【2026春八下数学情境课堂上课课件】21.2.3 三角形的中位线(主题情境：平分之道) 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
人教八上数学情境课堂教学课件
第二十一章 四边形
21.2 平行四边形
21.2.3 三角形的中位线
主题情境·平分之道
1. 探索并证明三角形的中位线定理.
2. 能用三角形的中位线定理解决相关问题.
工人师傅要把一块三角形铁皮裁剪成四块形状大小完全相同的小三角形铁皮，你能帮他想出办法吗？
怎么切啊？
如何切割呢？你能想到什么？
前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等研究平行四边形的有关问题，我们也可以利用平行四边形研究三角形的有关问题！
思考1 怎么能把这块三角形铁皮转化为平行四边形？
分析：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
在三角形铁皮中构造平行四边形
思考1 怎么能把这块三角形铁皮转化为平行四边形？
D
E
F
B
A
C
分别作BC，AB的平行线DE，EF,得到□ BDEF.
连接DF,根据平行四边形的任意一条对
角线平分其面积，得到S△BDF＝ S△DEF.
还需满足什么条件，才能使得四个三角形形状大小完全相同呢？
□BDEF→BD＝EF，BF＝DE
□ADFE→AD＝EF，DF＝AE
□DFCE→DF＝CE，DE＝CF
B
A
C
D
E
F
若要满足条件，
四边形ADFE，四边形DFCE均为平行四边形.
即S△BDF＝ S△DEF＝ S△EFC＝S△AED.
D
E
F
B
A
C
点D，E，F均为各边中点.
还有别的方法可以证明吗？
h1
h2
□BDEF→S△BDF＝ S△DEF
DE∥BA→h1＝h2
当BF＝CF时，S△BDF＝S△EFC
同理，当AD＝BD时，S△BDF＝S△AED
此时，S△BDF＝ S△DEF＝ S△EFC＝S△AED.
B
A
C
D
E
F
若要满足条件，
即S△BDF＝ S△DEF＝ S△EFC＝S△AED.
D
E
F
B
A
C
点D，E，F均为各边中点.
问题1 你能帮铁匠师傅画出切割线吗？你会证明切割出的四个三角形面积相等吗？
B
A
C
D
F
分别选取AB，BC，AC边上的中点D，E，F作为切割点.
连接DE，EF，DF,即为切割线.
E
证明：由探究过程可知四边形ADEF，四边形DBEF，四边形DECF均为平行四边形.
在平行四边形DBEF中，DE为对角线，根据平行四边形对角线的性质可得：S△BDE＝ S△DEF.
问题1 你能帮铁匠师傅画出切割线吗？你会证明切割出的四个三角形面积相等吗？
同理可得：在平行四边形ADEF中，S△ADF＝ S△DEF；
在平行四边形CEDF中，S△CEF＝ S△DEF.
综上所述，S△ADF＝ S△DEF＝S△BDE＝S△CEF.
像这样连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
B
A
C
D
F
E
思考2 一个三角形有几条中位线？三角形的中位线和中线一样吗？
一个三角形有3条中位线，
一个三角形有3条中线，
A
B
C
D
F
E
分别为DE，EF，DF
中位线是连接三角形两边中点的线段．
中线是连接顶点与其对边中点的线段.
分别为AE，BF，CD.
问题2 从以上的的设计方案中，你还能得到什么结论？
B
A
C
D
E
F
D，E，F 为AB，AC，BC的中点;
S△BDF= S△DEF= S△EFC=S△AED
四边形AEFD，四边形DEFB，四边形DECF均为平行四边形.
DE∥BC，DE= BC ;
EF∥AB，EF= AB ;
DF∥AC，DF= AC ;
猜想：三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
猜想：
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
已知：如图，△ABC 中， DE是△ABC的中位线 .
求证： .
DE∥BC，DE= BC
B
A
C
D
F
E
证明：∵DE是△ABC 的中位线，
∴AE＝CE， AD＝BD.
又∵∠AED＝∠CEF，DE＝FE，
∴△ADE≌△CFE，
∴∠A＝∠ECF， CF＝AD＝BD.
∴CF∥AB，BD＝CF.
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC＝2DE，
∴DE∥BC， DE＝ BC.
方法一：
延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF
∴BD＝CF，
∵BD∥CF.
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥BC，DE＝ BC .
方法二：过点C 作CF∥AB交DE的延长线于F.
证明：∵DE是△ABC 的中位线，
∴ AD＝BD，AE＝EC.
∵CF∥AB.
∴∠A＝∠ECF.
又∵∠AED＝∠CEF，AE＝EC，
∴△ADE≌△CFE.
∴AD＝CF，DE＝EF.
B
C
D
F
E
A
方法三：延长DE至F，使EF＝DE，连接CD，AF，CF .
B
A
C
D
F
E
“ ”表示平行且相等.
＝
＝
证明：∵AE＝EC，DE＝EF ，
∴四边形ADCF是平行四边形．∴CF AD，
又D是AB的中点，∴CF BD ．
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF BC ．
又DF＝ DF，
∴DE∥BC， .
＝
＝
＝
＝
＝
＝
1.三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
B
A
C
D
E
归纳总结
2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
拓展思考 工人师傅准备用如图所示的一块四边形铁皮(四边形ABCD)，切割出一块平行四边形，他的做法如下，你认为他的做法是否合理 并说明理由.
合理，这样可以切出平行四边形的铁皮.
A
B
C
D
E
F
H
G
先分别找到四条边的中点，再顺次连接，即为切割线.
你会证明吗？
A
B
C
D
E
F
H
G
像这样，顺次连接一个四边形各边的中点，所得到的四边形叫做中点四边形.
证明：连接AC.
∵AH＝HD，CG＝GD，
∴HG//AC，且HG＝ AC.
同理EF//AC，且EF＝ AC.
∴HG EF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
＝
＝
探 究 若为平行四边形的铁皮( ABCD)，切割出来的中点四边形是什么形状？尝试证明.
任意四边形的中点四边形为平行四边形；
解：切割出来的中点四边形仍为平行四边形.
证明：分别记各边中点为E，F，G，H，
连接EF，FG，GH，HE，BD，
A
B
C
D
E
F
H
G
平行四边形的中点四边形仍为平行四边形.
∵E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点，
∴EH BD，FG BD，
∴EH = FG，EH∥FG，
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
＝
＝
＝
＝
思考3 三角形的中位线有哪些作用？
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
①位置关系：证明两直线平行
②数量关系：证明线段的相等或倍数关系
2.(2025 广东)如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝(　　)
A．20° B．40°
C．70°　　 D．110°
B
1.(2025 资阳)三角形的周长为48cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是(　　)
A．12cm B．24cm
C．28cm　　 D．30cm
C
3.(2025 黑龙江)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D，E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，点M，N分别是AC，DE的中点，连接MN，则MN的长度为(　 　)
A． B．
C．2 　　 D．
A
分析：连接CD，取CD的中点K，连接MK，NK，由三角
形中位线定理推出MK∥AB，NK∥BC，MK＝ AD＝2，
NK＝ CE＝ ，由勾股定理即可求出MN的长．
4.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为______.
1
模型：平行+角平分线→等腰三角形
分析：由平行四边形ABCD可得AB∥CD，OB＝OD，则∠CDP＝∠APD，根据DP平分∠ADC可得∠CDP＝∠ADP，从而可得∠ADP＝∠APD，可得AP＝AD＝4，进一步可得PB的长，再根据三角形中位线定理可得即可求出BO的长．
5.如图，E，F，G，H分别为四边形ABCD四边的中点．求证：四边形EFGH为平行四边形.
A
B
C
D
E
F
G
H
∵E，F，G，H分别为四边形ABCD四边的中点，
∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴EH∥BD且EH= BD，FG∥BD且FG= BD，
∴EH∥FG且EH=FG，
∴四边形EFGH为平行四边形.
证明：如图，连接BD.
一题多解：也可连接AC证明.
自主完成证明.
6.(综合与实践)
任务 如图1，测出水池A，B两点间的距离(水池有障碍物不能直接测量)．
测量工具 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m)；
小明的测量及求解过程 测量过程 (1)如图2，在水池外选点C，用皮尺测得AC＝a m，BC＝b m； (2)分别在AC，BC上用皮尺测得 CM＝ m，CN＝ m，测得MN＝d m．
求解过程 由测量可知：
∵AC＝a m，BC＝bm，
CM＝ m，CN＝ m，
∴点M是AC的中点，点N是BC的中点，
∴MN是△ABC的_______ ．
∵MN＝d m，
∴AB＝_______ m．
(1)把小明的求解过程补充完整；
(2)小明测出水池A，B两点间的距离的依据是____________________．
中位线
2d
三角形中位线定理　
定义
三角形的中位线
定理
应用
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
①位置关系：证明两直线平行；
②数量关系：证明线段的相等或倍数关系.
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