(共40张PPT)
课前自主学习
课堂合作探究
课堂学业达标
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面
素养目标 思维导图
借助长体,在直观认识空间点、直线、平 面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直 线、平面的位置关系的定义,了解3个基本 事实.(直观想象、数学抽象、逻辑推理)
课前自主学习
问题1.如图所示,直线a与直线b相交于点A,用符号表示能否记为a∩b={A}
提示:一般不记作a∩b={A},而记作a∩b=A,这里的A既是一个点,又可以理解为只含一个元素(点)的集合.
问题2.若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上,直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系
提示:直尺边缘上的其余点都在桌面上.
问题3.两个平面有三个公共点,这两个平面重合吗
提示:不一定,当三点在同一条直线上时,不能判断两个平面重合;当三点不在同一条直线上时,根据不共线的三点确定一个平面,两平面重合.
问题4.观察正体ABCD-A1B1C1D1(如图所示),平面AB1D1与平面BCC1B1只有公共点B1吗
提示:因为平面是可以无限延展的,所以平面AB1D1与平面BCC1B1不只有公共点B1,而是有一条公共直线.
【核心概念】
1.平面的概念
(1)平面是一个不加定义,只需理解的原始概念.
(2)立体几何里的平面是从呈现平面形的物体中抽象出来的.如课桌面、黑板面、平静的水面都给我们平面的局部形象.
2.平面的画法
常常把水平的平面画成一个___________,并且 其锐角画成____,且横边长等于邻边长的__倍
一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强立体感, 被遮挡部分用_____画出来
平行四边形
45°
2
虚线
3.平面的表示法
(1)用_________表示,如平面α,平面β,平面γ.
(2)用表示平面的平行四边形的_________的大写字母表示,如平面ABCD.
(3)用表示平面的平行四边形的相对的两个_____表示,如平面AC,平面BD.
希腊字母
四个顶点
顶点
4.基本事实1
文字语言 过_______的三点,有且只有一个平面
图形语言
符号语言 A,B,C三点_______ 有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α
作用 确定平面
证明四点共面
不共线
不共线
5.基本事实2
文字语言 如果一条直线上的_______在一个平面内,那么这条直线在此平面内
图形语言
符号语言 A∈l,B∈l,且A∈α,
B∈α ____
作用 判断点在平面内
判断直线在平面内
用直线检验平面
两个点
l α
6.基本事实3
文字语言 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条
过该点的公共直线
图形语言
符号语言 P∈α,且P∈β α∩β=l,且P∈l
作用 确定平面相交
证明三线共点或三点共线
7.推论
推论1 经过一条直线和这条直线外_____,有且只有一个平面(图①).
推论2 经过两条_________,有且只有一个平面(图②).
推论3 经过两条_________,有且只有一个平面(图③).
一点
相交直线
平行直线
课堂合作探究
探究点一 平面的概念及表示
【典例1】(1)下面说法中正确的是( )
A.任何一个平面图形都是一个平面
B.平静的太平洋面是平面
C.平面就是平行四边形
D.在几何体的直观图中,平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面
【思维导引】根据平面的概念,逐项判断.
【解析】选D.对于A,平面是无限延展的,所以一个平面图形不是一个平面,所以A不正确;对于B,平静的太平洋面是个有边界的图形,不是平面,所以B不正确;对于C,平面可以用平行四边形表示,但平面不是平行四边形,所以C不正确;对于D,在几何体的直观图中,平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面,所以D正确.
√
(2)三个平面将空间分成7个部分的示意图是 ( )
【思维导引】根据空间中平面位置关系逐项判断.
【解析】选C.对于A,三个平面将空间分成4个部分,不符合题意;对于B,三个平面将空间分成6个部分,不符合题意;对于C,三个平面将空间分成7个部分,符合题意;对于D,三个平面将空间分成8个部分,不符合题意.
√
(3)用符号表示“点A不在直线m上,直线m在平面α内”,正确的是 ( )
A.A m,m α B.A m,m∈α
C.A m,m α D.A m,m∈α
【思维导引】根据点、线以及线、面的位置关系用符号表示,即得答案.
【解析】选A.由题意用符号表示“点A不在直线m上,直线m在平面α内”,
即A m,m α.
√
【类题通法】
三种语言的转换法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
(3)转化时要注意符号的使用,“∈”或“ ”反映的是点与线,点与面的关系,而“ ”或“ ”反映的是直线与平面的关系.
【定向训练】
1.下列各图符合立体几何作图规范要求的是( )
A.直线在平面内
B.平面与平面相交
C.直线与平面相交
D.两直线异面
√
【解析】选D.若直线在平面内,应将直线画在平面内,A错误;
平面与平面相交时,两个平面相交于直线,而不是点,B错误;
直线与平面相交,看不到的部分应当画虚线,C错误;
对于D,两直线异面满足作图规范.
2.用符号表示下列语句,并画出图形.
(1)点A在平面α内且在平面β外;
(2)直线a经过平面α内一点A,α外一点B;
(3)直线a在平面α内,也在平面β内.
【解析】(1)A∈α,A β.如图①所示.
(2)A∈a,B∈a,A∈α,B α.如图②所示.
(3)α∩β=a.如图③所示.
探究点二 确定平面及点、线共面问题
【典例2】(1)有下列四个结论:
①两条相交直线确定一个平面;
②两条平行直线确定一个平面;
③三个点确定一个平面;
④一条直线和一点确定一个平面.
正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
【思维导引】根据平面的有关概念进行分析,从而确定正确答案.
【解析】选B.两条相交直线确定一个平面,两条平行直线确定一个平面,①②正确.在同一直线上的三个点不能确定一个平面,③错误.直线和直线上一点不能确定一个平面,④错误.所以正确的有2个.
(2)四条线段首尾相接得到一个四边形,当且仅当它的两条对角线 时,才是一个平面图形.
【思维导引】应用空间想象,讨论对角线不相交、相交两种情况分析得结论.
【解析】当两条对角线不相交时,四边形的四个顶点不共面,故不是平面图形,如图,
对角线BD,AC不相交,即ABCD为空间四边形;
当两条对角线相交时,四边形的四个顶点共面,是平面图形,如图,
对角线BD,AC相交,即ABCD为平面四边形.
答案:相交
(3)(一题多问)
已知正体ABCD-A1B1C1D1中,M为AB的中点,N为BC的中点,P为线段CC1上一动点(不含C),过M,N,P的正体的截面记为α,解决下列问题.
①当P为CC1的中点时,截面α是什么平面图形
②当≤时,截面α是什么平面图形
③当截面α为四边形时,该四边形是什么平面图形
【问题解读】①延长MN交DA的延长线于M',交DC的延长线于N',连接并延长N'P交C1D1于T,取A1D1的中点S,连接M'S交AA1于P',连接AC,A1C1,ST,结合图形即可判断;
②延长MN交DA的延长线于M',交DC的延长线于N',连接N'D1交CC1于P,连接M'D1交AA1于P',判断截面α的形状,求出即可判断;
③当截面α为四边形时,点P与点C1重合,判断四边形A1MNC1的形状即可.
【解析】①如图所示,延长MN交DA的延长线于M',交DC的延长线于N',连接并延长N'P交C1D1于T,取A1D1的中点S,连接M'S交AA1于P',连接AC,A1C1,ST,
此时六边形STPNMP'为截面α,
所以截面α为六边形.
②如图所示,延长MN交DA的延长线于M',交DC的延长线于N',连接N'D1交CC1于P,连接M'D1交AA1于P',此时截面α为五边形,
因为CD∥C1D1,所以△CPN'∽△C1PD1,
所以==,即=,
所以当≤时,截面α为五边形.
③当截面α为四边形时,点P与点C1重合,如图,
易得,MN∥A1C1,所以四边形A1MNC1即为截面α,
设正体的棱长为1,则NC1=,MA1=,所以NC1=MA1,
所以四边形A1MNC1是等腰梯形.
【类题通法】
证明点线共面的常用法
(1)纳入平面法:先由基本事实1或其推论确定一个平面,再由基本事实2证明有关点线在此平面内.
(2)辅助平面法:先证明有关的点线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
【定向训练】
1.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线
必过( )
A.点A B.点B
C.点C但不过点M D.点C和点M
【解析】选D.对于A,B,易得A,B β,故必不在γ与β的交线上,故A,B错误;对于C,D,因为过
A,B,C三点的平面记作γ,所以平面ABC与γ是同一个面,因为直线AB∩l=M,所以M∈AB 平
面ABC,则M∈γ,又C∈平面ABC,则C∈γ,所以MC γ;因为AB∩l=M,α∩β=l,所以M∈l β,又
C∈β,所以MC β,所以β∩γ=MC,所以γ与β的交线必过点C和点M,故C错误,D正确.
【题后反思】本题主要是利用点线面的位置关系证得MC γ与MC β,从而得到β∩γ=MC.
√
2.已知A,B,C,D,E是空间五个点,且线段CE,AC和BD两两相交,求证A,B,C,D,E这五个
点在同一平面上.
【解析】如图,设CA∩BD=M,CE∩BD=N,因为CA∩CE=C,
所以CA,CE确定一个平面α,因为M∈CA,所以M∈α,
同理N∈α,所以直线MN即直线BD α,所以B∈α,D∈α,
所以A,B,C,D,E这五个点在同一平面上.
探究点三 点共线、线共点问题
【典例3】如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4,E为A1D1的中点,经过BE的截
面与棱DD1,A1B1分别交于点F,G,直线BG与EF不平行.证明:直线BG,EF,AA1共点.
【思维导引】先设BG与EF有一公共点,再根据基本事实3证明该
公共点在直线AA1上即可.
【证明】因为B,E,F,G四点共面,BG不平行于EF,所以设BG∩EF=P,
又因为BG 平面ABB1A1,EF 平面ADD1A1,BG,EF均不平行于AA1,
P为平面ABB1A1与ADD1A1的公共点,
因为平面ABB1A1∩平面ADD1A1=AA1,
所以根据基本事实3可得P∈AA1,所以直线BG,EF,AA1共点.
【类题通法】
证明多点共线的法
(1)选择两点确定一条直线,然后证明其他点在这条直线上;
(2)证明这些点都在两个平面内,而两平面相交,因此这些点都在两平面的交线上.
【定向训练】
如图,已知平面α,β,且α∩β=l,设在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB α,CD β.
求证:AB,CD,l共点.
【证明】如图,梯形ABCD中,因为AD∥BC,
所以AB与CD必交于一点,
设AB交CD于点M,则M∈AB,M∈CD,
又因为AB α,CD β,所以M∈α,M∈β,
又因为α∩β=l,所以M∈l,
所以AB,CD,l共点.
课堂学业达标
1.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为 ( )
A.平面MN B.平面NQP
C.平面α D.平面MNPQ
【解析】选A.MN是平行四边形MNPQ的一条边,不是对角线,
所以不能记作平面MN.
√
2.下列各图均是正六棱柱,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形是
( )
【解析】选D.在选项A,B,C中,由棱柱、正六边形、中位线的性质,知均有PS∥QR,
即在此三个图形中,P,Q,R,S共面.
√
3.在空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果GH与EF交于
一点P,则 ( )
A.P一定在直线BD上
B.P一定在直线AC上
C.P在直线AC或BD上
D.P既不在直线BD上,也不在AC上
【解析】选B.由题意知GH 平面ADC,GH与EF交于一点P,所以P∈平面ADC.
同理,P∈平面ABC.
因为平面ABC∩平面ADC=AC,由基本事实3可知点P一定在直线AC上.
√
4.命题“空间中任意不同的三点确定一个平面”是 命题.(填“真”或“假”)
【解析】因为过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面,当三点共线时可以确定无数个平面,所以命题为假命题.
答案:假
5.看图填空:
(1)AC∩BD= ;
(2)平面AA1B1B∩平面A1D1C1B1= ;
(3)平面A1C1CA∩平面ABCD= ;
(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD= .
答案:(1)O (2)A1B1 (3)AC (4)OO18.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面
素养目标 思维导图
借助长体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义,了解3个基本事实.(直观想象、数学抽象、逻辑推理)
课前自主学习
问题1.如图所示,直线a与直线b相交于点A,用符号表示能否记为a∩b={A}
提示:一般不记作a∩b={A},而记作a∩b=A,这里的A既是一个点,又可以理解为只含一个元素(点)的集合.
问题2.若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上,直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系
提示:直尺边缘上的其余点都在桌面上.
问题3.两个平面有三个公共点,这两个平面重合吗
提示:不一定,当三点在同一条直线上时,不能判断两个平面重合;当三点不在同一条直线上时,根据不共线的三点确定一个平面,两平面重合.
问题4.观察正体ABCD-A1B1C1D1(如图所示),平面AB1D1与平面BCC1B1只有公共点B1吗
提示:因为平面是可以无限延展的,所以平面AB1D1与平面BCC1B1不只有公共点B1,而是有一条公共直线.
【核心概念】
1.平面的概念
(1)平面是一个不加定义,只需理解的原始概念.
(2)立体几何里的平面是从呈现平面形的物体中抽象出来的.如课桌面、黑板面、平静的水面都给我们平面的局部形象.
2.平面的画法
常常把水平的平面画成一个平行四边形,并且其锐角画成45°,且横边长等于邻边长的2倍
一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强立体感,被遮挡部分用虚线画出来
3.平面的表示法
(1)用希腊字母表示,如平面α,平面β,平面γ.
(2)用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示,如平面ABCD.
(3)用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示,如平面AC,平面BD.
4.基本事实1
文字 语言 过不共线的三点,有且只有一个平面
图形 语言
符号 语言 A,B,C三点不共线 有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α
作用 确定平面
证明四点共面
5.基本事实2
文字 语言 如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
图形 语言
符号 语言 A∈l,B∈l,且A∈α, B∈α l α
作用 判断点在平面内
判断直线在平面内
用直线检验平面
6.基本事实3
文字 语言 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
图形 语言
符号 语言 P∈α,且P∈β α∩β=l,且P∈l
作用 确定平面相交
证明三线共点或三点共线
7.推论
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面(图①).
推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面(图②).
推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面(图③).
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探究点一 平面的概念及表示
【典例1】(1)下面说法中正确的是 ( )
A.任何一个平面图形都是一个平面
B.平静的太平洋面是平面
C.平面就是平行四边形
D.在几何体的直观图中,平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面
【思维导引】根据平面的概念,逐项判断.
【解析】选D.对于A,平面是无限延展的,所以一个平面图形不是一个平面,所以A不正确;对于B,平静的太平洋面是个有边界的图形,不是平面,所以B不正确;对于C,平面可以用平行四边形表示,但平面不是平行四边形,所以C不正确;对于D,在几何体的直观图中,平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面,所以D正确.
(2)三个平面将空间分成7个部分的示意图是 ( )
【思维导引】根据空间中平面位置关系逐项判断.
【解析】选C.对于A,三个平面将空间分成4个部分,不符合题意;对于B,三个平面将空间分成6个部分,不符合题意;对于C,三个平面将空间分成7个部分,符合题意;对于D,三个平面将空间分成8个部分,不符合题意.
(3)用符号表示“点A不在直线m上,直线m在平面α内”,正确的是 ( )
A.A m,m α B.A m,m∈α
C.A m,m α D.A m,m∈α
【思维导引】根据点、线以及线、面的位置关系用符号表示,即得答案.
【解析】选A.由题意用符号表示“点A不在直线m上,直线m在平面α内”,即A m,m α.
【类题通法】
三种语言的转换法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
(3)转化时要注意符号的使用,“∈”或“ ”反映的是点与线,点与面的关系,而“ ”或“ ”反映的是直线与平面的关系.
【定向训练】
1.下列各图符合立体几何作图规范要求的是 ( )
A.直线在平面内
B.平面与平面相交
C.直线与平面相交
D.两直线异面
【解析】选D.若直线在平面内,应将直线画在平面内,A错误;
平面与平面相交时,两个平面相交于直线,而不是点,B错误;
直线与平面相交,看不到的部分应当画虚线,C错误;
对于D,两直线异面满足作图规范.
2.用符号表示下列语句,并画出图形.
(1)点A在平面α内且在平面β外;
(2)直线a经过平面α内一点A,α外一点B;
(3)直线a在平面α内,也在平面β内.
【解析】(1)A∈α,A β.如图①所示.
(2)A∈a,B∈a,A∈α,B α.如图②所示.
(3)α∩β=a.如图③所示.
探究点二 确定平面及点、线共面问题
【典例2】(1)有下列四个结论:
①两条相交直线确定一个平面;
②两条平行直线确定一个平面;
③三个点确定一个平面;
④一条直线和一点确定一个平面.
正确的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【思维导引】根据平面的有关概念进行分析,从而确定正确答案.
【解析】选B.两条相交直线确定一个平面,两条平行直线确定一个平面,①②正确.在同一直线上的三个点不能确定一个平面,③错误.直线和直线上一点不能确定一个平面,④错误.所以正确的有2个.
(2)四条线段首尾相接得到一个四边形,当且仅当它的两条对角线 时,才是一个平面图形.
【思维导引】应用空间想象,讨论对角线不相交、相交两种情况分析得结论.
【解析】当两条对角线不相交时,四边形的四个顶点不共面,故不是平面图形,如图,
对角线BD,AC不相交,即ABCD为空间四边形;
当两条对角线相交时,四边形的四个顶点共面,是平面图形,如图,
对角线BD,AC相交,即ABCD为平面四边形.
答案:相交
(3)(一题多问)
已知正体ABCD-A1B1C1D1中,M为AB的中点,N为BC的中点,P为线段CC1上一动点(不含C),过M,N,P的正体的截面记为α,解决下列问题.
①当P为CC1的中点时,截面α是什么平面图形
②当≤时,截面α是什么平面图形
③当截面α为四边形时,该四边形是什么平面图形
【问题解读】①延长MN交DA的延长线于M',交DC的延长线于N',连接并延长N'P交C1D1于T,取A1D1的中点S,连接M'S交AA1于P',连接AC,A1C1,ST,结合图形即可判断;
②延长MN交DA的延长线于M',交DC的延长线于N',连接N'D1交CC1于P,连接M'D1交AA1于P',判断截面α的形状,求出即可判断;
③当截面α为四边形时,点P与点C1重合,判断四边形A1MNC1的形状即可.
【解析】①如图所示,延长MN交DA的延长线于M',交DC的延长线于N',连接并延长N'P交C1D1于T,取A1D1的中点S,连接M'S交AA1于P',连接AC,A1C1,ST,
此时六边形STPNMP'为截面α,
所以截面α为六边形.
②如图所示,延长MN交DA的延长线于M',交DC的延长线于N',连接N'D1交CC1于P,连接M'D1交AA1于P',此时截面α为五边形,
因为CD∥C1D1,所以△CPN'∽△C1PD1,
所以==,即=,
所以当≤时,截面α为五边形.
③当截面α为四边形时,点P与点C1重合,如图,
易得,MN∥A1C1,所以四边形A1MNC1即为截面α,
设正体的棱长为1,则NC1=,MA1=,所以NC1=MA1,
所以四边形A1MNC1是等腰梯形.
【类题通法】
证明点线共面的常用法
(1)纳入平面法:先由基本事实1或其推论确定一个平面,再由基本事实2证明有关点线在此平面内.
(2)辅助平面法:先证明有关的点线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
【定向训练】
1.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必过 ( )
A.点A B.点B
C.点C但不过点M D.点C和点M
【解析】选D.对于A,B,易得A,B β,故必不在γ与β的交线上,故A,B错误;对于C,D,因为过A,B,C三点的平面记作γ,所以平面ABC与γ是同一个面,因为直线AB∩l=M,所以M∈AB 平面ABC,则M∈γ,又C∈平面ABC,则C∈γ,所以MC γ;因为AB∩l=M,α∩β=l,所以M∈l β,又C∈β,所以MC β,所以β∩γ=MC,所以γ与β的交线必过点C和点M,故C错误,D正确.
【题后反思】本题主要是利用点线面的位置关系证得MC γ与MC β,从而得到β∩γ=MC.
2.已知A,B,C,D,E是空间五个点,且线段CE,AC和BD两两相交,求证A,B,C,D,E这五个点在同一平面上.
【解析】如图,设CA∩BD=M,CE∩BD=N,因为CA∩CE=C,
所以CA,CE确定一个平面α,因为M∈CA,所以M∈α,
同理N∈α,所以直线MN即直线BD α,所以B∈α,D∈α,
所以A,B,C,D,E这五个点在同一平面上.
探究点三 点共线、线共点问题
【典例3】如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4,E为A1D1的中点,经过BE的截面与棱DD1,A1B1分别交于点F,G,直线BG与EF不平行.证明:直线BG,EF,AA1共点.
【思维导引】先设BG与EF有一公共点,再根据基本事实3证明该公共点在直线AA1上即可.
【证明】因为B,E,F,G四点共面,BG不平行于EF,所以设BG∩EF=P,
又因为BG 平面ABB1A1,EF 平面ADD1A1,BG,EF均不平行于AA1,
P为平面ABB1A1与ADD1A1的公共点,
因为平面ABB1A1∩平面ADD1A1=AA1,
所以根据基本事实3可得P∈AA1,所以直线BG,EF,AA1共点.
【类题通法】
证明多点共线的法
(1)选择两点确定一条直线,然后证明其他点在这条直线上;
(2)证明这些点都在两个平面内,而两平面相交,因此这些点都在两平面的交线上.
【定向训练】
如图,已知平面α,β,且α∩β=l,设在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB α,CD β.求证:AB,CD,l共点.
【证明】如图,梯形ABCD中,因为AD∥BC,所以AB与CD必交于一点,
设AB交CD于点M,则M∈AB,M∈CD,
又因为AB α,CD β,所以M∈α,M∈β,
又因为α∩β=l,所以M∈l,
所以AB,CD,l共点.
课堂学业达标
1.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为 ( )
A.平面MN B.平面NQP
C.平面α D.平面MNPQ
【解析】选A.MN是平行四边形MNPQ的一条边,不是对角线,所以不能记作平面MN.
2.下列各图均是正六棱柱,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形是 ( )
【解析】选D.在选项A,B,C中,由棱柱、正六边形、中位线的性质,知均有PS∥QR,即在此三个图形中,P,Q,R,S共面.
3.在空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果GH与EF交于一点P,则 ( )
A.P一定在直线BD上
B.P一定在直线AC上
C.P在直线AC或BD上
D.P既不在直线BD上,也不在AC上
【解析】选B.由题意知GH 平面ADC,GH与EF交于一点P,所以P∈平面ADC.
同理,P∈平面ABC.
因为平面ABC∩平面ADC=AC,由基本事实3可知点P一定在直线AC上.
4.命题“空间中任意不同的三点确定一个平面”是 命题.(填“真”或“假”)
【解析】因为过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面,当三点共线时可以确定无数个平面,所以命题为假命题.
答案:假
5.看图填空:
(1)AC∩BD= ;
(2)平面AA1B1B∩平面A1D1C1B1= ;
(3)平面A1C1CA∩平面ABCD= ;
(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD= .
答案:(1)O (2)A1B1 (3)AC (4)OO1
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