(共45张PPT)
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课堂合作探究
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8.5.3 平面与平面平行
素养目标 思维导图
1.从定义和基本事实出发,借助长体,通过 直观感知,了解空间中平面与平面平行的关 系,归纳出判定定理和性质定理,并加以证 明.(直观想象、逻辑推理) 2.能用已获得的结论证明空间基本图形位 置关系的简单命题.(逻辑推理)
课前自主学习
问题1.三角板的一条边所在直线与平面α平行,这个三角板所在平面与α平行吗
提示:不一定平行.
问题2.三角板的两条边所在直线分别与平面α平行,这个三角板所在平面与α平行吗
提示:平行.
问题3.如图,平面BCC1B1内有多少条直线与平面ABCD平行 这两个平面平行吗
提示:无数条,不平行.
问题4.观察长体ABCD-A1B1C1D1的两个面:平面ABCD及平面A1B1C1D1.
(1)平面A1B1C1D1中的直线与平面ABCD具有怎样的位置关系
提示:由于平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,所以平面A1B1C1D1
内的直线都与平面ABCD无公共点,故平面A1B1C1D1中的直线
都与平面ABCD平行.
(2)若直线m 平面ABCD,直线n 平面A1B1C1D1,则直线m,n平行吗
提示:直线m,n平行或异面.
(3)在问题(2)中的直线m,n在什么条件下才是平行的
提示:当直线m,n共面时,两条直线才平行.
【核心概念】
1.平面与平面平行的判定定理
文字 语言 如果一个平面内的两条_____直线与另一个平面_____,那么这两个
平面平行
图形 语言
符号语言 a β,b β,_______,
a∥α,b∥α α∥β
作用 证明两个平面_____
相交
平行
a∩b=P
平行
2.平面与平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线_____
图形 语言
符号语言 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b _____
作用 证明两条直线_____
平行
a∥b
平行
课堂合作探究
探究点一 平面与平面平行的判定定理
【典例1】(1)已知两个不同的平面α,β,两条不同的直线a,b,a α,b α,则“a∥β,b∥β”
是“α∥β”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【思维导引】利用面面平行的判定定理,结合充分必要条件的定义即可得解.
【解析】选B.因为a α,b α,当a∥β,b∥β时,若a∥b,则α,β有可能相交,故充分性不
成立;当α∥β时,由于a α,b α,所以a∥β,b∥β,故必要性成立;所以“a∥β,b∥β”是
“α∥β”的必要不充分条件.
√
(2)(规范解答)
(15分)如图,已知正体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是A1D,BD的中点.
①求证:平面A1BD∥平面CB1D1;
②求证:EF∥平面DCC1D1.
【思维导引】①利用正体的性质及线面平行的判定定理可得
A1B∥平面B1D1C,BD∥平面B1D1C,再利用面面平行的判定定理即得;
②利用线面平行的判定定理即得.
【证明】①由正体的性质可得A1D1∥B1C1∥BC,A1D1=B1C1=BC,
所以四边形A1D1CB为平行四边形, ……………………2分
所以A1B∥CD1,又A1B 平面B1D1C,CD1 平面B1D1C,所以A1B∥平面B1D1C,
同理可得BD∥平面B1D1C,又A1B∩BD=B,A1B,BD 平面A1BD, ………………6分
所以平面A1BD∥平面CB1D1; ……………………………………7分
②因为E,F分别是A1D,BD的中点,
所以EF∥A1B,又A1B∥CD1,所以EF∥CD1, ………………………9分
又EF 平面DCC1D1,CD1 平面DCC1D1, …………………………13分
所以EF∥平面DCC1D1. ……………………………………………15分
【类题通法】
判定定理证明两个平面平行的步骤
【定向训练】
1.已知m,n表示两条直线,α,β,γ表示平面,下列命题中正确的有( )
①若α∩γ=m,β∩γ=n,且m∥n,则α∥β;
②若m,n相交且都在平面α,β外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则α∥β;
③若m∥α,m∥β,则α∥β;
④若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选A.对于①,若α∩γ=m,β∩γ=n,且m∥n,则α∥β或相交,故①错误;对于③和④,α与β也可能相交,均错误;对于②,设m,n相交确定平面γ,根据线面平行的判定定理知α∥γ,β∥γ,根据平行平面的传递性得知α∥β.
√
2.(2025·遵义高一检测)在正四棱锥P-ABCD中,O为底面中心,H,E,F分别为PA,AH,
HO的中点,点M在棱PD上,且PM=3MD.
(1)证明:HO∥平面PCD.
(2)证明:平面EFM∥平面ABCD.
【证明】(1)连接AC,在正四棱锥P-ABCD中,O为底面中心,
则O为AC的中点,
因为H为PA的中点,所以HO∥PC,
又因为HO 平面PCD,PC 平面PCD,所以HO∥平面PCD.
(2)因为E,F分别为AH,HO的中点,所以EF∥AO,又因为EF 平面ABCD,
AO 平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.
因为H,E分别为PA,AH的中点,所以PE=3EA,又PM=3MD,所以EM∥AD,
因为EM 平面ABCD,AD 平面ABCD,所以EM∥平面ABCD,
EF,EM 平面EFM,EF∩EM=E,所以平面EFM∥平面ABCD.
探究点二 平面与平面平行的性质定理
【典例2】如图所示,两条异面直线BA,DC与两平行平面α,β分别交于点B,A和D,C,点M,N分别是AB,CD的中点,求证:MN∥平面α.
【思维导引】作辅助线构造面面平行,由面面平行的性质证明线面平行.
【证明】如图,过点A作AE∥CD交α于点E,取AE的中点P,连接MP,PN,BE,ED,BD,AC.
因为AE∥CD,所以AE,CD确定平面AEDC.
则平面AEDC∩α=DE,平面AEDC∩β=AC,
因为α∥β,所以AC∥DE.
又P,N分别为AE,CD的中点,
所以PN∥DE,PN α,DE α,所以PN∥α.
又M,P分别为AB,AE的中点,所以MP∥BE,
且MP α,BE α,所以MP∥α,
因为MP∩PN=P,所以平面MPN∥α.
又MN 平面MPN,所以MN∥平面α.
【延伸探究】
1.在本例中将M,N分别是AB,CD的中点换为M,N分别在线段AB,CD上,且=,其他不变.证明:MN∥平面α.
【证明】作AE∥CD交α于点E,连接AC,BD,如图.
因为α∥β且平面AEDC与平面α,β的交线分别为ED,AC,所以AC∥ED,
所以四边形AEDC为平行四边形,作NP∥DE交AE于点P,
连接MP,BE,于是=.
又因为=,所以=,所以MP∥BE.
而BE α,MP α,所以MP∥α.同理PN∥α.
又因为MP∩NP=P,所以平面MPN∥平面α.
又MN 平面MPN,所以MN∥平面α.
2.两条异面直线与三个平行平面α,β,γ分别交于A,B,C和D,E,F,求证:=.
【证明】连接AF交平面β于点M.
连接MB,ME,BE,因为α∥β,所以ME∥AD.
所以=,同理,BM∥CF,
所以=,即=.
【类题通法】
证明线线平行的法
(1)定义法:在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.
(2)平行公理:平行于同一条直线的两条直线平行.
(3)线面平行的性质定理: ,应用时题目条件中需有线面平行.
(4)面面平行的性质定理: ,应用时题目条件中需有面面平行或证得
两平面平行.
【定向训练】
1.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为平行四边形,E,F分别在线段
DB,DD1上,且==,G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G,则=( )
A. B. C. D.
√
【解析】选B.延长AE交CD于点H,连接FH,
因为四边形ABCD为平行四边形,所以AB∥CD,
则△DEH∽△BEA,
因为=,所以==,
因为平面AEF∥平面BD1G,平面AEF∩平面CDD1C1=FH,平面BD1G∩平面CDD1C1=D1G,
所以FH∥D1G,又四边形CDD1C1为平行四边形,
所以△DFH∽△C1GD1,所以=,
因为==,所以=,因为=,所以=,
所以FD1=C1G,DF=CG,所以=.
2.在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为该棱柱的九条棱中某条棱的中点,若A1C∥平面BC1D,
则D为( )
A.棱AB的中点 B.棱A1B1的中点
C.棱BC的中点 D.棱AA1的中点
【解析】选B.如图,
当D为棱A1B1的中点时,取AB的中点E,
因为A1E∥BD,DC1∥EC,DC1∩BD=D,
所以平面A1CE∥平面BC1D,
又A1C 平面A1CE,则A1C∥平面BC1D.
√
3.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB=BD=BP=,PA=PD=,∠APD=90°,E,F分别是棱
PA,AD的中点,且BE∥平面PCD.
(1)证明:BF∥CD;
(2)已知CD=1,求四棱锥P-ABCD的体积.
【解析】(1)连接EF,如图,
因为E,F分别是PA,AD中点,所以EF为△APD中位线,EF∥PD.
EF 平面PDC,PD 平面PDC.
所以EF∥平面PCD.
又因为BE∥平面PCD,BE∩EF=E,BE与EF都在平面EFB内.
所以平面EFB∥平面PCD.
又因为平面ABCD∩平面EFB=BF,平面ABCD∩平面PCD=CD.所以BF∥CD.
(2)连接PF,因为PA=PD,∠APD=90°,所以△APD为等腰直角三角形,
所以AD==2,PF=1,PF⊥AD,
又因为AB=BD,所以△ABD为等腰三角形,因为F为AD中点,所以BF⊥FD,FD=1,
由(1)知BF∥CD,∠BFD=∠FDC=90°,所以BF==2.
所以cos∠BDF==,所以sin∠BDC==.
所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=2×2×+×1·sin∠BDC=2+=.
因为PF2+BF2=PB2,所以PF⊥BF,
因为AD∩BF=F,所以PF⊥底面ABCD.
所以VP-ABCD=PF·S四边形ABCD=×1×=.
探究点三 平面与平面平行的综合应用
【典例3】在长体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为所在棱的中点,H,Q分别为
AC,AD1的中点,连接EF,EG,FG,DQ,CQ,D1H.
(1)求证:平面EFG∥平面ACQ;
(2)在线段CD上是否存在一点P,使得DQ∥平面D1PH 若存在,
求出P点的位置;若不存在,请说明理由.
【思维导引】(1)连接A1C1,BC1可证EF∥平面ACQ,GF∥平面ACQ,从而可证.
(2)当DP=DC时,连接PH并延长交AB于点M,连接D1M,取线段D1M的中点N,连接
QN,可证四边形QDPN为平行四边形,从而可证QD∥NP,从而得出答案.
【解析】(1)连接A1C1,BC1,由E,F,G分别为所在棱的中点,所以A1C1∥GF,EF∥BC1,
由AD1∥BC1,所以AD1∥EF,又AD1 平面ACQ,EF 平面ACQ,所以EF∥平面ACQ,
又A1C1∥AC,所以GF∥AC,又AC 平面ACQ,GF 平面ACQ,所以GF∥平面ACQ,
又GF∩EF=F,所以平面EFG∥平面ACQ;
(2)线段CD上存在一点P,当DP=DC时,满足DQ∥平面D1PH.
证明如下:连接PH并延长交AB于点M,连接D1M,D1P,则平面D1PH与平面D1PM为同一平面.
由H为AC的中点,则△AMH与△CPH等.
则AM=AB=CD,取线段D1M的中点N,连接QN,PN.
由Q,N分别为AD1,D1M的中点,
所以QN=AM=AB=DC且QN∥AM,
又DP∥AM且DP=DC,即QN∥DP且QN=DP,所以四边形QDPN为平行四边形,
故QD∥NP,又QD 平面D1PH,NP 平面D1PH,所以DQ∥平面D1PH.
【类题通法】
1.线线、线面、面面平行关系经常交替使用,相互转化,其关系可用下图示意.
2.注意两个问题:
(1)一条直线平行于一个平面,推不出这条直线与平面内的所有直线平行,但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行.
(2)两个平面平行,其中一个平面内的直线必定平行于另一平面,但这两个平面内的直线不一定相互平行,也有可能异面.
【定向训练】
1.在棱长为1的正体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为BD1,B1C1的中点,点P在正体
的表面上运动,且满足MP∥平面CND1,则下列说法正确的是( )
A.点P可以是棱BB1的中点
B.线段MP的最大值为
C.点P的轨迹是正形
D.点P轨迹的长度为2+
√
【解析】选B.如图,取棱BC的中点E,连接DE,B1E,ME.因为M,N分别为BD1,B1C1的中点,所以在
△BCD1中,ME∥CD1.由于ME 平面CND1,CD1 平面CND1,所以ME∥平面CND1.因为
B1N∥CE,B1N=CE,所以四边形CNB1E为平行四边形,所以CN∥B1E.因为CN 平面CND1,
B1E 平面CND1,所以B1E∥平面CND1.因为B1E∩ME=E,B1E,ME 平面B1EM,
所以平面B1EM∥平面CND1.由于M为体对角线BD1的中点,所以连接B1M并延长,直线B1M必
过D点,故取A1D1中点F,连接B1F,FD,FE.由正体的性质易知FD1∥CE,FD1=CE,所以四边形
CD1FE是平行四边形,EF∥CD1,EF=CD1.因为ME∥CD1,ME=CD1,所以E,F,M共线,
即F∈平面B1EM,所以四边形B1EDF为点P的轨迹,故A选项错误;由正体的棱长为1,得四边
形B1EDF的边长均为,且对角线EF=,B1D=,所以四边形B1EDF为
菱形,周长为2,故C,D选项错误;由菱形的性质知,线段MP的最大值
为B1D=,故B选项正确.
【题后反思】本题解题的关键在于取棱BC的中点E,
进而证明平面B1EM∥平面CND1,再根据面面平行的性质求点P轨迹即可求解.
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,F为AB上的点,且AF=2FB,E为PD中点.
(1)证明:PB∥平面AEC.
(2)在PC上是否存在一点G,使得FG∥平面AEC 若存在,指出点G位置,并证明你的结论;若不存在,说明理由.
【证明】(1)连接BD交AC于O,
因为E为PD中点,
所以EO是△BPD中位线,所以EO∥PB.
又EO 平面AEC,PB 平面AEC,
所以PB∥平面AEC.
(2)PC上存在点G,且CG=2GP,使得FG∥平面AEC.
理由如下:在PA上取点H,令AH=2HP,连接HF,HG,FG.
因为F为AB上的点,且AF=2FB,
所以在△PAB中,==,所以HF∥PB,
因为PB∥平面AEC,HF 平面AEC,所以HF∥平面AEC,
又在△PAC中,==,所以HG∥AC,
因为HG 平面AEC,AC 平面AEC,所以HG∥平面AEC,
因为HG∩HF=H,HG,HF 平面HFG,所以平面HFG∥平面AEC,
因为FG 平面HGF,所以FG∥平面AEC.
课堂学业达标
1.a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a α,b β,则“a∥b”是“α∥β”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选D.充分性:a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a α,b β,则由a∥b
不能推出α∥β,α,β也可能相交,故充分性不成立;
必要性:a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a α,b β,则由α∥β不能推出
a∥b,a,b也可能异面,故必要性不成立;故“a∥b”是“α∥β”的既不充分也不必要条件.
√
2.若平面α∥平面β,直线a α,点M∈β,过点M的所有直线中 ( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.有且只有一条与a平行的直线
【解析】选D.由于α∥β,a α,M∈β,过M有且只有一条直线与a平行,故D项正确.
√
3.在长体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边
形D1EBF的形状是 ( )
A.矩形 B.菱形
C.平行四边形 D.正形
【解析】选C.如图,在长体ABCD-A1B1C1D1中,
平面ABB1A1∥平面CDD1C1,过D1B的平面BED1F
与平面ABB1A1交于直线BE,与平面CDD1C1交于直线D1F.
由面面平行的性质定理,知BE∥D1F.同理BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边
形.
√
4.在正体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,Q分别是棱D1C1,A1D1,BC的中点,点P在BD1上且BP=BD1.则以下四个说法:
①MN∥平面APC;②C1Q∥平面APC;③A,P,M三点共线;④平面MNQ∥平面APC.
其中说法正确的是 .
【解析】①MN∥AC,连接AM,CN,得AM,CN交于点P,即MN 平面PAC,
所以MN∥平面APC是错误的;
②平面APC延展,可知M,N在平面APC上,AN∥C1Q,所以C1Q∥平面APC是正确的;
③由BP=BD1,以及②知△APB∽△D1PM,所以A,P,M三点共线是正确的;
④直线AP延长到M,则M既在平面MNQ内,又在平面APC内,
所以平面MNQ∥平面APC是错误的.
答案:②③
5.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,点D是BC的中点,欲过点A'作一截面与平面AC'D平行,问应当怎样画线,并说明理由.
【解析】在三棱柱ABC-A'B'C'中,点D是BC的中点,取B'C'的中点E,连接A'E,A'B,BE,则平面A'EB∥平面AC'D,A'E,A'B,BE即为应画的线.8.5.3 平面与平面平行
素养目标 思维导图
1.从定义和基本事实出发,借助长体,通过直观感知,了解空间中平面与平面平行的关系,归纳出判定定理和性质定理,并加以证明.(直观想象、逻辑推理) 2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.(逻辑推理)
课前自主学习
问题1.三角板的一条边所在直线与平面α平行,这个三角板所在平面与α平行吗
提示:不一定平行.
问题2.三角板的两条边所在直线分别与平面α平行,这个三角板所在平面与α平行吗
提示:平行.
问题3.如图,平面BCC1B1内有多少条直线与平面ABCD平行 这两个平面平行吗
提示:无数条,不平行.
问题4.观察长体ABCD-A1B1C1D1的两个面:平面ABCD及平面A1B1C1D1.
(1)平面A1B1C1D1中的直线与平面ABCD具有怎样的位置关系
提示:由于平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,所以平面A1B1C1D1内的直线都与平面ABCD无公共点,故平面A1B1C1D1中的直线都与平面ABCD平行.
(2)若直线m 平面ABCD,直线n 平面A1B1C1D1,则直线m,n平行吗
提示:直线m,n平行或异面.
(3)在问题(2)中的直线m,n在什么条件下才是平行的
提示:当直线m,n共面时,两条直线才平行.
【核心概念】
1.平面与平面平行的判定定理
文字 语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行
图形 语言
符号 语言 a β,b β,a∩b=P, a∥α,b∥α α∥β
作用 证明两个平面平行
2.平面与平面平行的性质定理
文字 语言 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行
图形 语言
符号 语言 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b a∥b
作用 证明两条直线平行
课堂合作探究
探究点一 平面与平面平行的判定定理
【典例1】(1)已知两个不同的平面α,β,两条不同的直线a,b,a α,b α,则“a∥β,b∥β”是“α∥β”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【思维导引】利用面面平行的判定定理,结合充分必要条件的定义即可得解.
【解析】选B.因为a α,b α,当a∥β,b∥β时,若a∥b,则α,β有可能相交,故充分性不成立;当α∥β时,由于a α,b α,所以a∥β,b∥β,故必要性成立;所以“a∥β,b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.
(2)(规范解答)
(15分)如图,已知正体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是A1D,BD的中点.
①求证:平面A1BD∥平面CB1D1;
②求证:EF∥平面DCC1D1.
【思维导引】①利用正体的性质及线面平行的判定定理可得A1B∥平面B1D1C,BD∥平面B1D1C,再利用面面平行的判定定理即得;
②利用线面平行的判定定理即得.
【证明】①由正体的性质可得A1D1∥B1C1∥BC,A1D1=B1C1=BC,
所以四边形A1D1CB为平行四边形, 2分
所以A1B∥CD1,又A1B 平面B1D1C,CD1 平面B1D1C,所以A1B∥平面B1D1C,
同理可得BD∥平面B1D1C,又A1B∩BD=B,A1B,BD 平面A1BD, 6分
所以平面A1BD∥平面CB1D1; 7分
②因为E,F分别是A1D,BD的中点,
所以EF∥A1B,又A1B∥CD1,所以EF∥CD1,
9分
又EF 平面DCC1D1,CD1 平面DCC1D1,
13分
所以EF∥平面DCC1D1. 15分
【类题通法】
判定定理证明两个平面平行的步骤
【定向训练】
1.已知m,n表示两条直线,α,β,γ表示平面,下列命题中正确的有 ( )
①若α∩γ=m,β∩γ=n,且m∥n,则α∥β;
②若m,n相交且都在平面α,β外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则α∥β;
③若m∥α,m∥β,则α∥β;
④若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选A.对于①,若α∩γ=m,β∩γ=n,且m∥n,则α∥β或相交,故①错误;对于③和④,α与β也可能相交,均错误;对于②,设m,n相交确定平面γ,根据线面平行的判定定理知α∥γ,β∥γ,根据平行平面的传递性得知α∥β.
2.(2025·遵义高一检测)在正四棱锥P-ABCD中,O为底面中心,H,E,F分别为PA,AH,HO的中点,点M在棱PD上,且PM=3MD.
(1)证明:HO∥平面PCD.
(2)证明:平面EFM∥平面ABCD.
【证明】(1)连接AC,在正四棱锥P-ABCD中,O为底面中心,则O为AC的中点,
因为H为PA的中点,所以HO∥PC,
又因为HO 平面PCD,PC 平面PCD,所以HO∥平面PCD.
(2)因为E,F分别为AH,HO的中点,所以EF∥AO,又因为EF 平面ABCD,AO 平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.
因为H,E分别为PA,AH的中点,所以PE=3EA,又PM=3MD,所以EM∥AD,
因为EM 平面ABCD,AD 平面ABCD,所以EM∥平面ABCD,EF,EM 平面EFM,EF∩EM=E,所以平面EFM∥平面ABCD.
探究点二 平面与平面平行的性质定理
【典例2】如图所示,两条异面直线BA,DC与两平行平面α,β分别交于点B,A和D,C,点M,N分别是AB,CD的中点,求证:MN∥平面α.
【思维导引】作辅助线构造面面平行,由面面平行的性质证明线面平行.
【证明】如图,过点A作AE∥CD交α于点E,取AE的中点P,连接MP,PN,BE,ED,BD,AC.
因为AE∥CD,所以AE,CD确定平面AEDC.
则平面AEDC∩α=DE,平面AEDC∩β=AC,
因为α∥β,所以AC∥DE.
又P,N分别为AE,CD的中点,
所以PN∥DE,PN α,DE α,所以PN∥α.
又M,P分别为AB,AE的中点,所以MP∥BE,
且MP α,BE α,所以MP∥α,
因为MP∩PN=P,所以平面MPN∥α.
又MN 平面MPN,所以MN∥平面α.
【延伸探究】
1.在本例中将M,N分别是AB,CD的中点换为M,N分别在线段AB,CD上,且=,其他不变.证明:MN∥平面α.
【证明】作AE∥CD交α于点E,连接AC,BD,如图.
因为α∥β且平面AEDC与平面α,β的交线分别为ED,AC,所以AC∥ED,
所以四边形AEDC为平行四边形,作NP∥DE交AE于点P,
连接MP,BE,于是=.
又因为=,所以=,所以MP∥BE.
而BE α,MP α,所以MP∥α.同理PN∥α.
又因为MP∩NP=P,所以平面MPN∥平面α.
又MN 平面MPN,所以MN∥平面α.
2.两条异面直线与三个平行平面α,β,γ分别交于A,B,C和D,E,F,求证:=.
【证明】连接AF交平面β于点M.
连接MB,ME,BE,因为α∥β,所以ME∥AD.
所以=,同理,BM∥CF,
所以=,即=.
【类题通法】
证明线线平行的法
(1)定义法:在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.
(2)平行公理:平行于同一条直线的两条直线平行.
(3)线面平行的性质定理: ,应用时题目条件中需有线面平行.
(4)面面平行的性质定理: ,应用时题目条件中需有面面平行或证得两平面平行.
【定向训练】
1.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为平行四边形,E,F分别在线段DB,DD1上,且==,G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G,则= ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.延长AE交CD于点H,连接FH,
因为四边形ABCD为平行四边形,所以AB∥CD,
则△DEH∽△BEA,
因为=,所以==,
因为平面AEF∥平面BD1G,平面AEF∩平面CDD1C1=FH,平面BD1G∩平面CDD1C1=D1G,
所以FH∥D1G,又四边形CDD1C1为平行四边形,
所以△DFH∽△C1GD1,所以=,
因为==,所以=,因为=,所以=,
所以FD1=C1G,DF=CG,所以=.
2.在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为该棱柱的九条棱中某条棱的中点,若A1C∥平面BC1D,则D为( )
A.棱AB的中点 B.棱A1B1的中点
C.棱BC的中点 D.棱AA1的中点
【解析】选B.如图,
当D为棱A1B1的中点时,取AB的中点E,因为A1E∥BD,DC1∥EC,DC1∩BD=D,
所以平面A1CE∥平面BC1D,
又A1C 平面A1CE,则A1C∥平面BC1D.
3.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB=BD=BP=,PA=PD=,∠APD=90°,E,F分别是棱PA,AD的中点,且BE∥平面PCD.
(1)证明:BF∥CD;
(2)已知CD=1,求四棱锥P-ABCD的体积.
【解析】(1)连接EF,如图,
因为E,F分别是PA,AD中点,所以EF为△APD中位线,EF∥PD.
EF 平面PDC,PD 平面PDC.
所以EF∥平面PCD.
又因为BE∥平面PCD,BE∩EF=E,BE与EF都在平面EFB内.
所以平面EFB∥平面PCD.
又因为平面ABCD∩平面EFB=BF,平面ABCD∩平面PCD=CD.所以BF∥CD.
(2)连接PF,因为PA=PD,∠APD=90°,所以△APD为等腰直角三角形,
所以AD==2,PF=1,PF⊥AD,
又因为AB=BD,所以△ABD为等腰三角形,因为F为AD中点,所以BF⊥FD,FD=1,
由(1)知BF∥CD,∠BFD=∠FDC=90°,
所以BF==2.
所以cos∠BDF==,所以sin∠BDC==.
所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=2×2×+×1·sin∠BDC=2+=.
因为PF2+BF2=PB2,所以PF⊥BF,
因为AD∩BF=F,所以PF⊥底面ABCD.
所以VP-ABCD=PF·S四边形ABCD=×1×=.
探究点三 平面与平面平行的综合应用
【典例3】在长体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为所在棱的中点,H,Q分别为AC,AD1的中点,连接EF,EG,FG,DQ,CQ,D1H.
(1)求证:平面EFG∥平面ACQ;
(2)在线段CD上是否存在一点P,使得DQ∥平面D1PH 若存在,求出P点的位置;若不存在,请说明理由.
【思维导引】(1)连接A1C1,BC1可证EF∥平面ACQ,GF∥平面ACQ,从而可证.
(2)当DP=DC时,连接PH并延长交AB于点M,连接D1M,取线段D1M的中点N,连接QN,可证四边形QDPN为平行四边形,从而可证QD∥NP,从而得出答案.
【解析】(1)连接A1C1,BC1,由E,F,G分别为所在棱的中点,所以A1C1∥GF,EF∥BC1,
由AD1∥BC1,所以AD1∥EF,又AD1 平面ACQ,EF 平面ACQ,所以EF∥平面ACQ,
又A1C1∥AC,所以GF∥AC,又AC 平面ACQ,GF 平面ACQ,所以GF∥平面ACQ,
又GF∩EF=F,所以平面EFG∥平面ACQ;
(2)线段CD上存在一点P,当DP=DC时,满足DQ∥平面D1PH.
证明如下:连接PH并延长交AB于点M,连接D1M,D1P,则平面D1PH与平面D1PM为同一平面.
由H为AC的中点,则△AMH与△CPH等.
则AM=AB=CD,取线段D1M的中点N,连接QN,PN.
由Q,N分别为AD1,D1M的中点,所以QN=
AM=AB=DC且QN∥AM,
又DP∥AM且DP=DC,即QN∥DP且QN=DP,所以四边形QDPN为平行四边形,故QD∥NP,又QD 平面D1PH,NP 平面D1PH,所以DQ∥平面D1PH.
【类题通法】
1.线线、线面、面面平行关系经常交替使用,相互转化,其关系可用下图示意.
2.注意两个问题:
(1)一条直线平行于一个平面,推不出这条直线与平面内的所有直线平行,但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行.
(2)两个平面平行,其中一个平面内的直线必定平行于另一平面,但这两个平面内的直线不一定相互平行,也有可能异面.
【定向训练】
1.在棱长为1的正体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为BD1,B1C1的中点,点P在正体的表面上运动,且满足MP∥平面CND1,则下列说法正确的是 ( )
A.点P可以是棱BB1的中点
B.线段MP的最大值为
C.点P的轨迹是正形
D.点P轨迹的长度为2+
【解析】选B.如图,取棱BC的中点E,连接DE,B1E,ME.因为M,N分别为BD1,B1C1的中点,所以在△BCD1中,ME∥CD1.由于ME 平面CND1,CD1 平面CND1,所以ME∥平面CND1.因为B1N∥CE,B1N=CE,所以四边形CNB1E为平行四边形,所以CN∥B1E.因为CN 平面CND1,B1E 平面CND1,所以B1E∥平面CND1.因为B1E∩ME=E,B1E,ME 平面B1EM,所以平面B1EM∥平面CND1.由于M为体对角线BD1的中点,所以连接B1M并延长,直线B1M必过D点,故取A1D1中点F,连接B1F,FD,FE.由正体的性质易知FD1∥CE,FD1=CE,所以四边形CD1FE是平行四边形,EF∥CD1,EF=CD1.因为ME∥CD1,ME=CD1,所以E,F,M共线,即F∈平面B1EM,所以四边形B1EDF为点P的轨迹,故A选项错误;由正体的棱长为1,得四边形B1EDF的边长均为,且对角线EF=,B1D=,所以四边形B1EDF为菱形,周长为2,故C,D选项错误;由菱形的性质知,线段MP的最大值为B1D=,故B选项正确.
【题后反思】本题解题的关键在于取棱BC的中点E,进而证明平面B1EM∥平面CND1,再根据面面平行的性质求点P轨迹即可求解.
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,F为AB上的点,且AF=2FB,E为PD中点.
(1)证明:PB∥平面AEC.
(2)在PC上是否存在一点G,使得FG∥平面AEC 若存在,指出点G位置,并证明你的结论;若不存在,说明理由.
【证明】(1)连接BD交AC于O,
因为E为PD中点,
所以EO是△BPD中位线,所以EO∥PB.
又EO 平面AEC,PB 平面AEC,
所以PB∥平面AEC.
(2)PC上存在点G,且CG=2GP,使得FG∥平面AEC.
理由如下:在PA上取点H,令AH=2HP,连接HF,HG,FG.
因为F为AB上的点,且AF=2FB,
所以在△PAB中,==,所以HF∥PB,
因为PB∥平面AEC,HF 平面AEC,
所以HF∥平面AEC,
又在△PAC中,==,所以HG∥AC,
因为HG 平面AEC,AC 平面AEC,
所以HG∥平面AEC,
因为HG∩HF=H,HG,HF 平面HFG,
所以平面HFG∥平面AEC,
因为FG 平面HGF,所以FG∥平面AEC.
课堂学业达标
1.a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a α,b β,则“a∥b”是“α∥β”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选D.充分性:a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a α,b β,则由a∥b不能推出α∥β,α,β也可能相交,故充分性不成立;
必要性:a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a α,b β,则由α∥β不能推出a∥b,a,b也可能异面,故必要性不成立;故“a∥b”是“α∥β”的既不充分也不必要条件.
2.若平面α∥平面β,直线a α,点M∈β,过点M的所有直线中 ( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.有且只有一条与a平行的直线
【解析】选D.由于α∥β,a α,M∈β,过M有且只有一条直线与a平行,故D项正确.
3.在长体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是 ( )
A.矩形 B.菱形
C.平行四边形 D.正形
【解析】选C.如图,在长体ABCD-A1B1C1D1中,
平面ABB1A1∥平面CDD1C1,过D1B的平面BED1F与平面ABB1A1交于直线BE,与平面CDD1C1交于直线D1F.
由面面平行的性质定理,知BE∥D1F.同理BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边形.
4.在正体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,Q分别是棱D1C1,A1D1,BC的中点,点P在BD1上且BP=
BD1.则以下四个说法:
①MN∥平面APC;②C1Q∥平面APC;③A,P,M三点共线;④平面MNQ∥平面APC.
其中说法正确的是 .
【解析】①MN∥AC,连接AM,CN,得AM,CN交于点P,即MN 平面PAC,所以MN∥平面APC是错误的;
②平面APC延展,可知M,N在平面APC上,AN∥C1Q,所以C1Q∥平面APC是正确的;
③由BP=BD1,以及②知△APB∽△D1PM,所以A,P,M三点共线是正确的;
④直线AP延长到M,则M既在平面MNQ内,又在平面APC内,所以平面MNQ∥平面APC是错误的.
答案:②③
5.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,点D是BC的中点,欲过点A'作一截面与平面AC'D平行,问应当怎样画线,并说明理由.
【解析】在三棱柱ABC-A'B'C'中,点D是BC的中点,取B'C'的中点E,连接A'E,A'B,BE,则平面A'EB∥平面AC'D,A'E,A'B,BE即为应画的线.
证明:因为D为BC的中点,E为B'C'的中点,所以BD=C'E,又因为BC∥B'C',所以四边形BDC'E为平行四边形,所以DC'∥BE.
连接DE,则DEBB',所以DEAA',
所以四边形AA'ED是平行四边形,
所以AD∥A'E.
又因为A'E∩BE=E,A'E 平面A'BE,BE 平面A'BE,AD∩DC'=D,AD 平面AC'D,DC' 平面AC'D,所以平面A'EB∥平面AC'D.
课时巩固请使用 课时素养检测 二十八
