【2026春八下数学情境课堂上课课件】21.3.3.2 正方形的判定(主题情境：装修验收) 课件(共34张PPT)

(共34张PPT)
人教八上数学情境课堂教学课件
第二十一章 四边形
21.3 特殊的平行四边形
21.3.3 正方形
第2课时 正方形的判定
主题情境·装修验收
1. 掌握正方形的判定定理.
2. 能灵活运用进行图形判断、证明与计算.
周末，安安跟着爸爸去新买的房子做装修验收.
可别小瞧这验收环节，到处都藏着数学知识，要是没弄准，装修效果和实用性都会大打折扣！
是吗，我们一起验收验收！
任务一 客厅地板瓷砖铺设验收
首先要验收的是客厅一个瓷砖铺设的区域是否为正方形.
如何判定这个区域是正方形呢？
我知道！可以依据正方形的定义“有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形”进行判定！
具体做法：①用卷尺测量这个四边形的两组对边；
②对比测量数据，是否存在一组邻边相等；
③用直角三角板测量四边形中的一个角.
2.5m
2.5m
2.5m
2.5m
∟
归纳总结
有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
四边形
平行四边形
菱形
正方形
思考1 还可以怎样检测判定这个区域是否为正方形？
分析：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
菱形
有一个角是直角
正方形
猜测：有一个角是直角的菱形是正方形.
思考1 还可以怎样检测判定这个区域是否为正方形？
具体做法：①用卷尺测量这个四边形四条边；
②用直角三角板测量四边形中的一个角.
2.5m
2.5m
2.5m
2.5m
∟
归纳总结
有一个角是直角的菱形是正方形.
探究1 可以从对角线的角度判定一个菱形是正方形吗？
菱形 正方形
对角线 对角线互相垂直 对角线相等且垂直
对角线相等？
分析：
正方形
性质
形状
菱形
猜想：
对角线相等的菱形是正方形.
已知：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝BD.
求证： .
菱形ABCD是正方形
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直).
AO＝CO＝ AC，BO＝DO＝ BD(菱形的对角线互相平分).
∵AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝BO.
∵AC⊥BD，∴∠AOB＝∠BOC＝90°.
已知：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝BD.
求证： .
猜想：
对角线相等的菱形是正方形.
菱形ABCD是正方形
A
B
C
D
O
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∠CBO＝∠BCO＝45°.
∴∠ABC＝∠ABO＋∠CBO＝90°.
∴菱形ABCD是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形).
归纳总结
对角线相等的菱形是正方形.
任务二 厨房吊柜规划安装
装修厨房时，安安爸爸定制了一组正方形的吊柜.
现在工人师傅已经将框架安装好了，我们需要验收一下工人师傅组装的正方形面板是否标准.
具体做法：①用卷尺测量这个四边形的两组对边；
②用直角三角板测量四边形中的一个角；
③对比测量数据，是否存在一组邻边相等.
0.8m
0.8m
0.8m
0.8m
∟
四边形
平行四边形
矩形
正方形
归纳总结
有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
还可以怎样检测呢？
可以直接判断这个四边形是否为矩形，再判断是否为正方形！
分析：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
有一组邻边相等
矩形
正方形
猜测：有一组邻边相等的矩形是正方形.
具体做法：①用垂直测量仪检测吊柜框架的三个角；
②用卷尺测量吊柜框架的一组邻边.
0.8m
0.8m
∟
∟
∟
归纳总结
有一组邻边相等的矩形是正方形.
探究2 可以从对角线的角度判断一个矩形是正方形吗？
矩形 正方形
对角线 对角线相等 对角线相等且垂直
对角线垂直？
分析：
正方形
性质
形状
矩形
猜想：
对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：在矩形ABCD中，AC⊥BD.
求证： .
矩形ABCD是正方形
A
B
C
D
O
证明： ∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵AC⊥BD，
∴AC是线段BD的垂直平分线.
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD是正方形.
同理：BD是线段AC的垂直平分线，
矩形
菱形
正方形
从边、角的角度看：
四边形
有一个角 是直角
一组邻边相等
一组邻边相等
有一个角是直角
有三个角是直角
四条边都相等
两组对边分别平行
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
两组对角分别相等
平行
四边形
思考2 如何判定一个四边形是正方形？
思考2 如何判定一个四边形是正方形？
从对角线的角度看：
对角线互相平分
四边形
平行
四边形
矩形
菱形
正方形
对角线相等
对角线
互相垂直
对角线
互相垂直
对角线相等
例 如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.求证：四边形EFGH是正方形
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA.
又AE＝BF＝CG＝DH，
∴EB＝FC＝GD＝HA.
分析：要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出.
例 如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.求证：四边形EFGH是正方形
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
∴HE＝EF＝FG＝GH. ∴四边形EFGH是菱形.
∵△AEH≌△BFE，∴∠2＝∠3.
又∠1＋∠2＝90°，∴∠1＋∠3＝90°.
∴∠HEF＝180°－(∠1＋∠3)＝90°.
∴四边形EFGH是正方形.
变 式 如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的中点，判断四边形EFGH的形状并给出相应理由
证明：四边形EFGH是正方形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
又E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的中点，
∴AE＝BE＝BF＝CF＝CG＝DG＝AH＝DH.
∴△AEH≌△BFE≌△CFG≌△DHG.
∴EF＝GF＝GH＝EH，∠2＝∠3.
∴四边形EFGH是菱形.
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠1+∠3＝90°.
∴∠HEF＝90°.
∴菱形EFGH是正方形.
变 式 如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的中点，判断四边形EFGH的形状并给出相应理由
∴EH＝GH且EH⊥GH.
∴□EFGH是正方形.
O
一题多解：解：四边形EFGH是正方形，理由如下：
连接AC，BD交于点O，
∵E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点，
∴EH BD，FG BD. ∴EH FG.
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
同理可得GH AC.
∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝BD且AC⊥BD.
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
探究3 动手画一画并填空.
(1)当四边形ABCD为任意四边形时，它的中点四边形是___________；
(2)当四边形ABCD为平行四边形时，它的中点四边形是___________；
(3)当四边形ABCD为矩形时，它的中点四边形是___________；
(4)当四边形ABCD为菱形时，它的中点四边形是___________；
(5)当四边形ABCD为正方形时，它的中点四边形是___________ .
平行四边形
平行四边形
菱形
矩形
正方形
归纳总结
任意四边形的四条边中点连线形成的四边形 图示 原四边形 中点四边形
任意四边形
平行四边形
矩形
菱形
平行四边形
平行四边形
菱形
矩形
归纳总结
任意四边形的四条边中点连线形成的四边形 图示 原四边形 中点四边形
正方形
对角线相等的四边形
对角线垂直的四边形
对角线垂直且相等的四边形
正方形
菱形
正方形
矩形
1.如图所示的推理中，在①②③④处可以添上条件“对角线互相垂直”的是(　　)
A
A．①④ B．①③
C．②④　　 D．②③
2.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D从点B出发沿BC边向点C运动，运动到点C停止，过点D分别作DE//AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，则四边形AEDF形状的变化依次为(　　)
A．矩形→菱形→矩形
B．矩形→正方形→矩形
C．平行四边形→菱形→平行四边形
D．平行四边形→正方形→平行四边形
B
3.填空：
(1)如图1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件____________________，使得矩形ABCD为正方形．
(2)如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件 ____________________，使得菱形ABCD为正方形．
图1
图2
　AB＝AD(答案不唯一)
　AC＝BD(答案不唯一)
3.填空：
(3)如图3，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为_____.
(4)如图4，小明在手工课上学习剪纸，如图，将一张矩形纸片对折两次，当剪刀与纸的夹角∠ABC＝_______°时，剪下的图形为正方形．
2　
45　
图3
图4
4.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，EH＝GF，且EG平分∠HEF.若∠EHG＝90°，判定四边形EFGH的形状，并说明理由．
解：四边形EFGH是正方形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D.
∵AE＝CG，AH＝CF，∴EB＝DG，HD＝BF.
∴△BEF≌△DGH，∴EF＝HG.
∵EH＝GF，
∴四边形HEFG为平行四边形.
∴EH∥FG，∴∠HEG＝∠FGE.
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG＝∠FEG. ∴∠FGE＝∠FEG.
∴EF＝GF.∴平行四边形EFGH是菱形.
∵∠EHG＝90°，
∴菱形EFGH是正方形．
∴四边形EFGH是正方形．
4.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，EH＝GF，且EG平分∠HEF.若∠EHG＝90°，判定四边形EFGH的形状，并说明理由．
边、角的角度
正方形的判定
对角线的角度
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine