(共43张PPT)
课前自主学习
课堂合作探究
课堂学业达标
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
素养目标 思维导图
1.了解一些简单几何体的表面积与体积的 计算法.(数学运算) 2.知道球的表面积和体积的计算公式,能 用公式解决简单的实际问题.(数学运算)
课前自主学习
问题1.观察下面几个几何体的侧面展开图:
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么图形
提示:它们的侧面展开图分别为矩形、扇形、扇环.
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积与其侧面展开图的面积有何关系
提示:它们的侧面积分别等于侧面展开图的平面图形面积.
问题2.底面半径和高都是R的圆锥和圆柱的体积分别是多少 根据这些你猜想半球的体积是多少
提示:圆锥的体积V=πR3,
圆柱的体积V=πR3,
猜想半球的体积V=πR3.
问题3.如图,以“小球面片”为底,球心为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥,那么这些小棱锥的底面和高近似地看成什么 它们的体积之和近似地等于多少
提示:小棱锥的底面可近似地看成小平面四边形,高近似地等于半径,体积之和近似地等于球的体积.
【核心概念】
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
几何体 侧面展开图 表面积公式
圆柱 S圆柱=2πr(r+l),
r为_________,
l为_______
圆锥 S圆锥=πr(r+l),
r为_________,
l为_______
底面半径
母线长
底面半径
母线长
几何体 侧面展开图 表面积公式
圆台 S圆台=π(r'2+r2+r'l+rl),
r'为___________,
r为___________,
l为_______
上底面半径
下底面半径
母线长
2.柱体、锥体、台体的体积公式
其中S',S分别表示上、下底面的面积,h表示高,r'和r分别表示上、下底面圆的半
径,R表示球的半径.
名称 体积(V)
柱体 棱柱 ___
圆柱 πr2h
锥体 棱锥
圆锥 πr2h
台体 棱台
圆台
Sh
Sh
h(S++S')
πh(r2+rr'+r'2)
3.球的表面积与体积公式
(1)球的体积公式:V=(R为球的半径).
(2)球的表面积公式:S=_____(R为球的半径).
πR3
4πR2
课堂合作探究
探究点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
【典例1】(1)如图所示,某圆台型木桶(厚度不计)上、下底面的面积分别为4π和π,且木桶的体积为7π,则该木桶的侧面积为( )
A.6π B.9π
C.2π D.3π
【思维导引】由台体的体积公式求出圆台的高,作图求出台体的母线长,再根据体积公式求解即可.
√
【解析】选D.设上、下底面的半径分别为r1,r2,高为h,所以π=4π,π=π,
故r1=2,r2=1,
因为木桶的体积为7π,所以(S上+S下+)·h=7π,所以(4π+π+)·h=7π,
解得h=3,设圆台的母线长为l,如图,所以l==,
所以该木桶的侧面积为·l==3π.
(2)(2024·新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为
,则圆锥的体积为( )
A.2π B.3π
C.6π D.9π
【解析】选B.由题意,圆柱和圆锥的侧面积相等,则圆锥的母线长是圆柱高的2 倍
即2,故底面半径为3,所以圆锥的体积为3π.
√
【类题通法】
旋转体的表面积与体积求法
(1)轴截面:圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上,因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键.
(2)展开:圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
【定向训练】
1.(2022·国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若=2,则=( )
A. B.2
C. D.
√
【解析】选C.设母线长为l,甲圆锥底面圆半径为r1,乙圆锥底面圆半径为r2,
则===2,所以r1=2r2,
又+=2π,则=1,所以r1=l,r2=l,
所以甲圆锥的高h1==l,乙圆锥的高h2==l,
所以===.
2.(多选)如图所示的圆台O1O2,在轴截面ABCD中,AB=BC=AD=CD,CD=4,则( )
A.该圆台的高为1
B.该圆台轴截面面积为3
C.该圆台的体积为
D.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点,所经过的最短路为5
√
√
√
【解析】选BCD.对于A,在梯形ABCD中,O1O2代表圆台的高,
利用勾股定理计算可得O1O2===,所以A错误;
对于B,轴截面梯形ABCD的面积为S=(AB+CD)·O1O2=(2+4)×=3,
所以B正确;
对于C,易知下底面圆的面积为π×22=4π,上底面圆的面积为π×12=π,
所以该圆台的体积为V=(4π+π+)×=,所以C正确;
对于D,将圆台侧面沿直线BC处剪开,其侧面展开图如图所示:
易知,的长度分别为2π,4π,设扇形圆心为O,圆心角为θ,OB=r.
由弧长公式可知θr=2π,θ(r+2)=4π,解得θ=π,r=2,
所以可得∠AOB=90°.
设E为AD的中点,连接EC,当小虫从点C沿着EC爬行到AD的中点时,
所经过路最短,
易知OE=3,OC=4,且OE⊥OC,
由勾股定理可知EC==5,所以D正确.
探究点二 球的表面积和体积
【典例2】(1)已知球面上有A,B,C三点,且AB=AC=,BC=2,球心到平面ABC的距
离为,则球的体积为( )
A. B. C. D.
【思维导引】根据条件可得△ABC为直角三角形,球心到截面ABC的距离正好是球
心到BC中点的距离,从而求出半径,即可求得球的体积.
【解析】选B.由AB=AC=,BC=2,可得∠BAC=90°,又由球心到截面ABC的距离为
,正好是球心到BC的中点的距离,所以球的半径为R==2,
所以球的体积为V=πR3=π×23=.
√
(2)如图所示的玻璃罩可以看成是由一个圆柱侧面和一个半球球面组合而成,其中球面半径为2分米,圆柱面高为4分米.(忽玻璃厚度)
①求该玻璃罩外壁的面积;
②若将该玻璃罩倒置后装水,求最多能装多少升水.
【思维导引】①根据圆柱的表面积公式和球的表面积公式求解即可;
②根据圆柱的体积公式和球的体积公式求解即可.
【解析】①由题意知球的半径R=2分米,圆柱的高h=4分米,
故该玻璃罩外壁的面积为×4πR2+2πRh=8π+16π=24π(平分米);
②所求即圆柱体积与半球体积之和,
所以体积之和V=πR3+πR2h=π+16π=π(立分米)=π升,
故最多能装π升水.
【类题通法】
求球的体积与表面积的策
(1)定半径:计算球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解.
(2)定截面:球的截面特点
①当截面过球心时,截面圆的半径即为球的半径;
②球心与截面圆圆心的连线垂直于截面;
③若球的半径为R,截面圆的半径为r,则球心到截面的距离为d=.
【定向训练】
1.某公司需要把直径为20 cm的实心铁球熔化后浇铸为一个棱长为30 cm的正体
实心模具(不计损耗),则至少需要( )
A.5个这样的实心铁球
B.6个这样的实心铁球
C.7个这样的实心铁球
D.8个这样的实心铁球
【解析】选C.直径为20 cm的实心铁球的体积V1=π×103=π;一个棱长为30 cm
的正体实心模具的体积V2=303=27 000,设至少需要n个这样的实心铁球,
则πn≥27 000,解得n≥,6<<7,故至少需要7个这样的实心铁球.
√
2.水平桌面上放置了4个半径为2的小球,4个小球的球心构成正形,且相邻的两个
小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球,则半球形容器内壁的半径的最小
值为 ( )
A.4 B.2+2 C.2+2 D.6
【解析】选C.要使半球形容器内壁的半径最小,只需保证小球
与球各面(含球面部分)都相切,
此时,如图所示,O为半球的球心,A为其中一个小球球心,则OA是棱长为2的正体
的体对角线,且该小球与半球球面上的切点与O,A共线,所以半球形容器内壁的半径
的最小值为小球半径与OA长度之和,即2+2.
√
探究点三 常见几何体与球的切、接问题
【典例3】(一题多问)
已知三棱锥P-ABC,球O,解决下列问题.
(1)三棱锥P-ABC的外接球O,PC为球O的直径,且PC=2,PA=PB=,AB=1,那么三棱锥P-ABC的体积为多少
(2)三棱锥P-ABC的侧棱PA,PB,PC两两垂直,且侧面面积分别为4,4,8,则该三棱锥内切球的半径是多少
(3)三棱锥P-ABC的所有棱长均为3,球O与棱PA,PB,PC都相切,且平面ABC被球O截得的截面面积为2π,则球O的半径是多少
(4)三棱锥P-ABC的四个顶点均在球O的球面上,PA=BC=2,PB=AC=,PC=AB=,Q为球O的球面上一动点,则点Q到平面PAB的最大距离是多少
【问题解读】(1)先证明△ABC为等边三角形,再求点O到平面ABC的距离d,进一步求出点P到平面ABC的距离,从而求出三棱锥P-ABC的体积.
(2)结合题意可得PB=PC=4,PA=2,进而由勾股定理可得AB=AC=2,BC=4,从而求得S△ABC,再利用等体积法即可求解.
(3)过点P向底面ABC作垂线,垂足为O1,连接AO1,由球O截平面ABC所得的截面面积为2π,得截面圆的半径为,设球O的半径为R,得OO1=,过O作PA的垂线,垂足为D,得△PAO1∽△POD,可得=,进而求得R=.
(4)以三棱锥的棱作为长体的面对角线,可将其补为长体,根据长体外接球半径的求法可求得球O的半径R,利用正弦定理可求得△PAB的外接圆半径,进而求得球心O到平面PAB的距离,则最大距离为d+R.
【解析】(1)由PC为球O的直径可知,PA⊥AC,PB⊥BC,即AC=BC=1,又AB=1,
所以△ABC为等边三角形,即△ABC外接圆的半径r=,
因为球O的半径R=1,所以点O到平面ABC的距离d==,
故顶点P到平面ABC的距离为2d=,所以VP-ABC=×12×=.
(2)由题意,可得,
解得PB=PC=4,PA=2,
由勾股定理可得AB=AC=2,BC=4,
设BC中点为M,连接AM,则AM⊥BC,且MC=BC=2,所以AM==2,即S△ABC=BC·AM=×4×2=4.
设该三棱锥内切球的球心为O,半径为r,
由VP-ABC=VO-PAB+VO-PBC+VO-PAC+VO-ABC,
即S△PAC·PB=r(S△PAB+S△PBC+S△PAC+S△ABC),
即×2×4×4=r(×2×4+×4×4+×2×4+4),
解得r=.
(3)过点P向底面ABC作垂线,垂足为O1,连接AO1,
则球心O在线段PO1或其延长线上,O1为正△ABC的中心,
则AO1=AB=,PO1==.
设球O的半径为R,因为球O截平面ABC所得的截面面积为2π,
所以截面圆的半径为,所以OO1=,R≥.
过O作PA的垂线,垂足为D,则OD=R,
△PAO1∽△POD,所以=.
①当点O在线段PO1上时,=,即=-R,
则R2-3R+4=0,且-R≥0,解得R=;
②当点O在线段PO1的延长线上时,=,即=R-,
则R2-3R+4=0,且R-≥0,解得R=2或R=,
当R=时,点O,O1重合,此时点O不在线段PO1的延长线上,故舍去;
当R=2时,切点D不在棱PA上,不符合题意.
综合①②可知,R=.
(4)因为PA=BC=2,PB=AC=,PC=AB=,
所以可将三棱锥P-ABC补成如图所示的长体ADPH-EBFC,
所以BD2+BE2=AB2=3,BD2+BF2=PB2=5,BE2+BF2=BC2=4,
所以BD2+BE2+BF2=6,所以球O的半径R==;
在△PAB中,cos∠ABP===,则sin∠ABP=.
设△PAB的外接圆半径为r,则2r=,解得r=,
则球心O到平面PAB的距离d===,
所以点Q到平面PAB的最大距离为+.
【类题通法】
常见的几何体与球的切、接问题的解决策
(1)解决球与几何体的切、接问题的关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来计算.
(2)具体作法
①内切球问题:找过切点和球心的截面.
②外接球问题:由球心和几何体顶点抽象得出新几何体或过球心作截面.
【定向训练】
1.(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3和4,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
A.100π B.128π C.144π D.192π
【解析】选A.设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为r1,r2,
所以2r1=,2r2=,即r1=3,r2=4,设球心到上、下底面的距离分别为d1,d2,
球的半径为R,所以d1=,d2=,
故|d1-d2|=1或d1+d2=1,
即|-|=1或+=1,解得R2=25符合题意,
所以球的表面积为S=4πR2=100π.
√
2.如图,该几何体为两个底面半径为1,高为1的相同的圆锥形成的组合体,设它的体
积为V1,它的内切球的体积为V2,则V1∶V2= ( )
A.2∶ B.2∶3
C.1∶ D.∶1
【解析】选D.如图,四边形PAP'B为该几何体的轴截面,则四边形PAP'B的内切圆的
半径即为该几何体内切球的半径,设内切球的半径为r,由OP=OA=1,得r=,
则V2=πr3=,V1=2×π×12×1=,所以V1∶V2=∶1.
【题后反思】画出该几何体的轴截面,利用几何知识求出内切球半径,结合球的体积公式以及圆锥体积公式求解.
√
课堂学业达标
1.已知圆台的体积为152π,两底面圆的半径分别为4和6,则圆台的高为 ( )
A.6 B.2 C.4 D.5
【解析】选A.设圆台的高为h,且上、下两底面面积分别为
S1=π×42=16π,S2=π×62=36π,
根据圆台的体积公式可得(S1+S2+)h=(16π+36π+)h=152π,
解得h=6.
√
2.一个圆柱的侧面展开图是一个正形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比是
( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.设底面圆半径为r,母线长为h,
所以h=2πr,则====.
√
3.将边长为1的正形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积
是 ( )
A.4π B.3π
C.2π D.π
【解析】选C.所得旋转体为圆柱,圆柱的底面圆半径为1,高为1,侧面积
S=2πrh=2π×1×1=2π.
√
4.(2021·国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积
为 .
【解析】依题设可知:30π=πr2h=12πh,
所以h=,母线l=,
所以该圆锥的侧面积为πrl=6×π=39π.
答案:39π
5.已知三个球的表面积之比是1∶2∶3,则这三个球的体积之比为 .
【解析】设三个球的半径分别为a,b,c,
根据球的表面积公式得出4πa2∶4πb2∶4πc2=a2∶b2∶c2=1∶2∶3,
所以a∶b∶c=1∶,
因此,这三个球的体积之比为=a3∶b3∶c3=1∶2∶3.
答案:1∶2∶38.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
素养目标 思维导图
1.了解一些简单几何体的表面积与体积的计算法.(数学运算) 2.知道球的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.(数学运算)
课前自主学习
问题1.观察下面几个几何体的侧面展开图:
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么图形
提示:它们的侧面展开图分别为矩形、扇形、扇环.
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积与其侧面展开图的面积有何关系
提示:它们的侧面积分别等于侧面展开图的平面图形面积.
问题2.底面半径和高都是R的圆锥和圆柱的体积分别是多少 根据这些你猜想半球的体积是多少
提示:圆锥的体积V=πR3,
圆柱的体积V=πR3,
猜想半球的体积V=πR3.
问题3.如图,以“小球面片”为底,球心为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥,那么这些小棱锥的底面和高近似地看成什么 它们的体积之和近似地等于多少
提示:小棱锥的底面可近似地看成小平面四边形,高近似地等于半径,体积之和近似地等于球的体积.
【核心概念】
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
几何体 侧面展开图 表面积公式
圆柱 S圆柱=2πr(r+l), r为底面半径, l为母线长
圆锥 S圆锥=πr(r+l), r为底面半径, l为母线长
圆台 S圆台=π(r'2+r2+ r'l+rl), r'为上底面半径, r为下底面半径, l为母线长
2.柱体、锥体、台体的体积公式
其中S',S分别表示上、下底面的面积,h表示高,r'和r分别表示上、下底面圆的半径,R表示球的半径.
名称 体积(V)
柱体 棱柱 Sh
圆柱 πr2h
锥体 棱锥 Sh
圆锥 πr2h
台体 棱台 h(S++S')
圆台 πh(r2+rr'+r'2)
3.球的表面积与体积公式
(1)球的体积公式:V=πR3(R为球的半径).
(2)球的表面积公式:S=4πR2(R为球的半径).
课堂合作探究
探究点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
【典例1】(1)如图所示,某圆台型木桶(厚度不计)上、下底面的面积分别为4π和π,且木桶的体积为7π,则该木桶的侧面积为 ( )
A.6π B.9π
C.2π D.3π
【思维导引】由台体的体积公式求出圆台的高,作图求出台体的母线长,再根据体积公式求解即可.
【解析】选D.设上、下底面的半径分别为r1,r2,高为h,所以π=4π,π=π,故r1=2,r2=1,
因为木桶的体积为7π,所以(S上+S下+)·h=7π,所以(4π+π+)·h=7π,解得h=3,设圆台的母线长为l,如图,所以l==,所以该木桶的侧面积为·l==3π.
(2)(2024·新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为 ( )
A.2π B.3π
C.6π D.9π
【解析】选B.由题意,圆柱和圆锥的侧面积相等,则圆锥的母线长是圆柱高的2 倍即2,故底面半径为3,所以圆锥的体积为3π.
【类题通法】
旋转体的表面积与体积求法
(1)轴截面:圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上,因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键.
(2)展开:圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
【定向训练】
1.(2022·国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若=2,则= ( )
A. B.2
C. D.
【解析】选C.设母线长为l,甲圆锥底面圆半径为r1,乙圆锥底面圆半径为r2,
则===2,所以r1=2r2,
又+=2π,则=1,
所以r1=l,r2=l,
所以甲圆锥的高h1==l,
乙圆锥的高h2==l,
所以===.
2.(多选)如图所示的圆台O1O2,在轴截面ABCD中,AB=BC=AD=CD,CD=4,则 ( )
A.该圆台的高为1
B.该圆台轴截面面积为3
C.该圆台的体积为
D.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点,所经过的最短路为5
【解析】选BCD.对于A,在梯形ABCD中,O1O2代表圆台的高,
利用勾股定理计算可得O1O2===,所以A错误;
对于B,轴截面梯形ABCD的面积为S=(AB+CD)·O1O2=(2+4)×=3,所以B正确;
对于C,易知下底面圆的面积为π×22=4π,上底面圆的面积为π×12=π,
所以该圆台的体积为V=(4π+π+)×=,所以C正确;
对于D,将圆台侧面沿直线BC处剪开,其侧面展开图如图所示:
易知,的长度分别为2π,4π,设扇形圆心为O,圆心角为θ,OB=r.
由弧长公式可知θr=2π,θ(r+2)=4π,解得θ=π,r=2,
所以可得∠AOB=90°.
设E为AD的中点,连接EC,当小虫从点C沿着EC爬行到AD的中点时,所经过路最短,
易知OE=3,OC=4,且OE⊥OC,
由勾股定理可知EC==5,所以D正确.
探究点二 球的表面积和体积
【典例2】(1)已知球面上有A,B,C三点,且AB=AC=,BC=2,球心到平面ABC的距离为,则球的体积为 ( )
A. B. C. D.
【思维导引】根据条件可得△ABC为直角三角形,球心到截面ABC的距离正好是球心到BC中点的距离,从而求出半径,即可求得球的体积.
【解析】选B.由AB=AC=,BC=2,可得∠BAC=90°,又由球心到截面ABC的距离为,正好是球心到BC的中点的距离,所以球的半径为R==2,
所以球的体积为V=πR3=π×23=.
(2)如图所示的玻璃罩可以看成是由一个圆柱侧面和一个半球球面组合而成,其中球面半径为2分米,圆柱面高为4分米.(忽玻璃厚度)
①求该玻璃罩外壁的面积;
②若将该玻璃罩倒置后装水,求最多能装多少升水.
【思维导引】①根据圆柱的表面积公式和球的表面积公式求解即可;
②根据圆柱的体积公式和球的体积公式求解即可.
【解析】①由题意知球的半径R=2分米,圆柱的高h=4分米,
故该玻璃罩外壁的面积为×4πR2+2πRh=8π+16π=24π(平分米);
②所求即圆柱体积与半球体积之和,
所以体积之和V=πR3+πR2h=π+16π=π(立分米)=π升,
故最多能装π升水.
【类题通法】
求球的体积与表面积的策
(1)定半径:计算球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解.
(2)定截面:球的截面特点
①当截面过球心时,截面圆的半径即为球的半径;
②球心与截面圆圆心的连线垂直于截面;
③若球的半径为R,截面圆的半径为r,则球心到截面的距离为d=.
【定向训练】
1.某公司需要把直径为20 cm的实心铁球熔化后浇铸为一个棱长为30 cm的正体实心模具(不计损耗),则至少需要 ( )
A.5个这样的实心铁球
B.6个这样的实心铁球
C.7个这样的实心铁球
D.8个这样的实心铁球
【解析】选C.直径为20 cm的实心铁球的体积V1=π×103=π;一个棱长为30 cm的正体实心模具的体积V2=303=27 000,设至少需要n个这样的实心铁球,则πn≥27 000,解得n≥,6<<7,故至少需要7个这样的实心铁球.
2.水平桌面上放置了4个半径为2的小球,4个小球的球心构成正形,且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球,则半球形容器内壁的半径的最小值为 ( )
A.4 B.2+2 C.2+2 D.6
【解析】选C.要使半球形容器内壁的半径最小,只需保证小球与球各面(含球面部分)都相切,
此时,如图所示,O为半球的球心,A为其中一个小球球心,则OA是棱长为2的正体的体对角线,且该小球与半球球面上的切点与O,A共线,所以半球形容器内壁的半径的最小值为小球半径与OA长度之和,即2+2.
探究点三 常见几何体与球的切、接问题
【典例3】(一题多问)
已知三棱锥P-ABC,球O,解决下列问题.
(1)三棱锥P-ABC的外接球O,PC为球O的直径,且PC=2,PA=PB=,AB=1,那么三棱锥P-ABC的体积为多少
(2)三棱锥P-ABC的侧棱PA,PB,PC两两垂直,且侧面面积分别为4,4,8,则该三棱锥内切球的半径是多少
(3)三棱锥P-ABC的所有棱长均为3,球O与棱PA,PB,PC都相切,且平面ABC被球O截得的截面面积为2π,则球O的半径是多少
(4)三棱锥P-ABC的四个顶点均在球O的球面上,PA=BC=2,PB=AC=,PC=AB=,Q为球O的球面上一动点,则点Q到平面PAB的最大距离是多少
【问题解读】(1)先证明△ABC为等边三角形,再求点O到平面ABC的距离d,进一步求出点P到平面ABC的距离,从而求出三棱锥P-ABC的体积.
(2)结合题意可得PB=PC=4,PA=2,进而由勾股定理可得AB=AC=2,BC=4,从而求得S△ABC,再利用等体积法即可求解.
(3)过点P向底面ABC作垂线,垂足为O1,连接AO1,由球O截平面ABC所得的截面面积为2π,得截面圆的半径为,设球O的半径为R,得OO1=,过O作PA的垂线,垂足为D,得△PAO1∽△POD,可得=,进而求得R=.
(4)以三棱锥的棱作为长体的面对角线,可将其补为长体,根据长体外接球半径的求法可求得球O的半径R,利用正弦定理可求得△PAB的外接圆半径,进而求得球心O到平面PAB的距离,则最大距离为d+R.
【解析】(1)由PC为球O的直径可知,PA⊥AC,PB⊥BC,即AC=BC=1,又AB=1,
所以△ABC为等边三角形,即△ABC外接圆的半径r=,
因为球O的半径R=1,所以点O到平面ABC的距离d==,
故顶点P到平面ABC的距离为2d=,所以VP-ABC=×12×=.
(2)由题意,可得,
解得PB=PC=4,PA=2,
由勾股定理可得AB=AC=2,BC=4,
设BC中点为M,连接AM,则AM⊥BC,且MC=BC=2,所以AM==2,即S△ABC=BC·AM=×4×2=4.
设该三棱锥内切球的球心为O,半径为r,
由VP-ABC=VO-PAB+VO-PBC+VO-PAC+VO-ABC,
即S△PAC·PB=r(S△PAB+S△PBC+S△PAC+S△ABC),
即×2×4×4=r(×2×4+×4×4+×2×4+4),
解得r=.
(3)过点P向底面ABC作垂线,垂足为O1,连接AO1,
则球心O在线段PO1或其延长线上,O1为正△ABC的中心,
则AO1=AB=,PO1==.
设球O的半径为R,因为球O截平面ABC所得的截面面积为2π,
所以截面圆的半径为,所以OO1=,R≥.
过O作PA的垂线,垂足为D,则OD=R,
△PAO1∽△POD,所以=.
①当点O在线段PO1上时,=,即=-R,
则R2-3R+4=0,且-R≥0,解得R=;
②当点O在线段PO1的延长线上时,=,即=R-,
则R2-3R+4=0,且R-≥0,解得R=2或R=,
当R=时,点O,O1重合,此时点O不在线段PO1的延长线上,故舍去;当R=2时,切点D不在棱PA上,不符合题意.
综合①②可知,R=.
(4)因为PA=BC=2,PB=AC=,PC=AB=,
所以可将三棱锥P-ABC补成如图所示的长体ADPH-EBFC,
所以BD2+BE2=AB2=3,BD2+BF2=PB2=5,BE2+BF2=BC2=4,
所以BD2+BE2+BF2=6,所以球O的半径R==;
在△PAB中,cos∠ABP===,则sin∠ABP=.
设△PAB的外接圆半径为r,则2r=,解得r=,
则球心O到平面PAB的距离d===,
所以点Q到平面PAB的最大距离为+.
【类题通法】
常见的几何体与球的切、接问题的解决策
(1)解决球与几何体的切、接问题的关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来计算.
(2)具体作法
①内切球问题:找过切点和球心的截面.
②外接球问题:由球心和几何体顶点抽象得出新几何体或过球心作截面.
【定向训练】
1.(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3和4,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 ( )
A.100π B.128π C.144π D.192π
【解析】选A.设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为r1,r2,所以2r1=,2r2=,即r1=3,r2=4,设球心到上、下底面的距离分别为d1,d2,球的半径为R,所以d1=,d2=,
故|d1-d2|=1或d1+d2=1,
即|-|=1或+=1,解得R2=25符合题意,所以球的表面积为S=4πR2=100π.
2.如图,该几何体为两个底面半径为1,高为1的相同的圆锥形成的组合体,设它的体积为V1,它的内切球的体积为V2,则V1∶V2= ( )
A.2∶ B.2∶3
C.1∶ D.∶1
【解析】选D.如图,四边形PAP'B为该几何体的轴截面,则四边形PAP'B的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径,设内切球的半径为r,由OP=OA=1,得r=,则V2=πr3=,V1=2×π×12×1=,所以V1∶V2=∶1.
【题后反思】画出该几何体的轴截面,利用几何知识求出内切球半径,结合球的体积公式以及圆锥体积公式求解.
课堂学业达标
1.已知圆台的体积为152π,两底面圆的半径分别为4和6,则圆台的高为 ( )
A.6 B.2 C.4 D.5
【解析】选A.设圆台的高为h,且上、下两底面面积分别为S1=π×42=16π,S2=π×62=36π,根据圆台的体积公式可得(S1+S2+)h=(16π+36π+)h=152π,解得h=6.
2.一个圆柱的侧面展开图是一个正形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.设底面圆半径为r,母线长为h,
所以h=2πr,则====.
3.将边长为1的正形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是 ( )
A.4π B.3π C.2π D.π
【解析】选C.所得旋转体为圆柱,圆柱的底面圆半径为1,高为1,侧面积S=2πrh=2π×1×1=2π.
4.(2021·国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为 .
【解析】依题设可知:30π=πr2h=12πh,
所以h=,母线l=,
所以该圆锥的侧面积为πrl=6×π=39π.
答案:39π
5.已知三个球的表面积之比是1∶2∶3,则这三个球的体积之比为 .
【解析】设三个球的半径分别为a,b,c,
根据球的表面积公式得出4πa2∶4πb2∶4πc2=a2∶b2∶c2=1∶2∶3,所以a∶b∶c=1∶,
因此,这三个球的体积之比为=a3∶b3∶c3=1∶2∶3.
答案:1∶2∶3
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