2025-2026学年吉林省长春市博硕学校九年级（下）开学数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年吉林省长春市博硕学校九年级（下）开学数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 175.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-24 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年吉林省长春市博硕学校九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若数轴上表示a的点到原点的距离是1，则数轴上表示-a的点到原点的距离是（ ）
A. -1 B. +1 C. -2 D. +2
2.2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功.C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（ ）．
A. 0.186×105 B. 1.86×105 C. 18.6×104 D. 186×103
3.下列立体图形中，不能被一张矩形纸板恰好围成侧面的是（ ）
A. B. C. D.
4.若x满足不等式2x+2＞3，则x不可能是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
5.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有人共买货，人出八，盈六；人出七，不足三.问人数货价各几何？译文：今有人合伙买货，每人出8钱，会多出6钱；每人出7钱，又差3钱.问人数、买货的钱数各是多少？设人数为x,买货的钱数为y.可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=5，CD=3.按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G.则BG的长是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7.小明沿着坡度为1：3的山坡向上走了100m,则他竖直上升了（ ）
A. B. C. D. 10m
8.如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y=（k≠0）的图象上，点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为（ ）
A. （4，4）
B. （2，2）
C. （2，4）
D. （4，2）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.分解因式：a2-1= ．
10.用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1=20°，则∠2的度数为______.
11.若关于x的一元二次方程ax2-ax+1=0有两个相等的实数根，则a的值是 .
12.请举反例说明命题“对于任意实数x,x2一定大于x”是假命题.你举的反例是x= .（写出一个值即可）
13.如图，一个矩形的一边与量角器的零刻度线AB共线，其对边与量角器交于点C，且点C在量角器上对应读数为60°（120°）.若将量角器看作是半径为5的扇形，则矩形与量角器重叠部分的周长为
14.如图，点P为线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），分别以AP、BP为斜边构造等腰直角三角形ADP、等腰直角三角形BCP，点C与点D在AB的同侧，DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，点Q为CD的中点.若AB=8，则下列结论正确的有 .（填序号）
①线段EF的长为定值；
②线段PQ的长为定值；
③四边形CDEF的面积为定值；
④△CDP周长的最小值为.
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
先化简，再求值：（x+1）2-2（x+1），其中x=.
16.(本小题10分)
如图是A、B、C、D四个排成一排的座位，甲先从4个座位中等可能的选择一个并坐下，然后乙在剩下的座位中等可能的选择一个座位并坐下，用画树状图（或列表）的方法，求甲乙两人座位相邻的概率.
17.(本小题10分)
为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格是每个足球的价格的1.5倍，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多2个.求每个足球的价格.
18.(本小题10分)
如图，在 ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，BE=DF，AC=EF.
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若AE=BE，AB=6，tan∠ACB=，则 ABCD的面积为______.
19.(本小题10分)
某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息
①甲、乙两位同学得分的折线图：
②丙同学得分：10，8，10，9，9，8，5，9，8，10
③甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
同学 甲 乙 丙
平均数 8.7 8.7 m
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m的值为______；
（2）若某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致.据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对______的评价更一致（填“甲”或“乙”）；
（3）若每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀、请据此推断哪位同学最优秀，并说明理由.
20.(本小题10分)
如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹.
（1）在图①中，以AB为边画一个面积为5的△ABC，使点C在格点上；
（2）在图②中，以AB为边画一个面积为5的钝角三角形ABD，使点D在网格线上；
（3）在图③中，以AB为边画一个面积为14的 ABEF、使点E、F均在格点上.
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点P在边AC上（点P与点C不重合），连结PB，过点C作CQ⊥射线BP于点Q.
（1）当点Q在△ABC内部时，求AP长的取值范围.
（2）连结AQ，则AQ长的最小值为______.
（3）当△BCP是等腰三角形时，求△BCQ的面积.
（4）当时，直接写出AP的长.
22.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2-2x-3交x轴于A、B两点（点A在点B左侧），点P、Q为抛物线y=x2-2x-3上两点（点P与点Q不重合），点P的横坐标为m,点Q的横坐标为4-m.
（1）求线段AB的长；
（2）当时，求m的值；
（3）当抛物线在点P和点Q之间的部分（包括点P与点Q两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为m+2时，求m的值；
（4）当点P在点B左侧时，连结PQ，过点P作y轴的垂线交该抛物线于点M，以PM、PQ为边作 PMNQ，连结OM、ON，设△OMN的面积为S1， PMNQ的面积为S2，当时，直接写出m的值.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】（a+1）（a-1）
10.【答案】140°
11.【答案】4
12.【答案】0（答案不唯一）
13.【答案】
14.【答案】①③④
15.【答案】解：原式=x2+2x+1-2x-2
=x2-1，
当x=时，原式=2-1=1．
16.【答案】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有12种等可能事件，其中甲乙两人座位相邻的可能性有6种，
∴甲乙两人座位相邻的概率为=．
17.【答案】解：设每个足球的价格是x元，则每个篮球的价格是1.5x元，
依题意得：-=2，
解得：x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，
答：每个足球的价格是100元．
18.【答案】见解析； 42．
19.【答案】8.6；
乙；
丙．
20.【答案】解：（1）如图①中，△ABC即为所求（答案不唯一）；
（2）如图②中，△ADB即为所求；
（3）如图③中，平行四边形ABEF即为所求．
21.【答案】（1）根据题意得：
当点Q在△ABC内部时，∠APB＞90°，
∵∠ABC=90°，AB=3，AC=5，
∴，
当∠APB=90°，即BP⊥AC时，有，
∴，
解得：，
∴，
∴当点Q在△ABC内部时，AP长的取值范围为；
（2）；
（3）当CP=BC=4时，此时点Q为BP的中点，
∴，
如图，过点B作BD⊥AC于点D，
由（1）得：，
∴，
∴；
当CP=BP时，设AC交圆O于点E，连接BE，
∵BC为圆O的直径，
∴∠BEC=∠BQC=90°，
∵∠CPQ=∠BPE，BP=CP，
∴△CPQ≌△BPE（ASA），
∴S△CPQ=S△BPE，
∴S△BCQ=S△CPQ+S△CPB=S△BPE+S△CPB=S△CBE，
由（1）得：，，
∴，
∴；
∴；
综上所述，当△BCP是等腰三角形时，△BCQ的面积为或；
（4）或．
22.【答案】解：（1）令y=x2-2x-3=0，即（x-3）（x+1）=0，
解得：x1=-1，x2=3，
根据题意：A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3-（-1）=4；
（2）∵点P、Q为抛物线y=x2-2x-3 上两点（点 P与点Q不重合），点P的横坐标为m,点Q的横坐标为4-m.
∴P（m,m2-2m-3），Q（4-m,m2-6m+5），
∴PQ==2，
整理得：m2-4m+3=0，
解得：m1=1，m2=3，
∴m的值为1或3；
（3）由（2）知P（m,m2-2m-3），Q（4-m,m2-6m+5），
当点P在点Q上方时，m2-2m-3＞m2-6m+5，
解得：m＞2，
则（m2-2m-3）-（m2-6m+5）=m+2，即4m-8=m+2，
解得：；
当点P在点Q下方，
同理得：m＜2，
则（m2-6m+5）-（m2-2m-3）=m+2，即-4m+8=m+2，
解得：，
综上，最高点与最低点的纵坐标之差为m+2时，m的值为或；
（4）如图，设PM交y轴于点E，QN交y轴于点F，
∵P（m,m2-2m-3），Q（4-m,m2-6m+5），则E（0，m2-2m-3），F（0，m2-6m+5），
∵四边形PMNQ是平行四边形，
∴PM∥QN，PM=QN，
∵PM⊥y轴，则QN⊥y轴，
∴点P与点M关于x=-=1对称，
∴点M的横坐标为：1×2-m=2-m,
∴M（m-2，m2-2m-3），
∵m-（2-m）=2m-2，
∴点N的横坐标为：4-m-（2m-2）=6-3m,
∴N（6-3m,m2-6m+5），
∵点P在点B左侧，
∴m＞3，
∴ME=m-2，OE=m2-2m-3，NF=3m-6，OF=-m2+6m-5，PM=2m-2，EF=4m-8，
∴S2=PM EF=（2m-2）（4m-8）=8（m-1）（m-2），
S1=S梯形MNFE-S△MOE-S△NFO=（ME+NF） EF-ME OE-NF OF，
∴S1=8（m-2）（m-2）-（m-3）（m+1）（m-2）+（m-5）（m-1）（m-2），
∴S1=（m-2）[8（m-2）-（m-3）（m+1）+（m-5）（m-1）]，
∵=，
∴=，
∴=，
∴=，即m2-2m-5=0，
解得：m=1+或m=1-（不合题意，舍去），
∴m的值为1+．
第1页，共3页
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若数轴上表示a的点到原点的距离是1，则数轴上表示-a的点到原点的距离是（ ）
A. -1 B. +1 C. -2 D. +2
2.2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功.C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（ ）．
A. 0.186×105 B. 1.86×105 C. 18.6×104 D. 186×103
3.下列立体图形中，不能被一张矩形纸板恰好围成侧面的是（ ）
A. B. C. D.
4.若x满足不等式2x+2＞3，则x不可能是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
5.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有人共买货，人出八，盈六；人出七，不足三.问人数货价各几何？译文：今有人合伙买货，每人出8钱，会多出6钱；每人出7钱，又差3钱.问人数、买货的钱数各是多少？设人数为x,买货的钱数为y.可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=5，CD=3.按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G.则BG的长是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7.小明沿着坡度为1：3的山坡向上走了100m,则他竖直上升了（ ）
A. B. C. D. 10m
8.如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y=（k≠0）的图象上，点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为（ ）
A. （4，4）
B. （2，2）
C. （2，4）
D. （4，2）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.分解因式：a2-1= ．
10.用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1=20°，则∠2的度数为______.
11.若关于x的一元二次方程ax2-ax+1=0有两个相等的实数根，则a的值是 .
12.请举反例说明命题“对于任意实数x,x2一定大于x”是假命题.你举的反例是x= .（写出一个值即可）
13.如图，一个矩形的一边与量角器的零刻度线AB共线，其对边与量角器交于点C，且点C在量角器上对应读数为60°（120°）.若将量角器看作是半径为5的扇形，则矩形与量角器重叠部分的周长为
14.如图，点P为线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），分别以AP、BP为斜边构造等腰直角三角形ADP、等腰直角三角形BCP，点C与点D在AB的同侧，DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，点Q为CD的中点.若AB=8，则下列结论正确的有 .（填序号）
①线段EF的长为定值；
②线段PQ的长为定值；
③四边形CDEF的面积为定值；
④△CDP周长的最小值为.
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
先化简，再求值：（x+1）2-2（x+1），其中x=.
16.(本小题10分)
如图是A、B、C、D四个排成一排的座位，甲先从4个座位中等可能的选择一个并坐下，然后乙在剩下的座位中等可能的选择一个座位并坐下，用画树状图（或列表）的方法，求甲乙两人座位相邻的概率.
17.(本小题10分)
为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格是每个足球的价格的1.5倍，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多2个.求每个足球的价格.
18.(本小题10分)
如图，在 ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，BE=DF，AC=EF.
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若AE=BE，AB=6，tan∠ACB=，则 ABCD的面积为______.
19.(本小题10分)
某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息
①甲、乙两位同学得分的折线图：
②丙同学得分：10，8，10，9，9，8，5，9，8，10
③甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
同学 甲 乙 丙
平均数 8.7 8.7 m
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m的值为______；
（2）若某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致.据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对______的评价更一致（填“甲”或“乙”）；
（3）若每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀、请据此推断哪位同学最优秀，并说明理由.
20.(本小题10分)
如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹.
（1）在图①中，以AB为边画一个面积为5的△ABC，使点C在格点上；
（2）在图②中，以AB为边画一个面积为5的钝角三角形ABD，使点D在网格线上；
（3）在图③中，以AB为边画一个面积为14的 ABEF、使点E、F均在格点上.
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点P在边AC上（点P与点C不重合），连结PB，过点C作CQ⊥射线BP于点Q.
（1）当点Q在△ABC内部时，求AP长的取值范围.
（2）连结AQ，则AQ长的最小值为______.
（3）当△BCP是等腰三角形时，求△BCQ的面积.
（4）当时，直接写出AP的长.
22.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2-2x-3交x轴于A、B两点（点A在点B左侧），点P、Q为抛物线y=x2-2x-3上两点（点P与点Q不重合），点P的横坐标为m,点Q的横坐标为4-m.
（1）求线段AB的长；
（2）当时，求m的值；
（3）当抛物线在点P和点Q之间的部分（包括点P与点Q两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为m+2时，求m的值；
（4）当点P在点B左侧时，连结PQ，过点P作y轴的垂线交该抛物线于点M，以PM、PQ为边作 PMNQ，连结OM、ON，设△OMN的面积为S1， PMNQ的面积为S2，当时，直接写出m的值.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】（a+1）（a-1）
10.【答案】140°
11.【答案】4
12.【答案】0（答案不唯一）
13.【答案】
14.【答案】①③④
15.【答案】解：原式=x2+2x+1-2x-2
=x2-1，
当x=时，原式=2-1=1．
16.【答案】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有12种等可能事件，其中甲乙两人座位相邻的可能性有6种，
∴甲乙两人座位相邻的概率为=．
17.【答案】解：设每个足球的价格是x元，则每个篮球的价格是1.5x元，
依题意得：-=2，
解得：x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，
答：每个足球的价格是100元．
18.【答案】见解析； 42．
19.【答案】8.6；
乙；
丙．
20.【答案】解：（1）如图①中，△ABC即为所求（答案不唯一）；
（2）如图②中，△ADB即为所求；
（3）如图③中，平行四边形ABEF即为所求．
21.【答案】（1）根据题意得：
当点Q在△ABC内部时，∠APB＞90°，
∵∠ABC=90°，AB=3，AC=5，
∴，
当∠APB=90°，即BP⊥AC时，有，
∴，
解得：，
∴，
∴当点Q在△ABC内部时，AP长的取值范围为；
（2）；
（3）当CP=BC=4时，此时点Q为BP的中点，
∴，
如图，过点B作BD⊥AC于点D，
由（1）得：，
∴，
∴；
当CP=BP时，设AC交圆O于点E，连接BE，
∵BC为圆O的直径，
∴∠BEC=∠BQC=90°，
∵∠CPQ=∠BPE，BP=CP，
∴△CPQ≌△BPE（ASA），
∴S△CPQ=S△BPE，
∴S△BCQ=S△CPQ+S△CPB=S△BPE+S△CPB=S△CBE，
由（1）得：，，
∴，
∴；
∴；
综上所述，当△BCP是等腰三角形时，△BCQ的面积为或；
（4）或．
22.【答案】解：（1）令y=x2-2x-3=0，即（x-3）（x+1）=0，
解得：x1=-1，x2=3，
根据题意：A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3-（-1）=4；
（2）∵点P、Q为抛物线y=x2-2x-3 上两点（点 P与点Q不重合），点P的横坐标为m,点Q的横坐标为4-m.
∴P（m,m2-2m-3），Q（4-m,m2-6m+5），
∴PQ==2，
整理得：m2-4m+3=0，
解得：m1=1，m2=3，
∴m的值为1或3；
（3）由（2）知P（m,m2-2m-3），Q（4-m,m2-6m+5），
当点P在点Q上方时，m2-2m-3＞m2-6m+5，
解得：m＞2，
则（m2-2m-3）-（m2-6m+5）=m+2，即4m-8=m+2，
解得：；
当点P在点Q下方，
同理得：m＜2，
则（m2-6m+5）-（m2-2m-3）=m+2，即-4m+8=m+2，
解得：，
综上，最高点与最低点的纵坐标之差为m+2时，m的值为或；
（4）如图，设PM交y轴于点E，QN交y轴于点F，
∵P（m,m2-2m-3），Q（4-m,m2-6m+5），则E（0，m2-2m-3），F（0，m2-6m+5），
∵四边形PMNQ是平行四边形，
∴PM∥QN，PM=QN，
∵PM⊥y轴，则QN⊥y轴，
∴点P与点M关于x=-=1对称，
∴点M的横坐标为：1×2-m=2-m,
∴M（m-2，m2-2m-3），
∵m-（2-m）=2m-2，
∴点N的横坐标为：4-m-（2m-2）=6-3m,
∴N（6-3m,m2-6m+5），
∵点P在点B左侧，
∴m＞3，
∴ME=m-2，OE=m2-2m-3，NF=3m-6，OF=-m2+6m-5，PM=2m-2，EF=4m-8，
∴S2=PM EF=（2m-2）（4m-8）=8（m-1）（m-2），
S1=S梯形MNFE-S△MOE-S△NFO=（ME+NF） EF-ME OE-NF OF，
∴S1=8（m-2）（m-2）-（m-3）（m+1）（m-2）+（m-5）（m-1）（m-2），
∴S1=（m-2）[8（m-2）-（m-3）（m+1）+（m-5）（m-1）]，
∵=，
∴=，
∴=，
∴=，即m2-2m-5=0，
解得：m=1+或m=1-（不合题意，舍去），
∴m的值为1+．
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