【2026春八下数学情境课堂上课课件】21.2.1.3 平行四边形性质的综合应用 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
人教八上数学情境课堂教学课件
第二十一章 四边形
21.2 平行四边形
21.2.1 平行四边形及其性质
第3课时 平行四边形性质的综合应用
1. 能运用平行四边形对角线性质证明线段相等.
2. 理解并掌握两条平行线之间距离的概念及性质，会运用相关知识解决简单几何证明与计算问题.
回 顾 平行四边形有哪些性质？
①平行四边形的两组对边分别平行.
②平行四边形的对边相等.
③平行四边形的对角相等.
④平行四边形的对角线互相平分.
AB∥CD，AD∥BC.
AB＝CD，AD＝BC.
∠A＝∠C，∠B＝∠D.
AO＝CO，BO＝DO.
如何根据平行四边形的性质解决其它问题呢？
B
C
D
A
O
例1 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F. 求证OE＝OF.
证明：在□ABCD中，AB∥CD，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.
又OA＝OC，
∴△AOE≌△COF.
∴OE＝OF.
A
B
C
D
E
F
O
变 式 将EF延长，与AD、BC的延长线交于点M、N，求证OM＝ON.
A
B
C
D
E
F
O
M
N
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠M＝∠N，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∵∠AOM＝∠CON，
∴△AOM≌△CON(AAS)，
∴OM＝ON.
△AEM≌△CFN、 △DMF≌△BNE.
距离是几何中的重要度量之一. 我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离，在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，学习两条平行线之间的距离.
探 究 (1)把两张平行四边形纸条随意叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，存在哪些等量关系？为什么？
动手试一试吧！
A
B
C
D
AB＝CD，AD＝BC .
原因：由两张平行四边形纸条得AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC.
两条平行线间的平行线段相等.
探 究 (1)把两张平行四边形纸条随意叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，存在哪些等量关系？为什么？
探 究 (2)当两张纸条互相垂直时，线段AB 和CD还相等吗？你能得到什么结论？
A
B
C
D
AB ＝CD ；
结论：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离．
思 考 两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别
点与点之间的距离是定义点到直线的距离、两条平行线之间距离的基础，它们本质上都是点与点之间的距离.
任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
归纳总结
平行线间的距离：
1.定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.
2.性质：两条平行线间的距离处处相等.
数学语言：
如图，a∥b，A是a上的任意一点，AB⊥b，垂足
为B，线段AB的长就是平行线a，b之间的距离.
A
B
a
b
例1 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC. 求证∠B＝∠C.
∟
∟
证明：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，过点A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F.
∵AE，DF的长都是平行线AD，BC之间的距离，
∴AE＝DF.
分析：由于AD//BC，可以考虑运用平行线之间的距离，通过三角形全等进行证明.
又AB＝DC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF.
∴∠B＝∠C.
你还有其他证明方法吗？
A
B
C
D
E
F
方法二
证明：如图，在梯形ABCD中，过点D作DE//AB交BC于点E.
∵AD//BC，DE//AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB＝DE.
又AB＝DC，
∴DC＝DE，
A
B
C
D
E
∴∠DEC＝∠C.
由DE//AB可得∠B＝∠DEC，
∴∠B＝∠C.
例1 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC. 求证∠B＝∠C.
1. 如图，为方便游客进行观光游玩，某景区计划新建一条观光公路，已知公路的两边互相平行，图中哪条线段的长能比较准确地描述这一段公路的宽度(　　)
B
A. 线段AD B. 线段CF
C. 线段BE D. 线段AG
2. 已知直线a∥b∥c，a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，则a与c的距离是(　　)
A. 3cm B. 7cm
C. 3cm或7cm D. 以上都不对
C
3. 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝5，BC＝3，则以下结论不正确的是(　　)
A．AD＝3 B．OB＝2
C．AC＝ D． ABCD的面积为6
D
4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O任意作直线分别交AB、CD于点E、F．
(1)求证：△BEO≌△DFO；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，
∴AB∥CD，OB＝OD，
∴∠OEB＝∠OFD，
在△BEO和△DFO中，
∴△BEO≌△DFO(AAS)．
4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O任意作直线分别交AB、CD于点E、F．
(2)若CD＝10，AD＝8，OE＝3，求四边形BEFC的周长．
解：由(1)得△BEO≌△DFO，
∴OE＝OF＝3，BE＝DF，∴EF＝2OE＝6，
∵CB＝AD＝8，CD＝10，
∴BE＋CF＝DF＋CF＝CD＝10，
∴EF＋BE＋CF＋CB＝6＋10＋8＝24，
∴四边形BEFC的周长为24．
6. 如图，是一个户外摇椅，固定杆AB平行于地面，李华想要利用一根足够长的绳子验证固定杆AB和座椅CD是否平行，请你帮他设计一个验证方案，并说明理由．
解：方案：在座椅静置的情况下，将绳子一端固定在点A处，让绳子自然下垂，在绳子上标记绳子与座椅的交点E，再将这根绳子的同一端固定在点B处，让绳子自然下垂，在绳子上标记绳子
与座椅的交点F，比较AE与BF的长短.
若AE=BF，则AB∥CD；反之，则不平行.
理由：平行线之间的距离处处相等．
(E)
(F)
定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间
的距离.
性质：两条平行线间的距离处处相等.
平行线间
的距离
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