(共34张PPT)
课前自主学习
课堂合作探究
课堂学业达标
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
素养目标 思维导图
知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和 体积的计算公式,能用公式解决简单 的实际问题.(数学运算)
课前自主学习
问题1.观察棱柱、棱锥、棱台(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)的表面展开图,各
几何体的表面积与展开图中的各部分平面图形的面积有何关系
提示:各几何体的表面积等于展开图中各部分平面图形的面积之和.
问题2.一个几何体的平面展开图一定相同吗 其表面积是否确定
提示:不同的展开式,几何体的平面展开图不一定相同;表面积是各个面的面积和,
几何体的平面展开法可能不同,但其表面积唯一确定.
问题3.棱柱、棱锥、棱台的体积与这些几何体的哪些量有关
提示:它们的体积与这些几何体的底面积和高有关.
【核心概念】
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是___________________的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面
积就是_________________的面积的和.
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱=___ S为棱柱的底面积,h为棱柱的高
棱锥 V棱锥= S为棱锥的底面积,h为棱锥的高
棱台 V棱台= S',S分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高
围成多面体的各个面
围成它们的各个面
Sh
Sh
(S'++S)h
课堂合作探究
探究点一 求棱柱、棱锥、棱台的表面积
【典例1】正四棱台两底面边长分别为3和9.
(1)若侧棱所在直线与上、下底面正形中心的连线所成
的角为45°,求棱台的侧面积;
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和,求它的高.
【思维导引】(1)设O1,O分别为上、下底面的中心,过C1作C1E⊥AC于E,
过E作EF⊥BC于F,连接C1F,则C1F为正四棱台的斜高,求出斜高即可求出侧面积;
(2)求出侧面积,即可求出斜高,即可由勾股定理求出高.
【解析】(1)如图,设O1,O分别为上、下底面的中心,过C1作C1E⊥AC于E,过E作
EF⊥BC于F,连接C1F,则C1F为正四棱台的斜高,
由题意知∠C1CO=45°,CE=CO-EO=CO-C1O1=×(9-3)=3,
所以C1E=CE=3,
又EF=CE·sin 45°=3×=3,所以斜高C1F===3,
所以S侧=4××(3+9)×3=72;
(2)由题意知S上底+S下底=32+92=90,所以×(3+9)·h斜×4=90,所以h斜==,
又EF==3,h==.
【类题通法】
棱台的表面积求法
(1)用直角三角形:要求台体的侧面积及表面积,要利用已知条件寻求公式中所需的条件,一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量.
(2)转化为平面图形:空间几何体的表面积运算,一般是转化为平面几何图形的运算,往往通过解三角形来完成.
提醒:(1)多面体的侧面积是各个侧面的面积之和.
(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.
√
2.现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,则该直四棱柱
的侧面积为 ,表面积为 .
【思维导引】利用直四棱柱的结构特征及已知条件求相关棱长
AB=8,AC=10,BD=2,进而求棱柱的侧面积和表面积.
【解析】如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,不妨令a>b,则体对角线
A1C=15,B1D=9,所以a2+52=152,b2+52=92,所以a2=200,b2=56.因为该直四棱柱的底
面是菱形,所以AB2=+===64,所以AB=8.
所以直四棱柱的侧面积S1=4×8×5=160,直四棱柱的底面积S2=ab=20.
所以直四棱柱的表面积S=160+2×20=160+40.
答案:160 160+40
探究点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
【典例2】(一题多解)
如图,已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AC=4,BC=3,AC⊥BC,点D是AB的中点,求三棱锥A1-B1CD的体积.
【思维导引】利用割补法或直接法求棱锥体积.
【解析】因为AA1=AC=4,BC=3,AC⊥BC,所以AB=A1B1=5.
法1:由题意可知=S△ABC·AA1=×4×3×4=24.
又=×S△ABC·AA1=S△ABC·AA1=4.
=×S△ABC·BB1=S△ABC·BB1=4.
=·CC1=8,
所以=---=24-4-4-8=8.
法2:在△ABC中,过C作CF⊥AB,垂足为F,
易得CF为三棱锥C-A1B1D的高.
又=A1B1·AA1=×5×4=10.
在△ABC中,CF===,所以==·CF=×10×=8.
【类题通法】
求几何体体积的常用法
【定向训练】
1.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,则三棱锥A1-B1BC的体积为( )
A.3 B. C.1 D.
【思维导引】利用割补法求得正确答案.
【解析】选D.
=--
==×(×22)×2=.
√
2.如图是一款多功能粉碎机的实物图,它的进物仓可看作正四棱台,已知该四棱台
的两底面边长分别为40 cm和10 cm,侧棱长为30 cm,则该款粉碎机进物仓的容积为
( )
A.8 600 cm3 B.8 600 cm3
C.10 500 cm3 D.10 500 cm3
√
【解析】选C.画出满足题意的正四棱台ABCD-A1B1C1D1,如图所示,
则B1D1=40,BD=10.
过点D作DE⊥B1D1于点E,则D1E=15,DE==15,
所以该正四棱台的体积为V=(402+102+10×40)×15=10 500(cm3).
探究点三 简单几何体的表面积和体积
【典例3】(一题多问)
观察如图棱长为4的正体ABCD-A1B1C1D1,G,M分别是棱C1C,BC的中点.解决下列问题:
(1)求正体ABCD-A1B1C1D1的表面积;
(2)三棱锥A1-BCD的体积;
(3)求多面体CMG-DAD1的体积;
(4)若点O1为上底面一动点,求三棱锥A-O1BC的体积;
(5)连接A1C1,A1D,A1B,BD,BC1,C1D,得到一个三棱锥C1-A1BD,求三棱锥A1-BC1D的表面积与正体表面积的比值.
【问题解读】(1)利用正体的表面积公式计算即得;
(2)利用锥体体积公式计算即得;
(3)确定多面体CMG-DAD1为三棱台,再利用棱台的体积公式计算即可;
(4)根据等体积法=求解即可;
(5)利用正三棱锥及正体的表面积公式计算即可.
【解析】(1)正体ABCD-A1B1C1D1的表面积S=6×4×4=96.
(2)S△BCD=BC·CD=×4×4=8,
显然三棱锥A1-BCD的高为AA1=4,
所以三棱锥A1-BCD的体积V=S△BCD·AA1=×8×4=.
(3)多面体CMG-DAD1为三棱台,
又S△CMG=×2×2=2,=×4×4=8,高h=CD=4,
所以=(2+8+)×4=.
(4)由题意可知,S△ABC=S正形ABCD=8,
根据等体积公式可知,==S△ABC·AA1=×8×4=.
(5)因为ABCD-A1B1C1D1是正体,所以六个面都是正形,
所以A1C1=A1B=A1D=BC1=BD=C1D=4,即三棱锥A1-BC1D为正三棱锥,
所以=4×=32,S正体=6×16,所以=.
【类题通法】
割补法的应用原则
分割与补形的原则是分割或补形后的几何体是简单几何体,且体积易求.
【定向训练】
1.已知正体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为AB,BC的中点,
则多面体A1C1-AEFC的体积为 .
【思维导引】利用多面体A1C1-AEFC的体积等于三棱柱ABC-A1B1C1的体积与三棱台EBF-A1B1C1的体积之差来计算.
【解析】多面体A1C1-AEFC的体积等于三棱柱ABC-A1B1C1的体积与
三棱台EBF-A1B1C1的体积之差,其中三棱柱ABC-A1B1C1的体积为×2×2×2=4,
三棱台EBF-A1B1C1的体积为(×1×1+×2×2+)×2×=,
所以多面体A1C1-AEFC的体积为4-=.
答案:
2.学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得几何体,其中O为长体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为 g.
【解析】S四边形EFGH=4×6-4××2×3=12(cm2),
V=6×6×4-×12×3=132(cm3).
m=ρV=0.9×132=118.8(g).
答案:118.8
课堂学业达标
1.长体三个面的面积分别为2,6和9,则长体的体积是 ( )
A.6 B.3
C.11 D.12
【解析】选A.设长体长、宽、高分别为a,b,c,不妨令ab=2,ac=6,bc=9,相乘得(abc)2=108,所以V=abc=6.
√
2.已知一个正四棱锥的底面边长为4,以该正四棱锥的高为边长的正形面积等于
该四棱锥一个侧面三角形的面积,则该正四棱锥的侧面积为 ( )
A.4(+1) B.-1
C.4(-1) D.8(+1)
【解析】选D.正四棱锥如图,
设四棱锥的高OE=h,由底面边长为4,可知OF=2,斜高EF=,
故h2=×4×,解得h2=2+2,
故侧面积为4××4×=4h2=8+8=8(1+).
√
3.在棱长为1的正体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正体,则截去
8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.如图,去掉的一个棱锥的体积是×()×=,
剩余几何体的体积是1-8×=.
√
4.棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积等于 .
【解析】V台=(2+4+)×3=×3×(6+2)=6+2.
答案:6+2
5.已知棱长均为4,底面为正形的四棱锥S-ABCD如图所示,求它的体积.
【解析】如图所示:
连接AC,BD交于点O,连接SO,因为四棱锥的棱长均为4,
所以SO⊥平面ABCD,即SO为四棱锥的高,
所以SA=4,OA=2,
所以SO==2,
所以V=×AB×AD×SO=×4×4×2=.8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
素养目标 思维导图
知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.(数学运算)
课前自主学习
问题1.观察棱柱、棱锥、棱台(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)的表面展开图,各几何体的表面积与展开图中的各部分平面图形的面积有何关系
提示:各几何体的表面积等于展开图中各部分平面图形的面积之和.
问题2.一个几何体的平面展开图一定相同吗 其表面积是否确定
提示:不同的展开式,几何体的平面展开图不一定相同;表面积是各个面的面积和,几何体的平面展开法可能不同,但其表面积唯一确定.
问题3.棱柱、棱锥、棱台的体积与这些几何体的哪些量有关
提示:它们的体积与这些几何体的底面积和高有关.
【核心概念】
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体的各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱=Sh S为棱柱的底面积,h为棱柱的高
棱锥 V棱锥=Sh S为棱锥的底面积,h为棱锥的高
棱台 V棱台=(S'++S)h S',S分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高
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探究点一 求棱柱、棱锥、棱台的表面积
【典例1】正四棱台两底面边长分别为3和9.
(1)若侧棱所在直线与上、下底面正形中心的连线所成的角为45°,求棱台的侧面积;
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和,求它的高.
【思维导引】(1)设O1,O分别为上、下底面的中心,过C1作C1E⊥AC于E,过E作EF⊥BC于F,连接C1F,则C1F为正四棱台的斜高,求出斜高即可求出侧面积;
(2)求出侧面积,即可求出斜高,即可由勾股定理求出高.
【解析】(1)如图,设O1,O分别为上、下底面的中心,过C1作C1E⊥AC于E,过E作EF⊥BC于F,连接C1F,则C1F为正四棱台的斜高,
由题意知∠C1CO=45°,CE=CO-EO=CO-C1O1=×(9-3)=3,所以C1E=CE=3,
又EF=CE·sin 45°=3=3,所以斜高C1F===3,
所以S侧=4××(3+9)×3=72;
(2)由题意知S上底+S下底=32+92=90,所以×(3+9)·h斜×4=90,所以h斜==,又EF==3,h==.
【类题通法】
棱台的表面积求法
(1)用直角三角形:要求台体的侧面积及表面积,要利用已知条件寻求公式中所需的条件,一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量.
(2)转化为平面图形:空间几何体的表面积运算,一般是转化为平面几何图形的运算,往往通过解三角形来完成.
提醒:(1)多面体的侧面积是各个侧面的面积之和.
(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.
【定向训练】
1.某家庭为了外出露营,特意网购了一个帐篷.如图所示,该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体,正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正形,已知·=,则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为 ( )
A. B. C. D.
【思维导引】设出正六边形的边长,六棱锥的侧棱长,由·=,得出关系式,分别求出正六棱锥与正六棱柱的侧面积,即可求出正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比.
【解析】选B.如图,设正六棱柱底面边长为a,侧棱长为c,由题意可知AB=2a,c=2a,
则可知正六棱柱的侧面积为6a·2a=12a2.
设正六棱锥侧棱长为b,则·=b2cos ∠APB=b2·=b2-2a2.
又·==a2,所以b2-2a2=a2,解得b2=a2,所以正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为=.
2.现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,则该直四棱柱的侧面积为 ,表面积为 .
【思维导引】利用直四棱柱的结构特征及已知条件求相关棱长AB=8,AC=10,BD=2,进而求棱柱的侧面积和表面积.
【解析】如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,不妨令a>b,则体对角线A1C=15,B1D=9,所以a2+52=152,b2+52=92,所以a2=200,b2=56.因为该直四棱柱的底面是菱形,所以AB2=+===64,所以AB=8.
所以直四棱柱的侧面积S1=4×8×5=160,直四棱柱的底面积S2=ab=20.
所以直四棱柱的表面积S=160+2×20=160+40.
答案:160 160+40
探究点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
【典例2】(一题多解)
如图,已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AC=4,BC=3,AC⊥BC,点D是AB的中点,求三棱锥A1-B1CD的体积.
【思维导引】利用割补法或直接法求棱锥体积.
【解析】因为AA1=AC=4,BC=3,AC⊥BC,所以AB=A1B1=5.
法1:由题意可知=S△ABC·AA1=×4×3×4=24.
又=S△ABC·AA1=S△ABC·AA1=4.
=S△ABC·BB1=S△ABC·BB1=4.
=·CC1=8,
所以=---=24-4-4-8=8.
法2:在△ABC中,过C作CF⊥AB,垂足为F,
易得CF为三棱锥C-A1B1D的高.
又=A1B1·AA1=×5×4=10.
在△ABC中,CF===,所以==·CF=×10×=8.
【类题通法】
求几何体体积的常用法
【定向训练】
1.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,则三棱锥A1-B1BC的体积为( )
A.3 B. C.1 D.
【思维导引】利用割补法求得正确答案.
【解析】选D.=--==×(×22)×2=.
2.如图是一款多功能粉碎机的实物图,它的进物仓可看作正四棱台,已知该四棱台的两底面边长分别为40 cm和10 cm,侧棱长为30 cm,则该款粉碎机进物仓的容积为 ( )
A.8 600 cm3 B.8 600 cm3
C.10 500 cm3 D.10 500 cm3
【解析】选C.画出满足题意的正四棱台ABCD-A1B1C1D1,如图所示,
则B1D1=40,BD=10.
过点D作DE⊥B1D1于点E,则D1E=15,DE==15,
所以该正四棱台的体积为V=(402+102+10×40)×15=10 500(cm3).
探究点三 简单几何体的表面积和体积
【典例3】(一题多问)
观察如图棱长为4的正体ABCD-A1B1C1D1,G,M分别是棱C1C,BC的中点.解决下列问题:
(1)求正体ABCD-A1B1C1D1的表面积;
(2)三棱锥A1-BCD的体积;
(3)求多面体CMG-DAD1的体积;
(4)若点O1为上底面一动点,求三棱锥A-O1BC的体积;
(5)连接A1C1,A1D,A1B,BD,BC1,C1D,得到一个三棱锥C1-A1BD,求三棱锥A1-BC1D的表面积与正体表面积的比值.
【问题解读】(1)利用正体的表面积公式计算即得;
(2)利用锥体体积公式计算即得;
(3)确定多面体CMG-DAD1为三棱台,再利用棱台的体积公式计算即可;
(4)根据等体积法=求解即可;
(5)利用正三棱锥及正体的表面积公式计算即可.
【解析】(1)正体ABCD-A1B1C1D1的表面积S=6×4×4=96.
(2)S△BCD=BC·CD=×4×4=8,
显然三棱锥A1-BCD的高为AA1=4,
所以三棱锥A1-BCD的体积V=S△BCD·AA1=×8×4=.
(3)多面体CMG-DAD1为三棱台,
又S△CMG=×2×2=2,=×4×4=8,高h=CD=4,
所以=(2+8+)×4=.
(4)由题意可知,S△ABC=S正形ABCD=8,
根据等体积公式可知,==S△ABC·AA1=×8×4=.
(5)因为ABCD-A1B1C1D1是正体,所以六个面都是正形,
所以A1C1=A1B=A1D=BC1=BD=C1D=4,即三棱锥A1-BC1D为正三棱锥,
所以=4×=32,S正体=6×16,所以=.
【类题通法】
割补法的应用原则
分割与补形的原则是分割或补形后的几何体是简单几何体,且体积易求.
【定向训练】
1.已知正体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为AB,BC的中点,则多面体A1C1-AEFC的体积为 .
【思维导引】利用多面体A1C1-AEFC的体积等于三棱柱ABC-A1B1C1的体积与三棱台EBF-A1B1C1的体积之差来计算.
【解析】多面体A1C1-AEFC的体积等于三棱柱ABC-A1B1C1的体积与三棱台EBF-A1B1C1的体积之差,其中三棱柱ABC-A1B1C1的体积为×2×2×2=4,
三棱台EBF-A1B1C1的体积为(×1×1+×2×2+)×2×=,
所以多面体A1C1-AEFC的体积为4-=.
答案:
2.学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得几何体,其中O为长体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为 g.
【解析】S四边形EFGH=4×6-4××2×3=12(cm2),
V=6×6×4-×12×3=132(cm3).
m=ρV=0.9×132=118.8(g).
答案:118.8
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1.长体三个面的面积分别为2,6和9,则长体的体积是 ( )
A.6 B.3 C.11 D.12
【解析】选A.设长体长、宽、高分别为a,b,c,不妨令ab=2,ac=6,bc=9,相乘得(abc)2=108,所以V=abc=6.
2.已知一个正四棱锥的底面边长为4,以该正四棱锥的高为边长的正形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则该正四棱锥的侧面积为 ( )
A.4(+1) B.-1
C.4(-1) D.8(+1)
【解析】选D.正四棱锥如图,
设四棱锥的高OE=h,由底面边长为4,可知OF=2,斜高EF=,
故h2=×4×,解得h2=2+2,故侧面积为4××4×=4h2=8+8=8(1+).
3.在棱长为1的正体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.如图,去掉的一个棱锥的体积是×()×=,
剩余几何体的体积是1-8×=.
4.棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积等于 .
【解析】V台=(2+4+)×3=×3×(6+2)=6+2.
答案:6+2
5.已知棱长均为4,底面为正形的四棱锥S-ABCD如图所示,求它的体积.
【解析】如图所示:
连接AC,BD交于点O,连接SO,因为四棱锥的棱长均为4,
所以SO⊥平面ABCD,即SO为四棱锥的高,
所以SA=4,OA=2,
所以SO==2,
所以V=×AB×AD×SO=×4×4×2=.
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