(共36张PPT)
课前自主学习
课堂合作探究
课堂学业达标
8.5.2 直线与平面平行
素养目标 思维导图
1.从定义和基本事实出发,通过直观感知, 了解空间中直线与平面平行的关系,归纳 出判定定理和性质定理,并加以证明.(直 观想象、逻辑推理) 2.能用已获得的结论证明空间基本图形 位置关系的简单命题.(逻辑推理)
课前自主学习
问题1.如图,门扇的两边是平行的.当门扇绕着一边转动时,另一边与墙面有公共点吗 此时门扇转动的一边与墙面平行吗
提示:可以发现,无论门扇转动到什么位置,因为转动的一边与固定的一边总是平行的,所以转动的一边与墙面是平行的,没有公共点.
问题2.如图,平面α外的直线a平行于平面α内的直线b,这两条直线共面吗 直线a与平面α相交吗
提示:直线a,b共面,直线a与平面α不相交.
问题3.如果直线a与平面α平行
(1)直线a与平面α内的直线的位置关系是怎样的
提示:平行或者异面.
(2)在平面α内与直线a平行的直线有多少条 这些直线的位置关系如何
提示:在平面α内与直线a平行的直线有无数条,这些直线互相平行.
(3)经过直线a的平面β与平面α相交于直线b,那么这样的平面β有多少个 直线a,b的
位置关系如何 为什么
提示:如图,有无数个.直线a,b的位置关系为平行.
因为直线a∥平面α,所以直线a与平面α内的任何
直线无公共点,又因为a,b共面,所以a∥b.
【核心概念】
1.直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果_______一条直线与此平面内的一条直线_____,那么该
直线与此平面平行
图形语言
符号语言 a___α,b___α,且a∥b a∥α
作用 证明直线与平面_____
平面外
平行
平行
2.直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的_____与此平面
_____,那么该直线与交线_____
图形语言
符号语言 a∥α,_____,_______ a∥b
作用 证明两条直线_____
平面
相交
平行
a β
α∩β=b
平行
课堂合作探究
探究点一 直线与平面平行的判定定理
【典例1】(1)已知直线a,b和平面α,且b α,则“直线a∥直线b”是“直线a∥平面α”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【思维导引】根据线面平行性质分别画出不同情况下的直线和平面的位置关系可
得结论.
√
【解析】选D.根据题意可得,如图所示:
若“直线a∥直线b”,则直线a可以在平面α内,即充分性不成立;若“直线a∥平面α”,如
图所示:
直线a和直线b可以异面,即必要性不成立,所以可知“直线a∥直线b”是
“直线a∥平面α”的既不充分也不必要条件.
(2)在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,点E,F分别在线段CB,AP上,
且CE=EB,AF=FP.求证:EF∥平面PCD.
【思维导引】取PD的中点G,先证明四边形EFGC为平行四边形,得出线线平行,
再应用线面平行判定定理证明即可.
【证明】如图,取PD的中点G,连接GF,GC.
在△PAD中,点G,F分别为PD,AP的中点,所以GF∥AD且GF=AD.
在矩形ABCD中,点E为BC的中点,
所以CE∥AD且CE=AD,所以GF∥EC且GF=EC.
所以四边形GFEC是平行四边形,所以GC∥EF.
又因为GC 平面PCD,EF 平面PCD,所以EF∥平面PCD.
【类题通法】
直线与平面平行的判定
(1)定线线平行:把握几何体的结构特征,合理利用几何体中的三角形的中位线,平行四边形对边平行等平面图形的特点是找线线平行关系的常用法.
(2)用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的基本步骤:
【定向训练】
1.如图,在下列四个正体中,A、B为正体的两个顶点,M、N、Q为所在棱的中点,
则在这四个正体中,直线AB不平行于平面MNQ的是( )
√
【解析】选D.对于A,如图,连接A1B1,则AB∥A1B1,
因为N,Q分别为棱的中点,所以由三角形中位线定理可得NQ∥A1B1,
所以NQ∥AB,因为AB 平面MNQ,NQ 平面MNQ,
所以AB∥平面MNQ;
对于B,如图,连接A1B1,
因为M,Q分别为A1C1,B1C1的中点,所以MQ∥A1B1,因为AB∥A1B1,
所以MQ∥AB,因为AB 平面MNQ,MQ 平面MNQ,
所以AB∥平面MNQ;
对于C,如图,连接A1B1,则AB∥A1B1,
因为M,Q分别为棱的中点,所以由三角形中位线定理可得MQ∥A1B1,
所以MQ∥AB,因为AB 平面MNQ,MQ 平面MNQ,
所以AB∥平面MNQ;
对于D,如图,取底面中心O,连接OQ,
由于Q为棱的中点,所以由三角形中位线定理可得OQ∥AB,
因为OQ与平面MNQ相交,所以AB与平面MNQ相交.
2.如图,四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一
点,AM=2MD,N为PC的中点.
证明:MN∥平面PAB.
【证明】由已知得AM=AD=2,取BP的中点T,
连接AT,TN(图),由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.
又AD∥BC,故TN∥AM,TN=AM,所以四边形AMNT为平行四边形,所以MN∥AT.
因为AT 平面PAB,MN 平面PAB,所以MN∥平面PAB.
探究点二 直线与平面平行的性质定理
【典例2】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,E为棱PB上一点(不与P,B重
合),平面ADE交棱PC于点F.求证:AD∥EF.
【思维导引】证明出AD∥平面PBC,利用线面平行的性质可证得结论成立.
【证明】因为四边形ABCD为矩形,所以AD∥BC,
因为AD 平面PBC,BC 平面PBC,所以AD∥平面PBC,因为AD 平面ADE,
平面ADE∩平面PBC=EF,所以AD∥EF.
【类题通法】
线面平行的性质定理的解题步骤与思路
(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤
(2)定线面平行:运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行.
【定向训练】
1.如图,在正体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E为AD的中点,点F在CD上,
若EF∥平面AB1C,则EF= .
【解析】根据题意,因为EF∥平面AB1C,EF 平面ABCD,
且平面ABCD∩平面AB1C=AC,所以EF∥AC.又因为E是AD
的中点,所以F是CD的中点.因为在Rt△DEF中,DE=DF=1,
故EF=.
答案:
2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点.
(1)求证:BC∥平面PAD;
(2)M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于HG,
求证:AP∥HG.
【证明】(1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以BC∥AD,又BC 平面PAD,
AD 平面PAD,所以BC∥平面PAD.
(2)连接AC,交BD于O,连接MO.
因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点,
又因为M是PC的中点,所以MO∥PA.
又因为MO 平面BDM,PA 平面BDM,
所以PA∥平面BDM.
又因为PA 平面PAHG,平面PAHG∩平面BDM=GH,所以AP∥GH.
探究点三 线面平行的综合应用
【典例3】(规范解答)
(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,BC∥平面PAD,BC=AD,点N是AD的中点.求证:
(1)BC∥AD;
(2)CN∥平面PAB.
【思维导引】(1)利用线面平行的性质可证线线平行;
(2)先证明四边形ABCN是平行四边形得到CN∥AB,利用线面平行的判定定理可证
结论.
【证明】(1)因为BC∥平面PAD,BC 平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, …5分
所以BC∥AD. ……………… 7分
(2)由(1)知,BC∥AN,
又N是AD的中点,BC=AD,所以BC=AN,
所以四边形ABCN是平行四边形,所以CN∥AB. ……………… 12分
又CN 平面PAB,AB 平面PAB,
所以CN∥平面PAB. ……………… 15分
【类题通法】
平行间的相互转化
判定定理与性质定理常常交替使用,即先通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出线线平行,复杂的题目还可以继续推下去,我们可称它为平行链.
【定向训练】
如图所示,四面体ABCD被一平面所截,截面EFGH是一个平行四边形.
(1)求证:CD∥平面EFGH;
(2)若AB⊥CD且AB=8,CD=6,E,F,G,H为其所在棱的中点,求四边形EFGH面积.
【解析】(1)因为截面EFGH是平行四边形,所以EH∥GF,
又因为GF 平面BCD,EH 平面BCD,所以EH∥平面BCD,
因为EH 平面ACD,且平面ACD∩平面BCD=CD,所以CD∥EH,
又因为CD 平面EFGH,EH在平面EFGH内,所以CD∥平面EFGH.
(2)因为E,F,G,H分别为AD,BD,BC,AC的中点,且AB=8,CD=6,
可得EF∥AB∥GH且EF=GH=AB=4,EH∥CD∥GF且EH=GF=CD=3,
因为AB⊥CD,可得EF⊥GF,所以平行四边形EFGH为矩形,
所以四边形EFGH的面积为S=EF·GF=4×3=12.
课堂学业达标
1.若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是 ( )
A.平面α内不存在与a平行的直线
B.平面α内所有直线与a相交
C.平面α内所有直线与a异面
D.直线a与平面α至少存在一个公共点
【解析】选D.由于直线a不平行于平面α,所以直线a与平面α相交或直线a在平面α内,直线a在平面α内时,平面α内存在与a平行的直线,故A错误;直线a与平面α相交时,平面α内存在直线与a异面,故B错误;直线a在平面α内时,平面α内存在直线与a平行或相交,故C错误;直线a与平面α相交或直线a在平面α内,直线a与平面α至少存在一个公共点,故D正确.
√
2.已知b是平面α外的一条直线,下列条件中,可得出b∥α的是 ( )
A.b与α内的一条直线不相交
B.b与α内的两条直线不相交
C.b与α内的无数条直线不相交
D.b与α内的所有直线不相交
【解析】选D.若b与α内的所有直线不相交,即b与α无公共点,故b∥α.
√
3.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面(不与平面ABB1A1重合)与
平面ABC交于直线DE,则DE与AB的位置关系是 ( )
A.异面 B.平行
C.相交 D.以上均有可能
【解析】选B.因为A1B1∥AB,AB 平面ABC,
A1B1 平面ABC,所以A1B1∥平面ABC.
又A1B1 平面A1B1ED,平面A1B1ED∩平面ABC=DE,
所以DE∥A1B1.又AB∥A1B1,所以DE∥AB.
√
4.(多选)如图,在透明塑料制成的长体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水,将容器
底面一边BC固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,下列四个说法中正确
的是 ( )
A.有水的部分始终呈棱柱状
B.水面四边形EFGH的面积不改变
C.棱A1D1始终与水面EFGH平行
D.当E∈AA1时,AE+BF是定值
√
√
√
【解析】选ACD.由于BC固定,所以倾斜的过中,始终有AD∥EH∥FG∥BC,且平面AEFB∥平面DHGC,故水的部分始终呈现棱柱状(三棱柱、四棱柱、五棱柱);当水是四棱柱或者五棱柱时,水面面积与上下底面面积相等,当水是三棱柱时,则水面四边形EFGH的面积可能变大,也可能变小,水面的面积改变;BC为棱柱的一条侧棱,随着倾斜度的不同,水的部分始终呈棱柱状,且棱B1C1∥平面EFGH,棱B1C1∥A1D1,所以A1D1∥平面EFGH;因为水的体积是定值,高BC为定值,则底面积EABF为定值,即EA+BF为定值,综上ACD正确.
5.(1)如图四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E为SA上的点,当E满足条件
时,SC∥平面EBD;
(2)如图,在棱长为1的正体ABCD-A'B'C'D'中,AP=BQ=x(0【解析】(1)因为SC∥平面EBD,SC 平面SAC,平面SAC∩平面EBD=OE,
所以SC∥OE,又因为底面ABCD为平行四边形,O为对角线AC与BD的交点,
故O为AC的中点,所以E为SA的中点,故当E满足条件:SE=AE时,SC∥平面EBD.
答案:SE=AE
(2)因为平面PQEF∥A'D,平面PQEF∩平面A'ADD'=PF,
所以A'D∥PF,同理可得PH∥AD',
因为AP=BQ=x,AP∥BQ,所以四边形APQB是平行四边形,所以PQ∥AB,
因为在正体中,AD'⊥A'D,AD'⊥AB,
所以PH⊥PF,PH⊥PQ,截面PQEF和截面PQGH都是矩形,
且PQ=1,PF=AP,PH=PA',所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是(AP+PA')×PQ=.
答案:8.5.2 直线与平面平行
素养目标 思维导图
1.从定义和基本事实出发,通过直观感知,了解空间中直线与平面平行的关系,归纳出判定定理和性质定理,并加以证明.(直观想象、逻辑推理) 2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.(逻辑推理)
课前自主学习
问题1.如图,门扇的两边是平行的.当门扇绕着一边转动时,另一边与墙面有公共点吗 此时门扇转动的一边与墙面平行吗
提示:可以发现,无论门扇转动到什么位置,因为转动的一边与固定的一边总是平行的,所以转动的一边与墙面是平行的,没有公共点.
问题2.如图,平面α外的直线a平行于平面α内的直线b,这两条直线共面吗 直线a与平面α相交吗
提示:直线a,b共面,直线a与平面α不相交.
问题3.如果直线a与平面α平行
(1)直线a与平面α内的直线的位置关系是怎样的
提示:平行或者异面.
(2)在平面α内与直线a平行的直线有多少条 这些直线的位置关系如何
提示:在平面α内与直线a平行的直线有无数条,这些直线互相平行.
(3)经过直线a的平面β与平面α相交于直线b,那么这样的平面β有多少个 直线a,b的位置关系如何 为什么
提示:如图,有无数个.直线a,b的位置关系为平行.因为直线a∥平面α,所以直线a与平面α内的任何直线无公共点,又因为a,b共面,所以a∥b.
【核心概念】
1.直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行
图形语言
符号语言 a α,b α,且a∥b a∥α
作用 证明直线与平面平行
2.直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行
图形语言
符号语言 a∥α,a β,α∩β=b a∥b
作用 证明两条直线平行
课堂合作探究
探究点一 直线与平面平行的判定定理
【典例1】(1)已知直线a,b和平面α,且b α,则“直线a∥直线b”是“直线a∥平面α”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【思维导引】根据线面平行性质分别画出不同情况下的直线和平面的位置关系可得结论.
【解析】选D.根据题意可得,如图所示:
若“直线a∥直线b”,则直线a可以在平面α内,即充分性不成立;若“直线a∥平面α”,如图所示:
直线a和直线b可以异面,即必要性不成立,所以可知“直线a∥直线b”是“直线a∥平面α”的既不充分也不必要条件.
(2)在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,点E,F分别在线段CB,AP上,且CE=EB,AF=FP.求证:EF∥平面PCD.
【思维导引】取PD的中点G,先证明四边形EFGC为平行四边形,得出线线平行,再应用线面平行判定定理证明即可.
【证明】如图,取PD的中点G,连接GF,GC.
在△PAD中,点G,F分别为PD,AP的中点,所以GF∥AD且GF=AD.
在矩形ABCD中,点E为BC的中点,
所以CE∥AD且CE=AD,所以GF∥EC且GF=EC.
所以四边形GFEC是平行四边形,所以GC∥EF.
又因为GC 平面PCD,EF 平面PCD,所以EF∥平面PCD.
【类题通法】
直线与平面平行的判定
(1)定线线平行:把握几何体的结构特征,合理利用几何体中的三角形的中位线,平行四边形对边平行等平面图形的特点是找线线平行关系的常用法.
(2)用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的基本步骤:
【定向训练】
1.如图,在下列四个正体中,A、B为正体的两个顶点,M、N、Q为所在棱的中点,则在这四个正体中,直线AB不平行于平面MNQ的是 ( )
【解析】选D.对于A,如图,连接A1B1,则AB∥A1B1,
因为N,Q分别为棱的中点,所以由三角形中位线定理可得NQ∥A1B1,所以NQ∥AB,因为AB 平面MNQ,NQ 平面MNQ,所以AB∥平面MNQ;
对于B,如图,连接A1B1,
因为M,Q分别为A1C1,B1C1的中点,所以MQ∥A1B1,因为AB∥A1B1,所以MQ∥AB,因为AB 平面MNQ,MQ 平面MNQ,所以AB∥平面MNQ;
对于C,如图,连接A1B1,则AB∥A1B1,
因为M,Q分别为棱的中点,所以由三角形中位线定理可得MQ∥A1B1,所以MQ∥AB,因为AB 平面MNQ,MQ 平面MNQ,所以AB∥平面MNQ;
对于D,如图,取底面中心O,连接OQ,
由于Q为棱的中点,所以由三角形中位线定理可得OQ∥AB,因为OQ与平面MNQ相交,所以AB与平面MNQ相交.
2.如图,四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
证明:MN∥平面PAB.
【证明】由已知得AM=AD=2,取BP的中点T,连接AT,TN(图),由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.
又AD∥BC,故TN∥AM,TN=AM,所以四边形AMNT为平行四边形,所以MN∥AT.
因为AT 平面PAB,MN 平面PAB,所以MN∥平面PAB.
探究点二 直线与平面平行的性质定理
【典例2】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,E为棱PB上一点(不与P,B重合),平面ADE交棱PC于点F.求证:AD∥EF.
【思维导引】证明出AD∥平面PBC,利用线面平行的性质可证得结论成立.
【证明】因为四边形ABCD为矩形,所以AD∥BC,
因为AD 平面PBC,BC 平面PBC,所以AD∥平面PBC,因为AD 平面ADE,平面ADE∩平面PBC=EF,所以AD∥EF.
【类题通法】
线面平行的性质定理的解题步骤与思路
(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤
(2)定线面平行:运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行.
【定向训练】
1.如图,在正体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则EF= .
【解析】根据题意,因为EF∥平面AB1C,EF 平面ABCD,且平面ABCD∩平面AB1C=AC,所以EF∥AC.又因为E是AD的中点,所以F是CD的中点.因为在Rt△DEF中,DE=DF=1,故EF=.
答案:
2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点.
(1)求证:BC∥平面PAD;
(2)M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于HG,求证:AP∥HG.
【证明】(1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以BC∥AD,又BC 平面PAD,AD 平面PAD,所以BC∥平面PAD.
(2)连接AC,交BD于O,连接MO.
因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点,又因为M是PC的中点,所以MO∥PA.
又因为MO 平面BDM,PA 平面BDM,
所以PA∥平面BDM.
又因为PA 平面PAHG,平面PAHG∩平面BDM=GH,所以AP∥GH.
探究点三 线面平行的综合应用
【典例3】(规范解答)
(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,BC∥平面PAD,BC=AD,点N是AD的中点.求证:
(1)BC∥AD;
(2)CN∥平面PAB.
【思维导引】(1)利用线面平行的性质可证线线平行;
(2)先证明四边形ABCN是平行四边形得到CN∥AB,利用线面平行的判定定理可证结论.
【证明】(1)因为BC∥平面PAD,BC 平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 5分
所以BC∥AD. 7分
(2)由(1)知,BC∥AN,
又N是AD的中点,BC=AD,所以BC=AN,
所以四边形ABCN是平行四边形,所以CN∥AB. 12分
又CN 平面PAB,AB 平面PAB,
所以CN∥平面PAB. 15分
【类题通法】
平行间的相互转化
判定定理与性质定理常常交替使用,即先通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出线线平行,复杂的题目还可以继续推下去,我们可称它为平行链.
【定向训练】
如图所示,四面体ABCD被一平面所截,截面EFGH是一个平行四边形.
(1)求证:CD∥平面EFGH;
(2)若AB⊥CD且AB=8,CD=6,E,F,G,H为其所在棱的中点,求四边形EFGH面积.
【解析】(1)因为截面EFGH是平行四边形,所以EH∥GF,又因为GF 平面BCD,EH 平面BCD,所以EH∥平面BCD,
因为EH 平面ACD,且平面ACD∩平面BCD=CD,所以CD∥EH,又因为CD 平面EFGH,EH在平面EFGH内,所以CD∥平面EFGH.
(2)因为E,F,G,H分别为AD,BD,BC,AC的中点,且AB=8,CD=6,
可得EF∥AB∥GH且EF=GH=AB=4,EH∥CD∥GF且EH=GF=CD=3,
因为AB⊥CD,可得EF⊥GF,所以平行四边形EFGH为矩形,所以四边形EFGH的面积为S=EF·GF=4×3=12.
课堂学业达标
1.若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是 ( )
A.平面α内不存在与a平行的直线
B.平面α内所有直线与a相交
C.平面α内所有直线与a异面
D.直线a与平面α至少存在一个公共点
【解析】选D.由于直线a不平行于平面α,所以直线a与平面α相交或直线a在平面α内,直线a在平面α内时,平面α内存在与a平行的直线,故A错误;直线a与平面α相交时,平面α内存在直线与a异面,故B错误;直线a在平面α内时,平面α内存在直线与a平行或相交,故C错误;直线a与平面α相交或直线a在平面α内,直线a与平面α至少存在一个公共点,故D正确.
2.已知b是平面α外的一条直线,下列条件中,可得出b∥α的是 ( )
A.b与α内的一条直线不相交
B.b与α内的两条直线不相交
C.b与α内的无数条直线不相交
D.b与α内的所有直线不相交
【解析】选D.若b与α内的所有直线不相交,即b与α无公共点,故b∥α.
3.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面(不与平面ABB1A1重合)与平面ABC交于直线DE,则DE与AB的位置关系是 ( )
A.异面 B.平行
C.相交 D.以上均有可能
【解析】选B.因为A1B1∥AB,AB 平面ABC,
A1B1 平面ABC,所以A1B1∥平面ABC.
又A1B1 平面A1B1ED,平面A1B1ED∩平面ABC=DE,
所以DE∥A1B1.又AB∥A1B1,所以DE∥AB.
4.(多选)如图,在透明塑料制成的长体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水,将容器底面一边BC固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,下列四个说法中正确的是 ( )
A.有水的部分始终呈棱柱状
B.水面四边形EFGH的面积不改变
C.棱A1D1始终与水面EFGH平行
D.当E∈AA1时,AE+BF是定值
【解析】选ACD.由于BC固定,所以倾斜的过中,始终有AD∥EH∥FG∥BC,且平面AEFB∥平面DHGC,故水的部分始终呈现棱柱状(三棱柱、四棱柱、五棱柱);当水是四棱柱或者五棱柱时,水面面积与上下底面面积相等,当水是三棱柱时,则水面四边形EFGH的面积可能变大,也可能变小,水面的面积改变;BC为棱柱的一条侧棱,随着倾斜度的不同,水的部分始终呈棱柱状,且棱B1C1∥平面EFGH,棱B1C1∥A1D1,所以A1D1∥平面EFGH;因为水的体积是定值,高BC为定值,则底面积EABF为定值,即EA+BF为定值,综上ACD正确.
5.(1)如图四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E为SA上的点,当E满足条件
时,SC∥平面EBD;
(2)如图,在棱长为1的正体ABCD-A'B'C'D'中,AP=BQ=x(0【解析】(1)因为SC∥平面EBD,SC 平面SAC,平面SAC∩平面EBD=OE,所以SC∥OE,又因为底面ABCD为平行四边形,O为对角线AC与BD的交点,
故O为AC的中点,所以E为SA的中点,
故当E满足条件:SE=AE时,SC∥平面EBD.
答案:SE=AE
(2)因为平面PQEF∥A'D,平面PQEF∩平面
A'ADD'=PF,
所以A'D∥PF,同理可得PH∥AD',
因为AP=BQ=x,AP∥BQ,
所以四边形APQB是平行四边形,所以PQ∥AB,
因为在正体中,AD'⊥A'D,AD'⊥AB,
所以PH⊥PF,PH⊥PQ,截面PQEF和截面PQGH都是矩形,且PQ=1,PF=AP,PH=PA',
所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是
(AP+PA')×PQ=.
答案:
课时巩固请使用 课时素养检测 二十七
