2025-2026学年吉林省长春市南湖实验中学九年级（下）开学数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年吉林省长春市南湖实验中学九年级（下）开学数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 227.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-24 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年吉林省长春市南湖实验中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.把-7+（-5）-（-2）写成省略加号的和的形式，正确的是（ ）
A. -7+5+2 B. -7-5+2 C. -7+5-2 D. -7-5-2
2.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.如图是个报警装置，由一个正六边形的可旋转阀门和触碰装置P组成，且AP=BP，将阀门绕其中心O旋转，当正六边形的顶点恰好与P重合时，报警器会发出警报，此时阀门至少旋转了（ ）度.
A. 30
B. 45
C. 60
D. 90
4.如图，大正方形中恰好形成一个小正方形，包围小正方形的是四个全等的小长方形，下列（ ）中的等式能准确地描述其中所蕴含的几何关系.
A. a2-b2=（a-b）（a+b）
B. （a-b）2=（a+b）2-4ab
C. （a+2b）（a-2b）=a2-4b2
D. （a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2
5.如图，小东制作了一个无盖正方体收纳盒，盒子的前面有一圆形标签，则此收纳盒的展开图是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.利用三角尺，过直线l外一点P作直线l的垂线MN，下列各图中，三角尺摆放正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7.为争创全国文明城市，我市开展市容市貌整治行动，增加了许多市民露营地.某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图1），其截面示意图是轴对称图形（如图2），对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线，撑开的遮阳部分用绳子拉直，分别记为AC，AD，且AC=AD=2，∠CAD的度数为140°，则此时“天幕”的宽度CD是（单位：米）（ ）
A. 4sin70° B. 4cos70° C. 2sin20° D. 2cos20°
8.综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）与液体密度ρ（ρ＞0，单位：g/cm3）成反比例函数关系，其图象如图所示.下列说法正确的是（ ）
A. 当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm
B. 当液体密度ρ=2g/cm3时，浸在液体中的高度h=40cm
C. 当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体密度ρ≥0.8g/cm3
D. 当液体密度0＜ρ≤4g/cm3时，浸在液体中的高度h≥5cm
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.如果单项式-3xa+2y2025与xyb是同类项，那么ab= .
10.二次函数y=ax2-2x+3的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是 .
11.古筝是中国独有的民族乐器之一，被誉为“东方钢琴”，如图所示为其部分琴弦的示意图.已知弦l1∥l2∥l3∥l4∥l5∥l6，且相邻两弦之间的距离相等，P是弦l1上一点，过点P作射线PA，交弦l6于点A，交弦l3于点E.若AP=10，则AE= .
12.如图，⊙O的直径AB=4，弦CD垂直平分半径OB，则的长是______．
13.若直线y=2x+1和直线y=3x+b的交点在第三象限，则b的值可以是 .（写出一个即可）
14.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列五个结论：①EF=2DE；②4BF2+4DE2=BC2；③AE+BF=BC；④若△CDE的面积为S，则四边形ABFE的面积为5S；⑤.上述结论中，正确结论的序号有 .
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
以下是某同学计算的过程：
计算：
解：原式=…①
=2-（x+1）…②
=1-x…③
老师在批改这道题时，发现了其中的解题错误.
（1）请你指出：上述解题过程，从第______步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③即可）；
（2）请写出你认为正确的解题过程.
16.(本小题8分)
小明家客厅里装有一种三位开关，分别控制着A（餐厅）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏灯，由于刚搬进新房不久，小明不熟悉情况．
（1）若小明任意按下一个开关，能打开客厅灯的概率为______．
（2）若任意按下一个开关后，再按下剩下两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图法或列表法说明．
17.(本小题8分)
某新能源汽车公司进行技术升级，升级后每小时组装的汽车数量比原来多15辆，组装360辆汽车所用的时间与原来组装240辆汽车所用时间相等.求升级后每小时组装多少辆汽车？
18.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，BE=DF，AC和EF互相平分，∠B=90°．
求证：四边形ABCD为矩形．
19.(本小题8分)
某气象站对四月份30天的气温（单位：℃）进行了监测，数据分为上旬（4月1日-10日）、中旬（4月11日-20日）和下旬（4月21日-30日）三部分.
a.上旬10天的日平均气温如下：
21 23 24 25 26 26 26 27 27 28
b.中下旬20天的日平均气温频数分布直方图如下（数据分为5组：第1组15≤x＜20，第2组20≤x＜25，第3组25≤x＜30，第4组30≤x＜35，第5组35≤x＜40）：
c.上旬、中旬、下旬日平均气温的平均数、众数、中位数如表：
平均数 众数 中位数
上旬 25.3 26 m
中旬 24.6 26 24.5
下旬 27.5 26 27
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m的值为______；
（2）4月份30天的日平均气温的平均数是______，气温为25℃及以上的天数为______天；
（3）根据《气候季节划分》的规定，立夏之后，若连续五天日平均气温不低于22℃，则视为入夏.立夏之后，某地连续五天的日平均气温的数据满足如下条件，则一定能断定这个地区入夏的是______.
A.平均数为25，中位数为22
B.平均数为23，众数为25
C.中位数为23，众数为25
D.平均数为25，方差≤1
20.(本小题8分)
图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC、△DEF、△GHI的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹.
（1）在图①中△ABC的边AB上确定一点M，使CM⊥AB.
（2）在图②中△DEF 的边DE上确定一点N，连结FN，使FN=DN.
（3）在图③中先确定线段GI的中点P，再在△GHI的边GH上确定一点Q，点Q不与点G重合，连结PQ，使PI=PQ.
21.(本小题8分)
某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度.小聪想用刻度不超过100℃的温度计测算出这种食用油沸点的温度.在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：
时间t/s 0 10 20 30 40
油温y/℃ 10 30 50 70 90
（1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点.经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：℃）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空：
可能是______函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）；
（2）根据以上判断，求y关于t的函数解析式；
（3）当加热110s时，油沸腾了，请推算沸点的温度.
22.(本小题8分)
【问题探索】
如图①，点E、点F分别在矩形ABCD的边CD、边BC上CE=AD，CF=DE，连结AE、EF、AF.证明：△AEF是等腰直角三角形.请你写出完整的证明过程.
【结论应用】
只使用圆规和无刻度的直尺，在图②的矩形ABCD中作出等腰直角△AEF，满足点E、点F分别在线段CD、线段BC上.（简要写出作图过程）
【拓展提升】
如图③，等腰△AEF的顶点E、F分别在平行四边形ABCD的边CD、边BC上，且∠AEF=90°，tan∠DAB=2.若CF=2BF，DE=1，则△AEF的面积为______.
23.(本小题6分)
如图，已知菱形ABCD边长为13，，DE⊥AB于点E，点P是边AD上的一点（点P不与点A和D重合），作射线PE，在射线PE上取点M，使EM=2EP，以DE，EM为邻边作 DEMN.
（1）DE= ______.
（2）当点P为AD的中点时，求点M到直线AB的距离；
（3）当点B落在 DEMN内部时，求AP的取值范围；
（4）当A、B、C三个点中，存在至少一个点落在 DEMN的一条对角线所在直线上，此时AP的长为______.
24.(本小题8分)
如图，抛物线y=x2-bx过点A（4，0），抛物线上有一点M，其横坐标为m,x轴上有一点B（1，0），点M关于点B的对称点为点N.过M作x轴的平行线，过N作y轴的平行线，两条平行线交于点P，直线PM交抛物线于Q.
（1）b=______.
（2）当m=-1时，在给定的平面直角坐标系里画出满足题意的图形，此时S△PQB=______.
（3）若S△PQB=8，求m的值.
（4）若△MPN有且只有一个顶点落在抛物线与x轴所围成的封闭区域内（不包含边界），直接写出m的范围.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】-1
10.【答案】且a≠0
11.【答案】6
12.【答案】
13.【答案】2
14.【答案】①②⑤
15.【答案】②
=
=
=
16.【答案】解：（1），
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中客厅灯和走廊灯同时亮的等可能结果有2种：BC、CB，
∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率=．
17.【答案】升级后每小时组装45辆汽车．
18.【答案】证明：如图，连接AF、CE，
∵AC和EF互相平分，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF，AE∥CF，
∵BE=DF，
∴BE+AE=DF+CF，
即AB=CD，
∵AE∥CF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
19.【答案】26；
25.8；20；
D．
20.【答案】解：（1）如图①中，点M即为所求；
（2）如图图②中，点N即为所求；
（3）如图③中，点P，点Q，即为所求．
21.【答案】解：（1）一次；
（2）设锅中油温y与加热的时间t的函数关系式为y=kt+b（k≠0），
将点（0，10），（10，30）代入得，，
解得：，
∴y=2t+10；
（3）当t=110时，y=2×110+10=230，
∴经过推算，该油的沸点温度是230℃．
22.【答案】26
23.【答案】12 1或或
24.【答案】4；
如图1，即为所求图形；
5；
或；
m的范围为
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一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.把-7+（-5）-（-2）写成省略加号的和的形式，正确的是（ ）
A. -7+5+2 B. -7-5+2 C. -7+5-2 D. -7-5-2
2.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.如图是个报警装置，由一个正六边形的可旋转阀门和触碰装置P组成，且AP=BP，将阀门绕其中心O旋转，当正六边形的顶点恰好与P重合时，报警器会发出警报，此时阀门至少旋转了（ ）度.
A. 30
B. 45
C. 60
D. 90
4.如图，大正方形中恰好形成一个小正方形，包围小正方形的是四个全等的小长方形，下列（ ）中的等式能准确地描述其中所蕴含的几何关系.
A. a2-b2=（a-b）（a+b）
B. （a-b）2=（a+b）2-4ab
C. （a+2b）（a-2b）=a2-4b2
D. （a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2
5.如图，小东制作了一个无盖正方体收纳盒，盒子的前面有一圆形标签，则此收纳盒的展开图是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.利用三角尺，过直线l外一点P作直线l的垂线MN，下列各图中，三角尺摆放正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7.为争创全国文明城市，我市开展市容市貌整治行动，增加了许多市民露营地.某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图1），其截面示意图是轴对称图形（如图2），对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线，撑开的遮阳部分用绳子拉直，分别记为AC，AD，且AC=AD=2，∠CAD的度数为140°，则此时“天幕”的宽度CD是（单位：米）（ ）
A. 4sin70° B. 4cos70° C. 2sin20° D. 2cos20°
8.综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）与液体密度ρ（ρ＞0，单位：g/cm3）成反比例函数关系，其图象如图所示.下列说法正确的是（ ）
A. 当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm
B. 当液体密度ρ=2g/cm3时，浸在液体中的高度h=40cm
C. 当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体密度ρ≥0.8g/cm3
D. 当液体密度0＜ρ≤4g/cm3时，浸在液体中的高度h≥5cm
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.如果单项式-3xa+2y2025与xyb是同类项，那么ab= .
10.二次函数y=ax2-2x+3的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是 .
11.古筝是中国独有的民族乐器之一，被誉为“东方钢琴”，如图所示为其部分琴弦的示意图.已知弦l1∥l2∥l3∥l4∥l5∥l6，且相邻两弦之间的距离相等，P是弦l1上一点，过点P作射线PA，交弦l6于点A，交弦l3于点E.若AP=10，则AE= .
12.如图，⊙O的直径AB=4，弦CD垂直平分半径OB，则的长是______．
13.若直线y=2x+1和直线y=3x+b的交点在第三象限，则b的值可以是 .（写出一个即可）
14.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列五个结论：①EF=2DE；②4BF2+4DE2=BC2；③AE+BF=BC；④若△CDE的面积为S，则四边形ABFE的面积为5S；⑤.上述结论中，正确结论的序号有 .
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
以下是某同学计算的过程：
计算：
解：原式=…①
=2-（x+1）…②
=1-x…③
老师在批改这道题时，发现了其中的解题错误.
（1）请你指出：上述解题过程，从第______步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③即可）；
（2）请写出你认为正确的解题过程.
16.(本小题8分)
小明家客厅里装有一种三位开关，分别控制着A（餐厅）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏灯，由于刚搬进新房不久，小明不熟悉情况．
（1）若小明任意按下一个开关，能打开客厅灯的概率为______．
（2）若任意按下一个开关后，再按下剩下两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图法或列表法说明．
17.(本小题8分)
某新能源汽车公司进行技术升级，升级后每小时组装的汽车数量比原来多15辆，组装360辆汽车所用的时间与原来组装240辆汽车所用时间相等.求升级后每小时组装多少辆汽车？
18.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，BE=DF，AC和EF互相平分，∠B=90°．
求证：四边形ABCD为矩形．
19.(本小题8分)
某气象站对四月份30天的气温（单位：℃）进行了监测，数据分为上旬（4月1日-10日）、中旬（4月11日-20日）和下旬（4月21日-30日）三部分.
a.上旬10天的日平均气温如下：
21 23 24 25 26 26 26 27 27 28
b.中下旬20天的日平均气温频数分布直方图如下（数据分为5组：第1组15≤x＜20，第2组20≤x＜25，第3组25≤x＜30，第4组30≤x＜35，第5组35≤x＜40）：
c.上旬、中旬、下旬日平均气温的平均数、众数、中位数如表：
平均数 众数 中位数
上旬 25.3 26 m
中旬 24.6 26 24.5
下旬 27.5 26 27
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m的值为______；
（2）4月份30天的日平均气温的平均数是______，气温为25℃及以上的天数为______天；
（3）根据《气候季节划分》的规定，立夏之后，若连续五天日平均气温不低于22℃，则视为入夏.立夏之后，某地连续五天的日平均气温的数据满足如下条件，则一定能断定这个地区入夏的是______.
A.平均数为25，中位数为22
B.平均数为23，众数为25
C.中位数为23，众数为25
D.平均数为25，方差≤1
20.(本小题8分)
图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC、△DEF、△GHI的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹.
（1）在图①中△ABC的边AB上确定一点M，使CM⊥AB.
（2）在图②中△DEF 的边DE上确定一点N，连结FN，使FN=DN.
（3）在图③中先确定线段GI的中点P，再在△GHI的边GH上确定一点Q，点Q不与点G重合，连结PQ，使PI=PQ.
21.(本小题8分)
某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度.小聪想用刻度不超过100℃的温度计测算出这种食用油沸点的温度.在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：
时间t/s 0 10 20 30 40
油温y/℃ 10 30 50 70 90
（1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点.经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：℃）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空：
可能是______函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）；
（2）根据以上判断，求y关于t的函数解析式；
（3）当加热110s时，油沸腾了，请推算沸点的温度.
22.(本小题8分)
【问题探索】
如图①，点E、点F分别在矩形ABCD的边CD、边BC上CE=AD，CF=DE，连结AE、EF、AF.证明：△AEF是等腰直角三角形.请你写出完整的证明过程.
【结论应用】
只使用圆规和无刻度的直尺，在图②的矩形ABCD中作出等腰直角△AEF，满足点E、点F分别在线段CD、线段BC上.（简要写出作图过程）
【拓展提升】
如图③，等腰△AEF的顶点E、F分别在平行四边形ABCD的边CD、边BC上，且∠AEF=90°，tan∠DAB=2.若CF=2BF，DE=1，则△AEF的面积为______.
23.(本小题6分)
如图，已知菱形ABCD边长为13，，DE⊥AB于点E，点P是边AD上的一点（点P不与点A和D重合），作射线PE，在射线PE上取点M，使EM=2EP，以DE，EM为邻边作 DEMN.
（1）DE= ______.
（2）当点P为AD的中点时，求点M到直线AB的距离；
（3）当点B落在 DEMN内部时，求AP的取值范围；
（4）当A、B、C三个点中，存在至少一个点落在 DEMN的一条对角线所在直线上，此时AP的长为______.
24.(本小题8分)
如图，抛物线y=x2-bx过点A（4，0），抛物线上有一点M，其横坐标为m,x轴上有一点B（1，0），点M关于点B的对称点为点N.过M作x轴的平行线，过N作y轴的平行线，两条平行线交于点P，直线PM交抛物线于Q.
（1）b=______.
（2）当m=-1时，在给定的平面直角坐标系里画出满足题意的图形，此时S△PQB=______.
（3）若S△PQB=8，求m的值.
（4）若△MPN有且只有一个顶点落在抛物线与x轴所围成的封闭区域内（不包含边界），直接写出m的范围.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】-1
10.【答案】且a≠0
11.【答案】6
12.【答案】
13.【答案】2
14.【答案】①②⑤
15.【答案】②
=
=
=
16.【答案】解：（1），
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中客厅灯和走廊灯同时亮的等可能结果有2种：BC、CB，
∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率=．
17.【答案】升级后每小时组装45辆汽车．
18.【答案】证明：如图，连接AF、CE，
∵AC和EF互相平分，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF，AE∥CF，
∵BE=DF，
∴BE+AE=DF+CF，
即AB=CD，
∵AE∥CF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
19.【答案】26；
25.8；20；
D．
20.【答案】解：（1）如图①中，点M即为所求；
（2）如图图②中，点N即为所求；
（3）如图③中，点P，点Q，即为所求．
21.【答案】解：（1）一次；
（2）设锅中油温y与加热的时间t的函数关系式为y=kt+b（k≠0），
将点（0，10），（10，30）代入得，，
解得：，
∴y=2t+10；
（3）当t=110时，y=2×110+10=230，
∴经过推算，该油的沸点温度是230℃．
22.【答案】26
23.【答案】12 1或或
24.【答案】4；
如图1，即为所求图形；
5；
或；
m的范围为
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