【2026春八下数学情境课堂上课课件】21.3.1.2 矩形的判定 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
人教八上数学情境课堂教学课件
第二十一章 四边形
21.3 特殊的平行四边形
21.3.1 矩形
第2课时 矩形的判定
1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理；
2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题，培养综合应用知识分析解决问题的能力.
回顾 矩形的定义和它所特有的性质分别是什么？
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
矩形特有
的性质
②矩形的对角线相等.
①矩形的四个角都是直角.
由矩形的定义可知，有一个
角是直角的平行四边形是矩形.除
了此方法，还有没有其他判
定方法呢
与研究平行四边形的判定类似，
我们研究矩形的性质定理的逆命
题，看一看它们是否成立.
思考 我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形. 反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形
我们一起来探究吧！
已知：如图，在□ABCD 中，AC，BD 是它的两条对角线，AC = BD.
求证：□ABCD 是矩形.
A
B
C
D
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB = CD，BC = CB，
∵AC = BD，∴ △ABC≌△DCB，∴∠ABC = ∠DCB.
又AB∥CD，∴∠ABC + ∠DCB = 180°.
∴ ∠ABC = ∠DCB =90°.
∴ □ABCD是矩形(矩形的定义).
归纳总结
对角线相等的平行四边形是矩形.
矩形的判定定理1：
数学语言：
在□ABCD 中，
∵AC=BD，
∴□ABCD是矩形.
A
B
C
D
想一想
工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等. 你知道其中的道理吗
对角线相等的平行四边形是矩形.
思考 我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立吗？
四个角都是直角的四边形是矩形.
矩形是四个角都是直角的四边形.
逆命题
四个角都是直角的四边形是矩形命题成立.
思考 进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？
① 有一个角是直角的四边形
② 有两个角是直角的四边形
③有三个角是直角的四边形
不是矩形
不是矩形
矩形
猜想：有三个角都是直角的四边形是矩形.
一起证明一下吧！
猜想：有三个角都是直角的四边形是矩形.
已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°.
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
又∠A =90°，
∴ 四边形 ABCD 是矩形(矩形的定义).
A
B
C
D
归纳总结
有三个角都是直角的四边形是矩形.
矩形的判定定理2：
数学语言：
在四边形 ABCD 中，
∵∠A =∠B =∠C = 90°，
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
例 如图，□ ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.
求证：四边形EFGH是矩形.
分析：根据已知条件，容易证明四边形EFGH的一个内角∠F为直角，同理可证∠H，∠AEB也为直角，从而证明四边形EFGH是矩形.
例 如图，□ ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.
求证：四边形EFGH是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD. ∴∠BAD+∠ADC=180°.
又AF，DF分别平分∠BAD，∠ADC，
∴ ，
∴∠F=90°.
同理∠H=∠AEB=90°. ∴∠FEH=∠AEB=90°.
∴四边形EFGH是矩形.
变式 如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F. 若AD=BD，求证：四边形DEBF是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADB=∠CBD，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠EDB= ∠ADB，∠DBF= ∠CBD，
∴∠EDB=∠DBF，∴DE∥BF，
又AB∥CD，∴四边形DEBF是平行四边形.
∵AD=BD，DE平分∠ADB，
∴DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形DEBF是矩形.
1.已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定 ABCD为矩形的是( )
A．∠A=90° B．∠B=∠C C．AC=BD D．AC⊥BD
D
2.如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断不正确的是( )
C
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形
D．如果AD=EF，那么四边形AEDF是矩形
3.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，O是边AB的中点，∠AOD=∠BOC. 求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵O是边AB的中点，∴OA=OB，
在△AOD和△BOC中，
∴△AOD≌△BOC(ASA)，∴DA=CB，
∵∠A=∠B=90°，
∴DA∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形，
又∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形．
4. (2025 北京节选) 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG=FC. 求证：四边形DFCG是矩形.
证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，
∵DG=FC，
∴四边形DFCG是平行四边形，
又∵DF⊥BC，∴∠DFC=90°，
∴平行四边形DFCG是矩形.
5. (2025 青海) 如图，在△ABC中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E，连接AD，BE.
(1)求证：四边形AEBD是平行四边形；
证明：∵点O，D分别是边AB，BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，
∵AE∥BC，
∴四边形AEDC是平行四边形，∴AE=CD，
∵点D是边BC的中点，∴BD=CD，∴AE=BD，
∴四边形AEBD是平行四边形；
5. (2025 青海) 如图，在△ABC中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E，连接AD，BE.
(2)若AB=AC，试判断四边形AEBD的形状，并证明.
解：当AB=AC时，四边形AEBD是矩形，证明如下：
∵AB=AC，点D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
由(1)可知，四边形AEBD是平行四边形，
∴平行四边形AEBD是矩形．
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形的
判定定理
定义
判定定理
① 对角线相等的平行四边形是矩形；
② 有三个角都是直角的四边形是矩形.
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