2026届上海大同中学高三下学期数学摸底考试卷（含答案）

大同中学2025-2026学年第二学期高三年级数学摸底考
2026.3
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1.关于的不等式的解集为______．
2.抛物线的焦点到准线的距离是______．
3.已知球的体积为，则球的表面积为______．
4.已知扇形的圆心角为，面积为3，则扇形弧长为______．
5.样本数据：，，，，，，，，，的75百分位数为______．
6.有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为______．
7.已知数列通项公式，则数列的前9项和为______．
8.若函数为奇函数，则函数，的值域为______．
9.已知向量，，若与的夹角不超过，则的范围是______．
10.如图，已知函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧，则不等式的解集为______．
11.如图，正方体绕直线旋转，直线旋转至直线，则直线与直线所成角的大小为______．
12.若函数的定义域内存在区间，且，则称函数具有“性质”．下列说法正确的有______，
①具有“性质”的一次函数存在且有无数个
②具有“性质”的二次函数存在且有无数个
③存在，使函数具有“性质”
④对任意，函数都具有“性质”
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项、考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.“”是“不等式在上恒成立”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.已知复数，的模长为1，且，则（ ）
A. B.1 C. D.
15.已知点，，在曲线上，记，则存在函数，对曲线上任意一点都有（ ）
A. B. C. D.
16.已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“完美曲线”；
②存在双曲线是“完美曲线”．
下列判断正确的是（ ）
A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题
C.①②都是真命题 D.①②都是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周形成圆锥．已知圆锥的底面半径为3cm，圆锥的侧面积．设、是底面圆周上的两点，线段不经过点．
（1）求圆锥的体积；
（2）二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小．
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数，其中．
（1）解关于的不等式；
（2）若存在唯一的实数，使得，，依次成等差数列，求实数的取值范围.
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差．已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布．
（1）随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到0.001）；
（2）随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为．求的分布和期望（精确到0.001）．
参考数据：，，，其中为标准正态分布函数．
20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等．
（1）若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值；
（2）设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程；
（3）设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围．
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）．
已知函数，其中，．若点在函数的图像上，且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，，，，，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”．
（1）若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由；
（2）若点的坐标为，请分别求出点、的坐标；
（3）若的坐标为，记点到直线的距离为，问是否存在实数和正整数，使得无穷数列、、、严格减？若存在，求出实数的所有可能值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.①②③
11.如图，正方体绕直线旋转，直线旋转至直线，则直线与直线所成角的大小为______．
【答案】
【解析】根据题意，将绕直线旋转得到，
则（或其补角）就是直线与的所成角，如图.
在正方体中，.设，
在Rt中，，可得，所以．
在中，，所以是等边三角形，可得．
在中，由余弦定理得，所以．
故答案为．
12.若函数的定义域内存在区间，且，则称函数具有“性质”．下列说法正确的有______，
①具有“性质”的一次函数存在且有无数个
②具有“性质”的二次函数存在且有无数个
③存在，使函数具有“性质”
④对任意，函数都具有“性质”
【答案】①②③
【解析】假设具有＂性质＂的一次函数存在，设为，
由，可得，
即有方程有两个不等的实根，可得，而这样的有无数个，
则具有＂性质＂的一次函数存在且有无数个，故①正确；
假设具有＂性质＂的二次函数存在，设为
由，可得，
即有方程有两个大于1且不等的实根，可得，
且，解得而这样的有无数个，则具有＂性质＂的而次函数存在且有无数个，故②正确；
假设存在，使函数具有＂性质，
即有在递增，可得，
首先考虑与相切于点，即有，且，
解得，可得，方程有两个不等的正根，故③正确；
由于与在有一个解，只要考虑与相切于点，即有2，且，解得，
可得时，方程只有一个小于0的根，故④错误．故答案为①②③.
二、选择题
13.A 14.B 15.D 16.A
16.已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．
下列判断正确的是（ ）
A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题
C.①②都是真命题 D.①②都是假命题
【答案】A
【解析】命题①：如图1，过椭圆上任意一点作以原点为圆心的圆的切线，分别交过圆于两点，连接．根据直线与圆的位置关系，当与圆相切时，满足给定条件．
当与圆相交时，因为圆的圆心是固定的原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近，直到与圆相切；同理，当与圆相离时，扩大圆的半径，也能使圆靠近直至相切．所以从直线与圆位置关系的动态调整角度可知，一定能找到合适的圆半径使得与圆相切，故①正确．
命题②：如图2，当在双曲线顶点时，过作圆的切线，交双曲线于另外两点．
由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过顶点作圆的切线与双曲线相交得到的线段，其整体位置与以原点为圆心的圆是相离的.
这是因为双曲线的渐近线性质以及顶点处的曲线走向，使得从顶点出发的切线与双曲线相交形成的线段不会与圆相切，所以②不正确．故选A.
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）分布列，期望如下，
20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等．
（1）若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值；
（2）设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程；
（3）设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由题知，与圆的离心率为，与圆的离心率为，
则，解得．
（2）由题知，，所以，直线的方程为．
设的方程为，，
联立直线与与圆的方程得，
，可得．由韦达定理可得，
故
，解得．所以的标准方程为．
（3）由题意，设的方程为，
由题意，且，任取上一点（不与点重合），
则
设，则，
直线的方程为，故，
代人得
由，解得，
由对称性，不妨设，代表直线方程可解得，
而点位于上，所以
.
因为为上任意一点，所以为定值，化简得．
设为上任意一点，即有解．
整理得，，
解得，所以．故的长轴长．
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）．
已知函数，其中，．若点在函数的图像上，且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，，，，，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”．
（1）若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由；
（2）若点的坐标为，请分别求出点、的坐标；
（3）若的坐标为，记点到直线的距离为，问是否存在实数和正整数，使得无穷数列、、、严格减？若存在，求出实数的所有可能值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）不存在，理由见解析 （2），，－
（3）存在，
【解析】（1）时，，所以，,
所以函数过点的切线方程为，其与函数图像无其他交点，
所以原点不存在＂上位点＂．
（2）设点的横坐标为为正整数，
则函数图像在点处的切线方程为
代入其＂上位点＂，得，
化简得，即得；
又点的坐标为，所以点的坐标为，点的坐标为，－.
（若没有写出递推公式，直接求出的坐标给（4分），的坐标给2分）
（3）将代入，得，解得1.
由（）得，，即1），
所以，即1．令，则严格单调递减．
因为，所以函数在区间上严格单调递增．
当时，，所以当时，严格单调递减，符合要求；
当时，．
因为时，,
所以当时，
从而当时，严格单调递增，不存在正整数，使得无穷数列,严格单调递减.
综上，.