8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
素养目标 思维导图
1.借助正体,通过直观感知,了解空间中直线与直线垂直的关系.(直观想象) 2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.(逻辑推理)
课前自主学习
观察如图正体,分析下列问题.
问题1.判断直线AC与直线D1B1,直线AB与直线D1B1是平行直线还是异面直线
提示:直线AC与直线D1B1是异面直线,直线AB与直线D1B1也是异面直线.
问题2.直线AC和直线AB与直线D1B1的位置相同吗
提示:直线AC和直线AB与直线D1B1虽然均是异面直线,但位置不尽相同.
问题3.直线A1C1与直线D1B1夹角是多少 能否判断直线AC与直线D1B1所成的角
提示:直线A1C1与直线D1B1夹角是直角.因为直线AC与直线A1C1平行,可以借助直线A1C1与直线D1B1夹角判断直线AC与直线D1B1所成的角.
【核心概念】
1.两异面直线所成的角及空间两条直线垂直
定义 已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围 记异面直线a与b所成的角为θ,则0°<θ≤90°
空间两 直线垂直 当θ=90°时,a与b互相垂直,记作a⊥b
2.对异面直线所成角的认识
(1)任意性与无关性:在定义中,空间一点O是任取的,根据等角定理,可以断定异面直线所成的角与a',b'所成的锐角(或直角)相等,而与点O的位置无关.
(2)转化求角:异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量,通过转化为相交直线所成的角,将空间角转化为平面角来计算.
3.当两条直线平行时,我们规定它们所成的角为0°.
4.求异面直线所成的角时,点O常取在两条异面直线中的一条上.
课堂合作探究
探究点一 求异面直线所成的角
【典例1】(一题多问)
已知如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,解决下列问题.
(1)记D为A1B1的中点,AB=BC=BB1=1,AC=,则异面直线BD与AC所成的角的余弦值是多少
(2)若底面ABC为正三角形,AA1=3,AB=2,则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值是多少
(3)若AB=AC=1,∠BAC=,AA1=4,点M为线段AA1的中点,则异面直线BM与B1C1所成角的余弦值是多少
(4)若AA1=AC=BC,且AC⊥BC,记E为BC的中点,则异面直线A1C与C1E所成角的余弦值是多少
【问题解读】(1)取B1C1的中点E,易得∠BDE(或其补角)为异面直线BD与AC所成的角,根据直棱柱的性质结合条件即得.
(2)在三棱柱内构造直线使其平行于A1B,然后构造三角形,运用异面直线夹角的定义求解即可.
(3)∠MBC或其补角即为异面直线BM与B1C1所成的角,根据余弦定理求解.
(4)根据直三棱柱的几何性质,补形成正体,利用异面直线夹角的定义,结合余弦定理,可得答案.
【解析】(1)如图,取B1C1的中点E,连接BE,DE,则AC∥A1C1∥DE,
所以∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角,由题可知BD=EB==,DE=AC=,所以cos∠BDE==,即异面直线BD与AC所成角的余弦值为.
(2)取A1C1的中点D,连接BC1交B1C于点E,连接DE,B1D,
则DE∥A1B且DE=A1B,则∠DEB1为异面直线A1B与B1C所成的角或其补角.易求A1B=B1C=,B1D=,则DE=B1E=,所以cos∠DEB1===.
(3)因为BC∥B1C1,所以∠MBC或其补角即为异面直线BM与B1C1所成的角,
在△MBC中,BM=CM=,BC=,由余弦定理得,cos∠MBC==.
(4)由题意,可将该三棱柱看作正体的一半,补形如图所示:
记AD的中点为F,连接A1F,CF,EF.因为在正形ACBD中,E,F分别是BC,AD的中点,
所以EF∥AC,EF=AC,又A1C1∥AC,A1C1=AC,所以EF∥A1C1,EF=A1C1,
故四边形A1C1EF是平行四边形,则A1F∥C1E,则∠FA1C为异面直线A1C与C1E的夹角或其补角.
设该正体的棱长为2,在Rt△AA1F中,A1F===.
在Rt△ACF中,CF===,在Rt△ACA1中,A1C==2,在△A1CF中,cos∠CA1F==.
【类题通法】
求两条异面直线所成的角的一般步骤及注意问题
(1)一般步骤
①构造:根据异面直线的定义,用平移法(常用三角形的中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角.
②证明:证明作出的角就是要求的角.
③计算:求角度,常利用三角形.
④结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.
(2)注意问题
①作异面直线所成的角时,要选择恰当的点,如线段的中点或端点,也可以是异面直线中某一条直线上的一个特殊点.
②由于异面直线所成角的范围是大于0°且小于等于90°,因此平移所作出的角不一定恰好是所求的角,因此要说明此角是异面直线所成的角或是其补角.
【定向训练】
1.在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,AB=,E是PC的中点,则异面直线PA与BE所成的角为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.连接AC,BD相交于点O,连接OE,则O是AC,BD的中点,
故OE∥PA,故∠BEO即为异面直线PA与BE所成的角或其补角,
由于PA=2,AB=,故BD=2,OE=PA=1,
OB=BD=1,由于cos ∠PCB==,
故BE===,
故BE2=OE2+BO2,所以OE⊥OB,结合OE=OB,故∠BEO=,即异面直线PA与BE所成的角为.
2.如图,在圆柱OO1中,AB是底面圆O的直径,点P为半圆弧AB上一点,AA1是圆柱的母线.已知AP=,BP=1,圆柱的体积为3π.求异面直线A1P与AB所成角的余弦值.
【解析】连接A1B1(图),由题意知A1B1∥AB,则异面直线A1P与AB所成角即为∠PA1B1,
由圆锥的体积为3π,易得BB1=AA1=3,
所以A1P===2,
在△PA1B1中,又A1B1=AB=2,B1P===,
所以cos ∠PA1B1==.
则异面直线A1P与AB所成角的余弦值为.
探究点二 空间两直线垂直
【典例2】(一题多解)
如图所示,正体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求证:DB1⊥EF.
【思维导引】转化为利用直线垂直判定定理求解.
【证明】法一:如图所示,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G.
则OG∥B1D,EF∥A1C1.
所以∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
因为GA1=GC1,O为A1C1的中点,所以GO⊥A1C1.所以异面直线DB1与EF所成的角为90°.所以DB1⊥EF.
法二:如图所示,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,则HE DB1.于是∠HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
连接HF,设AA1=1,则EF=,HE=,取A1D1的中点I,连接HI,IF,则HI⊥IF.
所以HF2=HI2+IF2=.
所以HF2=EF2+HE2.
所以∠HEF=90°.所以异面直线DB1与EF所成的角为90°.所以DB1⊥EF.
【类题通法】
求角证线线垂直
平移求角:求两条异面直线所成的角的数学思想是化空间为平面,也就是通过平移直线至相交位置求角,有如下“口诀”:
中点、端点定顶点,平移常用中位线;
平行四边形中见,指出成角很关键;
求角构造三角形,锐角、钝角要明辨;
平行线若在外,补上原体在外边.
【定向训练】
如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=.求证:AD⊥BC.
【证明】如图所示,取BD的中点H,连接EH,FH.
因为E是AB的中点,且AD=2,
所以EH∥AD,EH=1.同理FH∥BC,FH=1.
所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD,BC所成的角.
因为EF=,所以EH2+FH2=EF2,
所以△EFH是等腰直角三角形,EF是斜边,
所以∠EHF=90°,即AD与BC所成的角是90°,
所以AD⊥BC.
课堂学业达标
1.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与直线c ( )
A.一定平行 B.一定垂直
C.一定是异面直线 D.一定相交
【解析】选B.因为a⊥b,b∥c,所以a⊥c.
2.在正体ABCD-A1B1C1D1中,面对角线中与AD1成60°的有 ( )
A.4条 B.6条 C.8条 D.10条
【解析】选C.如图所示,
在正体ABCD-A1B1C1D1中,△AD1B1是等边三角形,故B1D1,AB1与AD1所成的角是60°,同理△ACD1也是等边三角形,AC,CD1与AD1也成60°角,则在面对角线中,与AC,CD1,B1D1,AB1分别平行的对角线与AD1也成60°角.
3.一个正体的展开图如图所示,A,B,C,D为原正体的顶点,则在原来的正体中 ( )
A.AB∥CD
B.AB与CD相交
C.AB⊥CD
D.AB与CD所成的角为60°
【解析】选D.还原成正体如图,
因为AB∥DE,所以∠CDE是AB与CD所成角,
因为CD=DE=CE,所以∠CDE=60°,
所以在原来的正体中AB与CD所成的角为60°.
4.一个长体的平面展开图如图所示,其中AB=4,AD=2,DH=,点M为AB的中点,则将该长体还原后,AH与CM所成角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.将该长体还原后的直观图如图所示,
取CD的中点N,易证AN∥CM,所以由图知,∠HAN即为异面直线AH与CM所成的角,可得AN=CM=2,AH=HN=,所以由余弦定理得cos∠HAN==.
5.在正体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是平面A1B1C1D1和AA1D1D的中心,则EF和CD所成的角是 .
【解析】连接B1D1,AD1,则E为B1D1的中点,F为AD1的中点,连接AB1,则EF∥AB1,又CD∥AB,所以∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角,∠B1AB=45°.
答案:45°
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8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
素养目标 思维导图
1.借助正体,通过直观感知,了解空间中直 线与直线垂直的关系.(直观想象) 2.能用已获得的结论证明空间基本图形位 置关系的简单命题.(逻辑推理)
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观察如图正体,分析下列问题.
问题1.判断直线AC与直线D1B1,直线AB与直线D1B1是平行直线还
是异面直线
提示:直线AC与直线D1B1是异面直线,直线AB与直线D1B1也是异
面直线.
问题2.直线AC和直线AB与直线D1B1的位置相同吗
提示:直线AC和直线AB与直线D1B1虽然均是异面直线,但位置不尽相同.
问题3.直线A1C1与直线D1B1夹角是多少 能否判断直线AC与直线D1B1所成的角
提示:直线A1C1与直线D1B1夹角是直角.因为直线AC与直线A1C1平行,可以借助直线
A1C1与直线D1B1夹角判断直线AC与直线D1B1所成的角.
【核心概念】
1.两异面直线所成的角及空间两条直线垂直
定义 已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,
我们把直线a'与b'所成的___叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围 记异面直线a与b所成的角为θ,则_________
空间两 直线垂直 当θ=____时,a与b互相垂直,记作_____
角
0°<θ≤90°
90°
a⊥b
2.对异面直线所成角的认识
(1)任意性与无关性:在定义中,空间一点O是任取的,根据等角定理,可以断定异面直线所成的角与a',b'所成的锐角(或直角)相等,而与点O的位置无关.
(2)转化求角:异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量,通过转化为相交直线所成的角,将空间角转化为平面角来计算.
3.当两条直线平行时,我们规定它们所成的角为0°.
4.求异面直线所成的角时,点O常取在两条异面直线中的一条上.
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探究点一 求异面直线所成的角
【典例1】(一题多问)
已知如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,解决下列问题.
(1)记D为A1B1的中点,AB=BC=BB1=1,AC=,则异面直线BD与AC
所成的角的余弦值是多少
(2)若底面ABC为正三角形,AA1=3,AB=2,则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值是多少
(3)若AB=AC=1,∠BAC=,AA1=4,点M为线段AA1的中点,则异面直线BM与B1C1所成角的余弦值是多少
(4)若AA1=AC=BC,且AC⊥BC,记E为BC的中点,则异面直线A1C与C1E所成角的余弦值是多少
【问题解读】(1)取B1C1的中点E,易得∠BDE(或其补角)为异面直线BD与AC所成的角,根据直棱柱的性质结合条件即得.
(2)在三棱柱内构造直线使其平行于A1B,然后构造三角形,运用异面直线夹角的定义求解即可.
(3)∠MBC或其补角即为异面直线BM与B1C1所成的角,根据余弦定理求解.
(4)根据直三棱柱的几何性质,补形成正体,利用异面直线夹角的定义,结合余弦定理,可得答案.
【解析】(1)如图,取B1C1的中点E,连接BE,DE,则AC∥A1C1∥DE,
所以∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角,由题可知
BD=EB==,DE=AC=,所以cos∠BDE==,
即异面直线BD与AC所成角的余弦值为.
(2)取A1C1的中点D,连接BC1交B1C于点E,连接DE,B1D,
则DE∥A1B且DE=A1B,则∠DEB1为异面直线A1B与B1C所成
的角或其补角.易求A1B=B1C=,B1D=,
则DE=B1E=,所以cos∠DEB1===.
(3)因为BC∥B1C1,所以∠MBC或其补角即为异面直线BM与B1C1所成的角,
在△MBC中,BM=CM=,BC=,由余弦定理得,cos∠MBC==.
(4)由题意,可将该三棱柱看作正体的一半,补形如图所示:
记AD的中点为F,连接A1F,CF,EF.因为在正形ACBD中,E,F分别是BC,AD的中点,
所以EF∥AC,EF=AC,又A1C1∥AC,A1C1=AC,所以EF∥A1C1,EF=A1C1,
故四边形A1C1EF是平行四边形,则A1F∥C1E,
则∠FA1C为异面直线A1C与C1E的夹角或其补角.
设该正体的棱长为2,在Rt△AA1F中,A1F===.
在Rt△ACF中,CF===,
在Rt△ACA1中,A1C==2,在△A1CF中,cos∠CA1F==.
【类题通法】
求两条异面直线所成的角的一般步骤及注意问题
(1)一般步骤
①构造:根据异面直线的定义,用平移法(常用三角形的中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角.
②证明:证明作出的角就是要求的角.
③计算:求角度,常利用三角形.
④结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.
(2)注意问题
①作异面直线所成的角时,要选择恰当的点,如线段的中点或端点,也可以是异面直线中某一条直线上的一个特殊点.
②由于异面直线所成角的范围是大于0°且小于等于90°,因此平移所作出的角不一定恰好是所求的角,因此要说明此角是异面直线所成的角或是其补角.
【定向训练】
1.在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,AB=,E是PC的中点,则异面直线PA与BE所成的角为( )
A. B. C. D.
【解析】选C.连接AC,BD相交于点O,连接OE,则O是AC,BD的中点,
故OE∥PA,故∠BEO即为异面直线PA与BE所成的角或其补角,
由于PA=2,AB=,故BD=2,OE=PA=1,
OB=BD=1,由于cos ∠PCB==,
故BE===,
故BE2=OE2+BO2,所以OE⊥OB,结合OE=OB,故∠BEO=,即异面直线PA与BE所成的角为.
√
2.如图,在圆柱OO1中,AB是底面圆O的直径,点P为半圆弧AB上一点,AA1是圆柱的母
线.已知AP=,BP=1,圆柱的体积为3π.求异面直线A1P与AB所成角的余弦值.
【解析】连接A1B1(图),由题意知A1B1∥AB,
则异面直线A1P与AB所成角即为∠PA1B1,
由圆锥的体积为3π,易得BB1=AA1=3,
所以A1P===2,
在△PA1B1中,又A1B1=AB=2,B1P===,
所以cos ∠PA1B1==.
则异面直线A1P与AB所成角的余弦值为.
探究点二 空间两直线垂直
【典例2】(一题多解)
如图所示,正体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求证:DB1⊥EF.
【思维导引】转化为利用直线垂直判定定理求解.
【证明】法一:如图所示,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,
连接OG,A1G,C1G.
则OG∥B1D,EF∥A1C1.
所以∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
因为GA1=GC1,O为A1C1的中点,所以GO⊥A1C1.
所以异面直线DB1与EF所成的角为90°.所以DB1⊥EF.
法二:如图所示,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,则HE DB1.
于是∠HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
连接HF,设AA1=1,则EF=,HE=,取A1D1的中点I,连接HI,IF,则HI⊥IF.
所以HF2=HI2+IF2=.
所以HF2=EF2+HE2.
所以∠HEF=90°.所以异面直线DB1与EF所成的角为90°.
所以DB1⊥EF.
【类题通法】
求角证线线垂直
平移求角:求两条异面直线所成的角的数学思想是化空间为平面,也就是通过平移直线至相交位置求角,有如下“口诀”:
中点、端点定顶点,平移常用中位线;
平行四边形中见,指出成角很关键;
求角构造三角形,锐角、钝角要明辨;
平行线若在外,补上原体在外边.
【定向训练】
如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是
AB,CD的中点,EF=.求证:AD⊥BC.
【证明】如图所示,取BD的中点H,连接EH,FH.
因为E是AB的中点,且AD=2,
所以EH∥AD,EH=1.同理FH∥BC,FH=1.
所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD,BC所成的角.
因为EF=,所以EH2+FH2=EF2,
所以△EFH是等腰直角三角形,EF是斜边,
所以∠EHF=90°,即AD与BC所成的角是90°,
所以AD⊥BC.
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1.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与直线c ( )
A.一定平行 B.一定垂直
C.一定是异面直线 D.一定相交
【解析】选B.因为a⊥b,b∥c,所以a⊥c.
√
2.在正体ABCD-A1B1C1D1中,面对角线中与AD1成60°的有 ( )
A.4条 B.6条
C.8条 D.10条
【解析】选C.如图所示,
在正体ABCD-A1B1C1D1中,△AD1B1是等边三角形,故B1D1,AB1与AD1所成的角是
60°,同理△ACD1也是等边三角形,AC,CD1与AD1也成60°角,则在面对角线中,
与AC,CD1,B1D1,AB1分别平行的对角线与AD1也成60°角.
√
3.一个正体的展开图如图所示,A,B,C,D为原正体的顶点,则在原来的正体
中 ( )
A.AB∥CD
B.AB与CD相交
C.AB⊥CD
D.AB与CD所成的角为60°
【解析】选D.还原成正体如图,
因为AB∥DE,所以∠CDE是AB与CD所成角,
因为CD=DE=CE,所以∠CDE=60°,
所以在原来的正体中AB与CD所成的角为60°.
√
4.一个长体的平面展开图如图所示,其中AB=4,AD=2,DH=,点M为AB的中点,
则将该长体还原后,AH与CM所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
√
【解析】选B.将该长体还原后的直观图如图所示,
取CD的中点N,易证AN∥CM,所以由图知,∠HAN即为异面直线AH与CM所成的角,
可得AN=CM=2,AH=HN=,所以由余弦定理得cos∠HAN==.
5.在正体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是平面A1B1C1D1和AA1D1D的中心,则EF和
CD所成的角是 .
【解析】连接B1D1,AD1,则E为B1D1的中点,F为AD1的中点,连接AB1,则EF∥AB1,
又CD∥AB,所以∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角,∠B1AB=45°.
答案:45°
