8.6.2 直线与平面垂直(一)
素养目标 思维导图
1.从定义和基本事实出发,通过直观感知,了解空间中直线与平面垂直的关系,归纳出判定定理,并加以证明.(直观想象、逻辑推理) 2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.(逻辑推理)
课前自主学习
问题1.在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面上的影子BC,旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么
提示:垂直.
问题2.如图,直线l与平面α内的无数条直线a,b,c,…都垂直,直线l与平面α一定垂直吗 为什么
提示:不一定.当平面α内的无数条直线a,b,c,…都互相平行时,直线l在保证与直线a,b,c,…都垂直的条件下,与平面α可能垂直也可能斜交或平行.
问题3.请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图所示的试验:过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).
(1)问:折痕AD与桌面垂直吗 如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直
提示:从试验可知:当AD与BC不垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上,折痕AD与桌面不垂直;当AD与BC垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上,折痕AD与桌面垂直.
(2)由折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD⊥CD,AD⊥BD,你能得到什么结论
提示:若一条直线与平面内两条相交直线垂直,则该直线垂直于这个平面.
【核心概念】
1.直线与平面垂直的定义
定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关 概念 直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面,它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
画法 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
2.直线与平面垂直的判定定理
文字 语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直
符号 语言 m α,n α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n l⊥α
图形 语言
3.直线与平面所成的角
(1)斜线:与平面α相交,但不和平面α垂直,图中直线PA.
(2)斜足:斜线和平面的交点,图中点A.
(3)射影:过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影,图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO.
(4)直线与平面所成的角:
定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,图中∠PAO.
规定:一条直线垂直于平面,它们所成的角是90°;一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0°.
(5)取值范围:设直线与平面所成的角为θ,则0°≤θ≤90°.
课堂合作探究
探究点一 直线与平面垂直的定义及应用
【典例1】(多选)已知点A∈平面α,点B 平面α,则下列说法错误的是 ( )
A.平面α内所有的直线与直线AB异面
B.平面α内存在一条直线与直线AB平行
C.平面α内存在无数条直线与直线AB垂直
D.有且只有一个过直线AB的平面与平面α垂直
【思维导引】根据空间线面位置关系即可判断.
【解析】选ABD.当平面α内的直线过点A时,该直线与直线AB相交,故A错误;假设平面α内存在一条直线与直线AB相互平行,则该直线与直线AB共面,显然不成立,故B错误;过点A可以在平面α内作与AB垂直的直线,所以平面α内存在无数条直线与直线AB垂直,故C正确;当直线AB与平面α垂直时,有无数个过直线AB的平面与平面α垂直,故D错误.
【类题通法】
直线与平面垂直的定义的“双向”作用
(1)证明线面垂直:若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直,则该直线与已知平面垂直.即线线垂直 线面垂直.
(2)证明线线垂直:若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内任意一条直线垂直.即线面垂直 线线垂直.
【定向训练】
(2025·达州高一检测)空间中三条不同的直线l,m,n和平面α满足l α,m α,n α,则下面结论正确的是 ( )
A.若l∥α,则l∥m
B.若l⊥m且l⊥n,则l⊥α
C.若l⊥α,则l⊥m
D.若l⊥n且l⊥m,则m∥n
【解析】选C.对于A,若l∥α,m α,则l∥m或l与m是异面直线,故A错误;
对于B,若l⊥m且l⊥n,m α,n α,根据线面垂直的判定定理,当m,n相交时,才有l⊥α,故B错误;
对于C,根据线面垂直的定义,l⊥α,m α,则l⊥m,故C正确;
对于D,若l⊥n且l⊥m,m α,n α,则m∥n或m,n相交,故D错误.
探究点二 线面垂直判定定理的应用
【典例2】(2025·周口高一检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,△PAB为正三角形,AD∥BC,AD=2BC,E为PD的中点,CE⊥AD.
(1)证明:CE⊥平面PAD;
(2)若AD⊥AB,AB=BC=2,求四棱锥P-ABCD的体积.
【思维导引】(1)取F为PA的中点,可证BF∥CE,由BF⊥PA,得CE⊥PA,又CE⊥AD,可得证CE⊥平面PAD;
(2)取G为AB的中点,证明PG是四棱锥P-ABCD的高,用体积公式计算四棱锥P-ABCD的体积.
【解析】(1)取F为PA的中点,连接EF,BF,
又E为PD的中点,则有EF∥AD且EF=AD,由已知AD∥BC,BC=AD,
所以EF∥BC,EF=BC,四边形BCEF为平行四边形,有BF∥CE,
△PAB为正三角形,BF⊥PA,则CE⊥PA,
又CE⊥AD,PA,AD 平面PAD,PA∩AD=A,所以CE⊥平面PAD;
(2)取G为AB的中点,连接PG,
因为CE∥BF,CE⊥AD,所以BF⊥AD,
又AD⊥AB,BF,AB 平面PAB,BF∩AB=B,所以AD⊥平面PAB,
PG 平面PAB,则PG⊥AD,G为AB的中点,有PG⊥AB,AB,AD 平面ABCD,AB∩AD=A,所以PG⊥平面ABCD,
即PG是四棱锥P-ABCD的高,AB=BC=2,则AD=4,PG=,
得四棱锥P-ABCD的体积V==2.
【类题通法】
证线面垂直的法
(1)线线垂直证明线面垂直
①定义法(不常用).
②判定定理最常用(有时作辅助线).
(2)平行转化法(利用推论)
①a∥b,a⊥α b⊥α.
②α∥β,a⊥α a⊥β.
【定向训练】
1.如图,圆柱OO'中,AA'是侧面的母线,AB是底面的直径,C是底面圆上一点,则 ( )
A.BC⊥平面A'AC
B.BC⊥平面A'AB
C.AC⊥平面A'BC
D.AC⊥平面A'AB
【解析】选A.对于A,依题意AA'⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以AA'⊥BC,
又AB是底面圆的直径,所以BC⊥AC,
AA'∩AC=A,AA',AC 平面AA'C,所以BC⊥平面AA'C,故A正确;
对于B,在△ABC中,BC⊥AC,显然BC与AB不垂直,则BC不可能垂直于平面A'AB,故B错误;
对于C,在△A'AC中,AA'⊥AC,显然AC与A'C不垂直,则AC不可能垂直于平面A'BC,故C错误;
对于D,在△ABC中,BC⊥AC,显然AC与AB不垂直,则AC不可能垂直于平面A'AB,故D错误.
2.在边长为a的正形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,M,N分别为AB,CF的中点,现沿AE、AF、EF折叠,使B、C、D三点重合,构成一个三棱锥B-AEF,如图所示.
(1)在三棱锥B-AEF中,求证:AB⊥EF;
(2)求四棱锥E-AMNF的体积.
【解析】(1)在三棱锥B-AEF中,因为AB⊥BE,AB⊥BF,BE∩BF=B,
BE,BF 平面BEF,所以AB⊥平面BEF.又EF 平面BEF,所以AB⊥EF;
(2)因为在△ABF中,M,N分别为AB,BF的中点,所以四边形AMNF的面积是△ABF面积的.
又三棱锥E-ABF与四棱锥E-AMNF的高相等,
所以四棱锥E-AMNF的体积是三棱锥E-ABF的体积的,因为VE-ABF=VA-BEF,所以VE-AMNF=VA-BEF.
因为VA-BEF=S△BEF×AB=×BE×BF×AB=a3.
所以VE-AMNF=a3=a3,
故四棱锥E-AMNF的体积为a3.
探究点三 直线与平面所成的角
【典例3】(一题多解)
如图,在正体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点.
(1)求证:BC1∥平面AD1E;
(2)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值.
【思维导引】(1)证明四边形ABC1D1为平行四边形,可得出BC1∥AD1,然后利用线面平行的判定定理可证得结论;
(2)可以将平面扩展,将线面角转化,利用几何法作出线面角,然后计算.
【解析】(1)在正体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1且AB=A1B1,A1B1∥C1D1且A1B1=C1D1,
所以AB∥C1D1且AB=C1D1,所以四边形ABC1D1为平行四边形,则BC1∥AD1.
因为BC1 平面AD1E,AD1 平面AD1E,所以BC1∥平面AD1E.
(2)法一:几何法
延长CC1到F,使得C1F=BE,连接EF,交B1C1于G,因为C1F∥BE,所以四边形BEFC1为平行四边形,所以BC1∥EF.
又因为BC1∥AD1,所以AD1∥EF,所以平面AD1E即平面AD1FE,
连接D1G,作C1H⊥D1G,垂足为H,连接FH.
因为FC1⊥平面A1B1C1D1,D1G 平面A1B1C1D1,所以FC1⊥D1G.
又因为FC1∩C1H=C1,所以直线D1G⊥平面C1FH,
所以C1在平面D1GF中的射影在直线FH上,
所以直线FH为直线FC1在平面D1GF中的射影,∠C1FH为直线FC1与平面D1GF所成的角,
根据直线FC1∥直线AA1,可知∠C1FH为直线AA1与平面AD1G所成的角.
设正体的棱长为2,则C1G=C1F=1,D1G=,所以C1H==,所以FH==,所以sin∠C1FH==,
即直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为.
法二:几何法+体积法
如图,设B1C1的中点为F,延长A1B1,AE,D1F,易证三线交于一点P.因为BB1∥AA1,EF∥AD1,
所以直线AA1与平面AD1E所成的角,即直线B1E与平面PEF所成的角.
设正体的棱长为2,在△PEF中,易得PE=PF=,EF=,可得S△PEF=.
作B1H⊥平面PEF于H,由=,得·B1H=×1×1×2,
整理得B1H=.所以sin∠B1EH==.
所以直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为.
法三:纯体积法
设正体的棱长为2,点A1到平面AED1的距离为h,
在△AED1中,AE=,AD1=2,D1E=3,
cos∠AED1===,
所以sin∠AED1=,易得=3.
由=,得·A1B1=·h,解得h=,
设直线AA1与平面AED1所成的角为θ,所以sin θ==.
【题后反思】本题(2)法一中使用纯几何法,有利于培养学生的几何论证和空间想象能力;法二在几何法的基础上综合使用体积法,计算较为简洁;法三不作任何辅助线,仅利用余弦定理和体积公式进行计算,省却了辅助线和几何的论证,不失为一种优美的法.
【类题通法】
求直线与平面所成角的步骤
(1)作图.作(或找)出斜线在平面上的射影,将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角).
(2)证明.证明找出的平面角是斜线与平面所成的角.
(3)计算.通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
【定向训练】
(2024·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为,AB=6,A1B1=2,则AA1与平面ABC所成角的正切值为 ( )
A. B.1 C.2 D.3
【解析】选B.设棱台高为h,三条侧棱延长后交于一点O,则由AB=3A1B1知,
O到上底的距离为h,O到下底的距离为h.
又S△ABC=9,=,所以·9·h-··h= h=,
上底中心到顶点A1的距离为,所以所求正切值为=h=1.
课堂学业达标
1.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是 ( )
A.垂直 B.相交但不垂直
C.平行 D.不确定
【解析】选A.因为梯形两腰所在直线为两条相交直线,所以由线面垂直的判定定理知,直线与平面垂直.
2.如图所示,定点A和B都在平面α内,定点P α,PB⊥α,C是平面α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,则△ABC为 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
【解析】选B.易证AC⊥平面PBC,所以AC⊥BC,所以△ABC为直角三角形.
3.若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等,则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选B.正四棱锥S-ABCD的侧棱和底面边长相等,作SO⊥底面ABCD,垂足为O,
所以∠SBO是该正四棱锥的侧棱和底面所成的角,设AB=a,则SB=a,OB=BD=,
所以cos∠SBO===,所以∠SBO=45°,
所以该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为45°.
4.设PA与平面α所成角为θ,斜线段PA=l,则它在平面α内的射影长为 .
【解析】如图,PA=l,PO⊥α,∠PAO=θ,所以AO=lcos θ.
答案:lcos θ
5.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是棱AC的中点.
(1)证明:BD⊥DC1;
(2)证明:AB1∥平面BC1D.
【证明】(1)由题意知,C1C⊥平面ABC,△ABC为正三角形.
由BD 平面ABC,得BD⊥C1C,
因为D为AC的中点,所以BD⊥AC,
又AC∩C1C=C,AC,C1C 平面ACC1A1,
所以BD⊥平面ACC1A1,而DC1 平面ACC1A1,
所以BD⊥DC1;
(2)如图,取A1C1的中点F,连接B1F,AF,DF,
则DF∥B1B且DF=B1B,AD∥FC1且AD=FC1,
所以四边形BDFB1,ADC1F为平行四边形,得B1F∥BD,AF∥DC1,
又B1F 平面BC1D,BD 平面BC1D,AF 平面BC1D,C1D 平面BC1D,
所以B1F∥平面BC1D,AF∥平面BC1D,又B1F∩AF=F,B1F,AF 平面AB1F,
所以平面AB1F∥平面BC1D,又AB1 平面AB1F,
所以AB1∥平面BC1D.
课时巩固请使用 课时素养检测 三十8.6.2 直线与平面垂直(二)
素养目标 思维导图
1.从定义和基本事实出发,借助长体,通过直观感知,了解空间中直线与平面垂直的关系,归纳出直线与平面垂直的性质定理,并加以证明.(直观想象、逻辑推理) 2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.(逻辑推理)
课前自主学习
如图是马路旁的路灯灯柱,若将灯柱看作一条直线,地面看作平面,请回答下面的问题.
问题1.灯柱所在直线与地面所在平面有何位置关系
提示:灯柱所在直线与地面所在平面垂直.
问题2.灯柱所在的直线间是什么位置关系
提示:灯柱所在的直线都是平行的.
【核心概念】
1.直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
作用 证明两条直线平行
2.直线到平面的距离,平面到平面的距离
一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离;如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
课堂合作探究
探究点一 直线与平面垂直的性质的应用
【典例1】如图所示,在正体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC,求证:MN∥AD1.
【思维导引】两直线垂直于同一平面 两直线平行.
【证明】因为四边形ADD1A1为正形,所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.
【类题通法】
1.线面垂直的性质的用途
线面垂直的性质提供了证明线线平行的依据.
2.直线与平面垂直的其他性质
(1)若一条直线垂直于一个平面,则它就垂直于这个平面内的任意一条直线.
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.
(3)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直于另一个平面.
(4)垂直于同一条直线的两个平面平行.
【定向训练】
在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,CD=4,AD=BC=3,AE,BF为梯形ABCD的两条高,BD与AE交于点G.如图所示,将梯形ABCD沿两条高AE,BF所在直线翻折,使得∠DEF=∠CFE=90°.
(1)求证:AD∥BC;
(2)求三棱锥C-BDG的体积.
【解析】(1)因为DE⊥EF,DE⊥AE且EF∩AE=E,EF,AE 平面ABFE,
所以DE⊥平面ABFE,同理CF⊥平面ABFE,所以DE∥CF;
由题意得DE=CF,所以四边形DCFE为平行四边形,则有DC∥EF且DC=EF;
又因为AB∥EF且AB=EF,所以AB∥CD且AB=CD,
所以四边形ABCD为平行四边形,所以AD∥BC.
(2)虚连CE(图).
在梯形ABCD中,因为AB∥DE,且AB=2DE,所以AG=2GE,则有AG=AE,又S△DCE=×2×1=1,BF==2,
所以VC-BDG=VG-BCD=VE-BCD=VB-DCE=S△DCE·BF=.
探究点二 空间距离问题
【典例2】(多选)正体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,下列说法正确的是 ( )
A.直线A1B1到平面ABCD的距离为1
B.B1D1到AC的距离为
C.点B到直线A1C的距离为
D.平面C1DA1到平面AB1C的距离为
【思维导引】直线A1B1到平面ABCD的距离为1,A正确;B1D1到AC的距离为1,B错误;连接A1B,作BH⊥A1C于H,计算得到C正确;确定平面C1DA1∥平面AB1C,BD1⊥平面AB1C,BD1⊥平面A1C1D,计算得到D正确,得到答案.
【解析】选ACD.对于A,如图1,AA1⊥平面ABCD,BB1⊥平面ABCD,AA1=BB1=1,故直线A1B1到平面ABCD的距离为1,故A正确;
对于B,如图2,设O1,O2是上下底面的中心,则O1∈B1D1,O2∈AC,则O1O2⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,故O1O2⊥AC,O1O2⊥平面A1B1C1D1,B1D1 平面A1B1C1D1,故O1O2⊥B1D1,O1O2是异面直线B1D1,AC的公共垂线段,O1O2=1,故B错误;
对于C,如图3,连接A1B,作BH⊥A1C于H,BC⊥平面ABB1A1,A1B 平面ABB1A1,故BC⊥A1B,在直角三角形A1BC中,A1B=,BC=1,A1C=,故BH==,故C正确;
对于D,如图4,连接BD,BD1,AC∥A1C1,A1C1 平面C1DA1,AC 平面C1DA1,故AC∥平面C1DA1,同理AB1∥平面C1DA1,AC∩AB1=A,AC,AB1 平面ACB1,故平面C1DA1∥平面AB1C,DD1⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,DD1⊥AC,又BD⊥AC,BD∩DD1=D,BD,DD1 平面BDD1,故AC⊥平面BDD1,BD1 平面BDD1,故AC⊥BD1,同理可得B1C⊥BD1,AC∩B1C=C,AC,B1C 平面AB1C,故BD1⊥平面AB1C,所以BD1⊥平面A1C1D,B到平面AB1C的距离为h,则×1×1×1=×h,h=,D1到平面A1C1D的距离也为h,故两平面的距离为--=,故D正确.
【类题通法】
求空间距离的实质与法
实质:距离的定义具有最短性和确定性,充分体现了化归思想,两个平行平面间的距离、直线到平面的距离,都是转化成求点到平面的距离来解决,最终实质是求两点间距离.
求点到平面的距离
法:(1)构造法:根据定义构造垂直于面的直线,确定垂足位置,并将所求线段化归到三角形中求解.
(2)等积变换法:将所求距离看作某个几何体(多为三棱锥)的高,利用体积相等建立求解.
【定向训练】
1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=4,P是棱B1C1的中点,则C到平面ABP的距离为 ( )
A.2 B.2 C. D.
【解析】选D.由条件可得△A1B1C1是等腰直角三角形,且A1B1⊥A1C1,
故PA1=PB1=B1C1=A1B1=AB=2,所以PA===2,
PB===2,
设P到直线AB的距离为h,则由PA=PB=2,
可知h==2,
设所求距离为d,因为=3VP-ABC=3VC-ABP,则AB·AC·AA1=3×·d··AB·h,解得d=.
2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,∠CAB=30°,且AC⊥BC.
(1)求直三棱柱ABC-A1B1C1的表面积与体积;
(2)求证:BC∥平面AB1C1,并求出BC到平面AB1C1的距离.
【思维导引】(1)根据题意,结合表面积和体积公式进行计算即可;
(2)根据线面平行的判定定理进行证明即可.过点C作CH⊥AC1,垂足为H,则CH⊥平面AB1C1,CH的长即为所求,在Rt△ACC1中,解出CH的长即可.
【解析】(1)因为AC⊥BC,AB=2,∠CAB=30°,
所以AC=,BC=1,
则直三棱柱ABC-A1B1C1的表面积为S=S底+S侧=2××1+(2+1+)×3=9+4,
其体积为V=S底×AA1=×1×3=.
(2)因为BC∥B1C1,B1C1 平面AB1C1,BC 平面AB1C1,所以BC∥平面AB1C1.
过点C作CH⊥AC1,垂足为H.
由题意得CC1⊥BC,又AC⊥BC,AC∩CC1=C,所以BC⊥平面ACC1A1,又CH 平面ACC1A1,则BC⊥CH,所以CH⊥B1C1,又B1C1∩AC1=C1,
B1C1 平面AB1C1,AC1 平面AB1C1,
所以CH⊥平面AB1C1,在Rt△ACC1中,AC1==2,CH===,
所以BC到平面AB1C1的距离为.
探究点三 直线与平面垂直的综合运用
【典例3】(规范解答)
(15分)如图所示,在长体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,CC1=4,M为棱CC1上一点.
(1)若C1M=1,求异面直线A1M和C1D1所成角的正切值;
(2)若C1M=2,求证BM⊥平面A1B1M.
【思维导引】(1)由C1D1∥B1A1,则异面直线A1M和C1D1所成角即为∠B1A1M.根据线面垂直的性质定理可得A1B1⊥B1M,再根据长度关系求得△A1B1M中的各个长度,进而求得正切值即可;
(2)根据C1M=2,可得M为CC1中点,根据长度关系可知B1M⊥BM,再根据线面垂直的性质定理可得A1B1⊥BM,根据线面垂直判定定理即可证得结论.
【解析】(1)因为长体ABCD-A1B1C1D1,所以C1D1∥B1A1,所以∠B1A1M是异面直线A1M和C1D1所成的角. 2分
因为在长体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1⊥平面BCC1B1,所以A1B1⊥B1M.
因为AB=2,BC=2,CC1=4,M为棱CC1上一点,C1M=1,
所以B1M===,
所以在直角三角形A1B1M中,tan∠B1A1M==, 6分
即异面直线A1M和C1D1所成角的正切值为. 7分
(2)当C1M=2时,M为CC1中点,所以B1M=BM==2,
即有B1M2+BM2=B,所以B1M⊥BM.
10分
因为A1B1⊥平面BCC1B1,BM 平面BCC1B1,
所以A1B1⊥BM. 12分
又A1B1∩B1M=B1,
A1B1 平面A1B1M,B1M 平面A1B1M,
14分
所以BM⊥平面A1B1M. 15分
【类题通法】
线线、线面垂直问题的解题策
(1)用线面垂直证明线线垂直:证明线线垂直,一般转化为证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面,为此分析题设,观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面.
(2)用线线垂直证明线面垂直:证明直线和平面垂直,就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线,这一点在解题时一定要体现出来.
【定向训练】
(多选)在正体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为CC1,A1D1的中点,则 ( )
A.BM∥AD1 B.AM⊥BD
C.B1M⊥平面ABN D.MN∥平面A1BD
【解析】选BC.对于A, 连接BC1,则BC1∥AD1, 又BC1∩BM=B,所以BM∥AD1不正确,故A不正确.
对于B,连接AC,A1C1,在正体中,BD⊥AA1,BD⊥AC且AA1∩AC=A,AA1 平面AA1C1C,AC 平面AA1C1C,所以BD⊥平面AA1C1C,又AM 平面AA1C1C,所以AM⊥BD,故B正确.
对于C,在正体中,AB⊥平面B1BCC1,又B1M 平面B1BCC1,所以AB⊥B1M.
取B1C1的中点Q,连接BQ,在正形BCC1B1中(如图),△BB1Q≌△B1C1M,∠BQB1=∠B1MC1, 又∠B1MC1+∠MB1C1=90°,所以∠B1QB+∠MB1C1=90°,所以B1M⊥BQ.
又在正体中,AN∥BQ,所以B1M⊥AN,又AN∩AB=A,所以B1M⊥平面ABN,故C正确.
对于D, 取A1D的中点E,连接EN,EC,
则EN∥AA1,且EN=AA1,所以EN∥MC,且EN=MC,故四边形NECM为平行四边形,则MN∥EC,又EC与平面A1BD相交于点E,所以MN不可能与平面A1BD平行,故D不正确.
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1.与正四面体的4个顶点的距离都相等的平面个数为 ( )
A.4个 B.6个 C.7个 D.8个
【解析】选C.按平面两侧正四面体的顶点数分类.情形一:一侧有1个顶点,另外一侧有3个顶点.此时四个顶点对应的中截面符合要求,共4个.
情形二:两侧各有2个顶点,此时两组对棱的四个中点构成的平行四边形所在的平面符合要求,共3个.
综上所述,符合题意的平面共有7个.
2.已知空间中m,n是两条不同直线,α是平面,则 ( )
A.若m∥α,n α,则m∥n
B.若m∥α,n∥α,则m⊥n
C.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
D.若m⊥α,n⊥α,则m⊥n
【解析】选C.对于A,B,直线m,n可能平行、相交或异面,A,B错误;对于C,D,由直线与平面垂直的性质定理易得C正确,D错误.
3.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是 ( )
A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β
C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH
【解析】选B.因为EG⊥平面α,PQ 平面α,所以EG⊥PQ.
若EF⊥平面β,则由PQ 平面β,得EF⊥PQ.
又EG与EF为相交直线,
所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH.
4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=,若A1C⊥BC1,则BC1= ( )
A.2 B.2 C.3 D.3
【解析】选C.如图,连接AC1,因为AC=AA1,
所以直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ACC1A1为正形,所以A1C⊥AC1,因为A1C⊥BC1,AC1∩BC1=C1,所以A1C⊥平面ABC1,所以A1C⊥AB,
因为AB⊥AA1,A1C∩AA1=A1,
所以AB⊥侧面ACC1A1,所以AB⊥AC1,
因为AB=AC=AA1=,所以AC1=2,
所以BC1=3.
5.如图,∠BCA=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中:
(1)与PC垂直的直线有 ;
(2)与AP垂直的直线有 .
【解析】(1)因为PC⊥平面ABC,AB,AC,BC 平面ABC.
所以PC⊥AB,PC⊥AC,PC⊥BC.
(2)∠BCA=90°即BC⊥AC,又BC⊥PC,
AC∩PC=C,所以BC⊥平面PAC,因为AP 平面PAC,所以BC⊥AP.
答案:(1)AB,AC,BC (2)BC
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8.6.2 直线与平面垂直(二)
素养目标 思维导图
1.从定义和基本事实出发,借助长体,通 过直观感知,了解空间中直线与平面垂直 的关系,归纳出直线与平面垂直的性质定 理,并加以证明.(直观想象、逻辑推理) 2.能用已获得的结论证明空间基本图形 位置关系的简单命题.(逻辑推理)
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如图是马路旁的路灯灯柱,若将灯柱看作一条直线,地面看作平面,请回答下面的问题.
问题1.灯柱所在直线与地面所在平面有何位置关系
提示:灯柱所在直线与地面所在平面垂直.
问题2.灯柱所在的直线间是什么位置关系
提示:灯柱所在的直线都是平行的.
【核心概念】
1.直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_____
符号语言 _____
图形语言
作用 证明两条直线_____
平行
a∥b
平行
2.直线到平面的距离,平面到平面的距离
一条直线与一个平面平行时,这条直线上_________到这个平面的距离,叫做这条
直线到这个平面的距离;如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到
另一个平面的距离都_____,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
任意一点
相等
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探究点一 直线与平面垂直的性质的应用
【典例1】如图所示,在正体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中
点,MN⊥平面A1DC,求证:MN∥AD1.
【思维导引】两直线垂直于同一平面 两直线平行.
【证明】因为四边形ADD1A1为正形,所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.
【类题通法】
1.线面垂直的性质的用途
线面垂直的性质提供了证明线线平行的依据.
2.直线与平面垂直的其他性质
(1)若一条直线垂直于一个平面,则它就垂直于这个平面内的任意一条直线.
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.
(3)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直于另一个平面.
(4)垂直于同一条直线的两个平面平行.
【定向训练】
在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,CD=4,AD=BC=3,AE,BF为梯形ABCD的两条高,BD与
AE交于点G.如图所示,将梯形ABCD沿两条高AE,BF所在直线翻折,使得
∠DEF=∠CFE=90°.
(1)求证:AD∥BC;
(2)求三棱锥C-BDG的体积.
【解析】(1)因为DE⊥EF,DE⊥AE且EF∩AE=E,EF,AE 平面ABFE,
所以DE⊥平面ABFE,同理CF⊥平面ABFE,所以DE∥CF;
由题意得DE=CF,所以四边形DCFE为平行四边形,则有DC∥EF且DC=EF;
又因为AB∥EF且AB=EF,所以AB∥CD且AB=CD,
所以四边形ABCD为平行四边形,所以AD∥BC.
(2)虚连CE(图).
在梯形ABCD中,因为AB∥DE,且AB=2DE,所以AG=2GE,则有AG=AE,
又S△DCE=×2×1=1,BF==2,
所以VC-BDG=VG-BCD=VE-BCD=VB-DCE=S△DCE·BF=.
探究点二 空间距离问题
【典例2】(多选)正体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,下列说法正确的是( )
A.直线A1B1到平面ABCD的距离为1
B.B1D1到AC的距离为
C.点B到直线A1C的距离为
D.平面C1DA1到平面AB1C的距离为
【思维导引】直线A1B1到平面ABCD的距离为1,A正确;B1D1到AC的距离为1,
B错误;连接A1B,作BH⊥A1C于H,计算得到C正确;确定平面C1DA1∥平面AB1C,
BD1⊥平面AB1C,BD1⊥平面A1C1D,计算得到D正确,得到答案.
√
√
√
【解析】选ACD.对于A,如图1,AA1⊥平面ABCD,BB1⊥平面ABCD,AA1=BB1=1,
故直线A1B1到平面ABCD的距离为1,故A正确;
对于B,如图2,设O1,O2是上下底面的中心,则O1∈B1D1,O2∈AC,则O1O2⊥平面ABCD,
AC 平面ABCD,故O1O2⊥AC,O1O2⊥平面A1B1C1D1,B1D1 平面A1B1C1D1,故
O1O2⊥B1D1,O1O2是异面直线B1D1,AC的公共垂线段,O1O2=1,故B错误;
对于C,如图3,连接A1B,作BH⊥A1C于H,BC⊥平面ABB1A1,A1B 平面ABB1A1,
故BC⊥A1B,在直角三角形A1BC中,A1B=,BC=1,A1C=,故BH==,故C正确;
对于D,如图4,连接BD,BD1,AC∥A1C1,A1C1 平面C1DA1,AC 平面C1DA1,
故AC∥平面C1DA1,同理AB1∥平面C1DA1,AC∩AB1=A,AC,AB1 平面ACB1,
故平面C1DA1∥平面AB1C,DD1⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,DD1⊥AC,
又BD⊥AC,BD∩DD1=D,BD,DD1 平面BDD1,故AC⊥平面BDD1,BD1 平面BDD1,
故AC⊥BD1,同理可得B1C⊥BD1,AC∩B1C=C,AC,B1C 平面AB1C,故BD1⊥平面AB1C,
所以BD1⊥平面A1C1D,B到平面AB1C的距离为h,则×1×1×1=
×h,h=,D1到平面A1C1D的距离也为h,故两平面的距离为--=,
故D正确.
【类题通法】
求空间距离的实质与法
实质:距离的定义具有最短性和确定性,充分体现了化归思想,两个平行平面间的距离、直线到平面的距离,都是转化成求点到平面的距离来解决,最终实质是求两点间距离.
求点到平面的距离
法:(1)构造法:根据定义构造垂直于面的直线,确定垂足位置,并将所求线段化归到三角形中求解.
(2)等积变换法:将所求距离看作某个几何体(多为三棱锥)的高,利用体积相等建立求解.
【定向训练】
1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=4,P是棱B1C1的中点,则C到
平面ABP的距离为( )
A.2 B.2 C. D.
【解析】选D.由条件可得△A1B1C1是等腰直角三角形,且A1B1⊥A1C1,
故PA1=PB1=B1C1=A1B1=AB=2,所以PA===2,
PB===2,
√
设P到直线AB的距离为h,则由PA=PB=2,
可知h==2,
设所求距离为d,因为=3VP-ABC=3VC-ABP,则AB·AC·AA1=3×·d··AB·h,解得d=.
2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,∠CAB=30°,且AC⊥BC.
(1)求直三棱柱ABC-A1B1C1的表面积与体积;
(2)求证:BC∥平面AB1C1,并求出BC到平面AB1C1的距离.
【思维导引】(1)根据题意,结合表面积和体积公式进行计算即可;
(2)根据线面平行的判定定理进行证明即可.过点C作CH⊥AC1,
垂足为H,则CH⊥平面AB1C1,CH的长即为所求,在Rt△ACC1中,
解出CH的长即可.
【解析】(1)因为AC⊥BC,AB=2,∠CAB=30°,
所以AC=,BC=1,
则直三棱柱ABC-A1B1C1的表面积为S=S底+S侧=2××1+(2+1+)×3=9+4,
其体积为V=S底×AA1=×1×3=.
(2)因为BC∥B1C1,B1C1 平面AB1C1,BC 平面AB1C1,所以BC∥平面AB1C1.
过点C作CH⊥AC1,垂足为H.
由题意得CC1⊥BC,又AC⊥BC,AC∩CC1=C,所以BC⊥平面ACC1A1,
又CH 平面ACC1A1,则BC⊥CH,所以CH⊥B1C1,又B1C1∩AC1=C1,
B1C1 平面AB1C1,AC1 平面AB1C1,
所以CH⊥平面AB1C1,在Rt△ACC1中,AC1==2,CH===,
所以BC到平面AB1C1的距离为.
探究点三 直线与平面垂直的综合运用
【典例3】(规范解答)
(15分)如图所示,在长体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,CC1=4,M为棱CC1上一点.
(1)若C1M=1,求异面直线A1M和C1D1所成角的正切值;
(2)若C1M=2,求证BM⊥平面A1B1M.
【思维导引】(1)由C1D1∥B1A1,则异面直线A1M和C1D1所成角即为
∠B1A1M.根据线面垂直的性质定理可得A1B1⊥B1M,再根据长度关
系求得△A1B1M中的各个长度,进而求得正切值即可;
(2)根据C1M=2,可得M为CC1中点,根据长度关系可知B1M⊥BM,再根据线面垂直的性质定
理可得A1B1⊥BM,根据线面垂直判定定理即可证得结论.
【解析】(1)因为长体ABCD-A1B1C1D1,所以C1D1∥B1A1,所以∠B1A1M是异面直
线A1M和C1D1所成的角. …………………… 2分
因为在长体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1⊥平面BCC1B1,所以A1B1⊥B1M.
因为AB=2,BC=2,CC1=4,M为棱CC1上一点,C1M=1,
所以B1M===,
所以在直角三角形A1B1M中,tan∠B1A1M==, ……………………6分
即异面直线A1M和C1D1所成角的正切值为. ……………………7分
(2)当C1M=2时,M为CC1中点,所以B1M=BM==2,
即有B1M2+BM2=B,所以B1M⊥BM. ………………………………10分
因为A1B1⊥平面BCC1B1,BM 平面BCC1B1,
所以A1B1⊥BM. ………………………………12分
又A1B1∩B1M=B1,
A1B1 平面A1B1M,B1M 平面A1B1M, ………………………………14分
所以BM⊥平面A1B1M. ………………………………15分
【类题通法】
线线、线面垂直问题的解题策
(1)用线面垂直证明线线垂直:证明线线垂直,一般转化为证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面,为此分析题设,观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面.
(2)用线线垂直证明线面垂直:证明直线和平面垂直,就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线,这一点在解题时一定要体现出来.
【定向训练】
(多选)在正体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为CC1,A1D1的中点,则( )
A.BM∥AD1 B.AM⊥BD
C.B1M⊥平面ABN D.MN∥平面A1BD
【解析】选BC.对于A, 连接BC1,则BC1∥AD1, 又BC1∩BM=B,所以BM∥AD1不正确,故A不正确.
√
√
对于B,连接AC,A1C1,在正体中,BD⊥AA1,BD⊥AC且AA1∩AC=A,
AA1 平面AA1C1C,AC 平面AA1C1C,所以BD⊥平面AA1C1C,又AM 平面AA1C1C,
所以AM⊥BD,故B正确.
对于C,在正体中,AB⊥平面B1BCC1,又B1M 平面B1BCC1,所以AB⊥B1M.
取B1C1的中点Q,连接BQ,在正形BCC1B1中(如图),
△BB1Q≌△B1C1M,∠BQB1=∠B1MC1, 又∠B1MC1+∠MB1C1=90°,
所以∠B1QB+∠MB1C1=90°,所以B1M⊥BQ.
又在正体中,AN∥BQ,所以B1M⊥AN,又AN∩AB=A,所以B1M⊥平面ABN,故C正确.
对于D, 取A1D的中点E,连接EN,EC,
则EN∥AA1,且EN=AA1,所以EN∥MC,且EN=MC,故四边形NECM为平行四边形,则MN∥EC,又EC与平面A1BD相交于点E,所以MN不可能与平面A1BD平行,故D不正确.
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1.与正四面体的4个顶点的距离都相等的平面个数为 ( )
A.4个 B.6个
C.7个 D.8个
【解析】选C.按平面两侧正四面体的顶点数分类.情形一:一侧有1个顶点,另外一侧有3个顶点.此时四个顶点对应的中截面符合要求,共4个.
情形二:两侧各有2个顶点,此时两组对棱的四个中点构成的平行四边形所在的平面符合要求,共3个.
综上所述,符合题意的平面共有7个.
√
2.已知空间中m,n是两条不同直线,α是平面,则 ( )
A.若m∥α,n α,则m∥n
B.若m∥α,n∥α,则m⊥n
C.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
D.若m⊥α,n⊥α,则m⊥n
【解析】选C.对于A,B,直线m,n可能平行、相交或异面,A,B错误;对于C,D,由直线与平面垂直的性质定理易得C正确,D错误.
√
3.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,
则需增加的一个条件是 ( )
A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β
C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH
【解析】选B.因为EG⊥平面α,PQ 平面α,所以EG⊥PQ.
若EF⊥平面β,则由PQ 平面β,得EF⊥PQ.
又EG与EF为相交直线,
所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH.
√
4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=,若A1C⊥BC1,则BC1=( )
A.2 B.2 C.3 D.3
√
【解析】选C.如图,连接AC1,因为AC=AA1,
所以直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ACC1A1为正形,所以A1C⊥AC1,
因为A1C⊥BC1,AC1∩BC1=C1,所以A1C⊥平面ABC1,所以A1C⊥AB,
因为AB⊥AA1,A1C∩AA1=A1,
所以AB⊥侧面ACC1A1,所以AB⊥AC1,
因为AB=AC=AA1=,所以AC1=2,
所以BC1=3.
5.如图,∠BCA=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中:
(1)与PC垂直的直线有 ;
(2)与AP垂直的直线有 .
【解析】(1)因为PC⊥平面ABC,AB,AC,BC 平面ABC.
所以PC⊥AB,PC⊥AC,PC⊥BC.
(2)∠BCA=90°即BC⊥AC,又BC⊥PC,
AC∩PC=C,所以BC⊥平面PAC,因为AP 平面PAC,所以BC⊥AP.
答案:(1)AB,AC,BC (2)BC(共36张PPT)
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8.6.2 直线与平面垂直(一)
素养目标 思维导图
1.从定义和基本事实出发,通过直观感知, 了解空间中直线与平面垂直的关系,归纳 出判定定理,并加以证明.(直观想象、逻 辑推理) 2.能用已获得的结论证明空间基本图形 位置关系的简单命题.(逻辑推理)
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问题1.在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面上的影子BC,旗杆所在直线
与影子所在直线的位置关系是什么
提示:垂直.
问题2.如图,直线l与平面α内的无数条直线a,b,c,…都垂直,直线l与平面α一定垂直吗
为什么
提示:不一定.当平面α内的无数条直线a,b,c,…都互相平行时,直线l在保证与直线
a,b,c,…都垂直的条件下,与平面α可能垂直也可能斜交或平行.
问题3.请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图所示的试验:过△ABC的
顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接
触).
(1)问:折痕AD与桌面垂直吗 如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直
提示:从试验可知:当AD与BC不垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上,折痕AD与
桌面不垂直;当AD与BC垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上,折痕AD与桌面垂
直.
(2)由折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD⊥CD,AD⊥BD,你能得到什么结
论
提示:若一条直线与平面内两条相交直线垂直,则该直线垂直于这个平面.
【核心概念】
1.直线与平面垂直的定义
定义 如果直线l与平面α内的_____________都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关 概念 直线l叫做平面α的_____,平面α叫做直线l的_____,它们唯一的公共点P叫做_____
图示
画法 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
任意一条直线
垂线
垂面
垂足
2.直线与平面垂直的判定定理
文字 语言 一条直线与一个平面内的_____________垂直,那么该直线与此平面
垂直
符号 语言 m α,n α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n l⊥α
图形 语言
两条相交直线
3.直线与平面所成的角
(1)斜线:与平面α_____,但不和平面α_____,图中_______.
(2)斜足:斜线和平面的_____,图中____.
(3)射影:过斜线上斜足以外的一点向平面引_____,过_____和_____的直线叫做斜线
在这个平面上的射影,图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO.
相交
垂直
直线PA
交点
点A
垂线
垂足
斜足
(4)直线与平面所成的角:
定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,图中_______.
规定:一条直线垂直于平面,它们所成的角是____;一条直线和平面平行,或在平面内,
它们所成的角是___.
(5)取值范围:设直线与平面所成的角为θ,则0°≤θ≤90°.
∠PAO
90°
0°
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探究点一 直线与平面垂直的定义及应用
【典例1】(多选)已知点A∈平面α,点B 平面α,则下列说法错误的是( )
A.平面α内所有的直线与直线AB异面
B.平面α内存在一条直线与直线AB平行
C.平面α内存在无数条直线与直线AB垂直
D.有且只有一个过直线AB的平面与平面α垂直
【思维导引】根据空间线面位置关系即可判断.
【解析】选ABD.当平面α内的直线过点A时,该直线与直线AB相交,故A错误;假设平面α内存在一条直线与直线AB相互平行,则该直线与直线AB共面,显然不成立,故B错误;过点A可以在平面α内作与AB垂直的直线,所以平面α内存在无数条直线与直线AB垂直,故C正确;当直线AB与平面α垂直时,有无数个过直线AB的平面与平面α垂直,故D错误.
√
√
√
【类题通法】
直线与平面垂直的定义的“双向”作用
(1)证明线面垂直:若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直,则该直线与已知平面垂直.即线线垂直 线面垂直.
(2)证明线线垂直:若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内任意一条直线垂直.即线面垂直 线线垂直.
【定向训练】
(2025·达州高一检测)空间中三条不同的直线l,m,n和平面α满足l α,m α,n α,则下
面结论正确的是( )
A.若l∥α,则l∥m B.若l⊥m且l⊥n,则l⊥α
C.若l⊥α,则l⊥m D.若l⊥n且l⊥m,则m∥n
【解析】选C.对于A,若l∥α,m α,则l∥m或l与m是异面直线,故A错误;
对于B,若l⊥m且l⊥n,m α,n α,根据线面垂直的判定定理,当m,n相交时,
才有l⊥α,故B错误;
对于C,根据线面垂直的定义,l⊥α,m α,则l⊥m,故C正确;
对于D,若l⊥n且l⊥m,m α,n α,则m∥n或m,n相交,故D错误.
√
探究点二 线面垂直判定定理的应用
【典例2】(2025·周口高一检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,△PAB为正三角形,
AD∥BC,AD=2BC,E为PD的中点,CE⊥AD.
(1)证明:CE⊥平面PAD;
(2)若AD⊥AB,AB=BC=2,求四棱锥P-ABCD的体积.
【思维导引】(1)取F为PA的中点,可证BF∥CE,由BF⊥PA,得CE⊥PA,又CE⊥AD,
可得证CE⊥平面PAD;
(2)取G为AB的中点,证明PG是四棱锥P-ABCD的高,用体积公式计算四棱锥P-ABCD
的体积.
【解析】(1)取F为PA的中点,连接EF,BF,
又E为PD的中点,则有EF∥AD且EF=AD,由已知AD∥BC,BC=AD,
所以EF∥BC,EF=BC,四边形BCEF为平行四边形,有BF∥CE,
△PAB为正三角形,BF⊥PA,则CE⊥PA,
又CE⊥AD,PA,AD 平面PAD,PA∩AD=A,所以CE⊥平面PAD;
(2)取G为AB的中点,连接PG,
因为CE∥BF,CE⊥AD,所以BF⊥AD,
又AD⊥AB,BF,AB 平面PAB,BF∩AB=B,所以AD⊥平面PAB,
PG 平面PAB,则PG⊥AD,G为AB的中点,有PG⊥AB,AB,AD 平面ABCD,AB∩AD=A,
所以PG⊥平面ABCD,
即PG是四棱锥P-ABCD的高,AB=BC=2,则AD=4,PG=,
得四棱锥P-ABCD的体积V==2.
【类题通法】
证线面垂直的法
(1)线线垂直证明线面垂直
①定义法(不常用).
②判定定理最常用(有时作辅助线).
(2)平行转化法(利用推论)
①a∥b,a⊥α b⊥α.
②α∥β,a⊥α a⊥β.
【定向训练】
1.如图,圆柱OO'中,AA'是侧面的母线,AB是底面的直径,C是底面圆上一点,则( )
A.BC⊥平面A'AC
B.BC⊥平面A'AB
C.AC⊥平面A'BC
D.AC⊥平面A'AB
√
【解析】选A.对于A,依题意AA'⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以AA'⊥BC,
又AB是底面圆的直径,所以BC⊥AC,
AA'∩AC=A,AA',AC 平面AA'C,所以BC⊥平面AA'C,故A正确;
对于B,在△ABC中,BC⊥AC,显然BC与AB不垂直,
则BC不可能垂直于平面A'AB,故B错误;
对于C,在△A'AC中,AA'⊥AC,显然AC与A'C不垂直,
则AC不可能垂直于平面A'BC,故C错误;
对于D,在△ABC中,BC⊥AC,显然AC与AB不垂直,
则AC不可能垂直于平面A'AB,故D错误.
2.在边长为a的正形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,M,N分别为AB,CF的中点,现沿AE、AF、EF折叠,使B、C、D三点重合,构成一个三棱锥B-AEF,如图所示.
(1)在三棱锥B-AEF中,求证:AB⊥EF;
(2)求四棱锥E-AMNF的体积.
【解析】(1)在三棱锥B-AEF中,因为AB⊥BE,AB⊥BF,BE∩BF=B,
BE,BF 平面BEF,所以AB⊥平面BEF.又EF 平面BEF,所以AB⊥EF;
(2)因为在△ABF中,M,N分别为AB,BF的中点,所以四边形AMNF的面积是△ABF面积的.
又三棱锥E-ABF与四棱锥E-AMNF的高相等,
所以四棱锥E-AMNF的体积是三棱锥E-ABF的体积的,因为VE-ABF=VA-BEF,
所以VE-AMNF=VA-BEF.
因为VA-BEF=S△BEF×AB=×BE×BF×AB=a3.
所以VE-AMNF=a3=a3,
故四棱锥E-AMNF的体积为a3.
探究点三 直线与平面所成的角
【典例3】(一题多解)
如图,在正体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点.
(1)求证:BC1∥平面AD1E;
(2)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值.
【思维导引】(1)证明四边形ABC1D1为平行四边形,可得出BC1∥AD1,然后利用线面平行的判定定理可证得结论;
(2)可以将平面扩展,将线面角转化,利用几何法作出线面角,然后计算.
【解析】(1)在正体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1且AB=A1B1,A1B1∥C1D1
且A1B1=C1D1,
所以AB∥C1D1且AB=C1D1,所以四边形ABC1D1为平行四边形,则BC1∥AD1.
因为BC1 平面AD1E,AD1 平面AD1E,所以BC1∥平面AD1E.
(2)法一:几何法
延长CC1到F,使得C1F=BE,连接EF,交B1C1于G,因为C1F∥BE,所以四边形BEFC1
为平行四边形,所以BC1∥EF.
又因为BC1∥AD1,所以AD1∥EF,所以平面AD1E即平面AD1FE,
连接D1G,作C1H⊥D1G,垂足为H,连接FH.
因为FC1⊥平面A1B1C1D1,D1G 平面A1B1C1D1,所以FC1⊥D1G.
又因为FC1∩C1H=C1,所以直线D1G⊥平面C1FH,
所以C1在平面D1GF中的射影在直线FH上,
所以直线FH为直线FC1在平面D1GF中的射影,∠C1FH为直线FC1与平面D1GF所成的角,
根据直线FC1∥直线AA1,可知∠C1FH为直线AA1与平面AD1G所成的角.
设正体的棱长为2,则C1G=C1F=1,D1G=,所以C1H==,
所以FH==,所以sin∠C1FH==,
即直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为.
法二:几何法+体积法
如图,设B1C1的中点为F,延长A1B1,AE,D1F,易证三线交于一点P.因为BB1∥AA1,EF∥AD1,
所以直线AA1与平面AD1E所成的角,即直线B1E与平面PEF所成的角.
设正体的棱长为2,在△PEF中,易得PE=PF=,EF=,可得S△PEF=.
作B1H⊥平面PEF于H,由=,得·B1H=×1×1×2,
整理得B1H=.所以sin∠B1EH==.
所以直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为.
法三:纯体积法
设正体的棱长为2,点A1到平面AED1的距离为h,
在△AED1中,AE=,AD1=2,D1E=3,
cos∠AED1===,
所以sin∠AED1=,易得=3.
由=,得·A1B1=·h,解得h=,
设直线AA1与平面AED1所成的角为θ,所以sin θ==.
【题后反思】本题(2)法一中使用纯几何法,有利于培养学生的几何论证和空间想象能力;法二在几何法的基础上综合使用体积法,计算较为简洁;法三不作任何辅助线,仅利用余弦定理和体积公式进行计算,省却了辅助线和几何的论证,不失为一种优美的法.
【类题通法】
求直线与平面所成角的步骤
(1)作图.作(或找)出斜线在平面上的射影,将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角).
(2)证明.证明找出的平面角是斜线与平面所成的角.
(3)计算.通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
【定向训练】
(2024·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为,AB=6,A1B1=2,则AA1与平面ABC所成角的正切值为( )
A. B.1 C.2 D.3
【解析】选B.设棱台高为h,三条侧棱延长后交于一点O,则由AB=3A1B1知,
O到上底的距离为h,O到下底的距离为h.
又S△ABC=9,=,所以·9·h-··h= h=,
上底中心到顶点A1的距离为,所以所求正切值为=h=1.
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课堂学业达标
1.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是 ( )
A.垂直 B.相交但不垂直
C.平行 D.不确定
【解析】选A.因为梯形两腰所在直线为两条相交直线,所以由线面垂直的判定定理知,直线与平面垂直.
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2.如图所示,定点A和B都在平面α内,定点P α,PB⊥α,C是平面α内异于A和B的动点,
且PC⊥AC,则△ABC为 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
【解析】选B.易证AC⊥平面PBC,所以AC⊥BC,
所以△ABC为直角三角形.
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3.若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等,则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为
( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选B.正四棱锥S-ABCD的侧棱和底面边长相等,
作SO⊥底面ABCD,垂足为O,
所以∠SBO是该正四棱锥的侧棱和底面所成的角,设AB=a,则SB=a,OB=BD=,
所以cos∠SBO===,所以∠SBO=45°,
所以该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为45°.
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4.设PA与平面α所成角为θ,斜线段PA=l,则它在平面α内的射影长为 .
【解析】如图,PA=l,PO⊥α,∠PAO=θ,所以AO=lcos θ.
答案:lcos θ
5.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是棱AC的中点.
(1)证明:BD⊥DC1;
(2)证明:AB1∥平面BC1D.
【证明】(1)由题意知,C1C⊥平面ABC,△ABC为正三角形.
由BD 平面ABC,得BD⊥C1C,
因为D为AC的中点,所以BD⊥AC,
又AC∩C1C=C,AC,C1C 平面ACC1A1,
所以BD⊥平面ACC1A1,而DC1 平面ACC1A1,
所以BD⊥DC1;
(2)如图,取A1C1的中点F,连接B1F,AF,DF,
则DF∥B1B且DF=B1B,AD∥FC1且AD=FC1,
所以四边形BDFB1,ADC1F为平行四边形,得B1F∥BD,AF∥DC1,
又B1F 平面BC1D,BD 平面BC1D,AF 平面BC1D,C1D 平面BC1D,
所以B1F∥平面BC1D,AF∥平面BC1D,又B1F∩AF=F,B1F,AF 平面AB1F,
所以平面AB1F∥平面BC1D,又AB1 平面AB1F,
所以AB1∥平面BC1D.
