【2026春八下数学情境课堂上课课件】21.1.2 多边形及其内角和 课件(共28张PPT)

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人教八上数学情境课堂教学课件
第二十一章 四边形
21.1 四边形及多边形
21.1.2 多边形及其内角和
1. 理解多边形、正多边形的概念，掌握多边形的边、顶点、内角、外角、对角线等相关定义.
2. 熟练推导并掌握多边形内角和公式与外角和定理，能运用公式解决多边形内角和、边数等相关计算问题.
在实际生活当中，除了三角形、四边形，还有许多由线段围成的图形. 观察下面的图片，你能从中找到一些多边形的形象吗？
本节课让我们类比四边形，将其一些概念和性质推广到多边形.
问 题1 类比四边形的概念，什么叫作多边形？
在平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作四边形.
在平面内，由n(n≥3)条线段A A ，A A ，…，An－1An，AnA 首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.
多边形有几条边就叫作几边形.
A
A2
A3
A4
A5
An－1
An
问 题2 类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的定义.
组成多边形的各条线段叫作多边形的边
每相邻两条线段的公共端点叫作多边形的顶点
A
B
C
F
E
D
六边形ABCDEF的边有AB、BC、CD、DE、EF、FA.
六边形ABCDEF的顶点有点A、点B、点C、点D、点E、点F.
多边形同样用表示它的各个顶点的字母表示，上图中的六边形，记作“六边形ABCDEF”.
A
B
C
F
E
D
多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角
多边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作多边形的外角
六边形ABCDEF的内角有∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F.
六边形ABCDEF的内角有∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6.
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线
六边形ABCDEF的对角线有AC、AD、AE、BD、BE、BF、CE、CF、DF.
1
2
3
4
5
6
问 题2 类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的定义.
与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形.今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形.
观 察 下面正三角形、正方形的边和角有什么特点.
正三角形
正方形
边：三条边相等；
角：三个角相等.
边：四条边相等；
角：四个角相等.
归纳总结
正多边形的概念：
像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.
正五边形
正六边形
如果一个多边形由 n 条线段组成，各个角都相等，各条边都相等那么这个多边形叫作正n边形.
探 究1 类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗
分析：五边形、六边形的对角线可以将五边形、六边形分为n个三角形，类比四边形的内角和推导过程，五边形、六边形内角和的有关问题也可以利用三角形的相关知识加以解决.
五边形、六边形有几条对角线，对角线可以将他们分成几个三角形呢？
名称 五边形 六边形
图形
对角线总条数
从一个顶点出发能作的对角线条数
过一个顶点的对角线把多边形分成的三角形个数
多边形内角和
2
3
3
4
3×180°
4×180°
5
9
探 究2 由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗
名称 五边形 六边形 n边形
图形
对角线总条数
从一个顶点出发能作的对角线条数
过一个顶点的对角线把多边形分成的三角形个数
多边形内角和
2
3
3
4
3×180°
4×180°
5
9
n－3
n－2
(n－2)×180°
归纳总结
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n－3)条对角线，它们将n边形分为(n—2)个三角形，n边形的内角和等于(n－2)×180°.
A
A2
A3
A4
A5
An－1
An
这样就得出了多边形的内角和公式：
n边形的内角和等于(n－2)×180°.
注意：①n边形的内角和随边数的增加而增加，每增加一条边其内角和增加180°.②多边形的内角和是180°的整倍数.
例1 下列说法中，错误的有( )
A. 三角形是边数最少的多边形
B. 等边三角形和长方形都是正多边形
C. n边形有n条边、n个顶点、n个内角
D. 六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条
B
思 考 把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗 由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？
方法一：如图，在n边形内任取一点O，连接点O与各个顶点的线段，把n边形分成n个三角形.
因为这n个三角形的内角和是n×180°，以O为公共顶点的n个角的和是360°，所以n边形的内角和是n×180°－360°，
即(n－2)×180°.
A
A2
A3
A4
A5
An
O
方法二：如图，在n边形的边上任意取一点P，连接这点与各顶点的线段，把n边形分成(n－1)个三角形.
因为这(n－1)个三角形的内角和是(n－1)×180°，以P为公共顶点的(n－1)个角的和是180°，
所以n边形的内角和是(n－1)×180°－180°，
即(n－2)×180°.
A
A2
A3
A4
A5
An
P
思 考 把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗 由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？
探 究3 与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角.它们的和叫作多边形的外角和. 多边形的外角和等于多少度
方法一：与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，
因此n边形的内角和与外角和的总和等于n×180°，
外角和等于：n×180°－(n－2)×180°＝360°.
探 究3 与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角.它们的和叫作多边形的外角和. 多边形的外角和等于多少度
方法二：如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向.
在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外
角和. 由于走了一周，所转的各个角的和等于一个
周角，所以多边形的外角和等于360°.
多边形的外角和等于360°.
归纳总结
多边形的内(外)角和与边数间的关系：
(1)多边形的内角与边数有关，且随着边数的增加而增加．
(2)多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少无关，其作用是：
①已知正多边形外角的度数，求正多边形的边数；
②已知正多边形的边数，求各相等外角的度数．
例2 一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形
解：设这个多边形的边数为n. 因为它的内角和等于(n－2)×180°，外角和等于360°，所以
(n－2)×180°＝2×360°.
解得 n＝6.
因此这个多边形是六边形.
变 式 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.
解：方法一：设这个多边形的内角为 7x°，外角为 2x°，
根据题意得 7x°＋2x°＝180°，
解得 x＝20.
即每个内角是140°，每个外角是40°.
360°÷40 °=9.
所以，这个多边形是九边形.
方法二：由题意可得此多边形的内角和与外角和之比为7:2，
即为：
解得：n = 9
所以，这个多边形是九边形.
变 式 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.
1. 图中不是凸多边形的是(　　)
B
A
B
C
D
2. 连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了 6 个三角形，则原多边形是(　　)
D
A． 5 B．6
C． 7 D．8
3. (2025甘肃)如图，一个多边形纸片的内角和为1620°，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为(　　)
A
A．12 B．11
C．10 D．9
4. 填空：
(1)(2025扬州)若多边形的每个内角都是140°,则这个多边形的边数为 ________．
9
(2)(2025长沙)如图，五边形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，则∠A＋∠E＝ ________．
205°
5. 如图，小明从点A出发沿直线前进10m到达点B，向左转30°后又沿直线前进10m到达点C，再向左转30°后沿直线前进10m到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了多少米
解：∵小明每次都是沿直线前进10m后向左转30°,
∴他走过的图形是正多边形，且这个正多边形的每一个外角都是30°,
∴边数n=360°÷30°=12,
∴他第一次回到出发点时，一共走了12×10=120m.
边
顶点
A
B
C
F
E
内角
外角
对角线
在平面内，由n(n≥3)条线段A A ，A A ，…，An－1An，AnA 首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.(多边形有几条边就叫作几边形.)
正多边形：各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.
n边形内角和计算公式：(n－2)×180°
多边形的外角和等于360°.
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