(共21张PPT)
课前自主学习
课堂合作探究
课堂学业达标
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
素养目标 思维导图
借助长体,在直观认识空间点、直线、 平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、 直线、平面的位置关系的定义,了解基本 事实4和等角定理.(直观想象)
课前自主学习
如图为足球球网,依据图形,分析下列问题.
问题1.直线AH与CF有没有公共点 是异面直线吗
提示:没有公共点,不是异面直线,是一对平行直线.
问题2.直线AH与直线BC有没有公共点 是平行直线吗
提示:没有公共点,不是平行直线,是一对异面直线.
问题3.∠HAD与∠EBC两边对应直线位置关系是什么 两角是否相等
提示:∠HAD与∠EBC两边对应直线AH与直线BE平行,直线AD与直线BC平行,两角相等.
【核心概念】
1.基本事实4
2.等角定理
空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角___________.
文字语言 平行于同一条直线的两条直线_____
图形语言
符号语言 直线a,b,c,a∥b,b∥c _____
作 用 证明两条直线平行
说 明 基本事实4表述的性质通常叫做空间平行线的_______
平行
a∥c
传递性
相等或互补
课堂合作探究
探究点一 直线与直线平行
【典例1】在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,DN∥BC,DN与EF相交于M.将平面DCEF沿EF翻折起来,使CD到C'D'的位置,连接AD',BC',G,H分别为AD'和BC'的中点,求证:四边形EFGH为平行四边形.
【思维导引】根据梯形中位线的性质得到GH∥EF且GH=EF,即可证明.
【证明】因为在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC,AD的中点,
所以EF∥AB且EF=(AB+CD),又C'D'∥EF,所以C'D'∥AB.
因为G,H分别为AD',BC'的中点,所以GH∥AB且GH=(AB+C'D')=(AB+CD),
所以GH∥EF且GH=EF,所以四边形EFGH为平行四边形.
【类题通法】
证明两条直线平行的两种法
(1)利用平行线的定义:证明两条直线在同一平面内且无公共点.
(2)利用基本事实4:寻找第三条直线,然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行,若题设条件中含有中点,则常利用三角形的中位线性质证明直线平行.
【定向训练】
如图,正体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为BC,CC1的中点,则平面AEF截正
体所得的截面面积为( )
A. B. C.9 D.18
√
【解析】选B.连接BC1,AD1,D1F,如图所示.
因为E,F分别是BC,CC1的中点,所以EF∥BC1,在正体中AD1∥BC1,所以EF∥AD1,
所以A,D1,E,F在同一平面内,所以平面AEF截该正体所得的截面为平面EFD1A,因
为正体的棱长为2,所以EF=,AD1=2,D1F=AE==,则E到AD1的距
离为等腰梯形EFD1A的高为=,所以截面面积为
S=(2+)×=.
探究点二 等角定理的应用
【典例2】(1)空间中,如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行,那么这
两个角的大小关系为( )
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.互余
【思维导引】根据等角定理即可求解.
【解析】选C.由等角定理可知:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两
个角相等或互补.
√
(2)如图,在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法
中不正确的是 ( )
A.M,N,P,Q四点共面
B.∠QME=∠CBD
C.△BCD∽△MEQ
D.四边形MNPQ为梯形
【思维导引】利用中位线定理和等角定理即可解决.
√
【解析】选D.由题图可知,在△ABC中,M,N分别是AB,BC的中点,所以MN∥AC,且
MN=AC.同理,在△ADC中,QP∥AC,且QP=AC,所以MN∥QP,MN=QP,所以四边形
MNPQ为平行四边形,所以M,N,P,Q四点共面,所以A正确,D错误;在△ABC中,由中位
线定理得ME∥BC.同理,在△ABD中,由中位线定理得MQ∥BD,所以由等角定理
知,∠QME=∠DBC,所以B正确;在△ADC中,由中位线定理得QE∥DC,
所以ME∥BC,MQ∥BD,QE∥DC,所以由等角定理可知,∠QME=∠DBC,
∠QEM=∠DCB,∠MQE=∠BDC,所以△BCD∽△MEQ,所以C正确.
【类题通法】
求角相等的法
一是用等角定理;
二是用三角形等或相似.
【定向训练】
如图,E,E1分别为正体ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中点.
求证:∠C1E1B1=∠CEB.
【证明】连接EE1,根据条件E,E1分别为棱AD,A1D1的中点可知,
AE∥A1E1,AE=A1E1 四边形AEE1A1为平行四边形 AA1=EE1,AA1∥EE1.
又AA1=BB1,AA1∥BB1 EE1=BB1,EE1∥BB1,所以四边形EE1B1B是平行四边形,
所以E1B1∥EB,同理EC∥E1C1.
又∠C1E1B1与∠CEB两边的向相同,
因此∠C1E1B1=∠CEB.
课堂学业达标
1.E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则EG,FH的位置关系
是 ( )
A.异面 B.平行 C.相交 D.重合
【解析】选C.由题意可作图如图:
因为H,G分别为AD,CD的中点,所以HG∥AC,同理可得EF∥AC,则HG∥EF,
所以E,F,G,H四点共面,则HF与EG相交.
√
2.已知∠BAC=40°,AB∥A'B',AC∥A'C',则∠B'A'C'= ( )
A.40° B.140°
C.40°或140° D.大小无法确定
【解析】选C.当∠B'A'C'与∠BAC开口向相同时,∠B'A'C'=40°;
当∠B'A'C'与∠BAC开口向相反时,∠B'A'C'=140°.
√
3.如图所示,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,
若BD=2,AC=4,则四边形EFGH的周长为 .
【解析】因为E,H分别是空间四边形ABCD中的边AB,DA的中点,
所以EH∥BD,且EH=BD,同理FG∥BD,且FG=BD.
所以EH=FG=BD=1,同理EF=GH=AC=2,
所以四边形EFGH的周长为6.
答案:6
4.如图,在正体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,E',F'分别是棱AB,AD,B'C',C'D'的中点.
求证:四边形EFF'E'为平行四边形.8.5 空间直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
素养目标 思维导图
借助长体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义,了解基本事实4和等角定理.(直观想象)
课前自主学习
如图为足球球网,依据图形,分析下列问题.
问题1.直线AH与CF有没有公共点 是异面直线吗
提示:没有公共点,不是异面直线,是一对平行直线.
问题2.直线AH与直线BC有没有公共点 是平行直线吗
提示:没有公共点,不是平行直线,是一对异面直线.
问题3.∠HAD与∠EBC两边对应直线位置关系是什么 两角是否相等
提示:∠HAD与∠EBC两边对应直线AH与直线BE平行,直线AD与直线BC平行,两角相等.
【核心概念】
1.基本事实4
文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行
图形语言
符号语言 直线a,b,c,a∥b,b∥c a∥c
作 用 证明两条直线平行
说 明 基本事实4表述的性质通常叫做空间平行线的传递性
2.等角定理
空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
课堂合作探究
探究点一 直线与直线平行
【典例1】在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,DN∥BC,DN与EF相交于M.将平面DCEF沿EF翻折起来,使CD到C'D'的位置,连接AD',BC',G,H分别为AD'和BC'的中点,求证:四边形EFGH为平行四边形.
【思维导引】根据梯形中位线的性质得到GH∥EF且GH=EF,即可证明.
【证明】因为在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC,AD的中点,所以EF∥AB且EF=(AB+CD),又C'D'∥EF,所以C'D'∥AB.
因为G,H分别为AD',BC'的中点,所以GH∥AB且GH=(AB+C'D')=(AB+CD),
所以GH∥EF且GH=EF,所以四边形EFGH为平行四边形.
【类题通法】
证明两条直线平行的两种法
(1)利用平行线的定义:证明两条直线在同一平面内且无公共点.
(2)利用基本事实4:寻找第三条直线,然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行,若题设条件中含有中点,则常利用三角形的中位线性质证明直线平行.
【定向训练】
如图,正体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为BC,CC1的中点,则平面AEF截正体所得的截面面积为( )
A. B. C.9 D.18
【解析】选B.连接BC1,AD1,D1F,如图所示.
因为E,F分别是BC,CC1的中点,所以EF∥BC1,在正体中AD1∥BC1,所以EF∥AD1,
所以A,D1,E,F在同一平面内,所以平面AEF截该正体所得的截面为平面EFD1A,因为正体的棱长为2,所以EF=,AD1=2,D1F=AE==,则E到AD1的距离为等腰梯形EFD1A的高为=,所以截面面积为S=(2+)×=.
探究点二 等角定理的应用
【典例2】(1)空间中,如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角的大小关系为 ( )
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.互余
【思维导引】根据等角定理即可求解.
【解析】选C.由等角定理可知:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
(2)如图,在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中不正确的是 ( )
A.M,N,P,Q四点共面
B.∠QME=∠CBD
C.△BCD∽△MEQ
D.四边形MNPQ为梯形
【思维导引】利用中位线定理和等角定理即可解决.
【解析】选D.由题图可知,在△ABC中,M,N分别是AB,BC的中点,所以MN∥AC,且MN=AC.同理,在△ADC中,QP∥AC,且QP=AC,所以MN∥QP,MN=QP,所以四边形MNPQ为平行四边形,所以M,N,P,Q四点共面,所以A正确,D错误;在△ABC中,由中位线定理得ME∥BC.同理,在△ABD中,由中位线定理得MQ∥BD,所以由等角定理知,∠QME=∠DBC,所以B正确;在△ADC中,由中位线定理得QE∥DC,所以ME∥BC,MQ∥BD,QE∥DC,所以由等角定理可知,∠QME=∠DBC,∠QEM=∠DCB,∠MQE=∠BDC,所以△BCD∽△MEQ,所以C正确.
【类题通法】
求角相等的法
一是用等角定理;
二是用三角形等或相似.
【定向训练】
如图,E,E1分别为正体ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中点.求证:∠C1E1B1=∠CEB.
【证明】连接EE1,根据条件E,E1分别为棱AD,A1D1的中点可知,
AE∥A1E1,AE=A1E1 四边形AEE1A1为平行四边形 AA1=EE1,AA1∥EE1.
又AA1=BB1,AA1∥BB1 EE1=BB1,EE1∥BB1,所以四边形EE1B1B是平行四边形,
所以E1B1∥EB,同理EC∥E1C1.
又∠C1E1B1与∠CEB两边的向相同,
因此∠C1E1B1=∠CEB.
课堂学业达标
1.E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则EG,FH的位置关系是 ( )
A.异面 B.平行 C.相交 D.重合
【解析】选C.由题意可作图如图:
因为H,G分别为AD,CD的中点,所以HG∥AC,同理可得EF∥AC,则HG∥EF,
所以E,F,G,H四点共面,则HF与EG相交.
2.已知∠BAC=40°,AB∥A'B',AC∥A'C',则∠B'A'C'= ( )
A.40° B.140°
C.40°或140° D.大小无法确定
【解析】选C.当∠B'A'C'与∠BAC开口向相同时,∠B'A'C'=40°;当∠B'A'C'与∠BAC开口向相反时,∠B'A'C'=140°.
3.如图所示,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,若BD=2,AC=4,则四边形EFGH的周长为 .
【解析】因为E,H分别是空间四边形ABCD中的边AB,DA的中点,所以EH∥BD,且EH=BD,同理FG∥BD,且FG=BD.
所以EH=FG=BD=1,同理EF=GH=AC=2,所以四边形EFGH的周长为6.
答案:6
4.如图,在正体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,E',F'分别是棱AB,AD,B'C',C'D'的中点.
求证:四边形EFF'E'为平行四边形.
【证明】连接BD,B'D',
因为E,F分别为AB,AD的中点,
所以EFBD,同理E'F'B'D',在正体
ABCD-A'B'C'D'中,四边形BB'D'D为平行四边形,所以BDB'D',所以EFE'F',
故四边形EFF'E'为平行四边形.
课时巩固请使用 课时素养检测 二十六
