(共29张PPT)
课前自主学习
课堂合作探究
课堂学业达标
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
素养目标 思维导图
1.以长体为载体,认识和理解空间点、直 线、平面的位置关系.(直观想象) 2.借助长体,在直观认识空间点、直线、 平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、 直线、平面的位置关系的定义.(数学抽象)
课前自主学习
问题1.如图,ABCD-A1B1C1D1是一个长体,观察图中的直线,你能得出哪些位置关
系
提示:①平行关系:AD与BC,BC与B1C1等所在直线是平行关系.
②相交关系:AB与BC,A1B与BC等所在直线是相交关系.
③异面关系:AA1与BC所在直线,它们既不相交也不平行是异面关系.
问题2.观察如图所示的长体ABCD-A'B'C'D',回答下面问题.
(1)①直线D'C与平面DCC'D'有多少个公共点
提示:直线D'C与平面DCC'D'有无数个公共点.
②直线D'C与平面BCC'B'有多少个公共点
提示:直线D'C与平面BCC'B'有一个公共点.
③直线D'C与平面ABB'A'有多少个公共点
提示:直线D'C与平面ABB'A'没有公共点.
问题3.观察如图长体ABCD-A'B'C'D',
在长体的6个面中,两两之间的位置关系有几种
提示:有两种位置关系:平行与相交,如平面AA'B'B∥平面DD'C'C,
平面AA'B'B与平面BB'C'C相交于直线BB'.
【核心概念】
1.点、直线、平面位置关系的符号表示
一般用符号“∈”“∩”“ ”等描述点、直线、平面之间的位置关系.若A是点,l,m是直
线,α,β是平面,则有:
图形语言 文字语言 符号语言
点A在直线l上 _____
点A在直线l外 ____
点A在平面α内 ______
A∈l
A l
A∈α
图形语言 文字语言 符号语言
点A在平面α外 _____
直线l在平面α内 ____
直线l在平面α外 ____
直线l,m相交于点A _______
直线l与平面α相交于点A _______
平面α,β相交于直线l ______
A α
l α
l α
l∩m=A
l∩α=A
α∩β=l
2.异面直线的定义及画法
(1)异面直线:不同在_________平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(平面衬托法):
如图①②所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来
衬托.
任何一个
3.空间直线的位置关系
(1)从是否有公共点的角度来分:
(2)从是否共面的角度来分:
4.直线与平面的位置关系有且只有三种
(1)直线在平面内——有无数个公共点;
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点;
(3)直线与平面平行——没有公共点.
当直线与平面相交或平行时,直线不在平面内,也称为直线在平面外.
下图表示了直线与平面的三种位置关系.
5.两个平面之间的位置关系有且只有以下两种
(1)两个平面平行——没有公共点;
(2)两个平面相交——有一条公共直线.
提醒:画两个互相平行的平面时,要注意使平面的两个平行四边形的对应边平行.平面α与平面β平行,记作α∥β.
课堂合作探究
探究点一 空间中直线与直线的位置关系
【典例1】(1)空间中,如果两条直线m与n没有公共点,那么m与n( )
A.共面
B.平行
C.是异面直线
D.可能平行,也可能是异面直线
【思维导引】根据空间中两条直线的位置关系,即可求解.
【解析】选D.根据空间中两条直线的位置关系,可得,空间中如果两条直线m与n没有公共点,那么m与n可能平行,也可能是异面直线.
√
(2)如图,已知E,F分别为三棱锥D-ABC的棱AB,DC的中点,则直线DE与BF的位置关
系是 (填“平行”“异面”或“相交”).
【思维导引】假设共面推出矛盾.
【解析】假设直线DE,BF共面,EB 平面DEBF,由A∈EB,则AB 平面DEBF,
同理,DC 平面DEBF,故AB,CD共面,
这与D-ABC是三棱锥矛盾,故假设错误,所以直线DE,BF异面.
答案:异面
【类题通法】
异面直线的两种判断法
图形判断法:过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)
反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严密推理,得出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线是异面直线.
【定向训练】
若直线a∩平面α=A,直线b 平面α,则直线a与直线b的位置关系为 .
【解析】由题意知,直线a与平面α相交于点A,直线b在平面α内,所以直线a与直线b的位置有两种情况:当A点在直线b上时,则直线a与直线b相交;当A点不在直线b上时,则直线a与直线b异面;所以,直线a与直线b的位置关系为相交或异面.
答案:相交或异面
探究点二 直线与平面的位置关系
【典例2】(1)已知空间中点A,B,直线l,平面α,若A∈l,B∈l,A α,B∈α,则下列结论正
确的是( )
A.l∥α B.l与α相交
C.l α D.以上都有可能
【思维导引】根据点、线和平面的位置关系求解.
【解析】选B.因为A∈l,A α,所以l α,又因为B∈l,B∈α,所以l与α相交.
√
(2)(多选)若直线l与平面α相交,则下列结论正确的是 ( )
A.平面α内存在无数条直线和直线l异面
B.平面α内任意直线都和直线l不平行
C.平面α内有且仅有一条直线和直线l相交
D.平面α内任意直线都与直线l相交
【思维导引】根据直线与平面的位置关系进行逐一分析判断.
√
√
【解析】选AB.因为直线l与平面α相交,所以平面α内的直线与直线l的关系为相交或异面,
对于A:平面α内存在无数条直线和直线l异面,故A正确;
对于B:平面α内任意直线都和直线l不平行,故B正确;
对于C:平面α内有无数条直线和直线l相交,故C错误;
对于D:平面α内任意直线都与直线l相交或异面,故D错误.
【类题通法】
直线与平面位置关系的判定法
(1)判断直线在平面内:需找到直线上两点在平面内,根据基本事实2知直线在平面内.
(2)判断直线与平面相交:根据定义只需判定直线与平面有且只有一个公共点.
(3)判断直线与平面平行:可根据定义判断直线与平面没有公共点,也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直线与平面平行.
【定向训练】
已知a,b是两条不同的直线,α为一个平面,a α,则“b∥α”是“a,b无公共点”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由b∥α得直线b与平面α无公共点,由a α得a,b无公共点,充分性成立.
由a,b无公共点得a∥b或a,b为异面直线,b∥α不一定成立,必要性不一定成立.
故“b∥α”是“a,b无公共点”的充分不必要条件.
√
探究点三 平面与平面的位置关系
【典例3】已知正四棱锥P-ABCD如图所示,试判断下列点、线、面之间的位置关系.
(1)点P与平面ABCD;
(2)直线PC与AB,直线AB与CD;
(3)平面PCD与平面PCB,平面PAB与平面PCD.
【解析】(1)点P在平面ABCD外.
(2)直线PC与AB异面,直线AB与CD平行.
(3)平面PCD与平面PCB有公共直线PC,所以两平面相交,平面PAB与平面PCD有公共点P,所以两平面也相交.
【类题通法】
面面位置关系的两种判定法
(1)定义法:仔细分析题目条件,将自然语言转化为图形语言,通过图形借助定义确定两平面的位置关系.
(2)借助几何模型判断:线、面之间的位置关系在长体中能很好地体现,所以对于位置关系的判断要注意利用这一熟悉的图形找到反例或对应的关系.
课堂学业达标
1.异面直线是 ( )
A.空间不相交的两条直线
B.分别位于两个平面内的直线
C.平面内的一条直线与这个平面外的一条直线
D.不同在任何一个平面内的两条直线
【解析】选D.根据异面直线的概念可知.
√
2.若直线l1与l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下
列结论正确的是 ( )
A.l与l1,l2都不相交
B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交
D.l至少与l1,l2中的一条相交
【解析】选D.l至少与l1,l2中的一条相交,否则l∥l1,l∥l2得l1∥l2,与l1,l2异面矛盾.
√
3.(多选)设P表示一个点,a,b分别表示两条直线,α,β分别表示两个平面,下列说法正
确的是 ( )
A.若P∈a,P∈α,则a α
B.若a∩b=P,b β,则a β
C.若a∥b,a α,P∈b,P∈α,则b α
D.若α∩β=b,P∈α,P∈β,则P∈b
【解析】选CD.当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a α,故A错;当a∩β=P时,B错;如图,因为
a∥b,P∈b,所以P a,所以由直线a和点P确定唯一平面α,又a∥b,由a与b确定唯一平
面β,但β经过直线a和点P,所以β与α重合,所以b α,故C正确;两个平面的公共点必在
其交线上,故D正确.
√
√
4.如图,已知正体ABCD-A1B1C1D1,判断下列直线的位置关系:
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是 ;
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是 ;
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是 ;
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是 .
【解析】由正体性质易知BC∥B1C1∥A1D1,BC=A1D1,故四边形A1D1CB为平行四边形,
故直线A1B∥D1C,则两直线平行;直线D1D与直线D1C相交于D1点,所以两直线相交;
直线A1 平面A1BB1,点B∈平面A1BB1而B A1B1,点C不在平面A1BB1内,则直线A1B与直
线B1C异面.同理,直线AB与直线B1C异面.
答案:(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
素养目标 思维导图
1.以长体为载体,认识和理解空间点、直线、平面的位置关系.(直观想象) 2.借助长体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.(数学抽象)
课前自主学习
问题1.如图,ABCD-A1B1C1D1是一个长体,观察图中的直线,你能得出哪些位置关系
提示:①平行关系:AD与BC,BC与B1C1等所在直线是平行关系.
②相交关系:AB与BC,A1B与BC等所在直线是相交关系.
③异面关系:AA1与BC所在直线,它们既不相交也不平行是异面关系.
问题2.观察如图所示的长体ABCD-A'B'C'D',回答下面问题.
(1)①直线D'C与平面DCC'D'有多少个公共点
提示:直线D'C与平面DCC'D'有无数个公共点.
②直线D'C与平面BCC'B'有多少个公共点
提示:直线D'C与平面BCC'B'有一个公共点.
③直线D'C与平面ABB'A'有多少个公共点
提示:直线D'C与平面ABB'A'没有公共点.
(2)直线D'C与平面DCC'D'、平面BCC'B'、平面ABB'A'存在怎样的位置关系
提示:直线D'C在平面DCC'D'内,与平面BCC'B'相交,与平面ABB'A'平行.
问题3.观察如图长体ABCD-A'B'C'D',
在长体的6个面中,两两之间的位置关系有几种
提示:有两种位置关系:平行与相交,如平面AA'B'B∥平面DD'C'C,平面AA'B'B与平面BB'C'C相交于直线BB'.
【核心概念】
1.点、直线、平面位置关系的符号表示
一般用符号“∈”“∩”“ ”等描述点、直线、平面之间的位置关系.若A是点,l,m是直线,α,β是平面,则有:
图形语言 文字语言 符号语言
点A在直线l上 A∈l
点A在直线l外 A l
点A在平面α内 A∈α
点A在平面α外 A α
直线l在平面α内 l α
直线l在平面α外 l α
直线l,m相交于点A l∩m=A
直线l与平面α相交于点A l∩α=A
平面α,β相交于直线l α∩β=l
2.异面直线的定义及画法
(1)异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(平面衬托法):
如图①②所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托.
3.空间直线的位置关系
(1)从是否有公共点的角度来分:
(2)从是否共面的角度来分:
4.直线与平面的位置关系有且只有三种
(1)直线在平面内——有无数个公共点;
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点;
(3)直线与平面平行——没有公共点.
当直线与平面相交或平行时,直线不在平面内,也称为直线在平面外.
下图表示了直线与平面的三种位置关系.
5.两个平面之间的位置关系有且只有以下两种
(1)两个平面平行——没有公共点;
(2)两个平面相交——有一条公共直线.
提醒:画两个互相平行的平面时,要注意使平面的两个平行四边形的对应边平行.平面α与平面β平行,记作α∥β.
课堂合作探究
探究点一 空间中直线与直线的位置关系
【典例1】(1)空间中,如果两条直线m与n没有公共点,那么m与n ( )
A.共面
B.平行
C.是异面直线
D.可能平行,也可能是异面直线
【思维导引】根据空间中两条直线的位置关系,即可求解.
【解析】选D.根据空间中两条直线的位置关系,可得,空间中如果两条直线m与n没有公共点,那么m与n可能平行,也可能是异面直线.
(2)如图,已知E,F分别为三棱锥D-ABC的棱AB,DC的中点,则直线DE与BF的位置关系是
(填“平行”“异面”或“相交”).
【思维导引】假设共面推出矛盾.
【解析】假设直线DE,BF共面,EB 平面DEBF,由A∈EB,则AB 平面DEBF,
同理,DC 平面DEBF,故AB,CD共面,
这与D-ABC是三棱锥矛盾,故假设错误,所以直线DE,BF异面.
答案:异面
【类题通法】
异面直线的两种判断法
图形判断法:过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)
反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严密推理,得出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线是异面直线.
【定向训练】
若直线a∩平面α=A,直线b 平面α,则直线a与直线b的位置关系为 .
【解析】由题意知,直线a与平面α相交于点A,直线b在平面α内,所以直线a与直线b的位置有两种情况:当A点在直线b上时,则直线a与直线b相交;当A点不在直线b上时,则直线a与直线b异面;所以,直线a与直线b的位置关系为相交或异面.
答案:相交或异面
探究点二 直线与平面的位置关系
【典例2】(1)已知空间中点A,B,直线l,平面α,若A∈l,B∈l,A α,B∈α,则下列结论正确的是 ( )
A.l∥α B.l与α相交
C.l α D.以上都有可能
【思维导引】根据点、线和平面的位置关系求解.
【解析】选B.因为A∈l,A α,所以l α,又因为B∈l,B∈α,所以l与α相交.
(2)(多选)若直线l与平面α相交,则下列结论正确的是 ( )
A.平面α内存在无数条直线和直线l异面
B.平面α内任意直线都和直线l不平行
C.平面α内有且仅有一条直线和直线l相交
D.平面α内任意直线都与直线l相交
【思维导引】根据直线与平面的位置关系进行逐一分析判断.
【解析】选AB.因为直线l与平面α相交,所以平面α内的直线与直线l的关系为相交或异面,
对于A:平面α内存在无数条直线和直线l异面,故A正确;
对于B:平面α内任意直线都和直线l不平行,故B正确;
对于C:平面α内有无数条直线和直线l相交,故C错误;
对于D:平面α内任意直线都与直线l相交或异面,故D错误.
【类题通法】
直线与平面位置关系的判定法
(1)判断直线在平面内:需找到直线上两点在平面内,根据基本事实2知直线在平面内.
(2)判断直线与平面相交:根据定义只需判定直线与平面有且只有一个公共点.
(3)判断直线与平面平行:可根据定义判断直线与平面没有公共点,也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直线与平面平行.
【定向训练】
已知a,b是两条不同的直线,α为一个平面,a α,则“b∥α”是“a,b无公共点”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由b∥α得直线b与平面α无公共点,由a α得a,b无公共点,充分性成立.
由a,b无公共点得a∥b或a,b为异面直线,b∥α不一定成立,必要性不一定成立.
故“b∥α”是“a,b无公共点”的充分不必要条件.
探究点三 平面与平面的位置关系
【典例3】已知正四棱锥P-ABCD如图所示,试判断下列点、线、面之间的位置关系.
(1)点P与平面ABCD;
(2)直线PC与AB,直线AB与CD;
(3)平面PCD与平面PCB,平面PAB与平面PCD.
【解析】(1)点P在平面ABCD外.
(2)直线PC与AB异面,直线AB与CD平行.
(3)平面PCD与平面PCB有公共直线PC,所以两平面相交,平面PAB与平面PCD有公共点P,所以两平面也相交.
【类题通法】
面面位置关系的两种判定法
(1)定义法:仔细分析题目条件,将自然语言转化为图形语言,通过图形借助定义确定两平面的位置关系.
(2)借助几何模型判断:线、面之间的位置关系在长体中能很好地体现,所以对于位置关系的判断要注意利用这一熟悉的图形找到反例或对应的关系.
课堂学业达标
1.异面直线是 ( )
A.空间不相交的两条直线
B.分别位于两个平面内的直线
C.平面内的一条直线与这个平面外的一条直线
D.不同在任何一个平面内的两条直线
【解析】选D.根据异面直线的概念可知.
2.若直线l1与l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列结论正确的是 ( )
A.l与l1,l2都不相交
B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交
D.l至少与l1,l2中的一条相交
【解析】选D.l至少与l1,l2中的一条相交,否则l∥l1,l∥l2得l1∥l2,与l1,l2异面矛盾.
3.(多选)设P表示一个点,a,b分别表示两条直线,α,β分别表示两个平面,下列说法正确的是 ( )
A.若P∈a,P∈α,则a α
B.若a∩b=P,b β,则a β
C.若a∥b,a α,P∈b,P∈α,则b α
D.若α∩β=b,P∈α,P∈β,则P∈b
【解析】选CD.当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a α,故A错;当a∩β=P时,B错;如图,因为a∥b,P∈b,所以P a,所以由直线a和点P确定唯一平面α,又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a和点P,所以β与α重合,所以b α,故C正确;两个平面的公共点必在其交线上,故D正确.
4.如图,已知正体ABCD-A1B1C1D1,判断下列直线的位置关系:
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是 ;
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是 ;
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是 ;
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是 .
【解析】由正体性质易知BC∥B1C1∥A1D1,BC=A1D1,故四边形A1D1CB为平行四边形,故直线A1B∥D1C,则两直线平行;直线D1D与直线D1C相交于D1点,所以两直线相交;
直线A1 平面A1BB1,点B∈平面A1BB1而B A1B1,点C不在平面A1BB1内,则直线A1B与直线B1C异面.同理,直线AB与直线B1C异面.
答案:(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
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