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人教版2024 八年级下册
八年级数学下册第一次月考卷
（人教版2024，测试范围：第19-20章）试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.95 二次根式有意义的条件
2 0.85 判断三边能否构成直角三角形
3 0.65 勾股定理逆定理的实际应用；求最短路径(勾股定理的应用)；与三角形的高有关的计算问题
4 0.65 运用完全平方公式进行运算；已知字母的值，化简求值
5 0.65 线段垂直平分线的性质；求一个数的算术平方根；用勾股定理解三角形
6 0.65 利用二次根式的性质化简；二次根式的除法；二次根式的加减运算
7 0.65 含30度角的直角三角形；垂线段最短；等边三角形的性质；用勾股定理解三角形
8 0.65 判断命题真假；两直线平行内错角相等；最简二次根式的判断；灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）
9 0.65 利用二次根式的性质化简；二次根式的除法
10 0.65 二次根式的应用；最简二次根式的判断；化为最简二次根式；二次根式的加减运算
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 二次根式有意义的条件；利用二次根式的性质化简；带有字母的绝对值化简问题
12 0.85 勾股定理与折叠问题
13 0.53 等腰三角形的定义；判断三边能否构成直角三角形；二次根式的乘法；用勾股定理解三角形
14 0.65 利用勾股定理证明线段平方关系
15 0.65 二次根式的应用；已知字母的值，化简求值
16 0.65 二次根式的混合运算；分母有理化；数字类规律探索
二、知识点分布
三、解答题 17 0.81 分式化简求值；运用平方差公式进行运算；二次根式的混合运算
18 0.65 二次根式的应用
19 0.62 角平分线的性质定理；等腰三角形的性质和判定；三线合一；用勾股定理解三角形
20 0.65 二次根式的混合运算；分母有理化
21 0.65 根据矩形的性质求线段长；证明四边形是矩形；三线合一；化为最简二次根式；利用平行四边形的性质证明；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
22 0.65 二次根式的应用；二次根式的乘法；二次根式的除法
23 0.65 利用勾股定理证明线段平方关系；全等的性质和SAS综合（SAS）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等边对等角；等边三角形的性质
24 0.4 勾股定理逆定理的实际应用；角平分线的性质定理；线段垂直平分线的性质；用勾股定理解三角形2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考卷
（测试范围：八年级下册人教版2024，第19-20章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C A A C A C D B
1．D
根据二次根式无意义的条件，被开方数需为负数，故建立不等式计算即可．
解：∵代数式无意义，
∴，
解得．
2．B
利用完全平方公式将等式左边展开，进而推出，即可得出结果.
解：∵，
∴，
∴三角形为直角三角形.
3．C
本题考查了勾股定理的逆定理与三角形面积公式，解题关键是先判定直角三角形，再利用面积法求点到直线的最短距离．先通过勾股定理的逆定理判断的形状，再利用三角形面积公式求出点到 （公路）的最短距离（即高）．
解：∵，，
∴．
∴是直角三角形，．
点到公路的最短距离是中边上的高，根据三角形面积公式：
解得：．
故选：C．
4．A
先根据、的值，利用完全平方公式推导出和的值，再将所求代数式变形为含这两个式子的形式，代入计算即可．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
5．A
连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得，设，则，在中，利用勾股定理解答即可．
解：如图，连接，
∵垂直平分，
∴，
∵且，，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
即．
6．C
根据二次根式的性质及同类二次根式、二次根式的除法运算法则，依次计算即可判断．
解：A．，计算不正确，故此选项不符合题意；
B．，计算不正确，故此选项不符合题意；
C．，计算正确，故此选项符合题意；
D．，计算不正确，故此选项不符合题意．
7．A
作，垂足为E，由等边三角形的性质可得，，所以．因此可以转化为，当A、P、E三点共线时，取到最小值．又根据垂线段最短可知，当时，最小，即最小，利用等边三角形的性质计算即可．
解：如图，作，垂足为E，连接，
∵是等边三角形，
又∵点D为边中点，
∴，，
∵，
∴，
在直角中，，，
∴，
∴，
当A、P、E三点共线时，取到最小值，
由垂线段最短可知，当时，最小，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴的最小值为．
8．C
本题考查了最简二次根式，逆命题的定义，有理数与无理数，平行线的性质，平方根及直角三角形全等判定，要判断每个命题的真假，需结合相关数学概念逐一分析即可．
解：①被开方数不含分母且无完全平方因数，是最简二次根式，为真命题；
②定理的逆命题不一定是真命题（如“对顶角相等”的逆命题是假命题），故为假命题；
③不带根号的数可能为无理数（如π），故为假命题；
④两直线平行，内错角相等，为真命题；
⑤平方根等于本身的数只有0（1的平方根为，），故为假命题；
⑥假设一个直角三角形的一条直角边为4，另一条直角边为5，此时斜边为，另一个直角三角形的一条直角边为4，斜边为5，此时另一条直角边为3，此时两个直角三角形不全等，故为假命题，
∴真命题为①④，共2个，
故选：C．
9．D
本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法运算，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
解：A、和在实数范围内无定义，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D
10．B
根据题意可求出剪下一个最大的正方形的边长为，则可得到剩余阴影部分长方形的宽为，长为，即可求解．
解：长方形的宽为，长为，
∴剪下一个最大的正方形的边长为，
∴剩余阴影部分长方形的宽为，长为，
∴剩余阴影部分（仍为长方形）的周长为：，
故选：B．
本题考查了二次根式的应用，二次根式的加减运算和最简二次根式，掌握二次根式的计算方法是解题的关键．
11．
根据二次根式有意义的条件确定x的值，进而得到y的取值范围，再利用二次根式性质和绝对值性质化简原式．
解：根据题意得： ，
解得，
将代入不等式，可得，
由，可得，，
则
．
12．3
本题考查的是翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
设，根据勾股定理求出的长，根据翻折变换的性质用x表示出，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
解：设，
∵，
∴，
由折叠的性质可知，，
则，
由勾股定理得，，
解得，
∴．
故答案为：3．
13．
连接，由全等三角形性质可得，，，通过勾股定理得，在中，，，，则，所以，然后通过即可求解．
解：连接，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴
，
，
．
14．12
如图，易证△CDE≌△ABC，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=4+8=12．
解：如图，
∵，，
，
∴，
∵在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（AAS），
∴AB=CD，BC=DE，
∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=8，
同理可证FG2+LK2=HL2=4，
∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=4+8=12．
故答案为：12．
本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2=DE2+CD2=CE2是解题的关键．
15．
本题考查根式求值，根据题中所给公式，代入三角形的三边长度直接计算即可．
解：，
∴的面积
，
故答案为：．
16．
观察已知等式各部分与序号n的关系，归纳各部分的变化规律，整理得到第n个等式，再通过分式运算与二次根式化简验证规律成立．
解：观察已知等式，对各部分按序号n归纳规律：
第n个等式中，减数为，被减数的分子为，分母为，
等式右侧分母为，根号内的两个因式为和，
由此猜想第n个等式为．
验证：
17．(1)
(2)，
（1）利用平方差公式计算多项式乘积，再根据二次根式乘法法则计算，最后合并得到结果；
（2）先根据分式运算法则通分约分化简原式，再代入计算得到最终值．
（1）解：
；
（2）解：
，
将代入得原式．
18．王大爷应支付元的承包费．
本题主要考查二次根式的应用，由题意得设，，，面积为，求出，然后代入，然后列出算式，求值即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：由题意得设，，，面积为，
∴，
，
，
∴王大爷应支付承包费：（元），
答：王大爷应支付元的承包费．
19．(1)见解析
(2)
（1）根据角平分线定义和平行线的性质，证明，得出，根据，得出，即可证明结论；
（2）过点A作，垂足为H，根据等腰三角形三线合一的性质结合勾股定理求出，再利用三角形面积公式计算即可．
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）解：过点A作，垂足为H，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
20．(1)，（答案均不唯一）
(2)①，②
(3)2025
本题考查二次根式的运算，分母有理化，平方差公式：
（1）根据有理化因式的定义进行求解即可；
（2）根据分母有理化的方法进行求解即可；
（3）根据分母有理化，原式可变形为，即可求解．
（1）解：∵，
∴的有理化因式是；
∵，
∴的有理化因式是；
故答案为：；；（答案均不唯一）
（2）解：①；
②；
（3）解：
．
21．(1)见解析
(2)
本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质，三线合一定理，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）由三线合一定理得到；再由平行四边形对边平行且相等可推出，据此可证明结论；
（2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形推出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求解即可．
（1）证明：∵在中，，D为的中点，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
22．的面积为，的面积为
本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是理解题意；根据海伦公式求解的面积，然后利用秦九韶公式求解的面积，然后问题可求解．
解：∵的三边长分别为5，6，7，
∴，
∴；
∵的三边长分别为，，，
∴．
23．(1)（i）见解析；（ii），证明见解析
(2)
本题考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、以及勾股定理的应用，解题的关键是通过分析图形中的角度和边长关系，构造或证明全等三角形，将待求线段与已知线段关联，再结合特殊三角形的性质或勾股定理推导数量关系．
（1）（i）由等腰直角三角形性质得；利用同角的余角相等，证明；根据判定，从而得出．
由（i）中全等三角形得，结合，推出，进而得；利用等腰直角三角形边长关系，将表示为表示为；在中应用勾股定理，代入边长表达式化简，得出．
（2）由等边三角形性质得，利用角度和差证明；根据判定，得，进而推出；利用等边三角形边长关系，将表示为表示为；在中应用余弦定理（或角的三角形边长公式），代入边长表达式化简，得出．
（1）证明：，，
，
点M是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：如图1，
，理由如下：
由（1）得，，，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，，
，
；
（2）解：如图2，
，理由如下：
连接，并延长，交于G，连接，
是等边三角形，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
平分，
，，，
，
，
，
在中，，过点N作的垂线，垂足为点（如下图），则,，
在中，
，
，
24．(1)直角
(2)
(3)
本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是能够灵活应用相关知识点．
（1）先根据中点的定义得，再利用勾股定理的逆定理求解即可；
（2）先根据角平分线的性质得，再设，最后利用勾股定理列方程求解即可；
（3）先求得，再根据勾股定理列方程求解即可．
（1）解：点为的中点，，，，
．
，
是直角三角形．
故答案为：直角．
（2）解：平分，，，
．
，
．
设，则，
在中，，
，
解得，，
即．
答：的长为．
（3）解：如图，
连接，
，
．
是的垂直平分线，
，
．
，
，
．
设，则，
， ，
，．
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
，
解得，，
即．
答：线段的长为．2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考卷
（测试范围：八年级下册人教版2024，第19-20章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若代数式无意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若一个三角形的三边长分别为，且满足等式，则该三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定
3．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
4．已知：，，则代数式的值是（ ）
A．6 B．24 C．42 D．96
5．如图，在中，且于，垂直平分，与交于，与交于，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在等边中，D为边中点，，点P为线段上一动点，连接，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．1
8．下列命题中真命题的个数有（ ）
①是最简二次根式；②任何一个定理都有逆定理；③不带根号的数一定是有理数；④两直线平行，内错角相等；⑤平方根等于本身的数是0和1；⑥两边分别相等的两个直角三角形全等．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，长方形的宽为，长为，现从该长方形中剪下一个最大的正方形，剩余阴影部分（仍为长方形）的周长用最简二次根式表示为（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知：，为实数，且，则的化简结果为______．
12．如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则___________ ．
13．如图，等腰中，，是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为_____．
14．如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则__________．
15．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦--秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为______．
16．观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：写出第n个等式______．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算、化简求值：
(1)；
(2)，其中．
18．阅读材料：已知的三边长分别为，，，设为的面积，则，其中，．
请根据上面的阅读材料，解答下面的问题：
王大爷承包了一块三角形田地，其三边长分别为，，．若每亩的承包价格为元，则王大爷应支付多少元的承包费？（注：，亩，结果取整数）
19．如图，在中，，平分，，连接．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求的面积．
20．[核心素养]【观察】；．
【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式．
【运用】
(1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（各写一个即可）
(2)将下列各式分母有理化：
①______；
②______；
(3)计算：．
21．如图，在中，，D为的中点，四边形是平行四边形，相交于点O．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
22．海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）．已知的三边长分别为5，6，7；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积．
23．如图1，在中，，，D是边上一动点，连接，过C点作，交于点E于点F，M是边上的中点，连接交于点．
(1)问题解决：
（i）求证：；
连接，试探究之间的数量关系，并证明；
(2)类比迁移：
如图2：在等边中,为边上的高，在线段上取点，连接，在射线上取一点E，连接使得，延长交于点F，在线段上取点N，使得，连接，请直接写出之间的数量关系．
24．在中，，点，分别是，上的点，连接．
(1)【基础考察】如图1，若点为的中点，，，，则是___________三角形；（填“锐角”，“直角”或“钝角”）
(2)【能力巩固】如图2，连接，若平分，，，，求的长：
(3)【素养提升】如图3，点在线段上运动，始终保持，是的垂直平分线，交于点．若，，，求线段的长．
