体
【解析】选B.棱锥的任意两个面都相交,不可能有两个面平行,所以不可能是棱锥.
4.某同学制作了一个对面图案相同的正体礼品盒(如图),则这个正体礼品盒的表面展开图应该为 ( )
【解析】选A.两个☆不能并列相邻,B,D错误;两个※不能并列相邻,C错误;A正确.
5.四棱柱有 条侧棱, 个顶点.
【解析】四棱柱有4条侧棱,8个顶点.
答案:4 8
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课堂学业达标
第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
素养目标 思维导图
1.利用实物、计算机软件等观察空间图 形,认识柱、锥、台、球及简单组合体 的结构特征.(直观想象) 2.能运用这些特征描述现实生活中简单 物体的结构.(直观想象)
课前自主学习
问题1.如图为一素描作品,根据该作品思考下列问题.
(1)这些作品是根据哪些物体画出的
提示:这些作品是根据圆锥、球、长体等物体画出的.
(2)这些物体的表面均是由平面图形构成的吗
提示:不是.球的表面是由曲面构成的,圆锥的表面是由曲面和平面图形共同构成的.
(3)若要对该作品中的几何分类,可以分成几类
提示:可以分为两类:多面体、旋转体.
问题2.观察图中的长体,它的每个面是什么样的多边形 不同的面之间有什么位
置关系
提示:可以发现长体的每个面都是平行四边形(矩形),并且相对的两个面,如
面ABCD和面A'B'C'D',给我们以平行的形象,如同教室的地面和天花板.
问题3.观察下面的几何体,它们有什么共同特征
提示:(1)底面是平面多边形.(2)侧面都是三角形且它们有一个公共顶点.
问题4.观察如图所示的几何体,回答有关问题.
(1)用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面与底面的关系如何
提示:它们是相似的多边形.
(2)各棱AA',BB',CC',DD'延长后是否交于一点
提示:交于一点.
【核心概念】
1.多面体与旋转体的有关概念
类别 定义 图示
多 面 体 一般地,由若干个___________围成的 几何体叫做多面体.围成多面体的各个 _______叫做多面体的面;两个面的 _______叫做多面体的棱;_______的公 共点叫做多面体的顶点
平面多边形
多边形
公共边
棱与棱
类别 定义 图示
旋 转 体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面 内的___________旋转所形成的_____ 叫做旋转面,_____的旋转面围成的几何 体叫做旋转体.___________叫做旋转体 的轴
一条定直线
曲面
封闭
这条定直线
2.棱柱的有关概念
(1)定义:一般地,有两个面互相_____,其余各面都是_______,并且相邻两个_______
的公共边都互相_____,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
(2)有关概念:
①底面:_________________且是_____________;
②侧面:_________且都是___________;
③侧棱:_________________;
④顶点:_____________________.
平行
四边形
四边形
平行
两个互相平行的面
等的多边形
其余各面
平行四边形
相邻侧面的公共边
侧面与底面的公共顶点
3.棱锥的有关概念
定义 有一个面是_______,其余各面都是_______________的三角形,由这些 面所围成的多面体叫做棱锥 图形 及有 关概 念 底面:多边形面
侧面:有_________的各个三角形面
侧棱:相邻_____的公共边
顶点:各侧面的_________
分类 按底面多边形的边数分:三棱锥、四棱锥…… 多边形
有一个公共顶点
公共顶点
侧面
公共顶点
4.棱台的有关概念
定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间那部分 多面体 图形 及有 关概 念 上底面:_____
下底面:原棱锥的_____
侧面:除上、下底面以外的面
侧棱:相邻侧面的_______
顶点:侧面与上(下)底面的_________
分类 由几棱锥截得即为几棱台:如三棱台、四棱台…… 截面
底面
公共边
公共顶点
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探究点一 多面体与旋转体的概念
【典例1】(1)下列几何体是旋转体的是( )
A.五棱柱 B.六棱锥
C.八棱台 D.球
【思维导引】根据旋转体、多面体的定义,判断即可.
【解析】选D.根据一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体,判断球是旋转体;一般地,由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体,由此判断五棱柱、六棱锥、八棱台都是多面体.
√
(2)如果一个多面体的所有面都是等的正三角形或正多边形,每个顶点聚集的棱的条数都相等,这个多面体就叫做正多面体.如图几何体中,所有棱长均相等,同一表面的角都相等,则 是正多面体.(写出所有正确的序号)
【思维导引】由题意,逐个判别,可得答案.
【解析】对于①,该多面体由等的正三角形组成,且每个顶点聚集的棱有3条,符合题意;
对于②,该多面体由等的正四边形组成,且每个顶点聚集的棱有3条,符合题意;
对于③,该多面体由等的正三角形组成,但顶点聚集的棱有3条或4条,不符合题意;
对于④,该多面体由等的正五边形组成,且每个顶点聚集的棱有3条,符合题意.
答案:①②④
【类题通法】
理解多面体与旋转体的三个注意点
(1)构成多面体的各个面都是平面图形.
(2)构成旋转体的各面不是平面图形,有些面是曲面,也有的旋转体的表面没有平面图形,如球.
(3)不论是多面体还是旋转体,都是空间几何体,空间几何体是由实物抽象出来的图形,是由平面或曲面围成的空间部分.
【定向训练】
正多面体各个面都是等的正多边形,其中,面数最少的是正四面体,面数最多的是
正二十面体,它们被称为柏拉图多面体.正二十面体是由20个等边三角形所组成的
正多面体.已知多面体满足:顶点数-棱数+面数=2,则正二十面体的顶点的个数
为 .
【解析】由于正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体,所以面数为20,
并且每个顶点处有5条棱,设正二十面体共有n个顶点,则棱数为,由题意可得
n-+20=2,解得n=12,则正二十面体的顶点的个数为12.
答案:12
探究点二 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
【典例2】(1)下列说法正确的是( )
A.各侧面都是正形的四棱柱一定是正体
B.有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台
C.多面体至少有5个面
D.六棱柱有6条侧棱,6个侧面,侧面均为平行四边形
【思维导引】根据多面体、棱柱和棱台的定义判断即可.
√
【解析】选D.对于A,各侧面都是正形的四棱柱,可以是底面为菱形的直棱柱,不一定是正体,故A错;对于B,有2个面平行,其余各面都是梯形,但若是各侧棱的延长线不能交于一点,则该几何体不是棱台,故B错;对于C,多面体是指四个或四个以上多边形所围成的立体图形,故C错;对于D,根据棱柱的定义可知六棱柱有6条侧棱,6个侧面,侧面均为平行四边形,故D正确.
(2)(一题多问)
根据下列对几何体结构特征的描述,解决下列问题.
①由八个面围成,其中两个面是互相平行且等的正六边形,其他各面都是矩形,对应的空间几何体是什么
②由五个面围成,其中一个面是正形,其他各面是有一个公共顶点的等三角形,对应的空间几何体是什么
③由五个面围成,其中上、下两个面是相似三角形,其余各面都是梯形,并且这些梯形的腰所在直线能相交于一点,对应的空间几何体是什么
④由四个平面围成的封闭图形,只能是什么空间几何体
【解析】①该几何体有两个面是互相平行且等的正六边形,其他各面都是矩形,满足棱柱的定义,故该几何体是六棱柱.
②该几何体的其中一个面是正形,其余各面都是三角形,并且这些三角形有一个公共顶点,因此该几何体是四棱锥.
③该几何体上、下两个面是相似三角形,其余各面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点,因此该几何体是三棱台.
④由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥.
【类题通法】
1.判断一个几何体是否为棱柱的三个关键
(1)有两个面互相平行.
(2)其余各面都是四边形.
(3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行.
2.判断一个几何体是否为棱锥的三个关键
(1)底面是多边形.
(2)侧面是三角形.
(3)侧面有公共顶点.
3.判断一个几何体是否为棱台的三个关键
(1)两底面相互平行且相似.
(2)各侧棱延长后交于一点.
(3)侧面是梯形.
【定向训练】
如图所示,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是( )
A.三棱锥 B.四棱锥
C.三棱柱 D.四棱柱
【解析】选B.余下部分是四棱锥A'-BCC'B'.
√
探究点三 多面体的展开图
【典例3】(1)画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可).
【思维导引】依题意画出即可.
【解析】(答案不唯一,合理即可)平面展开图如图所示:
(2)在以O为顶点的三棱锥中,过O的三条棱两两的交角都是30°,在一条侧棱上有A,B两点,OA=4,OB=3,以A,B为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦),求此绳在A,B之间的最短绳长.
【思维导引】先作出展开图,然后根据勾股定理求解即可.
【解析】作出三棱锥的平面展开图,如图,
A,B两点间的最短绳长就是线段AB的长度.OA=4,OB=3,∠AOB=90°,
所以AB==5,即此绳在A,B之间的最短绳长为5.
【类题通法】
多面体展开图问题的解题策
(1)绘制展开图:绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其表面展开图.
(2)由展开图复原图形:若是给出多面体的表面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过逆推.同一个空间图形的表面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个表面展开图.
提醒:在解题的过中,需要明确两个点在几何体上所处的位置,再利用平面上两点间直线段最短,所以处理法就是将面切开平铺,利用平面图形的相关特征求得结果.
【定向训练】
如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,
过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小值.
【解析】将三棱锥沿侧棱VA剪开,
并将其侧面展开平铺在一个平面上,如图所示,
线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.
因为∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,
所以∠AVA1=90°.
又VA=VA1=4,所以AA1=4.
所以△AEF周长的最小值为4.
课堂学业达标
1.下列棱锥有6个面的是 ( )
A.三棱锥 B.四棱锥
C.五棱锥 D.六棱锥
【解析】选C.由棱锥的结构特征可知,三棱锥有4个面,四棱锥有5个面,五棱锥有6个面,六棱锥有7个面.
√
2.如图所示的组合体的结构特征是 ( )
A.一个棱柱截去一个棱柱
B.一个棱柱截去一个圆柱
C.一个棱柱截去一个棱锥
D.一个棱柱截去一个棱台
【解析】选C.如题图,可看成是四棱柱截去一个角,即截去一个三棱锥后得到的几何体,故为一个棱柱截去一个棱锥所得.
√
3.有两个面平行的多面体不可能是 ( )
A.棱柱 B.棱锥
C.棱台 D.长体
【解析】选B.棱锥的任意两个面都相交,不可能有两个面平行,所以不可能是棱锥.
√
4.某同学制作了一个对面图案相同的正体礼品盒(如图),则这个正体礼品盒的
表面展开图应该为 ( )
【解析】选A.两个 ☆ 不能并列相邻,B,D错误;两个 ※ 不能并列相邻,C错误;A正确.
√
5.四棱柱有 条侧棱, 个顶点.
【解析】四棱柱有4条侧棱,8个顶点.
答案:4 8第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
素养目标 思维导图
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形,认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征.(直观想象) 2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.(直观想象)
课前自主学习
问题1.观察下面的几何体,回答下列问题.
(1)它们的表面是由平面图形构成的吗
提示:不是,是由曲面和平面图形共同组成的.
(2)如何通过平面图形旋转而成
提示:①是由矩形绕其中一边所在直线旋转而成的.
②是由直角三角形绕其中一直角边所在直线旋转而成的.
③是由半圆绕直径所在直线旋转而成的.
(3)圆台是否可以由平面图形旋转得到 如果可以,由什么平面图形旋转得到 如何旋转
提示:可以,圆台是由以直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体.
问题2.观察下面的几何体,回答有关问题.
(1)组合体①②是由哪些简单几何体组合成的
提示:①是由一个三棱柱挖出一个圆柱组合而成的.
②是由一个圆台和两个圆柱组合而成的.
(2)通过观察你发现组合体①与组合体②的组合有何不同
提示:组合体①是由简单几何体挖出一个简单几何体组成的.
组合体②是由几个简单几何体拼接而成的.
【核心概念】
1.圆柱的结构特征
以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.
旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.
圆柱用表示它的轴的字母表示,即表示两底面圆心的字母表示,上图中的圆柱可记作圆柱O'O.
圆柱和棱柱统称为柱体.
2.圆锥的结构特征
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.
圆锥用表示它的轴SO表示,底面为☉O,SA为母线.另外,S叫做圆锥的顶点,OA(或OB)叫做底面☉O的半径.
棱锥与圆锥统称为锥体.
3.圆台的结构特征
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台.
圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面.与圆柱和圆锥一样,圆台也有轴、侧面、母线,如图所示,轴为OO',AA'为母线.
圆台用表示它的轴的字母表示,如图中的圆台可记作圆台OO'.
圆台与棱台统称为台体.
4.球
半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球面,球面所围成的旋转体叫做球体,简称球.
半圆的圆心叫做球的球心;连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径;连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径.
球常用表示球心的字母表示,如图中的球记作球O.
5.简单组合体
(1)概念:由简单几何体组合而成的几何体.
(2)两种基本形式:一种是由简单几何体拼接而成的,一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的.
课堂合作探究
探究点一 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
【典例1】(1)一个几何体,它的轴截面一定是圆面,则这个几何体是 ( )
A.圆柱 B.圆锥
C.圆台 D.球
【思维导引】根据各选项中旋转体的定义与性质逐项判断.
【解析】选D.对于A:圆柱的轴截面是矩形,故A不符合题意;对于B:由于圆锥的轴截面是一个等腰三角形,故B不符合题意;对于C,圆台轴截面是等腰梯形,故C不符合题意;对于D:用任意的平面去截球,得到的截面均为圆,故D符合题意.
(2)有下列命题:
①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;
②在圆台上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;
③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的.
其中正确的有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【思维导引】直接利用圆锥、圆台和圆柱母线的定义及性质判断①②③的结果.
【解析】选C.①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线,正确;
②在圆台上、下底面圆周上各取一点,两点的连线不一定是圆台的母线,错误;
③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的,正确.
【类题通法】
判断旋转体形状的关键
(1)判断旋转体类型的关键是轴的确定:看旋转体是由平面图形绕哪条直线旋转所得,同一个平面图形绕不同的轴旋转,所得的旋转体一般是不同的.
(2)处理旋转体识图问题时,要抓住圆柱和圆锥定义中的关键点:①矩形或直角三角形绕轴旋转形成,其特征是轴所在直线必须与底面垂直;②矩形或直角三角形旋转到任何位置时其形状不能发生变化.
【定向训练】
1.(多选)下列说法不正确的是 ( )
A.将正形旋转不可能形成圆柱
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线
【解析】选ABD.对于A,将正形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱,所以A错误;
对于B,当这两个平行截面与底面平行时正确,当这两个平行截面不与圆柱的底面平行时,夹在圆柱的两个平行截面间的几何体就不是旋转体,所以B错误;
对于C,圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台,所以,C正确;
对于D,通过圆台侧面上一点,只有一条母线,所以D错误.
2.下列四个命题中正确的是 ( )
A.正三棱锥的每个面都是正三角形
B.所有棱长都相等的四棱柱是正体
C.以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
D.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
【解析】选C.对于A,正三棱锥的底面为正三角形,侧面不一定都是正三角形,只需是等腰三角形,且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可,可得A错误;
对于B,底面是菱形的直四棱柱,其侧棱长与底面边长相等时,该四棱柱的所有棱长都相等,但不是正体,可得B错误;
对于C,以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱,可得C正确;
对于D,以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥,可得D错误.
探究点二 简单组合体的结构特征
【典例2】(1)如图所示的几何体是数学奥林匹克竞赛的奖杯,该几何体由 ( )
A.一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B.一个球、一个长体、一个棱台构成
C.一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D.一个球、一个五棱柱、一个棱台构成
【思维导引】根据组合体基本构成即可得答案.
【解析】选B.由题图可知,该几何体是由一个球、一个长体、一个棱台构成.
(2)若正五边形ABCDE的中心为O,以AO所在的直线为轴,其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体,则 ( )
A.该几何体为圆台
B.该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体
C.该几何体为圆柱
D.该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体
【思维导引】根据圆柱、圆锥、圆台的概念判断即可.
【解析】选B.由题意可知形成如图所示的几何体,该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体.
【类题通法】
判断组合体构成的法技巧
(1)熟练掌握简单几何体的结构特征:要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体.
(2)仔细观察组合体的构成:结合柱、锥、台、球的结构特征,先分割,后验证.
【定向训练】
1.指出图中三个空间几何体的构成.
【解析】题图①中的空间几何体是由一个圆锥和一个四棱柱组合而成的,其中上面是圆锥,下面是四棱柱.
题图②中的空间几何体是由一个圆锥内部挖去一个四棱柱而得到的,其中四棱柱内接于圆锥.
题图③中的空间几何体是由一个球内部挖去一个三棱锥而得到的,其中三棱锥内接于球.
2.已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰,如图.分别以AB,BC,CD,DA为轴旋转,试说明所得几何体的结构特征.
【解析】(1)以AB为轴旋转所得旋转体是圆台.如图①所示.
(2)以BC边为轴旋转所得的旋转体是一组合体:下部为圆柱,上部为圆锥.如图②所示.
(3)以CD边为轴旋转所得的旋转体为一组合体:上部为圆锥,下部为圆台,再挖去一个小圆锥.如图③所示.
(4)以AD边为轴旋转所得的旋转体为一组合体:一个圆柱上部挖去一个圆锥.如图④所示.
探究点三 旋转体的有关计算问题
【典例3】(一题多问)
已知旋转体的轴截面情况,解决下列问题.
(1)圆柱的轴截面是正形,它的面积为9,此圆柱的高与底面的周长是多少
(2)圆锥的轴截面是正三角形,它的面积是,此圆锥的底面半径、圆锥的高与母线的长是多少
(3)圆台的轴截面中,上、下底面边长分别为2 cm,10 cm,高为3 cm,此圆台母线的长是多少
(4)已知一个圆台的轴截面是下底为2且其余边长为1的等腰梯形,此圆台的高是多少
(5)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392 cm2,母线与轴的夹角是45°,此圆台的高、母线长和两底面半径是多少
【问题解读】(1)根据圆柱的轴截面是正形,设高为h,由轴截面的面积为9求解.
(2)根据圆锥的轴截面是正三角形,设母线的长为l,由轴截面的面积是求解.
(3)根据圆台的轴截面中,上、下底面边长分别为2 cm,10 cm,高为3 cm,由l=求解.
(4)由题可知该圆台的轴截面是上底长为1,下底长为2,腰长为1的等腰梯形,然后求出该等腰梯形的高即可;
(5)根据圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,设圆台上、下底面半径分别为x cm,3x cm,再根据母线与轴的夹角是45°,利用相似性求得轴截面的高,最后利用轴截面的面积等于392 cm2求解.
【解析】(1)因为圆柱的轴截面是正形,设高为h,底面半径为r.
因为轴截面的面积为9,所以h×h=9,解得h=3,则r==,
所以底面的周长为2πr=3π.
(2)设母线的长为l,半径为r,高为h.
因为圆锥的轴截面是正三角形,轴截面的面积是,所以l h=,即×l×l=,解得l=2,
所以该圆锥的底面半径为r==1,圆锥的高h=l=,母线的长为2.
(3)因为圆台的轴截面中,上、下底面边长分别为2 cm,10 cm,高为3 cm,
所以l==5 cm.
(4)如图,过A1作A1O⊥AB于O,由题意知,AA1=1,AO==,所以A1O===,所以圆台的高为.
(5)圆台的轴截面如图所示,设圆台上、下底面半径分别为x cm,3x cm.
延长AA1交OO1的延长线于S.
在Rt△SOA中,∠ASO=45°,∠SAO=45°,
所以SO=AO=3x,所以OO1=2x.
又S轴截面=(6x+2x)·2x=392,所以x=7.
则圆台的高OO1=14 cm,母线长l=OO1=14 cm,
两底面的半径分别为7 cm,21 cm.
【类题通法】
旋转体的轴截面及应用
(1)平行底面的截面:用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面等或相似).
(2)轴截面:结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形的性质,列相关几何量的(组)求解.
【定向训练】
1.若某圆锥的底面半径r=1,且底面的周长等于母线长,则该圆锥的高为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.设该圆锥的高为h,依题意有2πr=,则4π2r2=r2+h2,
解得h=r=.
2.已知球的半径为5,则球的一个大圆(经过球心的截面圆,叫球的一个大圆)的面积为 .
【解析】因为球的半径为5,则球的一个大圆的面积为π×25=25π.
答案:25π
3.一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求:
(1)圆台的高;
(2)截得此圆台的圆锥的母线长.
【解析】如图,将圆台恢复成圆锥后作其轴截面,设圆台的高为h cm,截得该圆台的圆锥的母线为x cm,由条件可得圆台上底半径r'=2 cm,下底半径r=5 cm.
(1)由勾股定理得h==3(cm).
(2)圆锥的母线长为x,由三角形相似得,=,解得x=20(cm).
课堂学业达标
1.下列叙述中正确的个数是 ( )
①圆柱的母线与高相等;
②圆锥的高小于母线;
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;
④用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.①②正确;③它们的底面为圆面,不正确;④用平行于圆锥底面的平面截圆锥,可以得到一个圆锥和一个圆台.综上知选C.
2.(2021·新高考I卷)已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )
A.2 B.2 C.4 D.4
【解析】选B.设母线长为l,则底面周长为2π,其侧面展开图弧长为πl,故πl=2π,所以l=2.
3.已知圆锥SO的母线长为5,底面直径为8,则圆锥SO的高h= .
【解析】因为圆锥的底面直径AB=8,所以圆锥的底面半径R=OA=4,又因为SA=5,
所以圆锥的高h=SO==3.
答案:3
4.下列命题中错误的是 .(填序号)
①过圆柱的旋转轴的截面是矩形;
②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等;
③圆台所有平行于底面的截面都是圆面;
④圆锥所有的轴截面都是等的等腰三角形.
【解析】对于①,根据圆柱的特征,可知①正确;对于②,圆锥的轴截面为等腰三角形,该三角形顶角的取值范围为(0,π),显然面积不相等,故②错误;对于③,根据圆台的特征,可知③正确;对于④,圆锥所有的轴截面都是等腰三角形,且腰长等于母线长,底长等于圆锥底面圆直径,故④正确.
答案:②
5.圆台的两底面面积分别为1,49,平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和,圆台的高被截面分成的两部分的比为 .
【解析】将圆台还原为圆锥,如图所示.O2,O1,O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心,V是圆锥的顶点,令VO2=h,O2O1=h1,O1O=h2,
则所以
即h1∶h2=2∶1.
故圆台的高被截面分成的两部分的比为2∶1.
答案:2∶1
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第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
素养目标 思维导图
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形, 认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构 特征.(直观想象) 2.能运用这些特征描述现实生活中简单物 体的结构.(直观想象)
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问题1.观察下面的几何体,回答下列问题.
(1)它们的表面是由平面图形构成的吗
提示:不是,是由曲面和平面图形共同组成的.
(2)如何通过平面图形旋转而成
提示:①是由矩形绕其中一边所在直线旋转而成的.
②是由直角三角形绕其中一直角边所在直线旋转而成的.
③是由半圆绕直径所在直线旋转而成的.
(3)圆台是否可以由平面图形旋转得到 如果可以,由什么平面图形旋转得到 如何旋转
提示:可以,圆台是由以直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体.
问题2.观察下面的几何体,回答有关问题.
(1)组合体①②是由哪些简单几何体组合成的
提示:①是由一个三棱柱挖出一个圆柱组合而成的.
②是由一个圆台和两个圆柱组合而成的.
(2)通过观察你发现组合体①与组合体②的组合有何不同
提示:组合体①是由简单几何体挖出一个简单几何体组成的.
组合体②是由几个简单几何体拼接而成的.
【核心概念】
1.圆柱的结构特征
以_____的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体
叫做圆柱.
旋转轴叫做圆柱的___;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的_____;平行于轴
的边旋转而成的曲面叫做圆柱的_____;无论旋转到什么位置,_____于轴的边都叫
做圆柱侧面的_____.
圆柱用表示它的轴的字母表示,即表示两底面_____的字母
表示,上图中的圆柱可记作圆柱_____.
_____和_____统称为柱体.
矩形
轴
底面
侧面
平行
母线
圆心
O'O
圆柱
棱柱
2.圆锥的结构特征
以_____三角形的一条_______所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所
围成的旋转体叫做圆锥.
圆锥用表示它的轴____表示,底面为_____,SA为母线.
另外,S叫做圆锥的_____,OA(或OB)叫做底面☉O的_____.
_____与_____统称为锥体.
直角
直角边
SO
☉O
顶点
半径
棱锥
圆锥
3.圆台的结构特征
用平行于_____底面的平面去截圆锥,_____与_____之间的部分叫做圆台.
圆锥的底面和截面分别叫做圆台的___底面和___底面.与圆柱和圆锥一样,圆台也
有轴、_____、母线,如图所示,轴为_____,AA'为母线.
圆台用表示它的轴的_____表示,如图中的圆台可记作圆台_____.
_____与_____统称为台体.
圆锥
底面
截面
下
上
侧面
OO'
字母
OO'
圆台
棱台
4.球
半圆以它的_____所在直线为旋转轴,旋转_____形成的曲面叫做_____,球面所围成
的旋转体叫做球体,简称球.
半圆的_____叫做球的球心;连接_____和球面上任意一点的
线段叫做球的半径;连接球面上两点并且经过球心的线段
叫做球的直径.
球常用表示_____的字母表示,如图中的球记作球___.
直径
一周
球面
圆心
球心
球心
O
5.简单组合体
(1)概念:_____________________________.
(2)两种基本形式:一种是由简单几何体_____而成的,一种是由简单几何体
___________一部分而成的.
由简单几何体组合而成的几何体
拼接
截去或挖去
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探究点一 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
【典例1】(1)一个几何体,它的轴截面一定是圆面,则这个几何体是( )
A.圆柱 B.圆锥
C.圆台 D.球
【思维导引】根据各选项中旋转体的定义与性质逐项判断.
【解析】选D.对于A:圆柱的轴截面是矩形,故A不符合题意;对于B:由于圆锥的轴截面是一个等腰三角形,故B不符合题意;对于C,圆台轴截面是等腰梯形,故C不符合题意;对于D:用任意的平面去截球,得到的截面均为圆,故D符合题意.
√
(2)有下列命题:
①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;
②在圆台上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;
③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的.
其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【思维导引】直接利用圆锥、圆台和圆柱母线的定义及性质判断①②③的结果.
【解析】选C.①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线,正确;
②在圆台上、下底面圆周上各取一点,两点的连线不一定是圆台的母线,错误;
③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的,正确.
√
【类题通法】
判断旋转体形状的关键
(1)判断旋转体类型的关键是轴的确定:看旋转体是由平面图形绕哪条直线旋转所得,同一个平面图形绕不同的轴旋转,所得的旋转体一般是不同的.
(2)处理旋转体识图问题时,要抓住圆柱和圆锥定义中的关键点:①矩形或直角三角形绕轴旋转形成,其特征是轴所在直线必须与底面垂直;②矩形或直角三角形旋转到任何位置时其形状不能发生变化.
【定向训练】
1.(多选)下列说法不正确的是( )
A.将正形旋转不可能形成圆柱
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线
【解析】选ABD.对于A,将正形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱,所以A错误;
对于B,当这两个平行截面与底面平行时正确,当这两个平行截面不与圆柱的底面平行时,夹在圆柱的两个平行截面间的几何体就不是旋转体,所以B错误;
对于C,圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台,所以,C正确;
对于D,通过圆台侧面上一点,只有一条母线,所以D错误.
√
√
√
2.下列四个命题中正确的是 ( )
A.正三棱锥的每个面都是正三角形
B.所有棱长都相等的四棱柱是正体
C.以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
D.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
√
【解析】选C.对于A,正三棱锥的底面为正三角形,侧面不一定都是正三角形,只需是等腰三角形,且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可,可得A错误;
对于B,底面是菱形的直四棱柱,其侧棱长与底面边长相等时,该四棱柱的所有棱长都相等,但不是正体,可得B错误;
对于C,以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱,可得C正确;
对于D,以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥,可得D错误.
探究点二 简单组合体的结构特征
【典例2】(1)如图所示的几何体是数学奥林匹克竞赛的奖杯,该几何体由( )
A.一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B.一个球、一个长体、一个棱台构成
C.一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D.一个球、一个五棱柱、一个棱台构成
【思维导引】根据组合体基本构成即可得答案.
【解析】选B.由题图可知,该几何体是由一个球、一个长体、一个棱台构成.
√
(2)若正五边形ABCDE的中心为O,以AO所在的直线为轴,其余五边旋转半周形成的
面围成一个几何体,则 ( )
A.该几何体为圆台
B.该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体
C.该几何体为圆柱
D.该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体
【思维导引】根据圆柱、圆锥、圆台的概念判断即可.
【解析】选B.由题意可知形成如图所示的几何体,
该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体.
√
【类题通法】
判断组合体构成的法技巧
(1)熟练掌握简单几何体的结构特征:要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体.
(2)仔细观察组合体的构成:结合柱、锥、台、球的结构特征,先分割,后验证.
【定向训练】
1.指出图中三个空间几何体的构成.
【解析】题图①中的空间几何体是由一个圆锥和一个四棱柱组合而成的,其中上面是圆锥,下面是四棱柱.
题图②中的空间几何体是由一个圆锥内部挖去一个四棱柱而得到的,其中四棱柱内接于圆锥.
题图③中的空间几何体是由一个球内部挖去一个三棱锥而得到的,其中三棱锥内接于球.
2.已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰,如图.分别以AB,BC,CD,DA为轴旋转,试说明所得几何体的结构特征.
【解析】(1)以AB为轴旋转所得旋转体是圆台.如图①所示.
(2)以BC边为轴旋转所得的旋转体是一组合体:下部为圆柱,上部为圆锥.
如图②所示.
(3)以CD边为轴旋转所得的旋转体为一组合体:上部为圆锥,下部为圆台,再挖去一个小圆锥.如图③所示.
(4)以AD边为轴旋转所得的旋转体为一组合体:一个圆柱上部挖去一个圆锥.如图④所示.
探究点三 旋转体的有关计算问题
【典例3】(一题多问)
已知旋转体的轴截面情况,解决下列问题.
(1)圆柱的轴截面是正形,它的面积为9,此圆柱的高与底面的周长是多少
(2)圆锥的轴截面是正三角形,它的面积是,此圆锥的底面半径、圆锥的高与母线的长是多少
(3)圆台的轴截面中,上、下底面边长分别为2 cm,10 cm,高为3 cm,此圆台母线的长是多少
(4)已知一个圆台的轴截面是下底为2且其余边长为1的等腰梯形,此圆台的高是多少
(5)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392 cm2,母线与轴的夹角是45°,此圆台的高、母线长和两底面半径是多少
【问题解读】(1)根据圆柱的轴截面是正形,设高为h,由轴截面的面积为9求解.
(2)根据圆锥的轴截面是正三角形,设母线的长为l,由轴截面的面积是求解.
(3)根据圆台的轴截面中,上、下底面边长分别为2 cm,10 cm,高为3 cm,
由l=求解.
(4)由题可知该圆台的轴截面是上底长为1,下底长为2,腰长为1的等腰梯形,然后求出该等腰梯形的高即可;
(5)根据圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,设圆台上、下底面半径分别为x cm,3x cm,再根据母线与轴的夹角是45°,利用相似性求得轴截面的高,最后利用轴截面的面积等于392 cm2求解.
【解析】(1)因为圆柱的轴截面是正形,设高为h,底面半径为r.
因为轴截面的面积为9,所以h×h=9,解得h=3,则r==,
所以底面的周长为2πr=3π.
(2)设母线的长为l,半径为r,高为h.
因为圆锥的轴截面是正三角形,轴截面的面积是,所以l h=,即×l×l=,
解得l=2,所以该圆锥的底面半径为r==1,圆锥的高h=l=,母线的长为2.
(3)因为圆台的轴截面中,上、下底面边长分别为2 cm,10 cm,高为3 cm,
所以l==5 cm.
(4)如图,过A1作A1O⊥AB于O,由题意知,AA1=1,AO==,
所以A1O===,所以圆台的高为.
(5)圆台的轴截面如图所示,设圆台上、下底面半径分别为x cm,3x cm.
延长AA1交OO1的延长线于S.
在Rt△SOA中,∠ASO=45°,∠SAO=45°,
所以SO=AO=3x,所以OO1=2x.
又S轴截面=(6x+2x)·2x=392,所以x=7.
则圆台的高OO1=14 cm,母线长l=OO1=14 cm,
两底面的半径分别为7 cm,21 cm.
【类题通法】
旋转体的轴截面及应用
(1)平行底面的截面:用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面等或相似).
(2)轴截面:结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形的性质,列相关几何量的(组)求解.
【定向训练】
1.若某圆锥的底面半径r=1,且底面的周长等于母线长,则该圆锥的高为( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.设该圆锥的高为h,依题意有2πr=,则4π2r2=r2+h2,
解得h=r=.
√
2.已知球的半径为5,则球的一个大圆(经过球心的截面圆,叫球的一个大圆)的面积
为 .
【解析】因为球的半径为5,则球的一个大圆的面积为π×25=25π.
答案:25π
3.一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求:
(1)圆台的高;
(2)截得此圆台的圆锥的母线长.
【解析】如图,将圆台恢复成圆锥后作其轴截面,设圆台的高为h cm,截得该圆台的圆锥的母线为x cm,由条件可得圆台上底半径r'=2 cm,下底半径r=5 cm.
(1)由勾股定理得h==3(cm).
(2)圆锥的母线长为x,由三角形相似得,=,解得x=20(cm).
课堂学业达标
1.下列叙述中正确的个数是 ( )
①圆柱的母线与高相等;
②圆锥的高小于母线;
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;
④用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.①②正确;③它们的底面为圆面,不正确;④用平行于圆锥底面的平面截圆锥,可以得到一个圆锥和一个圆台.综上知选C.
√
2.(2021·新高考I卷)已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )
A.2 B.2 C.4 D.4
【解析】选B.设母线长为l,则底面周长为2π,其侧面展开图弧长为πl,故πl=2π,所以l=2.
√
3.已知圆锥SO的母线长为5,底面直径为8,则圆锥SO的高h= .
【解析】因为圆锥的底面直径AB=8,所以圆锥的底面半径R=OA=4,又因为SA=5,
所以圆锥的高h=SO==3.
答案:3
4.下列命题中错误的是 .(填序号)
①过圆柱的旋转轴的截面是矩形;
②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等;
③圆台所有平行于底面的截面都是圆面;
④圆锥所有的轴截面都是等的等腰三角形.
【解析】对于①,根据圆柱的特征,可知①正确;对于②,圆锥的轴截面为等腰三角形,该三角形顶角的取值范围为(0,π),显然面积不相等,故②错误;对于③,根据圆台的特征,可知③正确;对于④,圆锥所有的轴截面都是等腰三角形,且腰长等于母线长,底长等于圆锥底面圆直径,故④正确.
答案:②
5.圆台的两底面面积分别为1,49,平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之
和,圆台的高被截面分成的两部分的比为 .
【解析】将圆台还原为圆锥,如图所示.O2,O1,O分别是圆台上底面、截面和下底面
的圆心,V是圆锥的顶点,令VO2=h,O2O1=h1,O1O=h2,
则所以
即h1∶h2=2∶1.
故圆台的高被截面分成的两部分的比为2∶1.
答案:2∶1
