8.2 立体图形的直观图
素养目标 思维导图
能用斜二测画法画出简单空间图形(长体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.(直观想象)
课前自主学习
问题1.观察下面的图形,回答有关问题.
(1)从图1到图2,图形中的角发生了怎样的变化
提示:由直角变成锐角或钝角.
(2)从图1到图2,从图形中的位置关系和数量关系上观察你能发现什么
提示:从位置关系看:题图1中平行的直线,在题图2中保持平行.
从数量关系看:与y轴重合或平行的线段数量关系减半;与x轴重合或平行的线段数量关系不变.
问题2.观察正四棱锥P-ABCD的直观图,回答下面的问题:
(1)在画上述正四棱锥的直观图时,与z轴重合或平行的线段在直观图中有何变化
提示:与z轴重合或平行的线段在直观图中与z'轴重合或平行且长度不变.
(2)空间几何体的直观图一定唯一吗 为什么
提示:不一定,作直观图时,由于观察的角度不同及建系法差异,所画直观图不一定相同.
【核心概念】
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.
(2)在已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.
(3)在已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度变为原来的一半.
2.画空间几何体的直观图的步骤
(1)在几何体中取水平平面,作互相垂直的轴Ox,Oy,再作Oz轴,使∠xOy=90°,∠xOz=90°.
(2)画出与Ox,Oy,Oz对应的轴O'x',O'y',O'z',使∠x'O'y'=45°(或135°),∠x'O'z'=90°,x'O'y'所确定的平面表示水平平面.
(3)在几何体中,平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段,并使它们和所画坐标轴的位置关系,与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.
(4)在几何体中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半.
(5)擦除作为辅助线的坐标轴,就得到了空间几何体的直观图.
课堂合作探究
探究点一 画平面图形的直观图
【典例1】(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论正确的是 ( )
A.正形的直观图是正形
B.矩形的直观图是矩形
C.菱形的直观图是菱形
D.平行四边形的直观图是平行四边形
【思维导引】根据平面图形的直观图的画法规则,逐项判断,即可求解.
【解析】选D.根据斜二测画法的规则可知,平行于坐标轴的直线平行性不变,平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段长度减半.
对于A,正形的直角,在直观图中变为45°或135°,不是正形,所以A错误;
对于B,矩形的直角,在直观图中变为45°或135°,不是矩形,所以B错误;
对于C,菱形的对角线互相垂直平分,在直观图中对角线的夹角变为45°,所以菱形的直观图不是菱形,所以C错误;
对于D,根据平行线不变,可知平行四边形的直观图还是平行四边形,所以D正确.
(2)已知五边形ABCDE,如图,试画出其直观图.
【思维导引】利用斜二测画法可作出正五边形ABCDE的直观图.
【解析】画法:
①在图(1)中作AG⊥x轴于点G,作DH⊥x轴于点H;
②在图(2)中画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°;
③在图(2)中的x'轴上取O'B'=OB,O'G'=OG,O'C'=OC,O'H'=OH,y'轴上取O'E'=OE,分别过G'和H'作y'轴的平行线,并在相应的平行线上取A'G'=AG,D'H'=DH.
④连接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去辅助线G'A',H'D',x'轴与y'轴,
便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图(3)).
【类题通法】
直观图中应遵循的基本原则
(1)一斜:原图中坐标轴的夹角∠xOy=90°,直观图中坐标轴的夹角为∠x'O'y'=45°(或135°).
(2)二测:平行于x轴的线段在直观图中长度保持不变,平行于y轴的线段长度变为原来的.
【定向训练】
1.如图有一个直角梯形OABC,则它的水平放置的直观图是 ( )
【解析】选A.作出直角梯形OABC的直观图如图所示:A满足要求.
2.若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如图的一个正形,则原来图形是 ( )
【解析】选A.由斜二测画法知:与x轴平行或重合的线段长度不变,平行关系不变,
与y轴平行或重合的线段长度减半,平行关系不变.
探究点二 空间图形直观图的画法
【典例2】画出下列图形的直观图:
(1)长、宽、高分别是8 cm,6 cm,3 cm的长体ABCD-A'B'C'D';
(2)底面半径为2 cm,高为4 cm的圆锥.
【思维导引】由斜二测画法的规则画出直观图即可.
【解析】(图已适当缩小)(1)根据斜二测画法的规则可知,底面矩形的直观图为平行四边形.
①画出水平放置的长、宽分别是8 cm,6 cm的矩形ABCD的直观图.
②作Az垂直于AB,在Az上截取AA'=3 cm.
分别过点B,C,D作BB'∥AA',CC'∥AA',DD'∥AA',
且BB'=CC'=DD'=AA'=3 cm.
③连接A'B',B'C',C'D',D'A',并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,即得长体的直观图,如图2所示.
(2)如图所示,按如下步骤完成:
第一步:作水平放置的圆的直观图☉O',使A'B'=4 cm,D'C'=2 cm.
第二步:过O'作z'轴,使∠x'O'z'=90°,在z'上取点V',使O'V'=4 cm,连接A'V',B'V'.
第三步:去掉图中的辅助线,就得到所求圆锥的直观图.
【类题通法】
简单几何体直观图的画法规则
(1)画轴:通常以高所在直线为z轴建系.
(2)画底面:根据平面图形的直观图画法确定底面.
(3)确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.
(4)连线成图.
【定向训练】
用斜二测画法画出底面为正形的四棱台的直观图,其中上、下底面边长分别为2,3,高为2.
【思维导引】先根据斜二测画法的规则,画出棱台的上、下底面,再在z轴上取一点O',使OO'=2,进而画出正四棱台的直观图.
【解析】(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画下底面.如图①,以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=3;在y轴上取线段PQ,使PQ=1.5.分别过点M和点N作y轴的平行线,分别过点P和点Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则面ABCD即为四棱台的下底面.
(3)画上底面.在z轴上取一点O',使OO'=2,过点O'分别作O'x'∥Ox,O'y'∥Oy,在平面x'O'y'内以O'为中心画水平放置的边长为2的正形的直观图A'B'C'D'.
(4)连线.被遮挡的线画成虚线,擦去辅助线并整理,就得到四棱台的直观图(如图②).
探究点三 直观图的还原与计算
【典例3】(1)用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示,边AB平行于y轴,BC,AD平行于x轴,若四边形ABCD为等腰梯形,且AB=BC=1 cm,则原四边形的周长为 cm. ( )
A.3++ B.3++
C.4++ D.4++
【思维导引】根据斜二测画法,结合题中条件求出各边边长,即可求出结果.
【解析】选D.记四边形ABCD所对应的原四边形为四边形A1B1C1D1,
由题意可得,原四边形中A1B1⊥A1D1,B1C1,A1D1都与x轴平行,即原四边形是直角梯形,
因为AB=BC=1 cm,四边形ABCD为等腰梯形,
所以AD=ABcos 45°+BC+CDcos 45°=(1+)cm,
所以A1B1=2 cm,B1C1=1 cm,A1D1=(1+)cm,
因此C1D1== cm,
所以原四边形的周长为A1B1+B1C1+C1D1+A1D1=(4++)cm.
(2)如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O'A'B'C',且O'A'∥B'C',
O'A'=2B'C'=4,A'B'=2,则该平面图形的高为 ( )
A.2 B.2 C.4 D.
【思维导引】根据给定条件,求出O'C',再作出水平放置的原平面图形即可求解.
【解析】选C.在直角梯形O'A'B'C'中,O'A'∥B'C',O'A'=2B'C'=4,A'B'=2,则O'C'==2,直角梯形O'A'B'C'对应的原平面图形为如图中的直角梯形OABC,BC∥OA,OC⊥OA,OA=2BC=4,OC=2O'C'=4,所以该平面图形的高为4.
【类题通法】
由直观图还原平面图形的思路技巧
(1)注意直观图中的“变”与“不变”.在用平面图形表示其直观图时,
“不变”的有:①平行关系不变;②点的共线性不变;③线的共点性不变.
“变”的有:①角的大小有变化;②垂直关系有变化;③某些线段的长度有变化.
(2)注意逆向运用斜二测画法规则:“水平长不变,垂直长增倍”.
【定向训练】
1.如图所示,一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图是平行四边形O'A'B'C',且O'C'=2O'A'=2,∠A'O'C'=45°,则平面图形OABC的周长为 ( )
A.12 B.4 C.5 D.10
【解析】选D.根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形,如图所示,
且长AB=4,宽OA=1.故该平面图形的周长为2(OA+AB)=10.
2.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O',若O'B'=1,那么原△ABO的面积是 ( )
A. B. C. D.2
【解析】选C.根据斜二测画法的原理可得△ABO是直角三角形,两直角边BO=O'B'=1,AO=2A'O'=2,故原△ABO的面积是×2×1=.
课堂学业达标
1.梯形的直观图是 ( )
A.梯形 B.矩形
C.三角形 D.任意四边形
【解析】选A.直观图的画法不改变平行关系,也不改变平行于横向的线段长度,故梯形的直观图仍是梯形.
2.下列关于直观图的说法不正确的是 ( )
A.原图形中平行于y轴的线段,对应线段平行于直观图中y'轴,长度不变
B.原图形中平行于x轴的线段,对应线段平行于直观图中x'轴,长度不变
C.画与直角坐标系xOy对应的x'O'y'时,∠x'O'y'可以画成135°
D.在画直观图时,由于选轴的不同所画直观图可能不同
【解析】选A.平行于y轴的线段,直观图中长度变为原来的一半,故A错.
3.下面关于利用斜二测画法得到直观图的叙述正确的是 ( )
A.正三角形的直观图是正三角形
B.平行四边形的直观图是平行四边形
C.矩形的直观图是矩形
D.圆的直观图是圆
【解析】选B.直观图改变了原图中角的大小及图形的形状,所以A,C,D都不正确.
4.如图所示是水平放置的三角形的直观图,AB=BC=2,AB,BC分别与y'轴、x'轴平行,则△ABC在原图中对应三角形的面积为 .
【解析】因为三角形的直观图中AB=BC=2,AB,BC分别与y'轴、x'轴平行,
则原图如下所示:
所以原图中BC=2,AB=4,所以S△ABC=AB·BC=×4×2=4.
答案:4
5.在已知图形中平行于x轴的线段AB=6 cm,则在直观图中线段A'B'= cm;在已知图形中平行于y轴的线段CD=4 cm,则在直观图中线段C'D'= cm.
【解析】由于平行于x轴的线段在直观图中保持原长度不变,则A'B'=AB=6 cm;
由于平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半,则C'D'=CD=2 cm.
答案:6 2
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8.2 立体图形的直观图
素养目标 思维导图
能用斜二测画法画出简单空间图形(长 体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简 单组合)的直观图.(直观想象)
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问题1.观察下面的图形,回答有关问题.
(1)从图1到图2,图形中的角发生了怎样的变化
提示:由直角变成锐角或钝角.
(2)从图1到图2,从图形中的位置关系和数量关系上观察你能发现什么
提示:从位置关系看:题图1中平行的直线,在题图2中保持平行.
从数量关系看:与y轴重合或平行的线段数量关系减半;与x轴重合或平行的线段数量关系不变.
问题2.观察正四棱锥P-ABCD的直观图,回答下面的问题:
(1)在画上述正四棱锥的直观图时,与z轴重合或平行的线段在直观图中有何变化
提示:与z轴重合或平行的线段在直观图中与z'轴重合或平行且长度不变.
(2)空间几何体的直观图一定唯一吗 为什么
提示:不一定,作直观图时,由于观察的角度不同及建系法差异,所画直观图不一定相同.
【核心概念】
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)在已知图形中取互相_____的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画
成对应的x'轴与y'轴,两轴交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表
示水平面.
(2)在已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成_____于x'轴或y'轴
的线段.
(3)在已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度_____,平行于y轴的线
段,长度变为原来的_____.
垂直
平行
不变
一半
2.画空间几何体的直观图的步骤
(1)在几何体中取水平平面,作互相垂直的轴Ox,Oy,再作Oz轴,使∠xOy=90°,∠xOz=90°.
(2)画出与Ox,Oy,Oz对应的轴O'x',O'y',O'z',使∠x'O'y'=45°(或135°),∠x'O'z'=90°,x'O'y'所确
定的平面表示水平平面.
(3)在几何体中,平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成_____于x'轴、y'轴或z'
轴的线段,并使它们和所画坐标轴的位置关系,与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置
关系相同.
(4)在几何体中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度_____,平行于y轴的线段,长
度为原来的_____.
(5)擦除作为辅助线的坐标轴,就得到了空间几何体的直观图.
平行
不变
一半
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探究点一 画平面图形的直观图
【典例1】(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论正确的是
( )
A.正形的直观图是正形
B.矩形的直观图是矩形
C.菱形的直观图是菱形
D.平行四边形的直观图是平行四边形
【思维导引】根据平面图形的直观图的画法规则,逐项判断,即可求解.
√
【解析】选D.根据斜二测画法的规则可知,平行于坐标轴的直线平行性不变,平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段长度减半.
对于A,正形的直角,在直观图中变为45°或135°,不是正形,所以A错误;
对于B,矩形的直角,在直观图中变为45°或135°,不是矩形,所以B错误;
对于C,菱形的对角线互相垂直平分,在直观图中对角线的夹角变为45°,所以菱形的直观图不是菱形,所以C错误;
对于D,根据平行线不变,可知平行四边形的直观图还是平行四边形,所以D正确.
(2)已知五边形ABCDE,如图,试画出其直观图.
【思维导引】利用斜二测画法可作出正五边形ABCDE的直观图.
【解析】画法:
①在图(1)中作AG⊥x轴于点G,作DH⊥x轴于点H;
②在图(2)中画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°;
③在图(2)中的x'轴上取O'B'=OB,O'G'=OG,O'C'=OC,O'H'=OH,y'轴上取O'E'=OE,
分别过G'和H'作y'轴的平行线,并在相应的平行线上取A'G'=AG,D'H'=DH.
④连接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去辅助线G'A',H'D',x'轴与y'轴,
便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图(3)).
【类题通法】
直观图中应遵循的基本原则
(1)一斜:原图中坐标轴的夹角∠xOy=90°,直观图中坐标轴的夹角为∠x'O'y'=45°(或135°).
(2)二测:平行于x轴的线段在直观图中长度保持不变,平行于y轴的线段长度变为原来的.
【定向训练】
1.如图有一个直角梯形OABC,则它的水平放置的直观图是( )
【解析】选A.作出直角梯形OABC的直观图如图所示:A满足要求.
√
2.若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如图的一个正形,则原来图形是
( )
【解析】选A.由斜二测画法知:与x轴平行或重合的线段长度不变,平行关系不变,
与y轴平行或重合的线段长度减半,平行关系不变.
√
探究点二 空间图形直观图的画法
【典例2】画出下列图形的直观图:
(1)长、宽、高分别是8 cm,6 cm,3 cm的长体ABCD-A'B'C'D';
(2)底面半径为2 cm,高为4 cm的圆锥.
【思维导引】由斜二测画法的规则画出直观图即可.
【解析】(图已适当缩小)(1)根据斜二测画法的规则可知,底面矩形的直观图为平行四边形.
①画出水平放置的长、宽分别是8 cm,6 cm的矩形ABCD的直观图.
②作Az垂直于AB,在Az上截取AA'=3 cm.
分别过点B,C,D作BB'∥AA',CC'∥AA',DD'∥AA',
且BB'=CC'=DD'=AA'=3 cm.
③连接A'B',B'C',C'D',D'A',并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,即得长体的直观图,如图2所示.
(2)如图所示,按如下步骤完成:
第一步:作水平放置的圆的直观图☉O',使A'B'=4 cm,D'C'=2 cm.
第二步:过O'作z'轴,使∠x'O'z'=90°,在z'上取点V',使O'V'=4 cm,连接A'V',B'V'.
第三步:去掉图中的辅助线,就得到所求圆锥的直观图.
【类题通法】
简单几何体直观图的画法规则
(1)画轴:通常以高所在直线为z轴建系.
(2)画底面:根据平面图形的直观图画法确定底面.
(3)确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.
(4)连线成图.
【定向训练】
用斜二测画法画出底面为正形的四棱台的直观图,其中上、下底面边长分别为
2,3,高为2.
【思维导引】先根据斜二测画法的规则,画出棱台的上、下底面,再在z轴上取一点
O',使OO'=2,进而画出正四棱台的直观图.
【解析】(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画下底面.如图①,以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=3;在y轴上取线段PQ,使
PQ=1.5.分别过点M和点N作y轴的平行线,分别过点P和点Q作x轴的平行线,设它们
的交点分别为A,B,C,D,则面ABCD即为四棱台的下底面.
(3)画上底面.在z轴上取一点O',使OO'=2,过点O'分别作O'x'∥Ox,O'y'∥Oy,在平面x'O'y'内以O'为中心画水平放置的边长为2的正形的直观图A'B'C'D'.
(4)连线.被遮挡的线画成虚线,擦去辅助线并整理,就得到四棱台的直观图(如图②).
探究点三 直观图的还原与计算
【典例3】(1)用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示,边AB平行于y
轴,BC,AD平行于x轴,若四边形ABCD为等腰梯形,且AB=BC=1 cm,则原四边形的周
长为 cm.( )
A.3++ B.3++
C.4++ D.4++
√
【思维导引】根据斜二测画法,结合题中条件求出各边边长,即可求出结果.
【解析】选D.记四边形ABCD所对应的原四边形为四边形A1B1C1D1,
由题意可得,原四边形中A1B1⊥A1D1,B1C1,A1D1都与x轴平行,即原四边形是直角梯形,
因为AB=BC=1 cm,四边形ABCD为等腰梯形,
所以AD=ABcos 45°+BC+CDcos 45°=(1+)cm,
所以A1B1=2 cm,B1C1=1 cm,A1D1=(1+)cm,
因此C1D1== cm,
所以原四边形的周长为A1B1+B1C1+C1D1+A1D1=(4++)cm.
(2)如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O'A'B'C',
且O'A'∥B'C',O'A'=2B'C'=4,A'B'=2,则该平面图形的高为( )
A.2 B.2 C.4 D.
【思维导引】根据给定条件,求出O'C',再作出水平放置的原平面图形即可求解.
√
【解析】选C.在直角梯形O'A'B'C'中,O'A'∥B'C',O'A'=2B'C'=4,A'B'=2,
则O'C'==2,直角梯形O'A'B'C'对应的原平面图形为如图中的直角梯
形OABC,BC∥OA,OC⊥OA,OA=2BC=4,OC=2O'C'=4,
所以该平面图形的高为4.
【类题通法】
由直观图还原平面图形的思路技巧
(1)注意直观图中的“变”与“不变”.在用平面图形表示其直观图时,
“不变”的有:①平行关系不变;②点的共线性不变;③线的共点性不变.
“变”的有:①角的大小有变化;②垂直关系有变化;③某些线段的长度有变化.
(2)注意逆向运用斜二测画法规则:“水平长不变,垂直长增倍”.
【定向训练】
1.如图所示,一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图是平行四边形O'A'B'C',
且O'C'=2O'A'=2,∠A'O'C'=45°,则平面图形OABC的周长为( )
A.12 B.4
C.5 D.10
【解析】选D.根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形,如图所示,
且长AB=4,宽OA=1.故该平面图形的周长为2(OA+AB)=10.
√
2.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O',若O'B'=1,那么
原△ABO的面积是 ( )
A. B.
C. D.2
【解析】选C.根据斜二测画法的原理可得△ABO是直角三角形,
两直角边BO=O'B'=1,AO=2A'O'=2,故原△ABO的面积是×2×1=.
√
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1.梯形的直观图是 ( )
A.梯形 B.矩形
C.三角形 D.任意四边形
【解析】选A.直观图的画法不改变平行关系,也不改变平行于横向的线段长度,故梯形的直观图仍是梯形.
√
2.下列关于直观图的说法不正确的是 ( )
A.原图形中平行于y轴的线段,对应线段平行于直观图中y'轴,长度不变
B.原图形中平行于x轴的线段,对应线段平行于直观图中x'轴,长度不变
C.画与直角坐标系xOy对应的x'O'y'时,∠x'O'y'可以画成135°
D.在画直观图时,由于选轴的不同所画直观图可能不同
【解析】选A.平行于y轴的线段,直观图中长度变为原来的一半,故A错.
√
3.下面关于利用斜二测画法得到直观图的叙述正确的是 ( )
A.正三角形的直观图是正三角形
B.平行四边形的直观图是平行四边形
C.矩形的直观图是矩形
D.圆的直观图是圆
【解析】选B.直观图改变了原图中角的大小及图形的形状,所以A,C,D都不正确.
√
4.如图所示是水平放置的三角形的直观图,AB=BC=2,AB,BC分别与y'轴、x'轴平行,
则△ABC在原图中对应三角形的面积为 .
【解析】因为三角形的直观图中AB=BC=2,
AB,BC分别与y'轴、x'轴平行,
则原图如下所示:
所以原图中BC=2,AB=4,
所以S△ABC=AB·BC=×4×2=4.
答案:4
5.在已知图形中平行于x轴的线段AB=6 cm,则在直观图中线段A'B'= cm;在
已知图形中平行于y轴的线段CD=4 cm,则在直观图中线段C'D'= cm.
【解析】由于平行于x轴的线段在直观图中保持原长度不变,则A'B'=AB=6 cm;
由于平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半,则C'D'=CD=2 cm.
答案:6 2
