【2026春八下数学情境课堂上课课件】21.3.1.1 矩形的性质 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
人教八上数学情境课堂教学课件
第二十一章 四边形
21.3 特殊的平行四边形
21.3.1 矩形
第1课时 矩形的性质
1. 理解矩形的概念，了解矩形与平行四边形之间的关系.
2. 经历矩形性质定理的探索过程，进一步发展合情推理能力.
3. 探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
4. 运用矩形的性质定理解决相关计算或证明问题.
观察下面图形,长方形在生活中无处不在.
长方形跟我们前面学行四边形有什么关系呢？
矩形
下图是一个可以活动的平行四边形教具，轻轻拉动到一个角是直角时停止，观察这是什么图形？变化后构成的图形有什么特征？
有一个角是直角
轻轻拉动到一个角是直角时停止，变化后构成的图形是矩形，它是有一个角是直角的平行四边形.
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也是长方形.
归纳总结
注意：矩形是特殊的平行四边形，平行四边形不一定是矩形.可以用右图表示它们之间的关系.
有一个角是直角
平行四边形
矩形
矩形
平行四边形
四边形
矩形是生活中常见的几何图形，你能举出一些生活中的例子吗？
思考 (1)因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.你能列举出这样的性质吗？
边
角
对角线
两组对边分别平行
两组对边分别相等
两组对角分别相等
邻角互补
两条对角线互相平分
思考 (2)由于矩形有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢
A
B
C
D
O
猜想1：矩形的四个角都是直角.
猜想2：矩形的对角线相等.
接下来我们一起证
明这些猜想！
已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC= 90°，对角线AC与DB相交于点O.
求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC =∠CDA，∠BCD =∠DAB(矩形的对角相等)，
AB∥DC(矩形的对边平行)，∴∠ABC +∠BCD=180°.
A
B
C
D
O
又∵∠ABC=90°，∴∠BCD=90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.
猜想1：矩形的四个角都是直角.
已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC= 90°，对角线AC与DB相交于点O.
求证：(2)AC = DB.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB = DC (矩形的对边相等)，
在 △ABC 和 △DCB 中，
∵AB = DC，∠ABC = ∠DCB，BC = CB，
∴△ABC ≌ △DCB.
∴AC = DB.
猜想2：矩形的对角线相等.
A
B
C
D
O
做一做
请同学们准备一张矩形纸片，折一折：
矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴呢？
矩形是轴对称图形，有2条对称轴；
对称轴为对边中点连线所在的直线，并且是互相垂直的两条直线.
文字语言 几何语言 图示
定理1
定理2 对称性 A
B
C
D
O
矩形的对角线相等
矩形的四个角都是直角
轴对称图形
若四边形 ABCD 是矩形，
则∠ABC=∠BCD
=∠CDA=∠DAB=90°.
若四边形 ABCD 是矩形，
则AC =BD.
直线m、n是矩形的两条对称轴.
n
m
归纳总结
例 如图，矩形 ABCD 的对角线AC，BD相交于点 O，且∠AOB = 60°，AB = 4. 求矩形ABCD 的对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC 与 BD相等且互相平分.
∴OA = OB.
又∠AOB = 60°，
∴△OAB 是等边三角形.
∴OA = AB = 4.
∴AC = BD =2OA= 8.
D
C
A
B
O
变式 如图，在矩形ABCD中，两对角线交于点O. 若∠BAC=2∠DAC，求∠ACB的度数.
解: ∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°， AD// BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵∠BAC=2∠DAC，∠BAC+∠DAC=90°，
∴∠BAC=60°，∠DAC=30°，
∴∠ACB=∠DAC=30°.
思考 (3)如图，BO是Rt△ABD斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？你能证明你发现的结论吗？
A
　
B 　
O 　
C 　
猜想3： .
BO = AC
接下来我们一起证
明猜想！
证明：延长 BO 至 D，使 OD = BO，连接 AD，CD.
∵AO = OC，BO = OD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵∠ABC = 90°，
∴平行四边形 ABCD 是矩形.
∴ AC = BD.
如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BO 是 AC 上的中线.
求证：BO = AC.
∴ BO = BD = AC.
O
C
B
A
D
猜想3： .
BO = AC
文字语言 几何语言 图示
定理
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
如图，在Rt△ ABC中，
∠ABC=90°，AD=CD，
则BD= AC.
A
B
C
D
归纳总结
联系与应用
三位学生分别站在一个直角三角形的三个顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边的中点处. 她们的游戏公平吗？请说明理由.
解：游戏是公平的.
理由如下：
如图，Rt△ABC 中，О 为斜边 AC 中点，
∴OA = OB = OC.
(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
C
A
B
O
┐
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论不一定成立的是( )
A．AC=BD B．OA=OC，OB=OD
C．AC⊥BD D．∠ABC=∠BCD=90°
C
A
D
B
C
O
A. 3.5cm B. 3cm
C. 4cm D. 6cm
2.一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知∠ACB=90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD=( )
B
3.一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°．则这个矩形的面积是( )
A．25 B．25 C．25 D．50
分析：由矩形对角线性质得半对角线长为5，根据两条对角线夹角为60°，结合勾股定理，求得矩形边长为5和5 ，面积为：5×5 =25 .
B
4.(2025兰州)如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P．若P为EF的中点，∠ADB=35°，则∠DPE=( )
A．95° B．100° C．110° D．145°
分析：根据AD∥BC得∠PBF=∠ADB=35°，再根据直角三角形斜边中线性质得PB=PF=PE，进而得∠PFB=∠PBF=35°，再由三角形内角和定理求出∠BPF=110°，则可得出∠DPE的度数．
C
5.(2025吉林)如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE=∠CDF．
(1)求证：△ABE≌△DCF．
证明：在矩形ABCD中，AB=CD，∠B=∠C=90°，
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF(ASA)；
5.(2025吉林)如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE=∠CDF．
(2)当AB=12，DF=13时，求BE的长.
解：由(1)知：△ABE≌△DCF，
∴AE=DF=13，
∵AB=12，
∴ .
矩 形
定义
性质
一般性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
特有性质
对边平行且相等.
矩形的四个角都是直角.
对角相等.
邻角互补.
对角线互相平分.
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
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