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第十二章
数据的收集、整理与描述
1．下列调查中，最适宜采用全面调查方式的是（ ）
A．调查小麦的发芽率 B．调查全国中学生的近视情况
C．调查唐山市民喜爱网剧的程度 D．某航班旅客的随身行李检查
25 全面调查
D
2．舒青是一名观鸟爱好者，他想要用折线统计图来反映中华秋沙鸭每年秋季到当地避寒越冬的数量变化情况，以下是排乱的统计步骤：①从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势；②从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；③按统计表的数据绘制折线统计图；④整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表．正确统计步骤的顺序是（ ）
A．②→③→①→④ B．③→④→①→②
C．①→②→④→③ D．②→④→③→①
D
26 抽样调查
1．为了解某区初中生的视力情况，最合适的调查方案是（ ）
A．对全区所有的初一学生进行视力测试
B．对全区所有的初中女生进行视力测试
C．对其中一所学校的初中生进行视力测试
D．对随机抽取的5所学校的初中生进行视力测试
D
2．下列抽取的样本具有代表性的有（ ）
①用一本书的某一页的字数估计全书的字数；②到老年公寓进行调查，了解全市老年人的健康状况；③到省城一所重点中学进行调查，以便了解全省中学生零花钱的使用情况；④在省内选取一所城市中学、一所农村中学，向每个学生发一张卡片，上面印有秦始皇、毛泽东、周恩来、比尔·盖茨、邓亚萍、刘德华、费俊龙、聂海胜等一些人的名字，要求每个学生都只在一个名字下面画“√”，以了解全省中学生最崇拜的人物是谁．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A
27 扇形图、条形图和折线图
1．“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”．为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时．为了了解学生参加户外活动的情况，某校对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的
信息填空：
（1）在这次调查中共调查了
名学生；
50
（2）补全条形统计图；
（3）表示户外活动时间为1小时的扇形圆心角的度数为 ；
解：(2)户外活动时间为1.5小时的人数是50×24%＝12(名)，
补全条形统计图如图所示．
144°
（4）若该校共有学生3 000名，每天参加户外活动时间在1.5小时及1.5小时以上的学生有多少名？
(4)3 000× ＝1 200(名).
答：每天参加户外活动时间在1.5小时及1.5小时以上的学生有1 200名．
2．“低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，有关部门抽样调查了某单位员工上下班的交通方式，绘制了两幅统计图：
（1）样本中的总人数为 人；扇形统计图中“骑车”所在扇形的圆心角为 度；
（2）补全条形统计图；
80
72
解：(2)骑车的人数为
80×(1－10%－45%－25%)＝16(人)，
补全条形统计图如图所示：
（3）该单位共有1 000人，积极践行这种生活方式，越来越多的人上下班由开小车改为骑车．若步行和坐公交车上下班的人数都保持不变，则原来开小车的人中有多少人改为骑车，才能使骑车的人数等于开小车的人数？
(3)设原来开小车的人中有x人改骑车，由题意得
1 000×(1－10%－25%－45%)＋x＝1 000×25%－x，
解得x＝25，
答：原来开小车的人中有25人改为骑车，才能使骑车的人数等于开小车的人数．
（4）请你写出一条关于出行生活方式的宣传标语．
(4)文明在心中，平安在手中；与文明同行，为安全点赞；开车抢道不文明，礼让三先好通行．
(答案不唯一，合理即可)
28 直方图
某学校有2 400名学生参加“中国梦，我的梦”知识竞赛活动．为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中随机抽取了若干名学生的得分进行统计．
成绩 频数 百分比
50≤x＜60 5%
60≤x＜70 16 8%
70≤x＜80 20%
80≤x＜90 62
请你根据不完整的表格，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 ，成绩为80≤x＜90所占百分比是 ；
成绩 频数 百分比
50≤x＜60 5%
60≤x＜70 16 8%
70≤x＜80 20%
80≤x＜90 62
31%
200
（2）补全频数分布直方图；
成绩 频数 百分比
50≤x＜60 5%
60≤x＜70 16 8%
70≤x＜80 20%
80≤x＜90 62
(2)成绩在“50≤x＜60”的频数为200×5%＝10(人)，
成绩在“70≤x＜80”的频数为200×20%＝40(人)，
补全频数分布直方图如下：
（3）若将得分转化为等级，规定50≤x＜60评为“D”，60≤x＜70评为“C”，70≤x＜90评为“B”，90≤x＜100评为“A”．估计该学校有多少名学生参赛成绩被评为“B”等级．
成绩 频数 百分比
50≤x＜60 5%
60≤x＜70 16 8%
70≤x＜80 20%
80≤x＜90 62
(3)2 400×(20%＋31%)＝1 224(名).
答：该学校有1 224名学生参赛成绩被评为“B”等级．
29 趋势图
随着社会的快速发展，生活用水量不断上升，某地区生活用水量情况统计如表所示：
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
用水量（亿立方米） 62 63 65 68 69 71 73
（1）在给出的图中描出表中每一对值所对应的点，若用靠近尽可能多散点的直线来表示用水量的这种发展趋势，请在图上画出这条直线；
解：(1)描出的点及这条直线如图所示；
（2）根据所作直线，预测该地区在2025年的生活用水量；
（3）请对该地区生活用水量的情况做出评价，并提出两条合理化建议．
(2)预测该地区在2025年的生活用水量约为75亿立方米．
(3)根据统计图知：该地区生活用水量逐年增加；
建议：①适度提高家庭和企业用水标准，②节约用水，水资源循环利用．(答案不唯一，合理即可)
第十二章重点压轴题
国家节水标志各部分的含义为：留白部分像一只手托起一滴水，手又像一条蜿蜒的河流，象征滴水汇成江河．某市为鼓励居民节约用水，将实行阶梯式计量水价．在实施阶梯式计量水价前，通过简单随机抽样调查收集了部分家庭去年的月均用水量（单位：吨），
按下列步骤开展了统计活动．
【确定调查对象】
有以下三种调查方案：方案一：从该市某小区随机抽取部分家庭进行用水情况的调查；方案二：从该市某学校随机抽取部分家庭进行用水情况的调查；方案三：从该市所有居民用水家庭中随机抽取部分家庭进行用水情况的调查．其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是 ；
【收集数据】从确定的调查对象中随机抽取部分家庭的月均用水量（单位：吨）.
方案三
【整理数据】月均用水量频数分布表：
分组 2≤x＜3 3≤x＜4 4≤x＜5 5≤x＜6 6≤x＜7 7≤x＜8 8≤x＜9
频数 4 12 a 9 5 4 2
【描述数据】根据抽取的数据，绘制出了如图所示的统计图：
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）表中a的值为 ，本
次共抽取了 户家庭进行
调查；
14
50
（2）请补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中，月均用水量为“E：6≤x＜7”的扇形的圆心角是
°；
（4）若该市某小区有580户家庭用水，请你根据以上调查结果，估计该小区有 户家庭月均
用水量不超过5吨；
分组 2≤x＜3 3≤x＜4 4≤x＜5 5≤x＜6 6≤x＜7 7≤x＜8 8≤x＜9
频数 4 12 a 9 5 4 2
(2)补全频数分布直方图如图所示．
36
348
（5）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费．若要使60%的家庭水费支出不受影响，则你觉得家庭月均用水量应该定为多少？为什么？
(5)5吨，理由：样本中60%的用户有50×60%＝30(户)，而用水量在
2≤x＜5吨的户数有4＋12＋14＝30(户)，
所以要使60%的家庭水费支出不受影响，家庭月均用水量应该定为5吨．
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第十章
二元一次方程组
16 二元一次方程组的概念
A．2x－y＝3 B．x＋y＝4
C．2x＋3y＝－4 D．x－y＝－3
±2
D
3．为组织研学活动，王老师把班级里50名学生计划分成若干小组，若每组只能是4人或5人，则分组方案共有（ ）
A．2种 B．3种 C．8种 D．10种
B
17 代入消元法
1．已知 用含有x的代数式表示y是（ ）
A．y＝－3x＋11 B．y＝－3x－11
C．y＝－3x＋13 D．y＝－3x－13
A
2．已知关于x，y的二元一次方程ax＋3y＋b＝0（a，b均为常数，且a≠0）.
（1）当a＝1，b＝－2时，用含x的式子表示y；
解：(1)当a＝1，b＝－2时，得x＋3y－2＝0，∴y＝ ；
（2）若 是该二元一次方程的一组解．
①探索a与b之间的数量关系；
(2)①把 代入ax＋3y＋b＝0，得2a－3b＋b＝0，整理得a＝b；
②小明发现无论a，b取何值，方程ax＋3y＋b＝0都有一组公共解，请求出这组解．
②由①可知a＝b，
∴原方程可化为ax＋3y＋a＝0，即a(x＋1)＋3y＝0.
当x＋1＝0时，无论a取任意值，都有y＝0，此时x＝－1，
∴这组公共解为
18 加减消元法
1．已知关于x，y的二元一次方程组 若m，n满足二元一次方程组 则m－n的值为 ．
3
关于x，y的二元一次方程组 可以写成矩阵
的形式．例如： 可以写成矩阵 的形式．
2．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：
（1）填空：将 写成矩阵形式为： ；
(合理即可)
19 实际问题与二元一次方程组
1．如图，长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形，相关数据如图中所示，则图中阴影部分的面积为 （平方单位）.
18
2．某旅游公司需报废更新部分车辆，选购A，B两款新能源汽车若干辆（两者都要），若购买10辆A款汽车和5辆B款汽车需付款160万元，若购买5辆A款汽车和10辆B款汽车需付款170万元，设A款汽车的单价为x万元，B款汽车的单价为y万元．
（1）求A，B两款汽车的单价；
(1)解：设A款汽车的单价为x万元，B款汽车的单价为y万元．
根据题意得
∴A款汽车的单价为10万元，B款汽车的单价为12万元；
（2）若购买A款和B款新能源汽车刚好付款150万元，请求出所有的购买方案；
(2)设购买a辆A款新能源汽车，b辆B款新能源汽车，
根据题意得10a＋12b＝150，∴a＝15－ b，
又∵a，b均为正整数，∴
共有2种购买方案，方案1：购买9辆A款新能源汽车，5辆B款新能源汽车；方案2：购买3辆A款新能源汽车，10辆B款新能源汽车；
（3）根据最新汽车国补政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元．已知该公司总计付款318万元，B款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的 ，则A款中享受国补的有多少辆？
(3)∵12－2＝10(万元)，
∴A款中没有享受国补的单价与B款中享受国补的单价相同．
设A款中享受国补的有m辆，A款中没有享受国补的和B款中享受国补的共n辆，B款中没有享受国补的共b辆，
20 三元一次方程组的解法
1．有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需420元；购买甲1件，乙2件，丙3件共需380元钱，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．200元 B．300元 C．350元 D．400元
A
离”出x＋y＋z即可，即 接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了．
求2x＋2y＋2z的值.针对此问题，乐乐同学认
2．在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组
为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②－①得到x＋3y＝4③，因为问题是求解2x＋2y＋2z整体的值，因此可以在原方程组中“分
（1）请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出2x＋2y＋2z的值；
（2）请你用上述思想方法求解问题：已知
求x－y＋z的值．
第十章重点压轴题
1．已知关于x，y的方程组
（1）请写出方程x＋2y＝6的所有正整数解；
解：(1)方程x＋2y＝6的正整数解有：
（2）若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值；
(2)将x＋2y＝6记作①，x＋y＝0记作②，
由②，得x＝－y，
将x＝－y代入①，得－y＋2y＝6，解得y＝6.
∴x＝－6，∴2×(－6)－2×6＋m×(－6)＝8，
解得m＝－ ；
（3）当m每取一个值时，2x－2y＋mx＝8就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗？
(3)2x－2y＋mx＝8变形得(2＋m)x－2y＝8，
令x＝0，得y＝－4，
∴无论m取何值， 都是方程2x－2y＋mx＝8的解，
∴公共解为
（4）如果方程组有整数解，求整数m的值．
当m＝－1时，x＝7，y＝－ ，不符合题意；
当m＝－2时，x＝14，y＝－4，符合题意；
当m＝－4时，x＝－14，y＝10，符合题意；
当m＝－5时，x＝－7，y＝ ，不符合题意；
当m＝－10时，x＝－2，y＝4，符合题意；
当m＝－17时，x＝－1，y＝ ，不符合题意；
当m＝4时，x＝2，y＝2，符合题意；
当m＝11时，x＝1，y＝ ，不符合题意．
综上，整数m的值为－2或－4或－10或4.
2．问题情景：某数学兴趣小组开展了“无盖长
方体纸盒的制作”实践活动．
（1）综合实践小组利用边长为30厘米的正方
形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．
①根据图1方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为 平方厘米；
484
②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形（阴影部分），再沿虚线折合起来，已知AB＝
3AD，求该长方体纸盒的体积；
（2）小明按照图1的方式用边长为30厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体纸盒，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为156厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况）
(2)设小明剪去的小正方形的边长为m厘米，
展开方式1如答图1：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴8m＋4(30－2m)＝156，该方程无解；
答图1
展开方式2如答图2：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴6m＋6(30－2m)＝156，
∴m＝4；
展开方式3如答图3：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴4m＋8(30－2m)＝156，
∴m＝7；
答图2
答图3
展开方式4如答图4：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴4m＋8(30－2m)＝156，∴m＝7；
展开方式5如答图5：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴2m＋10(30－2m)＝156，∴m＝8.
综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为4厘米或7厘米或8厘米．
答图4
答图5
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第九章
平面直角坐标系
1．下列说法不正确的是（ ）
A．若x＋y＝0，则点P（x，y）一定在第二、四象限的角平分线上
B．点P（－2，3）到y轴的距离是2
C．若P（x，y）中xy＝0，则点P在x轴上
D．点A（－a2， ）可能在第二象限
12 平面直角坐标系的概念
C
2．在平面直角坐标系中，点A（－2，2），B（1，4），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的值最小时，点C的坐标为 ．
3．若点P（x，y）到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且x＋y＞0，则点P的坐标为 ．
(1，2)
(3，2)或(3，－2)
13 用坐标描述简单几何图形
如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（－c，c），C（0，c），且满足（c－6）2＋ ＝0，点P从点A出发，沿x轴的正方向以每秒4个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发，沿y轴的正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动．
（1）点A的坐标为 ；点B的
坐标为 ；AO和BC的位置关
系是 ；
(－12，0)
(－6，6)
BC∥AO
备用图
（2）当点P，Q分别在线段AO，OC上时，连接PB，QB，若△PAB的面积等于△QBC面积的 2倍，求点P的坐标；
解：(2)过B点作BE⊥AO于点E，如答图1，
设时间经过t秒，S△PAB＝2S△QBC，
则AP＝4t，OQ＝2t，BC＝6，
CQ＝6－2t，BE＝6，OA＝12，
∴S△APB＝ AP·BE＝ ×4t×6＝12t，
S△BCQ＝ CQ·BC＝ (6－2t)×6＝18－6t，
答图1
备用图
∵S△PAB＝2S△QBC，
∴12t＝2(18－6t)，解得t＝1.5，
∴AP＝4t＝6，
∴OP＝OA－AP＝12－6＝6，
∵点P在AO上，
∴点P的坐标为(－6，0)；
答图1
（3）在点P，Q的运动过程中，连接PQ，当∠CBQ＝30°时，请直接写出∠OPQ和∠PQB的数量关系.
(3)∠PQB＝∠OPQ＋30°
或∠PQB＋∠OPQ＝150°，
理由如下：
当点Q在点C与O中间时，过Q点作QH∥AO，如答图2，
∴∠OPQ＝∠PQH，
∵BC∥AO，QH∥AO，
答图2
备用图
∴QH∥BC，∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∴∠OPQ＋∠CBQ＝∠PQH＋∠BQH，
∴∠PQB＝∠OPQ＋∠CBQ，
即∠PQB＝∠OPQ＋30°，
②当点Q在点C的上方时，过Q点作HJ∥AO，如答图3，
∴∠OPQ＝∠PQJ，
∵BC∥AO，QH∥AO，∴QH∥BC，
答图3
∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∴∠HQB＋∠PQB＋∠PQJ＝180°，
∴30°＋∠PQB＋∠OPQ＝180°，
即∠PQB＋∠OPQ＝150°，
综上，∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠PQB＋∠OPQ＝150°.
答图3
14 用坐标表示地理位置
观察下图：
（1）描述小猴子怎样才能找到桃子的路线？
解：(1)小猴子出发后向正东方向前进200 m到达A，再向西偏北30°方向前进150 m到达B，再沿北偏东20°方向前进250 m到达C，再沿正东方向前进300 m到达终点找到桃子．
（2）小猴子拿了桃子后沿原路返回，到达点A时发现小熊在点A的东偏北40°方向上距离250 m处．请在图中标画
出小熊的具体位置．
(2)如图所示．
15 用坐标表示平移
如图1，在平面直角坐标系中，点A、点B在坐标轴上，其中A（0，a），B（b，0）满足 ＝0．
（1）求A，B两点的坐标；
解：(1)∵ ＝0，
∴a＝3，b＝4，
∴A，B两点的坐标为(0，3)，(4，0)；
（2）将线段AB平移到CD，点A的对应点是C，点B的对应点是D，且C，D两点也在坐标轴上，过点O做直线OM⊥AB，垂足为M，交CD于N，请在图1中画出图形，直接写出C，D两点的坐标，并证明MN⊥CD；
(2)如答图1：
证明：根据平移的性质可知，
AB∥CD，AB＝CD，
∵OM⊥AB，
∴MN⊥CD，
∴C(－4，0)，D(0，－3)；
答图1
（3）如图2，将AB平移到CD，连接AC，BC，BC交y轴于点E，当点C的横坐标为－2时，△ABC的面积为13，求点E的坐标．
答图2
第九章重点压轴题
1．小明和小红约定见面交换阅读书籍．出发前，他们打电话了解彼此的位置后，发现有一条道路是最合适的．
小明说：“在我们保持各自速度不变的情况下，如果我向南骑行300米，再向东骑行100米；小红你向北走100米，再向西走100米，我们刚好会相遇．”
小红说：“如果我们互换出发位置，在保持各自速度和道路不变的情况下，此时我们相遇的地点在原来相遇点什么方向？”（ ）
A．正东方向 B．东南方向 C．正西方向 D．西北方向
D
2．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，b），B（－b，0），且满足
＝0，将线段AB平移得线段DC，点A对应点D，点B对应点C，点A的对应点D在x轴上，点B的对应点C在y轴上.
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
解：(1)∵ ＝0，∴a＋2＝0，b－5＝0，
∴a＝－2，b＝5，∴A(－2，5)，B(－5，0)，
∵点A平移到点D向下平移了5个单位长度，
∴点B到点C向下平移了5个单位长度，
∴C(0，－5)；
（2）如图2，点P是y轴上的一个动点，当△CPD的面积
是△APD的面积的一半时，求点P的坐标；
答图1
答图1
（3）如图3，若动点E从点D出发向左运动，同时动点F从点C出发向上运动，两个点的运动速度之比是1∶2，运动过程中直线DF和CE交于点N，若△DCN的面积等于9，求出点N的坐标.
(3)∵S△COD＝ ×5×3＝7.5＜9，
∴点N不在△COD内，
设N(m，n)，
∵E，F运动速度之比是1∶2，∴CF＝2DE，
设DE＝k，则CF＝2k，
答图2
答图3
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第七章
相交线与平行线
1 两条直线相交
1．平面内有n条直线（n≥2），这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a＋b的值是（ ）
A．n（n－1） B．n2－n＋1
C．n＋1 D．
D
2．如图，直线AB与CD相交于点O，∠COE＝80°，
∠COF∶∠AOC＝2∶3，射线OE平分∠BOF，求
∠BOD的度数．
解：因为射线OE平分∠BOF，所以∠BOE＝∠FOE＝ ∠BOF，
由于∠COF∶∠AOC＝2∶3，可设∠COF＝2α，则∠AOC＝3α，
又因为∠COE＝80°，所以∠BOE＝∠FOE＝ ∠BOF＝80°－2α，
因为∠AOF＋∠BOF＝180°，所以5α＋2(80°－2α)＝180°，
解得α＝20°，所以∠BOD＝∠AOC＝3α＝60°.
2 两条直线垂直
1．如图，为了探清一口深井的底部情况，在井口放置一面平
面镜可以改变光路，此时∠ABE＝∠FBG.当太阳光线AB与地
面CD所成夹角∠ABC＝52°时，要使太阳光线经反射后刚好
垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹
角∠EBC＝ ．
71°
2．如图，∠AOB的平分线为OM，ON为∠AOM内的一条射线．
（1）如图1，若∠BON＝50°，∠AON＝30°，求∠MON的度数；
解：(1)因为∠BON＝50°，∠AON＝30°，
所以∠AOB＝∠BON＋∠AON＝80°，
因为∠AOB的平分线为OM，
所以∠BOM＝ ∠AOB＝40°，
所以∠MON＝∠BON－∠BOM＝10°；
（2）如图2，若ON⊥OB，且 ∠BOM＋
∠AON＝75°，求∠MON的度数．
(2)因为ON⊥OB，所以∠MON＋∠BOM＝90°，
因为∠AOB的平分线为OM，
所以∠BOM＝∠AOM＝∠AON＋∠MON，
所以∠AON＋2∠MON＝90° ，所以∠AON＝90°－2∠MON，
因为 ∠BOM＋∠AON＝75°，所以3∠AON＋∠MON＝150°，
所以3(90°－2∠MON)＋∠MON＝150°，所以∠MON＝24°.
3 两条直线被第三条直线所截
1．如图，l1∥l2，第1次，作l3相交l1，l2，则产生了4对同位角，第2次，作l4相交l1，l2，l3，则产生了12对同位角，第3次，作l5相交l1，l2，l3，l4，则产生了24对同位角，推测第6次产生了 对同位角．（ ）
A．60 B．84 C．112 D．144
B
2．如图，已知直线EF与AB交于点M，与CD交于点O，OG平分∠DOF，若∠COM＝120°，∠EMB＝ ∠COF.
（1）求∠FOG的度数；
解：(1)因为∠COM＝120°，
所以∠DOF＝∠COM＝120°，
因为OG平分∠DOF，所以∠FOG＝ ∠DOF＝60°；
(2)与∠FOG互为同位角的角是∠BMF；
（2）写出一个与∠FOG互为同位角的角；
（3）直接写出∠AMO的所有内错角、同旁内角的度数之和．
(3)∠AMO的同旁内角是∠COM，
∠AMO的内错角有∠MOG，∠MOD，
因为∠COM＝120°，所以∠DOF＝∠COM＝120°，
因为OG平分∠DOF，所以∠DOG＝ ∠DOF，
所以∠DOG＝60°，因为∠DOM＝180°－∠COM＝60°，
所以∠MOG＝∠DOM＋∠DOG＝120°，
所以∠AMO的所有内错角、同旁内角的度数之和为120°＋120°＋60°＝300°.
4 平行线的概念
1．用无刻度直尺在网格中画图（图中的点A，B，C都在网格的格点上）.
（1）过点A画直线AE，使得AE∥BC且AE＝ BC，
标出点E的位置（请用2B铅笔或黑色水笔加黑加
粗）；
解：(1)如图，AE即为所求；
（2）在直线BC上画出点O，使AO＋BO＋CO最小．
(2)如图，点O即为所求．
因为AO＋BO＋CO＝AO＋BC，
所以当AO⊥BC时，AO＋BO＋CO最小．
5 平行线的判定
1．下列各图均是由含30°角或含45°角的直角三角尺组合而成，其中可以利用“内错角相等，两直线平行”得出AB∥CD的有（ ）
A．①③ B．②④ C．①②④ D．②③④
B
2．如图，直线CD，EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，且∠1＋∠2＝90°.
（1）请判定直线AB与CD的位置关系，并说明理由；
解：(1)AB∥CD，理由如下：
∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，
∴∠AOC＝ ∠COE，∠2＝ ∠DOE，
∵∠COE＋∠DOE＝180°，
∴∠AOC＋∠2＝ (∠COE＋∠DOE)＝90°，
∵∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠AOC，∴AB∥CD；
（2）若∠2∶∠3＝2∶5，求∠1的度数．
6 平行线的性质
1．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1＋∠2＝110°，则∠3－∠4的度数为 ．
70°
2．将一副三角尺中30°的角和45°的角叠放在一起，使点C重合，如图所示，其中∠ACB＝30°，∠A＝60°，∠D＝∠DCE＝45°，将三角尺ECD绕点C旋转，当点E在直线AC的下方时，这副三角尺会存在一组边互相平行，则∠ACE的度数为 ．
120°或75°或30°
7 定义、命题、定理
1．“如图1，已知∠AOB内有一点P，射线PE∥OA，且与OB交于点E，过点P画射线PH平行于OB，PH与OA相交于点H.”园园用两个完全一样的三角尺进行画图，画图过程如图2所示．
（1）园园的画图依据是 ；
内错角相等，两直线平行
（2）小树看了园园画出的
图形后，对∠AOB＝∠HPE
进行了如下说理，请补全小
树的说理过程；
∵PE∥OA（已知），
∴∠AOB＝∠ （ ），
∵PH∥OB（已知），
∴∠HPE＝∠ （ ），
∴∠AOB＝∠HPE（等量代换）．
PEB
两直线平行，同位角相等
PEB
两直线平行，内错角相等
（3）东东看了（2）中小树的说理过程后，认为命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是真命题，请你判断东东的说法是否正确，并说明理由．
解：(3)如图所示，两个角
的两边分别平行，则这两
个角相等或互补，故命题“若两个角的两边分别平行，
则这两个角相等”是假命题，
∵PE∥OB(已知)，
∴∠OBE＋∠PEB＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵EB∥OA(已知)，
∴∠AOB＝∠OBE(两直线平行，内错角相等)，
∴∠AOB＋∠PEB＝180°(等量代换).
8 平移
1．如图，将直角梯形ABCD沿AD平移得直角梯形EFGH，若∠C＝90°，HG＝10，MC＝2，MG＝4，求图中阴影部分的面积是 ．
2．如图，长方形ABCD的边CD与正方形EFGH的边EF重合，BC＝3 cm，AB＝2 cm.将长方形ABCD以1 cm/ s的速度向右平移，
当运动时间为 s时，长方形ABCD与正方
形EFGH重叠部分的面积为3 cm2.
36
1.5或3.5
第七章重点压轴题
1．如图，已知AB∥CD，则∠1，∠2，∠3，∠4的关系是（ ）
A．∠1＋∠3＋∠4－∠2＝180°
B．∠1＋∠2＋∠4＝∠3
C．∠3＋∠2＝∠4＋∠1
D．∠1＋∠2＋∠3－∠4＝180°
A
2．一副三角尺为我们用数学的眼光观察世界提供了一个小小的“窗口”．比如我们根据一副三角尺的不同位置摆放，可探究有关平行线的问题．
如图1是一副三角尺，∠C＝∠F＝90°，∠A＝∠B＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°.
图1
（1）如图2，将三角尺ABC的顶点A与三角尺DEF的顶点F重合，使点C落在AE的延长线上，AB与DE相交于点G，求∠BGD的度数；
图2
解：(1)过点G作GH∥DF，如答图1，依题意得
∠C＝90°，∠DFE＝90°，∠B＝45°，∠D＝30°，
∴∠C＋∠DFE＝180°，
∴BC∥DF，∴BC∥GH∥AD，
∴∠HGD＝∠D＝30°，∠BGH＝∠B＝45°，
∴∠BGD＝∠HGD＋∠BGH＝75°；
答图1
（2）如图3，将三角尺ABC的直角顶点C放在直线上，使AB∥MN，三角尺DEF的顶点E在直线MN上，DF与AB相交于点P，
求∠DEM－∠DPB的度数；
图3
(2)过点D作DH∥MN，如答图2，
∵AB∥MN，∴DH∥AB∥MN，
∴∠HDE＝∠DEM，∠HDP＝∠DPB，
∵∠HDE－∠HDP＝∠EDF，且∠EDF＝30°，
∴∠DEM－∠DPB＝30°；
答图2
（3）如图4，将三角尺DEF放置固定不动，改变三角尺ABC的摆放位置，但始终保持两个三角尺的直角顶点C，F重合．当点A在直线EC的下方时，探究这两个三角尺有一组边互相平行的情况，比如当AB∥EC时∠ACE＝135°，请你直接写出∠ACE除135°外，其他所有可能的度数.
图4
(3)150°或60°或45°或15°，
①如答图3，当CB∥ED时，
∵CB∥ED，∠E＝60°，∴∠BCE＝∠E＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠ACB＋∠BCE＝150°；
答图3
②如答图4，当CA∥ED时，
∵CA∥ED，∠DEC＝60°，
∴∠ACE＝∠DEC＝60°；
③如答图5，当AB∥DC时，
∵AB∥DC，∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，
∵∠ECD＝90°，∴∠ECB＝∠ECD－∠BCD＝45°，
∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠ACB－∠ECB＝45°；
答图4
答图5
④如答图6，当AB∥ED时，设BC与ED交于点T，
∵AB∥ED，∠B＝45°，∴∠ETC＝∠B＝45°，
∵∠E＝60°，∴∠ECT＝180°－(∠ETC＋∠E)＝75°，
∵∠BCA＝90°，∴∠ACE＝∠BCA－∠ECT＝90°－75°＝15°，
综上，其他所有可能的度数为150°或60°或45°或15°.
答图6
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第八章
实数
9 平方根
1．若y＝ ＋4，2z－1的平方根是±3，求z－y＋x的算术平方根．
解：由题可知，3－x≥0，x－3≥0，解得x＝3，
把x＝3代入y＝ ＋4，解得y＝4，
∵2z－1的平方根是±3，∴2z－1＝9，∴z＝5，
∴z－y＋x＝5－4＋3＝4，∴z－y＋x的算术平方根为2.
2．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
（1）观察算式规律，计算 ＝ ，
＝ ；
（2）用含正整数n的式子表示上述算式的规律：____________________________________________________________；
7
18
10 立方根
1．如图，a，b，c是数轴上点A，B，C对应的实数，化简
的结果是（ ）
A．2a＋b B．－2a－c
C．－b－a－c D．－3b－a＋c
C
2．已知4－x的算术平方根是3，y是8的立方根，且 互为相反数，求2y＋4z－x的值.
解：由题可得4－x＝9，y＝2，1－2z＋3z－5＝0，
解得x＝－5，y＝2，z＝4，
∴2y＋4z－x＝2×2＋4×4－(－5)＝25.
11 实数及其简单运算
1．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把 表示在数轴上点A1处，记A1右侧最近的整数点为B1.以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于点A2，记A2右侧最近的整数点为B2，以点B2为圆心，A2B2为半径画半圆，交数轴于点A3，…，如此继续，则A7B7的长为 ．
2．如图，在数轴上点O，B，C所表示的数分别为0，1， ，点B到点C的距离与点O到点A的距离相等，设点A所表示的实数为x.
（1）求出实数x的值；
A．2 B．－2 C．0或4 D．2或－2
第八章重点压轴题
C
（1）根据上述三个等式提供的信息填空， ＝ . ＝ ；
（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）；
3．某数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们数学小组探究发现的结果，内容如下：“我们知道，当a＋b＝0时，a3＋b3＝0也成立．因为a是a3的立方根，b是b3的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”
（1）若 ＋5＝0，则x的值是 ；
63
(2)∵ ＋2＝x，∴ ＝x－2，
∴x－2的立方根等于它本身，∴x－2＝0或1或－1，
当x－2＝0时，解得x＝2；
当x－2＝1时，解得x＝3；
当x－2＝－1时，解得x＝1.
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第十一章
不等式与不等式组
1．下列选项中，不能用不等式表示的是（ ）
A．－b小于0 B．x2＋2是正数
C．m－n等于零 D．a比b大
2．下列四个数轴上的点A表示的数都是a，其中一定满足 ＞2的是（ ）
A．（1）（3） B．（2）（3）
C．（1）（4） D．（2）（4）
21 不等式及其解集
C
C
3．用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数”为 ．
4．写出一个关于x的不等式，使－5，2都是它的解，这个不等式可以为 ．
x2－a2≤0
2x＜6(答案不唯一)
22 不等式的性质
1．实数a与b在数轴上的位置如图所示，若bx＜ax，则x的取值可能为（ ）
A．－1 B．－ C．0 D．1
2．若实数m，n，k满足m－2n＝3－5k，2m＋n＝6－5k，则下列结论正确的是（ ）
A．m＜n B．若k＞1，则m＞0
C．m＋3n＝3 D．若k＝0，则m＋n＝4
D
C
3．某数学兴趣小组在研究下面的运算流程图时发现，取某个实数范围内的x作为输入值，则永远不会有输出值，这个数学兴趣小组所发现的实数x的取值范围是 ．
23 一元一次不等式
1．已知有理数x满足 ，若 的最小值为a，最大值为b，则ab的值为（ ）
A．－1 B．5 C．－5 D．1
2．已知关于x的不等式ax＋b≥0的解集是x≤ ，则满足不等式bx－2a≥0的x的最小值为 ．
B
－6
3．我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若两个不等式的解集相同，则称A与B为同解不等式.
（1）若关于x的不等式A：3x－1＞0，不等式B： ＞1是同解不等式，求a的值；
（2）若关于x的不等式C：x＋1＞mn，不等式D：x－3＞m是同解不等式，其中m，n均是正整数，求m，n的值；
(2)解不等式C，移项，得x＞mn－1，解不等式D，移项，得x＞m＋3.
∵不等式C与D为同解不等式，∴mn－1＝m＋3，即(n－1)m＝4，
∵m，n均为正整数，
∴当m＝1时，n＝5；当m＝2时，n＝3；当m＝4时，n＝2，
则
（3）若关于x的不等式P：（2a－b）x＋3a－4b＜0，不等式Q：
－2x是同解不等式，试求关于x的不等式（a－4b）x＋2a－3b＜0的解集．
(3)解不等式P，移项，得(2a－b)x＜4b－3a，
解不等式Q，去分母，得14x－1＞7－4x，
移项，得14x＋4x＞7＋1，合并同类项，得18x＞8，解得x＞ .
∵不等式P与Q为同解不等式，
∴2a－b＜0，即不等式P的解集为x＞ ，
24 一元一次不等式组
1．点P（3－2m，m－3）在第三象限，且点P的横、纵坐标均为整数，则点P的坐标为（ ）
A．（－1，2） B．（－1，－1）
C．（－2，－1） D．（－1，－2）
2．若[x]表示不大于x的最大整数，关于x的方程 ＝3有正整数解，则常数a的取值范围是 ．
B
a＜35
第十一章重点压轴题
1．定义一种新运算：a*b＝ 则不等式（2x＋1）*（2－x）＞3的解集为 ．
x＞1或x＜－1
2．对于整数a，b，c，d，定义 ＝ac－bd，如： ＝2×6－（－3）×3＝21.
（1）求当 ＝2－3x时，x的值是多少？
（2）若 ≤4－k，当关于x的不等式的负整数解为－1，－2，－3时，求k的取值范围．
3．近两年临夏加强实施“生态立州”战略，实现“绿色临夏”，做大做强特色花椒产业，助推临夏乡村振兴．某花椒产业基地响应国家发展绿色农业政策，大力种植花椒．该基地销售甲种花椒150千克和乙种花椒200千克收入4 300元；销售甲种花椒100千克和乙种花椒80千克收入2 120元．
（1）求销售甲种花椒和乙种花椒每千克各收入多少元；
解：(1)设销售甲种花椒和乙种花椒每千克各收入x元、y元，依题意，得
答：销售甲种花椒和乙种花椒每千克各收入10元、14元；
（2）该基地决定每天销售甲、乙两种花椒共1 000千克，总收入不少于12 000元，每天至少销售乙种花椒多少千克？
(2)设每天销售乙种花椒m千克，则销售甲种花椒(1 000－m)千克，依题意，得10(1 000－m)＋14m≥12 000，解得m≥500.
答：每天至少销售乙种花椒500千克．
（3）该花椒产业基地决定：售出的甲种花椒每千克捐出z元，售出的乙种花椒每千克捐出的费用是甲的2倍，这些捐款用来资助当地低保户，在获得（2）中的最低收入时，保证捐款后的基地收入不低于总收入的80%，求z的值（z为正整数）.
(3)在获得(2)中的最低收入时，10×500＋14×500＝12 000(元)，
此时甲种花椒销售500千克，乙种花椒销售500千克．
12 000－z×500－2z×500≥0.8×12 000，解得z≤1.6，
∵z为正整数，∴z的值为1.
答：z的值为1.
感谢聆听
