2026届上海嘉定二中高三下学期数学周练（含答案）

嘉二2025-2026学年第二学期高三年级数学周练
2026.3
一、填空题
1.若集合，，则______．
2.已知复数满足，其中i为虚数单位，则的虚部为______．
3.若经过圆锥的轴的截面是一个边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为______．
4.已知，则______．
5.已知向量是单位向量，，若，则在上的投影向量为______．
6.的展开式中常数项是______．
7.已知公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列，若，则______．
8.一个盒子里装有质地、大小、形状都相同的7个球，其中白球2个，黑球2个，红球3个，现从盒子里依次取出2个球，已知取出的球有红球，则第二次取出的球是红球的概率为______．
9.已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为______．
10.若函数满足：对任意的，都有，且，则______．
11.如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足．现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为S．则的最小值为______．
（第11题） （第12题）
12.如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．转轮的半径为10米，转轮的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟时距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论：①； ②的最大值是35；
③在竖直方向上的速度低于40米/分； ④存在，使得时，到的距离等于15米．其中所有正确结论的序号为______．
二、选择题
13.设是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则“”的一个充分非必要条件是（ ）.
A.，且， B.，，且
C.，且 D.，，且
14.对实数，则“”是“”的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
15.、、均为正整数，．袋子中有个白球，个黑球（大小质地均相同），从中依次有放回的摸出个球，记摸出球中白球的数目为；袋子中有张数字卡牌，张字母卡牌（大小质地均相同），从中一次性摸出张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为．下列选项中一定成立的是（ ）.
A. B.
C. D.
16.设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，下列四个命题：①若为等差数列，则为内和数列
②若为等比数列，则为内和数列
③若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列
④若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列.
其中真命题的个数是（ ）.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
三、解答题
17.如图，在三棱台中，，，点在底面的投影是的重心．
（1）证明：面面；
（2）若直线与底面所成的角为，求面与面所成的锐二面角的大小．
18.已知定义域为的函数（且）是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若，判断函数单调性，并求不等式对于恒成立时的取值范围．
19.某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差．已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布．
（1）随机抽取1包该公司生产的糖果，求其净含量误差不小于5g的概率（精确到0.001）；
（2）随机抽取2包该公司生产的糖果，其净含量误差均不小于5g，检测员根据抽检结果，判断生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由．
（3）随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为．求的分布列和期望（精确到0.001）．（参考数据：，，．）
20. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示．四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形．带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有．点在线段的延长线上，且．
（1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与交于、两点．记直线、的斜率分别为，
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）若直线的斜率为，点是轨迹上异于、的点，且平分，求的取值范围．
21.若函数，对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”．
（1）判断函数是否为区间上的“3阶和函数”；
（2）若函数是在区间上的“2阶和函数”，求实数的取值范围；
（3）若函数为区间上的“2阶和函数”，当时，函数有两个零点，证明：．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.①③
11.如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足．现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为S．则的最小值为______．
【答案】
【解析】由题可知，故该圆锥侧面展开图的圆心角，
连接，可得，由已知可得，建立如图所示平面直角坐标系，
由已知可得，可得，
可得飞行路径总长度
所以．故答案为：．
12.如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．转轮的半径为10米，转轮的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟时距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论：①；
②的最大值是35；
③在竖直方向上的速度低于40米/分；
④存在，使得时，到的距离等于15米．
其中所有正确结论的序号为______．
【答案】①③
【解析】转轮与转轮分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，
旋转一周用时分钟，可得最小正周期，所以，
又的半径为10米，的圆心距离地面竖直高度为20米，
所以第分钟，点距离地面的高度为：，
第分钟，距离地面的竖直高度为：，
化简得，
所以，故①正确；
当，即时，得最大值，为，故②错误；
若到的距离等于15米，则点在线段上，
则要满足，解得，
所以不存在，使得时到的距离等于15米，故④错误；
因为旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟，
所以可得点在圆周上的速度为，同理可得点在圆周上的速度为，
所以点在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟，故③正确．故答案为：①③．
二、选择题
13.C 14.C 15.C 16.B
15.、、均为正整数，．袋子中有个白球，个黑球（大小质地均相同），从中依次有放回的摸出个球，记摸出球中白球的数目为；袋子中有张数字卡牌，张字母卡牌（大小质地均相同），从中一次性摸出张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为．下列选项中一定成立的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】若有放回的摸出个球，每次摸到白球的概率为，且各次试验的结果是独立的，
故，其中，
期望，方差，
当时，，得故，选项正确；
特别地，取其中的分布为：
期望，方差
随机变量的可能取值有，
则
所以，
，
显然，
故选项不正确．故选：．
16.设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，下列四个命题：①若为等差数列，则为内和数列
②若为等比数列，则为内和数列
③若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列
④若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列.
其中真命题的个数是（ ）.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】B
【解析】对于①、②：例如，可知即为等差数列也为等比数列，则，
但不存在，使得，所以不为内和数列，故命题①、②错误；
对于③：因为，对任意，可知存在，
使得
则所以，且内和数列为递增数列，
可知，所以其伴随数列为递增数列，故命题③正确；
对于命题④：例如，显然是所有正整数的排列，可知为内和数列，且的伴随数列为递增数列，但不是递增数列，故命题④错误．故选：．
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）略
19.（1） （2）合理的 （3）分布列，期望如下：
20. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示．四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形．带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有．点在线段的延长线上，且．
（1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与交于、两点．记直线、的斜率分别为，
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）若直线的斜率为，点是轨迹上异于、的点，且平分，求的取值范围．
【答案】（1） （2）（i）证明见解析 （ii）
【解析】（1）因为，所以
即点的轨迹是以为焦点的椭圆，设方程为，
则，解得，故点的轨迹的方程为；
（2）证明：设直线与椭圆的交点坐标为
①当直线线率存在时，如图1，
设，联立，
化简得显然恒成立，
所以，
则，
又，所以，
所以
又
所以，即为定值；
②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图2，
显然，可得：即
综上所述：为定值．
（ii）由题，所以，
由可知：，
设，即，则，可得,
又，所以，所以，则，
又直线的斜率存在，所以，所以1，
综上：．
21.若函数，对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”．
（1）判断函数是否为区间上的“3阶和函数”；
（2）若函数是在区间上的“2阶和函数”，求实数的取值范围；
（3）若函数为区间上的“2阶和函数”，当时，函数有两个零点，证明：．
【答案】（1）不是 （2） （3）证明见解析
【解析】（1）对于，有，
如果存在，使得，
则必有，
令，则，所以不是＂3阶和函数＂；
（2）因为函数在区间上单调递减，所以其值域为，
因为是在区间上的＂2阶和函数＂，
所以对任意，总存在唯一的，使得成立，
所以，
所以在上的值域必定包含区间，
且当时，方程的解在上是唯一的，
又因为函数的图象开口向上，对称轴为，
当时，在上单调递增，
则必有，即,解得；
当时，在上单调递减，
则必有，即，解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则必有，解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则必有解得：；
综上所述，的取值范围为；
（3）证明：对，有，］，
如果存在，使得，则必有，
因为为区间上的＂2阶和函数＂，
所以，即，解得
所以当时，
函数
所以函数的定义域为，且
设，则，
因为，所以，
所以在上单调递增，即在上单调递增，而．
所以当时，单调递减，
当时，单调递增．而，
当且时，．所以；
设，
则，所以，
又，所以，所以
因为且在上单调递增，所以，即，
设，则，所以当时，单调递减，
当时，单调递增，所以当时，单调递减，
当时，单调递增，所以，则．
因为，所以当时，；
当时，，
所以
整理得，由①－②，得，
因为，所以，所以．
综上得证.