四川省成都市二诊2026届高三第二次模拟测试数学试题（含答案）

成都市2023级高三第二次模拟测试
数 学 2026.3
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5.考试结束后，只将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3.已知函数，则（ ）
A.在上单调递增 B.在上单调递增
C.在上单调递减 D.在上单调递减
4.已知平面向量，.若，则（ ）
A. B. C. D.2
5.已知函数（）的图象如图所示，则其解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
6.已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为，，，则（ ）
A.最大 B.最大 C.最大 D.
7.已知，，设甲：，乙：，则（ ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.已知抛物线的准线与对称轴的交点为，直线与抛物线交于，两点，则的外接圆在轴上截得的弦长为（ ）
A. B.12 C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.记为等差数列的前项和.已知，，则（ ）
A. B.
C.为等差数列 D.为等比数列
10.如图，平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，平面，则（ ）
A.平面平面 B.
C. D.平行六面体的体积为
11.已知，是定义在上的函数，若则（ ）
A.当函数，均为奇函数时，为奇函数
B.当函数，均为增函数时，为增函数
C.当函数，均有最小值时，有最小值
D.当函数，均有最大值时，有最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在的展开式中，项的系数为__________.
13.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点，且为等腰直角三角形，则的离心率为__________.
14.在直角三角形中，，，为斜边上一点，若与的内切圆面积相等，则__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
国民体质是国家和社会发展的重要基础.为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展.《国民体质制定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级.某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了200人进行问卷调查，得到如下列联表：
体质情况 组别 合格 良好及以上 合计
爱好运动 80 150
不爱好运动 10
合计 200
（1）求，的值，并依据小概率值的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关；
（2）在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记这2人中“爱好运动”的人数为，求的分布列及数学期望.
附：，其中.
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
16.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，侧面底面，是的中点.
（1）求证：；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
17.（本小题满分15分）已知函数在处的切线方程为.
（1）求，；
（2）设，是方程的两根，求证：.（注：是自然对数的底数）
18.（本小题满分17分）
设椭圆：的右焦点为，上顶点为.已知（为坐标原点）的面积为.
（1）求的离心率；
（2）设为椭圆上一动点，已知的最大值为2.
（ⅰ）求的方程；
（ⅱ）若在第一象限内，连接，过作的平行线交于另一点，记与的面积分别为，，求的最大值.
19.（本小题满分17分）
在数列中，，，设的前项和为.记表示不超过的最大整数.
（1）求，，；
（2）是否存在常数，，使得？若存在，求和的值；若不存在，请说明理由；
（3）求.
2023级高三第二次模拟测试
数学试题参考答案及评分意见
一、选择题：（每小题5分，共40分）
1.D；2.B；3.B；4.A；5.C；6.D；7.B；8.C.
二、选择题：（每小题6分，共18分）
9.ACD；10.ABD；11.BC.
三、填空题：（每小题5分，共15分）
12.10；13.；14..
四、解答题：（共77分）
15.解：（1）由题意，.
零假设为：国民体质情况与爱好运动无关，
计算得.
根据小概率的独立性检验，推断不成立，
即认为国民体质情况与爱好运动有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）易知6名体质情况“合格”对象中有4人爱好运动，2人不爱好运动，故的所有可能取值为0，1，2，
，，，
即所求分布列为
0 1 2
所以的期望.
16.解：（1）因为底面为正方形，所以.
又侧面底面，平面，平面平面，
所以平面.
又平面，故.
因为侧面为正三角形，是的中点，所以.
又，平面，，所以平面.
又平面，所以.
（2）不妨设，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立如图
所示的空间直角坐标系.
则由题设可得，，.
，.
因为底面，得平面的一个法向量；
设是平面的法向量，则
即可得平面的一个法向量.
则.
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
17.解：（1）由题意可得，
因为在处的切线方程为，
所以即
解方程得
（2）令，则方程的两根，是函数的两个零点，不妨设.
在单调递增，又，，
故存在唯一的使得.
所以当，，单调递减；
当，，单调递增.
由，得，从而，
又因为，，
所以.故.
18.解：（1）由题意，的面积，则.
又因为，故的离心率.
（2）（ⅰ）由（1）设的方程为：，
设点，则.
又，
故，
因为，所以时，取最大值.即，解得.
故的方程为.
（ⅱ）设，则.
当时，，，故；
当时，，故直线方程为，
联立得.
解得.
因为，与共底边，
所以.
又因为，所以.
故.
令，因为，所以.
，
所以当时，取得最大值4.
此时，解得，因为在第一象限，故，即.
综上，的最大值为4.
19.解：（1）因为，所以，故.
又，故，，所以.
同理，故，
因为，所以，故.
（2）由得
因为，所以，解得（舍负）.
故.又，所以.故.
此时，.
所以存在，满足题意.
（3）当时，，所以.
当时，因为，所以，故.
设函数，则.
所以在上单调递增，故，即.
所以.
故
所以.故.
综上，当时，，故.
令，则当时，
.
又因为满足，所以，.
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