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分课时教学设计
第一课时《21.1.1 四边形及其内角和 》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是人教版八年级下册第21章《四边形》的开篇第1课时，是学生从三角形研究过渡到四边形研究的起点．它承接了三角形内角和定理的知识基础，通过将四边形分割为三角形，让学生初步体会“化未知为已知”的转化思想，为后续多边形内角和、平行四边形及特殊平行四边形的学习奠定方法基础．同时，四边形作为平面几何中最基本的封闭图形之一，其内角和定理是推导多边形内角和公式的核心依据，也是后续解决几何计算与证明问题的重要工具．本课不仅完善了学生对平面图形的认知体系，还强化了几何直观与逻辑推理能力，在整个初中几何学习中起到承上启下、铺垫延伸的关键作用，为学生系统学习四边形章节搭建了认知桥梁．
学习者分析 学生已掌握三角形的定义、内角和定理及简单的几何证明方法，具备初步的图形观察与转化意识，在小学阶段对四边形有直观认知，但未深入探究其内角和规律．学生对动手操作、图形分割等活动兴趣较高，但逻辑推理的严谨性不足，在“如何将四边形转化为三角形”“如何规范表达证明过程”等方面存在困难．同时，学生容易混淆四边形与三角形的内角和结论，需要通过直观操作与逐步引导，建立对四边形内角和本质的理解，为后续多边形学习做好准备．
教学目标 1．理解四边形的定义，掌握四边形的内角和定理； 2．能通过分割法将四边形转化为三角形，推导内角和公式； 3．能运用四边形内角和定理进行简单计算与推理．
教学重点 掌握四边形内角和定理，并能运用定理进行简单的角度计算．
教学难点 理解将四边形转化为三角形的推导过程，体会转化思想在几何研究中的应用．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解四边形的定义，掌握四边形的内角和定理； 2．能通过分割法将四边形转化为三角形，推导内角和公式； 3．能运用四边形内角和定理进行简单计算与推理．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 导入：现实世界的很多物体中都有四边形的形象，例如，宏伟的建筑、一望无际的农田、开关自如的伸缩门、别具一格的窗棂…… 在小学，我们知道什么是四边形，还学习过长方形、正方形、平行四边形和梯形等特殊的四边形的有关知识． 本章我们将进一步学习四边形，特别是一些特殊的四边形———平行四边形、矩形、菱形、正方形．在掌握它们的概念，理解它们之间关系的基础上，利用已有的几何知识，探索并证明它们的性质和判定方法；进一步体会研究图形性质的一般思路和方法，即通过观察、实验、类比、推广、特殊化等途径和方法，对构成图形的边、角等元素的数量关系和位置关系进行讨论，利用几何直观发现图形的性质，再通过逻辑推理证明它们． 与三角形一样，四边形也是一种基本的几何图形．本节我们类比三角形，学习四边形的一些概念和性质，并把它们推广到多边形．学生活动2： 学生认真听老师讲解活动意图说明： 通过展示图片和讲解，让学生明了本章的学习内容，为学习四边形的相关知识做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 介绍：与三角形类似，如图所示，在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点．四边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如，图中的四边形，可以按照顶点的顺序，记作“四边形ABCD”． 如图（1），画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形． 而图（2）中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD（或BC）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧． 今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形． 连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线．如图所示，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，它们分别将四边形ABCD分为两个三角形． 即： 与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角． 追问：请在图中分别画出四边形ABCD顶点A，C处的外角． 思考：我们知道，三角形的内角和是180°，长方形的内角和是360°．那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？ 分析：由于四边形的一条对角线将这个四边形分为两个三角形，所以四边形的有关问题就可以利用三角形的相关知识加以解决．下面按照上述思路解决这个问题． 证明：如图所示，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形．在△ABC中，由三角形内角和定理，得 ∠1＋∠B＋∠3＝180°． 同理∠2＋∠4＋∠D＝180°． 由此可得 ∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D ＝∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠D ＝（∠1＋∠B＋∠3）＋（∠2＋∠4＋∠D） ＝180°＋180°＝360°． 即四边形的内角和等于360°． 例：如图所示，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和．四边形的外角和等于多少？ 分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°．根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和． 解：如图所示． ∵∠DAB与∠1是邻补角， ∴∠DAB＋∠1＝180°． 同理∠ABC＋∠2＝180°， ∠BCD＋∠3＝180°， ∠CDA＋∠4＝180°． ∴∠DAB＋∠1＋∠ABC＋∠2＋∠BCD＋∠3＋∠CDA＋∠4＝720°． 而∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＝360°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°． 这样，我们就证明了：四边形的外角和等于360°． 设问：在“三角形”一章中，我们通过实验发现三角形具有稳定性，并在学习全等三角形时明白了其中的道理，那么四边形是否也具有稳定性呢？ 探究：如图（1），在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？如图（2），在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？ 讲解：可以发现，四边形木架的形状会改变．因为四边形的四条边确定后，四个角并不确定，这说明四边形不具有稳定性．而再钉一根木条后，四边形木架变成两个三角形木架，由于三角形具有稳定性，这时四边形木架的形状不会改变． 指出：在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如图所示中的伸缩门、升降机等； 有时又需要克服四边形的不稳定性，如图所示中在窗框安装好之前，木工师傅常常先在窗框上钉一根木条，以防窗框变形等． 学生活动3： 学生认真听老师讲解并画图理解，然后小组合作探究班内交流汇报活动意图说明： 环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：21.1.1四边形及其内角和一、四边形及其相关概念 二、四边形及其相关概念 三、四边形不具有稳定性 教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．“四边形的内角和等于．”对于证明该结论添加的辅助线为： 其中能证明其内角和的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：D 2．如图，小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是___________． 答案：四边形不具有稳定性 3．求出下列图形中x的值． 解：（1）图1中，， 即； （2）图2中，， 即． 选做题： 4．如图（1），四边形纸片中，，．如图（2），将纸片右下角沿直线向内翻折得到．若，，则为（ ） A． B． C． D． 答案：B 【综合拓展类练习】 5．如图，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点． (1)若，则____________，____________． (2)猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 答案：(1)200°；100° 解：（2）．理由如下： ，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点， ． ，， ， ．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．若一个四边形的四个外角之比为，则这四个外角中最大的外角的度数是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．下列图形中哪些具有稳定性？ 答案：①④⑥具有稳定性 3．四边形中，，，比大30°，求的度数． 解：设的度数为，则的度数为， 根据题意可得 ， 解得， 即的度数为． 选做题： 4．如图，两根细绳将一物体挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（ ） A． B． C． D． 答案：D 【综合拓展类作业】 5．如图，在 中，将 沿对折，点C落在处． (1)如果，且，求； (2)若，用含α的代数式表示． 解：（1）∵ 在中，，且，， ∴ ； ∵ 沿对折，点落在处， ∴ ，，且； ∵ （平角定义），， ∴ ； ∵ 四边形内角和为， ∴ ； 又∵ （平角定义）， ∴ （2）∵ 在中，，且， ∴ ； 由折叠性质得，，； ∵ 四边形内角和为， ∴ ； 代入，得； 化简得．
教学反思 本课通过分割四边形的动手操作，较好地调动了学生的参与热情，多数学生能自主推导出四边形内角和为360°．但在规范证明步骤的书写上，部分学生仍存在逻辑不清晰、表述不严谨的问题，后续需加强几何语言的训练．同时，对转化思想的渗透可更深入，应引导学生对比不同分割方法，体会“化归”的本质，帮助学生更好地迁移到后续多边形内角和的学习中．
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第二十一章 四边形
21.1.1 四边形及其内角和
1．理解四边形的定义，掌握四边形的内角和定理；
2．能通过分割法将四边形转化为三角形，推导内角和公式；
3．能运用四边形内角和定理进行简单计算与推理．
现实世界的很多物体中都有四边形的形象，例如，宏伟的建筑、一望无际的农田、开关自如的伸缩门、别具一格的窗棂……
在小学，我们知道什么是四边形，还学习过长方形、正方形、平行四边形和梯形等特殊的四边形的有关知识．
本章我们将进一步学习四边形，特别是一些特殊的四边形———平行四边形、矩形、菱形、正方形．在掌握它们的概念，理解它们之间关系的基础上，利用已有的几何知识，探索并证明它们的性质和判定方法；进一步体会研究图形性质的一般思路和方法，即通过观察、实验、类比、推广、特殊化等途径和方法，对构成图形的边、角等元素的数量关系和位置关系进行讨论，利用几何直观发现图形的性质，再通过逻辑推理证明它们．
与三角形一样，四边形也是一种基本的几何图形．本节我们类比三角形，学习四边形的一些概念和性质，并把它们推广到多边形．
四边形用表示它的各个顶点的字母表示．
与三角形类似，如图所示，在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形．
组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点．
例如，图中的四边形，可以按照顶点的顺序，记作“四边形ABCD”．
如图（1），画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形．
如图（2）中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD（或BC）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧．
今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形．
连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线．
如图所示，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，它们分别将四边形ABCD分为两个三角形．
与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角．
四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角．
请在图中分别画出四边形ABCD顶点A，C处的外角．
思考：我们知道，三角形的内角和是180°，长方形的内角和是360°．那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？
分析：由于四边形的一条对角线将这个四边形分为两个三角形，所以四边形的有关问题就可以利用三角形的相关知识加以解决．
证明：如图所示，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形．在△ABC中，由三角形内角和定理，得
∠1＋∠B＋∠3＝180°．
同理∠2＋∠4＋∠D＝180°．
由此可得
∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D
＝∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠D
＝（∠1＋∠B＋∠3）＋（∠2＋∠4＋∠D）
＝180°＋180°＝360°．
即四边形的内角和等于360°．
例：如图所示，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和．四边形的外角和等于多少？
分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°．根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和．
解：如图所示．
∵∠DAB与∠1是邻补角，
∴∠DAB＋∠1＝180°．
同理∠ABC＋∠2＝180°，
∠BCD＋∠3＝180°，
∠CDA＋∠4＝180°．
∴∠DAB＋∠1＋∠ABC＋∠2＋∠BCD＋∠3＋∠CDA＋∠4＝720°．
而∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＝360°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°．
这样，我们就证明了：四边形的外角和等于360°．
在“三角形”一章中，我们通过实验发现三角形具有稳定性，并在学习全等三角形时明白了其中的道理，那么四边形是否也具有稳定性呢？
探究：如图（1），在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
形状会改变
形状不会改变
三角形具有稳定性
四边形不具有稳定性
如图（2），在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？
在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如图所示中的伸缩门、升降机等．
有时又需要克服四边形的不稳定性，如图所示中在窗框安装好之前，木工师傅常常先在窗框上钉一根木条，以防窗框变形等．
【知识技能类练习】必做题：
D
【知识技能类练习】必做题：
四边形不具有稳定性
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
B
【综合拓展类练习】
200°
100°
【综合拓展类练习】
四边形
四边形不具有稳定性
四边形及其相关概念
四边形的内角和及外角和
【知识技能类作业】必做题：
A
【知识技能类作业】必做题：
答：①④⑥具有稳定性
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
D
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 21.1.1 四边形及其内角和 单元 第二十一章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解四边形的定义，掌握四边形的内角和定理； 2．能通过分割法将四边形转化为三角形，推导内角和公式； 3．能运用四边形内角和定理进行简单计算与推理．
重点 掌握四边形内角和定理，并能运用定理进行简单的角度计算．
难点 理解将四边形转化为三角形的推导过程，体会转化思想在几何研究中的应用．
探究过程
导入新课 【引入思考】 现实世界的很多物体中都有四边形的形象，例如，宏伟的建筑、一望无际的农田、开关自如的伸缩门、别具一格的窗棂…… 在小学，我们知道什么是四边形，还学习过长方形、正方形、平行四边形和梯形等特殊的四边形的有关知识． 本章我们将进一步学习四边形，特别是一些特殊的四边形———平行四边形、矩形、菱形、正方形．在掌握它们的概念，理解它们之间关系的基础上，利用已有的几何知识，探索并证明它们的性质和判定方法；进一步体会研究图形性质的一般思路和方法，即通过观察、实验、类比、推广、特殊化等途径和方法，对构成图形的边、角等元素的数量关系和位置关系进行讨论，利用几何直观发现图形的性质，再通过逻辑推理证明它们．
新知探究 本节课来研究： 本节我们类比三角形，研究四边形的相关概念和性质。 与三角形类似，如图所示，在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作________，组成四边形的各条线段叫作四边形的______，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的_______．四边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如，图中的四边形，可以按照顶点的顺序，记作“四边形ABCD”． 如图（1），画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形． 而图（2）中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD（或BC）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧． 今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形． 连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的________．如图所示，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，它们分别将四边形ABCD分为____个三角形． 与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的______，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的________．请在图中分别画出四边形ABCD顶点A，C处的外角． 思考：我们知道，三角形的内角和是180°，长方形的内角和是360°．那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？ 分析：由于四边形的一条对角线将这个四边形分为_____个三角形，所以四边形的有关问题就可以利用三角形的相关知识加以解决．下面按照上述思路解决这个问题． 归纳：四边形的内角和等于________． 例：如图所示，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和．四边形的外角和等于多少？ 分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°．根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和． 归纳：四边形的外角和等于_________． 在“三角形”一章中，我们通过实验发现三角形具有稳定性，并在学习全等三角形时明白了其中的道理，那么四边形是否也具有稳定性呢？ 探究：如图（1），在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？如图（2），在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？ 归纳：四边形不具有稳定性． 在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如图所示中的伸缩门、升降机等； 有时又需要克服四边形的不稳定性，如图所示中在窗框安装好之前，木工师傅常常先在窗框上钉一根木条，以防窗框变形等．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．“四边形的内角和等于．”对于证明该结论添加的辅助线为： 其中能证明其内角和的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是___________． 3．求出下列图形中x的值． 选做题： 4．如图（1），四边形纸片中，，．如图（2），将纸片右下角沿直线向内翻折得到．若，，则为（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．如图，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点． (1)若，则____________，____________． (2)猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．若一个四边形的四个外角之比为，则这四个外角中最大的外角的度数是（ ） A． B． C． D． 2．下列图形中哪些具有稳定性？ 3．四边形中，，，比大30°，求的度数． 选做题： 4．如图，两根细绳将一物体挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 5．如图，在 中，将 沿对折，点C落在处． (1)如果，且，求； (2)若，用含α的代数式表示．
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